I. Mengen, Logik und Vollständige Induktion

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1 I. Mengen, Lgik und Vllständige Induktin. Mengen Was ist eine Menge? Gerg Cantr (845-98): Unter einer Menge verstehen ir jede Zusammenassung M vn bestimmten hlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung der unseres Denkens (elche die "Elemente" vn M genannt erden) zu einem Ganzen. (in: Beiträge zur Begründung der transiniten Mengenlehre (895 und 897) Math, Annalen, S. 48): Etas geschichtlicher Hintergrund: Gerg Cantrs Vater ar ein erlgreicher Makler und ermunterte seinen Shn, sich im Studium Zeit zu lassen: "Ich habe Dir, glaube ich, schn bis zum Überdruss iederhlt, dass ir die Mittel haben, um Dein Studium s lange auszudehnen als ir llen." 90 veröentlichte Bertrand RUSSELL (870 97) seine Antinmien (Menge aller Mengen), as die Mengenlehre in eine Krise stürzte! Anstatt genau zu sagen, as eine Menge ist, stellen ir dar, ie man Mengen beschreiben kann. Daür gibt es verschieden Möglichkeiten.. Beschreibung durch Auzählung Zum Beispiel ist {rt, gelb, blau} die Menge der Farben rt, gelb und blau, die Menge {Susanne, Yvnne, Ute, Nicle} besteht aus den Elementen Susanne, Yvnne, Ute, Nicle. M = {0,,,, 4}. ist die Menge der natürlichen Zahlen. ist die Menge der ganzen Zahlen. N = {0,,,, 4,...}. Z = {...,,,, 0,,,,...} Mit Q bezeichnen ir die Menge der ratinalen Zahlen ( Brüche ) und mit R die Menge der reellen Zahlen. M; enn m kein Ele- Wenn m Element einer Menge M ist, s schreiben ir daür m ment vn M ist, s schreiben ir m M. Deinitin : Eine Menge M heißt eine Teilmenge vn M (M M der M M ), enn jedes Element vn M ein Element vn M ist. Zum Beispiel ist M = {rt, blau} eine Teilmenge vn M = {rt, blau, gelb}. Wir können auch alle Teilmengen vn M = {rt, blau, gelb} zusammenstellen; diese sind {}, {rt}, {blau}, {gelb}, {rt, blau}, {rt, gelb}, {blau, gelb}, {rt, blau, gelb}; Dabei ist {} die leere Menge (die manchmal auch mit bezeichnet ird).

2 . Beschreibung durch Eigenschaten Dabei sndert man aus einer schn vrhandenen Menge eine Teilmenge aus. Zum Beispiel kann man sagen G = {z Z z = k mit k Z}. Dadurch ird die Menge der geraden ganzen Zahlen deiniert. Deinitin : Der Durchschnitt zeier Mengen M und M ist deiniert als M M = {m M m M }. Hier ist die Eigenschat m M diejenige Eigenschat, die eine Teilmenge aus M aussndert. Oder: M M ist die Menge aller Elemente, die in M und M liegen. Deinitin : Die Vereinigung der Mengen M und M ist die Menge derjenigen Elemente, die in M der M (der in beiden!) enthalten sind. Bemerkung: Seien M M und M M. Dann gilt: M M = {m M m M der m M }. Nun beschreiben ir nch die Dierenz vn Mengen und das Kmplement einer Menge in einer anderen. Seien M und M zei Mengen. Deinitin 4: M und M Mengen mit M M. Das Kmplement vn M in M ist M \M = {m M m M }.. Das kartesische Prdukt Deinitin 5: M und M sind zei Mengen, die beide nicht leer sind. Dann ist das kartesische Prdukt M M die Menge aller gerdneten Paaren (m, m ) mit m M und m M. Beispiel: Ist M = {0,, } und M = {a, b}, s gilt M M = {(0, a), (0, b), (, a), (, b), (, a), (, b)}. Achtung: Bei den Paaren kmmt es au die Reihenlge an (ährend es bei den Elementen einer Menge nicht darau ankmmt!). Zum Beispiel ist das Paar (a, 0) kein Element der bigen Menge M M. Man kann eine ganz ähnliche Przedur auch ür mehr als zei Mengen machen. Seien dazu M, M,..., M n nichtleere Mengen, dann ist das kartesische Prdukt dieser Mengen deiniert durch: M M... M n = {(m, m,..., m n ) m M, m M,..., m n M n }. Beispiel: Sei V die Menge der Vrspeisen, H die Menge der Hauptspeisen und N die Menge der Nachspeisen einer Speisekarte. Dann ist V H N die Menge aller Menüs, als die Menge aller möglichen Speiselgen.

