Vorlesung Grundbegriffe

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1 Vorlesung Grundbegriffe Marc Ensenbach Vorkurs Mathematik Universität Siegen

2 1. Vorlesung Logik und Mengenlehre Inhalte: logische Aussagen Verknüpfung von Aussagen Wahrheitstafeln Beweisverfahren Mengen Existenz- und Allquantoren Teilmengen Verknüpfungen von Mengen

3 Definition Man bezeichnet»wahr«(w) und»falsch«(f) als Wahrheitswerte. Eine sprachliche Äußerung von einer Form, so daß die Frage nach dem Wahrheitswert sinnvoll ist, nennt man Aussage. Definition Sind A und B Aussagen, so steht A für»nicht A«, (Negation) A B für»a und B«, (Konjunktion) A B für»a oder B«, (Disjunktion) A B für»wenn A, dann B«, (Implikation) A B für»a genau dann, wenn B«. (Äquivalenz) Gilt A B (wofür man auch B A schreiben kann), so sagt man auch»a ist hinreichend für B«oder»B ist notwendig für A«.

4 In Wahrheitstafeln wird für alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten von Teilaussagen der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage dargestellt. Beispiel A A f w w f A B A B A B A B A B f f f f w w f w f w w f w f f w f f w w w w w w

5 Stimmen in Wahrheitstafeln die Ergebnisspalten zweier Aussagen Zeile für Zeile überein, sind die Aussagen äquivalent. Beispiel A B A B B A ( B) ( A) f f w w w w f w w f w w w f f w f f w w w f f w Man liest ab, daß A B und ( B) ( A) äquivalent sind.

6 Satz Seien A und B sowie C logische Aussagen. Dann gilt: A B ist äquivalent zu ( B) ( A). (A B) ist äquivalent zu ( A) ( B). (A B) ist äquivalent zu ( A) ( B). (Kontraposition) (DeMorgan-Regel) (DeMorgan-Regel) A (B C) ist äquivalent zu (A B) (A C). (Distributivität) A (B C) ist äquivalent zu (A B) (A C). (Distributivität) Diese Aussagen beweist man beispielsweise mit Wahrheitstafeln. Man hat noch einige weitere elementare Beweisverfahren: direkter Beweis: A C gezeigt durch A B und B C indirekter Beweis: A C gezeigt durch (A C) f Äquivalenzzerlegung: A B gezeigt durch A B und B A

7 Definition Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen zu einem Ganzen, so daß jedes Objekt entweder Element der Menge ist oder nicht. Ist ein Objekt x Element einer Menge M, so schreibt man x M und andernfalls x / M. Zwei Mengen gelten genau dann als gleich, wenn sie dieselben Elemente beinhalten. aufzählende Notation: Elemente durch Komma getrennt zwischen geschweiften Klammern Mengenbildungsoperator: Die Menge aller Objekte x, für die die Aussage A(x) wahr ist, wird mit {x A(x)} bezeichnet. Ist M eine Menge, so verwendet man die Kurzschreibweise {x M A(x)} für {x x M und A(x)}. Die Menge {x x x} heißt leere Menge. Notation: oder {}

8 Beispiel Durch A = {Berlin, Hamburg, München} wird eine Menge definiert. Durch B = {x x war im Jahr 2000 deutsche Millionenstadt} wird eine Menge definiert, es gilt B = A. Durch C = {x x ist eine große Zahl} wird keine Menge definiert, da»große Zahl«keine eindeutig definierte Eigenschaft ist. Die Menge D = {a, b, a} enthält genau die Elemente a und b, es gilt D = {a, b} = {b, a}. Die Menge E = {a, {a, b}} enthält genau die Elemente a und {a, b}, es gilt a E und {a, b} E, aber b / E. Für die Menge F = und jedes Objekt x gilt x / F. Für die Menge G = { } gibt es ein Objekt x, für das x G gilt, nämlich x =.

