FF Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters. Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6

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1 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6 (Konfidenzintervalle, Gauß scher Mittelwerttest) 1. Bei einem bestimmten Großraumflugzeug sei die Auslastung pro Flug näherungsweise normalverteilt mit den Parametern µ = 10 Passagiere und σ = 2 Passagiere. Mit welcher Anzahl an Passagieren ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens zu rechnen? 2. In einer Erhebung für einen neuen PKW ergaben sich bei einer Messung von 30 Fahrzeugen folgende Verbrauchswerte (Liter pro 100 km): Meßwert Nr Verbrauch l/100 km 8, 8, 8, 8, 8, 8,8 8,8 8,8 8,8 8,8 9,0 9,0 9,0 9,0 9, ,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9, 9, 9, 9, 9, a) Geben Sie ein 90%-Vertrauensintervall für den durchschnittlichen Benzinverbrauch auf 100 km dieses Fahrzeugtyps an! b) Wie ändert sich das Ergebnis in a) für ein 99%-Vertrauensintervall? c) Wie hoch hätte der Stichprobenumfang sein müssen, damit das 99%- Vertrauensintervall insgesamt nur eine Breite von 0,2 Litern hätte? d) Der Fahrzeughersteller gibt den durchschnittlichen Benzinverbrauch mit µ 0 =8,8 Litern auf 100 km an. Testen Sie die Nullhypothese µ 0 =8,8 Liter auf Basis einer Signifikanzzahl von α = 0,0 und stellen Sie fest, ob die Meßwerte signifikant von den Herstellerangaben abweichen! e) wie a) und b), jedoch ziehen Sie lediglich die Meßwerte mit einer ungeraden Ordnungsnummer heran (so daß Ihnen also nur 1 Meßwerte zur Verfügung stehen!) 3. Eine (erfundene) Blitzumfrage unter 200 Wählern in Berlin ergab, daß - wenn am nächsten Sonntag Berlin-Wahl wäre unter anderem k=7 Wähler CDU und 0 Wähler PDS wählen würden. a) Wie lautet das 9%-Vertrauensintervall für den Anteil p der CDU- und PDS- Wähler in der gesamten Berlin-Wählerschaft? b) Wie ändert sich das Ergebnis, wenn man nicht 200, sondern Wähler befragen würde und als Ergebnis k=70 bzw. k=20 Wähler CDU bzw. PDS wählen würden? 4. In einer fünfzehnjährigen Betrachtung (n=1) wird für eine Aktie eine durchschnittliche jährliche Rendite von 10% bei einer Standardabweichung von s n-1 = 8% gemessen. Die Rendite wird als normalverteilte Zufallsvariable angenommen. a) Berechnen Sie ein 9%-Konfidenzintervall für die erwartete Rendite µ! b) Berechnen Sie ein 9%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung σ 2!

2 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 2 von 6. Ein Autohersteller gibt den außerstädtischen Benzinverbrauch für sein neues "Wunderauto" mit 4,9 l auf 100 km an (σ=0,3). Eine Autozeitschrift testet fünf Fahrzeuge dieses neuen Typs und misst folgende Verbrauchswerte auf 100 km:,1 l,2 l,2 l,0 l,3 l. Es soll nun festgestellt werden, ob die Testwerte von der Herstellerangabe signifikant abweichen. Die vom Hersteller angegebene Standardabweichung 0,3 wird auch für den Test zugrunde gelegt. a) Formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese! b) Ermitteln Sie für eine Signifikanzzahl α=0,0, ob die Hypothese zu verwerfen ist oder nicht, d.h. ob die Messwerte signifikant von der Herstellerangabe abweichen oder nicht!

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6 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 6 von 6 Lsg.: a) Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 = 4,9 [Liter] Alternativhypothese H 1 : µ µ 0 = 4,9 [Liter] b) Schritt 1: α= 0,0, d.h. z für 1-α = 0,9 = 1,96. Schritt 2: Berechnung der Annahmegrenzen σ 0,3 c u = µ 0 z = 4,9 1,96 = 4,637 Liter n σ 0,3 c 0 = µ 0 + z = 4,9 + 1,96 =,163 Liter n Zu untersuchen ist, ob x im Annahmebereich [4,637;,163] liegt. Schritt 3 : Berechnung des Mittelwerts der Stichprobe,1 +,2 +,2 +,0 +,3 2,9 x = = =,18 Liter. Da x außerhalb des Annahmebereichs liegt, ist die Hypothese µ=4,9 l abzulehnen, d.h. unter Inkaufnahme einer %igen Fehlerwahrscheinlichkeit weicht der durchschnittliche Benzinverbrauchs dieses Wunderautos von den Herstellerangaben signifikant ab