3 Bemerkungen. Die Bezeichnung kartesisch geht au den bedeutenden Mathematiker und Philsphen René Descartes ( ) zurück. In der Mathematik ird sein Name damit verbunden, dass er die Punkte der Ebene durch Paare vn Zahlen dargestellt hat. Die Elemente vn M M... M n tragen vielältige Namen. Manchmal nennt man sie auch n-tupel..4 Mächtigkeit Ot interessiert uns die Anzahl der Elemente einer Menge. Zum Beispiel hat die Menge {rt, blau, gelb} genau drei Elemente. Deinitin 6: Wenn M eine Menge ist, bezeichnen ir die Anzahl ihrer Elemente mit M, und nennen diese Zahl die Mächtigkeit vn M. Zum Beispiel ist {0,,,} = 4. Eine Menge ird endlich genannt, enn ihre Mächtigkeit eine natürliche Zahl ist. Wenn eine Menge M unendlich viele Elemente hat, schreiben ir M =. Zum Beispiel gilt N = und Z =. Cantrs Frage: Gibt es mehr natürliche Zahlen der mehr ganze Zahlen. Wir zählen die ganzen Zahlen Jeder natürlichen Zahl ist eine ganze Zahl zugerdnet!! Auch die Bruchzahlen lassen sich zählen N, Z und Q sind abzählbar unendlich. Wenn man die Mächtigkeiten vn Mengen kennt, kann man die Mächtigkeiten der daraus abgeleiteten Mengen berechnen. Besnders ichtig sind die Summenrmel und die Prduktrmel, aber am einachsten ist die Frmel ür das Kmplement. Deshalb beginnen ir damit.

4 Satz. Mächtigkeit des Kmplements. Sei M eine endliche Menge, und sei M eine Teilmenge vn M. Dann gilt: M \M = M M. Summenrmel. Seien M und M endliche Mengen. Dann gilt M M = M + M M M. Prduktrmel. Seien M, M nichtleere endliche Mengen. Dann gilt: M M = M M. Beispiel: Die Anzahl aller Paare (x, y), bei x aus der Menge {0,,,..., 9} und y aus der Menge {a, b, c, d,..., z} stammt, ist 0 6 = 60. Beeis der Mächtigkeit des Kmplements. M M und M = n N, M = k N, und es gilt k n. Dann hat M \M = m k = M M Elemente. # der Summenrmel. Analg! der Prduktrmel. Die Menge M M besteht aus allen Paaren (m, m ) mit m M und m M. Für die erste Kmpnente (als ür m ) haben ir genau M Möglichkeiten zu Ausahl. Für jede dieser Möglichkeiten können ir die zeite Kmpnente m in M hne jede Einschränkung ählen. Daür gibt es M Möglichkeiten. Um ein Paar (m, m ) zu ählen gibt es insgesamt als genau M M Möglichkeiten. # Allgemeine Prduktrmel. Seien M, M,..., M n endliche nichtleere Mengen. Dann ist M M... M n = M M... M. Beispiel. Bei Geldausgabeautmaten besteht die Geheimzahl aus vier Dezimalstellen, vn denen die erste nicht 0 sein dar. Wie viele slche PINs gibt es? Antrt: = Cantrs Fragen: Den natürlichen, geraden und ratinale Zahlen rdnete Cantr die gleiche Mächtigkeit zu und nannte sie Aleph-Null : N =. ( ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets). Eine slche Menge nennen ir abzählbar unendlich. Cantr rechnete mit Unendlich! + 00 =, + =, Gibt es ein größeres Unendlich als? 87 stellt Cantr in einem Brie an Dedekind die Frage: Gibt es mehr natürliche der mehr reelle Zahlen?: "Man nehme den Inbegri aller psitiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); erner denke man sich eta den Inbegri aller psitiven reellen Zahlgrößen x und bezeichne ihn mit (x); s ist die Frage einach die, b sich (n) dem (x) s zurdnen lasse, daß zu jedem Individuum des einen Inbegris ein und nur eines des anderen gehört? Au den ersten Anblick sagt man sich, nein, es ist nicht möglich, den (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Cntinuum; nur ist mit diesem Einande nichts gennen und s sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, daß (n) und (x) keine eindeutige Zurdnung gestatten, kann ich dch den Grund nicht inden und um den ist mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einacher." (hier: Inbegri = Menge!) 4