9 Definition Sei M eine Menge und A(x) eine von einer Variablen abhängige Aussage. Allquantor-Schreibweise: x M : A(x) steht kurz für»für alle x aus M gilt A(x)«. Existenzquantor-Schreibweise: x M : A(x) steht kurz für»es gibt ein x in M mit A(x)«. Der Allquantor wird gelegentlich auch im Text als Kurzschreibweise für»für alle«verwendet:»es gilt A(x) x M.«Beispiel Sei M die Menge aller Menschen. x M : x ist sterblich steht für die Aussage»Alle Menschen sind sterblich.«x M : x ist unsterblich steht für die Aussage»Es gibt einen unsterblichen Menschen.«

10 Satz Sei M eine Menge und A(x) eine von einer Variablen abhängige Aussage. x M : A(x) ist äquivalent zu x M : A(x). x M : A(x) ist äquivalent zu x M : A(x). Beispiel Sei M die Menge aller Vorkurs-Teilnehmer. Die Aussage»Alle Vorkurs-Teilnehmer haben den Stoff verstanden.«lautet kurz x M : x hat den Stoff verstanden. Die Verneinung der letzten Aussage lautet x M : x hat den Stoff nicht verstanden, also»es gibt einen Vorkurs-Teilnehmer, der den Stoff nicht verstanden hat.«bei Aussagen mit mehreren Variablen werden mehrere Quantoren benötigt. Dann kommt es auf die Reihenfolge an!

11 Definition Seien A und B. Liegt jedes Element von A auch in B (formal: gilt x A : x B), so nennt man A eine Teilmenge von B und B eine Obermenge von A. Notation: A B. Beispiel {c, a} ist eine Teilmenge von {a, b, c}. {c, a} ist keine Teilmenge von {a, b}. a ist keine Teilmenge von {a, b, c}. Satz Seien A und B sowie C Mengen. Es gilt A und A A. Gilt A B und B C, so folgt A C. A = B ist äquivalent zu A B und B A.

12 Definition Sei M eine Menge. Die Menge aller Teilmengen von M heißt Potenzmenge von M und wird mit P(M) bezeichnet. Beispiel P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}} P({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} P( ) = {, { }} Definition Seien A und B Mengen. Dann definiere den Durchschnitt A B von A und B als {x x A und x B}, die Vereinigung A B von A und B als {x x A oder x B}, die Differenz A \ B von A und B als {x x A und x / B}. Gilt A B =, so nennt man A und B disjunkt.

13 Beispiel {a, b, c} {c, d} = {c} {a, b, c} {c, d} = {a, b, c, d} {a, b, c} \ {c, d} = {a, b} {a, b, c} = {a, b, c} = {a, b, c} {a, b, c} \ = {a, b, c} \ {a, b, c} = Satz Seien A und B sowie C Mengen. Dann gilt: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).

14 Definition Seien A und B Mengen. Für alle a A und b B heißt das Symbol (a, b) das (geordnete) Paar mit erster Komponente a und zweiter Komponente b. Zwei geordnete Paare (a, b) und (a, b ) gelten genau dann als gleich, wenn sie komponentenweise übereinstimmen, also genau dann, wenn a = a und b = b gilt. Das kartesische Produkt A B von A und B ist definiert als {(a, b) a A, b B}. Analog definiert man (geordnete) Tripel (a, b, c) und das kartesische Produkt A B C von drei Mengen. Beispiel (a, b) (b, a) {a, b} {a, b, c} = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c)}

15 2. Vorlesung Zahlen Inhalte: natürliche Zahlen ganze Zahlen rationale Zahlen reelle Zahlen

16 Definition Man definiert die natürlichen Zahlen, das Einselement und zu jeder natürlichen Zahl den Nachfolger so, daß die folgenden Eigenschaften gelten. (N1) Das Einselement ist eine natürliche Zahl. (N2) Zu jeder natürlichen Zahl ist der Nachfolger ebenfalls eine natürliche Zahl. (N3) Das Einselement tritt nicht als Nachfolger einer natürlichen Zahl auf. (N4) Zwei natürliche Zahlen, die denselben Nachfolger haben, sind stets gleich. (N5) Enthält eine Menge natürlicher Zahlen das Einselement und zu jedem Element auch den Nachfolger, so beinhaltet diese Menge stets alle natürlichen Zahlen.

