VU Software Paradigmen / SS 2015

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Stephanie Krüger
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1 VU Software Paradigmen / SS 2015 Stephan Frühwirt Institute for Software Technology i S T Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 1

2 Inhalt Beweise in EXP 1. Beweise in EXP Abgabe Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 2

3 Beweise in EXP Sprache A - einfache arithmetische Ausdrücke ((10) + (9)) + (3)) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 3

4 Sprache A - einfache arithmetische Ausdrücke ((10) + (9)) + (3)) Sprache V - arithmetische Ausdrücke mit Variablen (((x) + (2)) + (y)) + (z) Environment ω(x) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 4

5 Sprache A - einfache arithmetische Ausdrücke ((10) + (9)) + (3)) Sprache V - arithmetische Ausdrücke mit Variablen (((x) + (2)) + (y)) + (z) Environment ω(x) Sprache T - Sprache der Therme plus(plus(x,y),plus(eins,z)) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 5

6 Sprache A - einfache arithmetische Ausdrücke ((10) + (9)) + (3)) Sprache V - arithmetische Ausdrücke mit Variablen (((x) + (2)) + (y)) + (z) Environment ω(x) Sprache T - Sprache der Therme plus(plus(x,y),plus(eins,z)) Sprache COND C - Sprache der Konditionale if is0?(sub(x)) then add0(x) else sub(x) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 6

7 Sprache A - einfache arithmetische Ausdrücke ((10) + (9)) + (3)) Sprache V - arithmetische Ausdrücke mit Variablen (((x) + (2)) + (y)) + (z) Environment ω(x) Sprache T - Sprache der Therme plus(plus(x,y),plus(eins,z)) Sprache COND C - Sprache der Konditionale if is0?(sub(x)) then add0(x) else sub(x) Sprache E - Sprache der Ausdrücke Rekursive Funktionen Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 7

8 Beweise von EXP-Programmen Idee Beweis durch Induktion Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 8

9 Beweise von EXP-Programmen Idee Beweis durch Induktion Hypothese Basis Schritt Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 9

10 Beweise von EXP-Programmen Idee Beweis durch Induktion Funktion schreiben Hypothese Basis Schritt Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 10

11 1. Beweise in EXP Abgabe Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 11

12 Angabe Beweise in EXP Schreiben Sie eine Funktion in EXP über den Datentyp der natürlichen Zahlen inkl. Null (N 0 : plus, minus, div, mult, lt?, eq?), die einen Parameter x entgegen nimmt und als Ergebnis berechnet: ω(x)! Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Implementierung. Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 12

13 Lösung - Funktion Pseudocode: EXP-Programm: Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 13

14 Lösung - Funktion Pseudocode: f u n c t i o n f a c ( x ) i f x = 0 then f a c := 1 e l s e f a c := x f a c ( x 1 ) ; EXP-Programm: Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 14

15 Lösung - Funktion Pseudocode: f u n c t i o n f a c ( x ) i f x = 0 then f a c := 1 e l s e f a c := x f a c ( x 1 ) ; EXP-Programm: δ fac = if eq?(x, 0) then 1 else mult(x, fac(minus(x, 1))) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 15

16 Lösung - Hypothese ( ) ω ENV : I δ, ω, fac(x) = ω(x)! Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 16

17 Lösung - Basis Beweise in EXP ω(x) ( = 0 ) I δ, ω, fac(x) ( ) = I δ, ω, if eq?(x,0) then 1 else mult(x, fac(minus(x, 1))) ( ) NR: I δ, ω, eq?(x, 0) = eq?(i (δ, ω, x), I (δ, ω, 0)) = eq?(ω(x), 0) = eq?(0, 0) = 0 == 0 = T = I (δ, ω, 1) = 1 = 0! Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 17

18 Lösung - Schritt Beweise in EXP Schritt: ( ω(x) = ) n + 1 I δ, ω, fac(x) ( ) = I δ, ω, if eq?(x,0) then 1 else mult(x, fac(minus(x, 1))) ( = I ( ) NR: I δ, ω, eq?(x, 0) = eq?(i (δ, ω, x)), I (δ, ω, 0)) = eq?(ω(x), 0) = eq?(n + 1, 0) = n + 1 == 0 = F da n > 0 ) δ, ω, mult(x, fac(minus(x, 1))) = mult(i (δ, ω, x), I ( δ, ω, fac(minus(x, 1)) ) ) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 18