5 5 87 indet Cantr den Beeis, dass eine eineindeutige Zurdnung nicht möglich ist. Beeis: Annahme: Es gibt eine eineindeutige Abbildung : N --> ]0,[ dann gilt n (n) 0,a a a a ,a a a a ,a a a a 4... Dann kmmt die Zahl 0,b b b... mit b i abzählbar. a ii nicht in biger Reihenlge vr! Die Zahlen ]0,[ sind nicht Bemerkung: Cantr indet ür die Ptenzmenge >! Als gibt es verschiedene Stuen vn Unendlich < <... Die Cantrsche Kntinuumshypthese stellt dann die Frage nach der Mächtigkeit der reellen Zahlen! (Die Antrt ist interessant... aber schierig!).. Lgik. Aussagen In der Mathematik machen ir Aussagen über mathematische Sachverhalte; diese Aussagen sind enteder richtig der alsch. Was eine Aussage ist, ist nicht s einach zu deinieren. Wir begnügen uns mit der Festlegung: Eine Aussage ist ein Satz, der enteder alsch der ahr ist. Aussagen in unserem Sinne sind zum Beispiel die lgenden: Am Nrdpl herrschen mehr als 50 Celsius. Alle Mathematikstudenten sind intelligent. Es gibt unendlich viele Primzahlen. + = 5. Kräht der Hahn hl au dem Mist, ändert sich s Wetter der s bleibt ie s ist. Keine Aussagen in unserem Sinne sind zum Beispiel Vielleicht mache ich heute meine Hausaugaben Guten Mrgen! 5+ Fraglich(??): Der Satz des Thales ist ein schöner Satz Würzburg ist eine Grßstadt Marylin ar eine intelligente Frau Gerge Clney ist ein guter Schauspieler Wir bezeichnen t Aussagen mit Grßbuchstaben, ie A, B, C... Nun erklären ir, ie man aus zei Aussagen A und B eine dritte machen kann.

6 . Verknüpung vn Aussagen Deinitin 7: und ( ) sie der ( ) verknüpen zei Aussagen. Der Wahrheitsert der verknüpten Aussage ird durch die lgende Tabelle deiniert. Ferner ird die Negatin ( ) einer Aussage deiniert. A B A A B A B W W F F F Beispiele ür und : Jens liest Zeitung und Hilde spielt Gameby. Vrsicht in der deutschen Sprache: Ich gehe ins Kin und in die Disc bedeutet Ich gehe ins Kin und ich gehe in die Disc. Ich ill spielen und geinnen. Beispiele ür der : Kratahrer, die zu schnell ahren der überhlen, verhalten sich verkehrsidrig Der Bus hält, enn jemand aussteigen der einsteigen ill HOHLSPIEGEL v.. April 94: Harzer Vlksstimme: Neue Regelung an Ampeln. Erst nachdem der Kratahrer sein Fahrzeug zum Stehen gebracht hat, dar er eiterahren, egal, b Fußgänger die Fahrbahn überqueren der nicht".. De Mrgansche Gesetze. Satz 4. Seien A und B Aussagen. Dann gilt (a) (A b) = A B. (b) (A b) = A B. Beeis. (a) Wir zeigen diese Behauptung dadurch, dass ir zeigen, dass ür jede Belegung der Wahrheitserte vn A und B die beiden Seiten (A B) und A B stets den gleichen Wahrheitsert haben. Wahrheitstael ür (A B) und A B A B (A B) A B A B W (b) Diese Aussage beeisen ir ganz analg! #.4 "Wenn - dann" - Der Junktr ' ' Deinitin 8: Wahrheitstael ür A B 6