17 Definition Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Das Einselement wird mit 1 bezeichnet. Der Nachfolger von 1 wird mit 2 bezeichnet, der Nachfolger von 2 mit 3 und so weiter. Es gilt also N = {1, 2, 3,...}. Definition Sei M eine Menge mit N M. Je zwei Elementen x, y M sei eine Summe x + y M und ein Produkt x y M zugeordnet, so daß die folgenden Bedingungen für alle x, y, z M erfüllt sind. (R1) Im Fall x N ist x + 1 der Nachfolger von x. (R2) x + (y + z) = (x + y) + z (R3) x 1 = x (R4) x (y + z) = (x z) + (x z) (Assoziativität der Addition) (Neutralität der Eins) (Distributivität) Dann sagt man, daß auf M Addition und Multiplikation definiert sind.

18 Satz Auf der Menge der natürlichen Zahlen lassen sich Addition und Multiplikation definieren. Sie sind eindeutig bestimmt. Beispiel Hat man Addition und Multiplikation auf N eingeführt, so gilt: (R1) = 3 + (1 + 1) (R2) = (3 + 1) + 1 (R1) = (R1) = 5, (R1) = 3 + (2 + 1) (R2) = (3 + 2) + 1 s. o. = (R1) = 6, 3 2 (R1) = 3 (1 + 1) (R4) = (3 1) + (3 1) (R3) = s. o. = 6. Satz Für Addition und Multiplikation auf der Menge der natürlichen Zahlen gilt das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz: Für alle x, y, z N hat man x + (y + z) = (x + y) + z und x (y z) = (x y) z sowie x + y = y + x und x y = y x sowie x (y + z) = (x y) + (x z).

19 Definition Man definiert Mengen Z und Q mit Addition und Multiplikation, ein Nullelement 0 Q sowie zu jedem x Q die Gegenzahl x und im Fall x 0 auch den Kehrwert x 1 Q, so daß Folgendes gilt: (K1) x + (y + z) = (x + y) + z für alle x, y, z Q (K2) x + 0 = x für alle x Q (K3) x + ( x) = 0 für alle x Q (K4) x + y = y + x für alle x, y Q (K5) x (y z) = (x y) z für alle x, y, z Q (K6) x 1 = x für alle x Q (K7) x x 1 = 1 für alle x Q \ {0} (K8) x y = y x für alle x, y Q (K9) (x + y) z = (x z) + (y z) für alle x, y, z Q (Z) Z = N {0} { x x N} (Q) Q = {x y 1 x Z, y N}

20 Definition Die Elemente von Z heißen ganze Zahlen. Die Elemente von Q heißen rationale Zahlen. Man definiert N 0 = N {0}. Sind x, y Q, so schreibe x y für x + ( y) und x y für x y 1. Satz Seien x, y Q mit x + y = y. Dann muß x = 0 gelten. Beweis: Es gilt x (K2) = x + 0 (K3) = x + (y + ( y)) (K1) = (x + y) + ( y), und durch Einsetzen der Voraussetzung erhält man was die Behauptung liefert. (x + y) + ( y) = y + ( y) (K3) = 0,

21 Satz Seien x, y Q. Dann ist x y = 0 äquivalent zu x = 0 oder y = 0. (Ein Produkt ist Null genau dann, wenn einer der Faktoren Null ist.) Beweis: Sei x = 0. Dann gilt x y = 0 y. Weiter hat man 0 y (K2) = (0 + 0) y (K9) = (0 y) + (0 y), und mit dem letzten Satz folgt 0 y = 0, also x y = 0. Sei y = 0. Mit der Kommutativität der Multiplikation (K8) und dem bewiesenen Teil folgt x y = y x = 0 x = 0. Sei x 0 und y 0. Dann muß x y 0 gelten: Nimmt man an, daß x y = 0 gilt, so erhält man einen Widerspruch, denn wegen y 0 existiert y 1 und es folgt 0 s. o. = 0 y Ann. 1 (K5) = (x y) y = x (y y 1 ) (K7) = x 1 (K6) = x 0.