19 Lösung - Schritt ( ) Neues Environment : ω (x) = I δ, ω, minus(x, 1) = minus(i (δ, ω, x), I (δ, ω, 1)) = minus(ω(x), 1) = minus(n + 1, 1) = n ( ) = mult(ω(x), I δ, ω, fac(x) ) i.h. = mult(ω(x), ω (x)!) = mult(n + 1, n!) = (n + 1) n! = (n + 1!) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 19

20 1. Beweise in EXP Abgabe Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 20

21 Angabe Beweise in EXP Schreiben sie eine Funktion in EXP über Listen und natürliche Zahlen inkl. Null L + N 0 (L: first, rest, build, atom?, eq?, N 0 : plus, minus, div, mult, lt?, eq?), welches die Anzahl der enthaltenen Listen in einer beliebig verschachtelten Liste berechnet. Bsp.: [ [1 2] [ [1] [1] ] ] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 21

22 Lösung - Funktion Bsp.: [ [1, 2] [ [1] [1] ] ] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 22

23 Lösung - Funktion Bsp.: [ [1, 2] [ [1] [1] ] ] δcountlists = minus(countlists2(x), 1) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 23

24 Lösung - Funktion Bsp.: [ [1, 2] [ [1] [1] ] ] δcountlists = minus(countlists2(x), 1) δcountlists2 = if equal?(x, []) then 1 else if atom?(first(x)) then countlists2(rest(x)) else plus(countlists2(first(x)), countlists2(rest(x))) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 24

25 1. Beweise in EXP Abgabe Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 25

26 Angabe Beweise in EXP Schreiben Sie eine Scalafunktion append die zwei Listen zusammenhängt. Beweisen Sie, dass gilt: append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 26

27 Lösung - Funktion d e f append [T ] ( as : L i s t [T], bs : L i s t [T ] ) : L i s t [T] = as match{ case N i l => bs case x : : xs => x : : append ( xs, bs ) } Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 27

28 Lösung - Hypothese append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Idee Induktiver Beweis über as! Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 28

29 Lösung - Basis append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Basis Wir ersetzen as durch Nil append(nil, append(bs, cs)) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 29

30 Lösung - Basis append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Basis Wir ersetzen as durch Nil append(nil, append(bs, cs)) = append(bs, cs) [def. append l.r.] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 30

31 Lösung - Basis append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Basis Wir ersetzen as durch Nil append(nil, append(bs, cs)) = append(bs, cs) [def. append l.r.] = append(append(nil, bs), cs) [def. append r.l] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 31

32 Lösung - Schritt append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Schritt as wird um a erweitert append(a::as, append(bs, cs)) Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 32

33 Lösung - Schritt append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Schritt as wird um a erweitert append(a::as, append(bs, cs)) = a::append(as, append(bs, cs)) [def. append l.r] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 33

34 Lösung - Schritt append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Schritt as wird um a erweitert append(a::as, append(bs, cs)) = a::append(as, append(bs, cs)) [def. append l.r] = a::append(append(as, bs), cs) [i.h. l.r.] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 34

35 Lösung - Schritt append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Schritt as wird um a erweitert append(a::as, append(bs, cs)) = a::append(as, append(bs, cs)) [def. append l.r] = a::append(append(as, bs), cs) [i.h. l.r.] = append(a::append(as, bs), cs) [def. append r.l] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 35

36 Lösung - Schritt append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Schritt as wird um a erweitert append(a::as, append(bs, cs)) = a::append(as, append(bs, cs)) [def. append l.r] = a::append(append(as, bs), cs) [i.h. l.r.] = append(a::append(as, bs), cs) [def. append r.l] = append(append(a::as, bs), cs) [def. append r.l.] Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 36

37 Lösung - Schritt append(as, append(bs, cs)) = append(append(as, bs), cs)) Schritt as wird um a erweitert append(a::as, append(bs, cs)) = a::append(as, append(bs, cs)) [def. append l.r] = a::append(append(as, bs), cs) [i.h. l.r.] = append(a::append(as, bs), cs) [def. append r.l] = append(append(a::as, bs), cs) [def. append r.l.] q.e.d Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 37

38 Abgabe EXP Beweise über ganze Zahlen Beweise über Listen Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 38

39 Abgabe Beweise in EXP Abgabe 20. Mai, 16:00 Uhr vor dem IST Sekretariat Textverarbeitungsprogramm L A TEX Word... Handschriftliche Abgaben werden nicht bewertet! Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 39

40 Abgabe Fragen? Institute for Software Technology Stephan Frühwirt 40

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