7 7 A B A B W W F F Die beiden letzten Festlegungen sind nicht s einach einzusehen. Wir erläutern das an einem Beispiel. Beispiel: Britta sagt: "Jens ich sage Dir, enn Du Bier au Wein trinkst, dann hast Du mrgen Kpschmerzen" A: Jens trinkt Bier au Wein B: Jens hat Kpschmerzen: Britta sagt: A B ' A B' ist iderlegt (alsch), enn 'A B' ahr ist. 'A B' ist ahr, enn 'A B' ist alsch, als ist (A B ) ahr (Siehe.6). Damit ist als A B ahr. "Enteder Du trinkst kein Bier der Du hast Kpschmerzen"! A B A B A B Satz. 'A B' ist gleichbedeutend mit A B 'A B' A B Beispiel: "Wenn ich kmme, dann bin ich pünktlich"! der "Ich kmme gar nicht der ich bin pünktlich.".5 Genau dann, enn - A B Deinitin 9: A B ird deiniert durch die Wahrheitstael: A B A B Das bedeutet: A B ist genau dann eine ahre Aussage, enn A und B beide ahr der beide alsch sind.

8 Beispiele: x+5 = 7 x = x < 4 x < 6 ist alsch x = x = 4 ist ahr x = x = 4 ist alsch! Ein Fahrzeug ist ein Gl, als ist das Fahrzeug ein PKW (ahr). Ein Fahrzeug ist ein PKW, als ist das Fahrzeug ein Gl (alsch). Eine Zahl ist eine Primzahl Die Zahl hat genau zei Teiler Die Zahl ist nur durch sich selbst und teilbar Ein V ist ein Parallelgramm, enn die Seiten parallel sind Die gegenüberliegenden Winkel des Vierecks sind gleich grß Das Viereck ist punktsymmetrisch. Sprecheisen ür A B - A genau dann, enn B - Aus A lgt B und umgekehrt - A ist ntendig und hinreichend ür B - A ist äquivalent (gleichbedeutend) mit B Bemerkung: Was ist ein mathematischer Satz? Eine rmale Art, dies zu sehen, ist lgende: Ein mathematischer Satz ist eine zusammengesetzte Aussage, die immer ahr ist. Damit meinen ir, dass sie unabhängig vn der Verteilung der Wahrheitserte der Einzelaussagen ahr ist. Betrachten ir dazu ein einaches Beispiel. Wir llen uns überzeugen, dass die Aussage (A B) A gilt. Gelten bedeutet, dass sie stets ahr ist, unabhängig davn, b die Aussagen A und B ahr der alsch sind. Dazu könnte man inhaltlich überlegen; ir llen aber den Kalkül der Wahrheitstaeln anenden. Dies geschieht s: Wahrheitstael ür (A B) A A B A B (A B) A Das bedeutet: Die Aussage (A B) A gilt stets; sie ist als ein mathematischer Satz. Die ichtigsten mathematischen Sätze in diesem Zusammenhang sind die de Mrganschen Regeln, die sich mit der Negatin vn der-aussagen und und-aussagen beschätigen..6 Die Kntrapsitin Mit Hile vn Satz erhält man: Satz. (Kntrapsitin) (A B) A B B A B A Will man eine Wenn-dann-Aussage beeisen, s kann man auch die Kntrapsitin beeisen. 8