22 Die letzten beiden Sätze gelten nicht nur für Q, sondern auch für andere Mengen M, solange die Körperaxiome (K1) (K9) für M statt Q erfüllt sind. Definition Seien m, n Z. Man nennt d Z einen Teiler von n, wenn ein k Z mit n = k d existiert. Gibt es kein d N \ {1}, das sowohl Teiler von m als auch Teiler von n ist, so nennt man m und n teilerfremd. Satz Sei x Q. Dann gibt es eindeutig bestimmte teilerfremde Zahlen m, n Z mit x = m n und n N. Der Beweis dieses Satzes benötigt nicht nur die Körperaxiome (K1) (K9), sondern auch noch die Eigenschaften (Z) und (Q). Die Darstellung von x aus diesem Satz bezeichnet man als (vollständig) gekürzte Bruchdarstellung.

23 Satz Es gibt keine rationale Zahl x mit x 2 = 2. Beweis: Nehme an, es gebe ein x Q mit x 2 = 2. Es existieren teilerfremde m, n Z mit x = m n und n N. Aus x 2 = 2 folgt ( m n )2 = 2 und damit m2 n = 2, also m 2 = 2n 2. 2 Aus m 2 = 2n 2 folgt, daß m 2 gerade ist. Da Quadratzahlen ungerader Zahlen stets ungerade sind, kann m nicht ungerade sein, also ist m eine gerade Zahl. Da m gerade ist, existiert ein u Z mit m = 2u. Aus m 2 = 2n 2 folgt nun (2u) 2 = 2n 2, also 4u 2 = 2n 2 und damit 2u 2 = n 2. Aus 2u 2 = n 2 folgt, daß n 2 gerade ist, und wie oben muß dann auch n gerade sein. m und n gerade Widerspruch zur Teilerfremdheit von m und n Annahme falsch Behauptung gilt

24 Definition Man definiert die Menge R der reellen Zahlen mit Addition, Multiplikation und Kleiner-Relation <, so daß die Körperaxiome (K1) (K9) gelten und die folgenden Aussagen für alle x, y, z R erfüllt sind. (A1) Es gilt entweder x < y oder x = y oder y < x. (A2) Gilt x < y und y < z, so gilt auch x < z. (A3) Gilt x < y, so gilt auch x + z < y + z. (A4) Gilt x < y und 0 < z, so gilt auch x z < y z. (V) Sind A und B Mengen reeller Zahlen mit a < b für alle a A und b B, so gibt es eine reelle Zahl c, die für jedes a A und b B entweder c = a oder a < c < b oder c = b erfüllt. Man sagt dazu auch, daß die reellen Zahlen einen vollständigen angeordneten Körper bilden.

25 Satz Seien a, b R mit a < b. Dann gilt b < a. Beweis: Man hat a < b Satz Es gilt 0 < 1. Beweis: (A3) Körperaxiome a + (( a) + ( b)) < b + (( a) + ( b)) b < a. Nach den Körperaxiomen gilt 1 0. Die Annahme 1 < 0 liefert einen Widerspruch zu (A1): 1 < 0 s. o. 0 < 1 (A4) 0 ( 1) < ( 1) ( 1) K-Ax. 0 < 1. Nach (A1) verbleibt nur der Fall 0 < 1.

26 Satz Es gibt eine reelle Zahl x mit x 2 = 2. Beweisidee: Setze A = {x R 0 < x und x 2 < 2} und B = {x R 0 < x und 2 < x 2 }. Wende (V) auf A und B an und erhalte eine reelle Zahl c. Für diese gilt c 2 = 2.

27 Definition Seien a, b R. Definiere die Intervalle [a, b] = {x R a x b} [a, b) = {x R a x < b} (a, b] = {x R a < x b} (a, b) = {x R a < x < b} [a, ) = {x R x a} (a, ) = {x R x > a} (, b] = {x R x b} (, b) = {x R x < b} (, ) = R

28 3. Vorlesung Summen, Produkte und Induktion Inhalte: Summen- und Produktzeichen Potenzen Fakultäten Binomialkoeffizienten vollständige Induktion Bernoullische Ungleichung verallgemeinerte binomische Formeln

29 Definition Seien m, n Z und a m,..., a n R. Dann definiert man das Summenzeichen { n a m + a m a n 1 + a n, falls m n, a k = 0, falls m > n k=m und das Produktzeichen { n a m a m+1 a n 1 a n, falls m n, a k = 1, falls m > n. k=m Als Indexvariable (hier k) kann ein beliebiges nicht anderweitig verwendetes Symbol gewählt werden.

30 Beispiel 4 k = k=1 3 (k + 1) = (0 + 1) + (1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1) = k=0 3 (2k + 1) = ( ) + ( ) + ( ) = k=1 5 2 = k=1 5 k = k=1

31 Satz Seien m, n, r Z und a m,..., a n, b m,..., b n R sowie c R. n n n (a k + b k ) = a k + k=m n (a k b k ) = k=m n k=m n k=m n k=m c a k = c a k = a k = r k=m n+r k=m+r k=m n k=m n k=m a k + a k a k n k=r+1 a k r = k=m n k=m b k b k a k, falls m r n n r k=m r a k+r (Indexverschiebung)

32 Beispiel 4 (3k + 2) = 3 k=1 4 k + k=1 4 2 = 3 ( ) = 38 k=1 Satz Seien m, n Z mit m n, und seien a m,..., a n R. Dann gilt n 1 (a k+1 a k ) = a n a m. (Teleskopsumme) k=m Beweis: n 1 (a k+1 a k ) = k=m = n 1 k=m n 1 k=m+1 a k+1 n 1 k=m a k + a n a k = ( a m + n k=m+1 n 1 a k k=m+1 n 1 k=m a k a k ) = a n a m.

33 Satz Seien m, n, r Z und a m,..., a n, b m,..., b n R. ( n n ) ( n ) (a k b k ) = a k b k k=m n k=m n k=m n k=m a k b k = a k = a k = n k=m n k=m ( r k=m n+r k=m+r a k k=m k=m b k, falls b m,..., b n 0 a k ) a k r = ( n k=r+1 n r k=m r a k ), falls m r n a k+r (Indexverschiebung)

34 Definition Sei a R und n N 0 sowie k N 0 mit k n. Dann definiere die Potenzen a n (lies»a hoch n«) und a n, die Fakultät n! (lies»n Fakultät«) und den Binomialkoeffizienten ( n k) (lies»n über k«) durch a n = Beispiel n a, a n = 1 n a n, n! = i, i=1 2 5 = = 32 i=1 ( ) n k 2 5 = 1 2 = ( 5! = ) = ! = 4 4!(6 4)! = ( ) (1 2) = = 15 = n! k!(n k)!.

35 Die elementaren Potenzrechengesetze werden im Vorlesungsmodul»Basiswissen«besprochen. Satz Sei q R mit q 1, und sei n N 0. Dann gilt n k=0 Beweis: Aus n (q 1) q k = k=0 = q k = qn+1 1 q 1 n (q 1) q k = k=0. (geometrische Summe) n (q q k 1 q k ) k=0 n (q k+1 q k ) Teleskopsumme = q n+1 q 0 = q n+1 1 k=0 folgt nach Division durch q 1 die Behauptung.

36 Satz Seien n, k N 0 mit k n. n! (n + 1) = (n + 1)! ( ) ( ) n n = k n k ( ) n k n i + 1 = k i i=1 ( ) ( ) n n = 1 = 0 n ( ) ( ) ( ) n n n =, falls k < n (Additionstheorem) k k + 1 k + 1 ( ) n N k

37 Aus dem Additionstheorem erhält man die Möglichkeit der Berechnung von Binomialkoeffizienten mit dem Pascalschen Dreieck: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = k = 5

38 Grundlage für Beweise von Aussagen mit Summen- oder Produktzeichen ist häufig das sogenannte Induktionsprinzip: (N5) Enthält eine Menge natürlicher Zahlen das Einselement und zu jedem Element auch den Nachfolger, so beinhaltet diese Menge stets alle natürlichen Zahlen. Satz Sei A(n) für jedes n N eine Aussage. Weiter sei A(1) wahr, folge für jedes beliebige n N die Gültigkeit von A(n + 1), sofern A(n) wahr ist. Dann ist A(n) für alle n N wahr. Beweisidee: Da A(1) wahr ist, folgt die Gültigkeit von A(2). Da A(2) wahr ist, folgt die Gültigkeit von A(3)....