9 Beispiele: n N: n ist Zehnerzahl n ist durch 5 teilbar. n gerade n gerade Satz des Thales! 9.7 All- und Existenzaussagen Typisch ür die Mathematik sind Allaussagen und Existenzaussagen, die mit Hile vn Quantren beschrieben erden. Eine Aussagerm A(x) ird durch Einsetzen vn x zu einer Aussage. Beispiel: Alle Primzahlen > sind ungerade. Jede Verkettung vn Spiegelungen ist eine Kngruenzabbildung. Jede dierenzierbare Funktin ist stetig.... Deinitin 0: Ist bei einer Aussagerm A(x) die Erüllungsmenge gleich der Grundmenge G, s heißt A(x) allgemeingültig. Beispiele: Für alle r R gilt: r 0. Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelsumme ist 80 Sei M = {,, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m M ist m eine ungerade Zahl. Allgemeingültige Aussagermen mit zei Variablen: (a,b) R : (a+b) = a + ab + b Deinitin : Den Allaussagen stehen die Existenzaussagen gegenüber. In diesen ird behauptet, dass es mindestens ein Element der betreenden Menge gibt, das eine geisse Eigenschat hat. Beispiele: Es gibt eine gerade Primzahl. Es existiert eine stetige Funktin, die nicht dierenzierbar ist. Sei M = {, 4, 9, 6}. Dann gilt: m M : m ist gerade. Schließlich behandeln ir nch die Verneinung vn All- und Existenzaussagen..8 Negatin vn All und Existenzaussagen. Satz 5: Die Negatin einer Allaussage ist eine Existenzaussage. Genauer gilt: ( x G: A(x) ) x G : A(x) Satz 6: Die Negatin einer Existenzaussage ist eine Allaussage. genauer gilt: ( x G : A(x) ) x G: A(x) Beispiele: Die Negatin vn Alle Schäne sind eiß ist Es gibt einen nichteißen Schan. Die Negatin vn Es gibt einen dummen Studenten ist Alle Studenten sind intelligent.

10 Die Negatin vn Jede gerade Zahl ist Summe vn zei Primzahlen ist Es gibt eine gerade Zahl, die nicht Summe vn zei Primzahlen ist.. Vllständige Induktin Beispiel: Summe der ungeraden Zahlen: U(n) = (n-) = n Anang: U() = = Annahme: Es gelte ür n = n : U(n ) = n! Wir beeisen: Wenn U(n ) gilt, dann auch U(n +). Als U(n ) U(n +) Beeis: U(n +) = U(n ) + (n +) = n + n + = (n +) Damit gilt U(), und damit U() und damit U() und. 0 Das Prinzip der vllständigen Induktin. Sei A(n) eine Aussagerm, die vn einer natürlichen Zahl n abhängt. Wenn ir issen, dass lgendes gilt: () Induktinsanang: Es gilt A(n A ), d. h. A(n) ür n = n A (meist ist n A = ); () Induktinsbasis: Die Aussage A(n) gilt ür ein bestimmtes est gedachtes n = n N; () Induktinsschritt: Wir zeigen: Wenn die Aussage A(n ) gilt, dann auch ür n = n + ; dann gilt die Aussage A(n) ür alle natürlichen Zahlen n n A. Beispiel: Die Gaußsche Frmel Die Augabe besteht darin, die ersten n Zahlen auzuaddieren. Es geht als darum, die Summe (n ) + n zu berechnen. Vrüberlegung: I: S(n) = (n ) + n II: S(n) = n + (n-) I + II: S(n) = (n+) + (n+) (n+) + (n+) S(n) = n (n+) S(n) = n(n ) Hineis: Die Zahlen S(), S(), S(), heißen Dreieckszahlen! Warum?.

11 Satz 7. Für jede natürliche Zahl n Beeis. gilt: n = n(n ) Induktinsanang: n =. Die linke Seite besteht in diesem Fall nur aus einem Summanden und ist als gleich. Die rechte Seite ist / =. Als gilt die Gleichung. Induktinsbasis: Sei n eine natürliche Zahl, und sei die Aussage richtig ür n = n. Als gilt A(n ).. Induktinsschritt: Wir zeigen nun, dass dann auch A(n +) gilt. A(n +) = ( n ) + n + (n +) = ( n ) + n + (n +) = [ ( n ) + n ] + (n +) = n (n ) + (n +) n (n )+(n +) (n )(n ) =. Insgesamt haben ir genau die Gleichung beiesen, die der Aussage A(n +) entspricht. Die Induktinsvraussetzung urde beim zeiten Gleichheitszeichen verendet. # Beispiele: Es gilt n n ( n ) =. 4 Für jedes n erhält man bei dem Ausdruck p(n) = n n + 4 eine Primzahl! Stimmt das? Die Winkelsumme im n-eck beträgt (n ) 80.