39 Für Beweise, die das Induktionsprinzip benutzen, verwendet man das Beweisschema der vollständigen Induktion: Induktionsanfang (IA): Zeige, daß die Behauptung für 1 gilt. Induktionsvoraussetzung (IV): Setze die Gültigkeit der Behauptung für ein n N voraus. Induktionsschluß (IS): Zeige unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung, daß die Behauptung für n + 1 gilt. Damit ist die Behauptung nach dem Induktionsprinzip für alle natürlichen Zahlen gezeigt. Ersetzt man in obigem Schema im Induktionsanfang 1 durch 0 und in der Induktionsvoraussetzung N durch N 0, so ist die Behauptung für alle n N 0 gezeigt. Analog behandle auch andere Startwerte m Z für den Nachweis der Behauptung für alle n Z mit n m. Im Induktionsschluß zeigt man nicht, daß A(n) gilt, sondern man setzt A(n) voraus und zeigt damit A(n + 1).

40 Satz Für alle n N gilt n k = k=1 n(n + 1) 2. Beweis: (IA) Die Behauptung gilt für n = 1, denn man hat 1 k = 1 k=1 und 1 (1 + 1) 2 = 1. (IV) Sei n N, und gelte die Behauptung für dieses n, das heißt, es gelte n n(n + 1) k =. 2 k=1

41 Beweis (Fortsetzung): (IS) Zu zeigen ist die Behauptung für n + 1 anstelle von n, also n+1 k=1 k = (n + 1)(n + 2) 2. Man hat n+1 k=1 k = = n k=1 k + (n + 1) (IV) = n(n + 1) 2 + 2(n + 1) 2 n(n + 1) 2 + (n + 1) = (n + 2) n = (n + 1)(n + 2) 2 was die Behauptung für n + 1 anstelle von n beweist. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Gültigkeit der Behauptung für alle n N, was zu beweisen war.,

42 Satz Sei x R mit x 1. Für alle n N 0 gilt dann (1 + x) n 1 + nx. (Bernoullische Ungleichung) Beweis: (IA) Die Behauptung gilt für n = 0, denn man hat (1 + x) 0 = 1 und x = 1. (IV) Sei n N 0, und gelte die Behauptung für dieses n. (IS) Man hat (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (IV),1+x 0 (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 x nx + x = 1 + (n + 1)x, was die Behauptung für n + 1 anstelle von n beweist. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung für alle n N 0.

43 Mit vollständiger Induktion lassen sich unter anderem durch Verwenden des Additionstheorems für Binomialkoeffizienten Verallgemeinerungen von binomischen Formeln beweisen. Satz Seien a, b R. Für alle n N 0 gilt n ( ) n (a + b) n = a n k b k, k (a b) k=0 n a n k b k = a n+1 b n+1. k=0 (verallg. erste bin. Formel) (verallg. dritte bin. Formel) Beispiel (a + b) 3 = ( ) 3 0 a 3 b 0 + ( ) 3 1 a 2 b 1 + ( ) 3 2 a 1 b 2 + ( ) 3 3 a 0 b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 für alle a, b R (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 für alle a, b R

44 4. Vorlesung Abbildungen Inhalte: Abbildungsbegriff Bildmengen Urbildmengen Verkettungen von Abbildungen Injektivität Surjektivität Bijektivität Umkehrabbildungen

45 Definition Sei f = (A, B, G) für Mengen A, B und G mit G A B, so daß zu jedem a A genau ein b B mit (a, b) G existiert. Man nennt f eine Abbildung von A nach B. Notation: f : A B Man nennt A den Definitionsbereich von f. Man nennt B den Zielbereich von f. Man nennt G den Graph von f. Ist a A und b B mit (a, b) G, so nennt man b das Bild von a unter f und a ein Urbild von b unter f. Notation: b = f (a) Man nennt x f (x) Abbildungsvorschrift zu f. Notation auch: f : A B, x f (x) Statt von Abbildungen und Bildern spricht man auch von Funktionen und Funktionswerten.

46 Beachte: Zur vollständigen Angabe einer Abbildung gehören neben der Abbildungsvorschrift stets auch Definitions- und Zielbereich. Strenggenommen ist die Sprechweise»die Funktion f (x)«nicht sinnvoll, besser ist:»die Funktion f «. Beispiel f : R R, x x 2 definiert die Abbildung f mit Definitionsbereich R, Zielbereich R und Abbildungsvorschrift x x 2. Es gilt etwa f (3) = 3 2 = 9. g : R [0, ), x x 2 definiert die Abbildung g mit Definitionsbereich R, Zielbereich [0, ) und Abbildungsvorschrift x x 2. Sie ist nicht gleich f. Durch h : [0, ) R, x h(x) mit h(x) 2 = x wird keine Abbildung definiert, da etwa h(4) nicht eindeutig definiert ist (2 und 2 wären beide als Wert für h(4) möglich).

47 Definition Sei f : X Y eine Abbildung. Für alle A X nennt man {f (a) a A} die Bildmenge von A unter f. Notation: f (A). Die Bildmenge f (X) des Definitionsbereichs von f nennt man auch die Wertemenge von f. Beispiel Für f : R R, x x 2 gilt etwa f ({1, 2, 2}) = {1, 4}. Die Funktion g : R R, x x 2 + 2x + 2 hat die Wertemenge [1, ), denn für y R besitzt g(x) = y x 2 + 2x + 2 = y x 2 + 2x + 1 = y 1 (x + 1) 2 = y 1 genau im Fall y 1 eine Lösung x R.

48 Definition Sei f : X Y eine Abbildung. Für alle B Y nennt man {x X f (x) B} die Urbildmenge von B unter f. Notation: f 1 (B). Die Urbildmenge f 1 ({0}) von {0} nennt man auch die Nullstellenmenge von f. Beispiel Für f : R R, x x 2 gilt etwa f 1 ({1, 4}) = {1, 1, 2, 2} und f 1 ({ 1}) =. Für g : [0, ) R, x x 2 gilt etwa g 1 ({1, 4}) = {1, 2}. Die Nullstellenmenge von h : R R, x (x 1)(x 5x + 6) ist {1, 2, 3}, denn für alle x R gilt h(x) = 0 (x 1)(x 5x + 6) = 0 x 1 = 0 oder x 5x + 6 = 0 x {1, 2, 3}.

49 Definition Seien f : A B und g : B C Abbildungen. Die Verkettung g f von g und f ist definiert durch g f : A C, x g(f (x)). Beispiel Sei f : [0, ) [0, ), x x + 1 g : [0, ) [0, ), x x h : [0, ) R, x x 2 1 Für alle x [0, ) gilt dann (g f )(x) = g(f (x)) = g(x + 1) = x + 1 (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = x + 1 (h f )(x) = h(f (x)) = h(x + 1) = (x + 1) 2 1 = x 2 + 2x Die Verkettung f h ist nicht definiert.

50 Definition Sei f : A B eine Abbildung. Folgt für w, x A aus f (w) = f (x) stets w = x, so nennt man f injektiv. Beispiel Die Abbildung f : R R, x x + 1 ist injektiv: Für w, x R mit f (w) = f (x) gilt stets f (w) = f (x) w + 1 = x + 1 w = x. Die Abbildung g : R R, x x 2 ist nicht injektiv, da etwa g(1) = 1 2 = 1 und g( 1) = ( 1) 2 = 1 gilt. Die Abbildung h : (0, ) R, x x 2 ist injektiv: Für alle w, x (0, ) mit h(w) = h(x) gilt h(w) = h(x) w 2 = x 2 w 2 x 2 = 0 w,x>0 (w + x)(w x) = 0 w = x.

51 Definition Sei f : A B eine Abbildung. Hat f die Wertemenge B, so nennt man f surjektiv. Beispiel Die Abbildung f : R R, x x + 1 ist surjektiv: Für y R besitzt f (x) = y x + 1 = y x = y 1 stets eine Lösung x R, also gilt f (R) = R. Die Abbildung g : R R, x x 2 ist nicht surjektiv: Zu y = 1 gibt es kein x R mit g(x) = y, denn für alle x R hat man g(x) = x 2 0 > 1, also gilt g(r) R. Die Abbildung h : R [0, ), x x 2 ist surjektiv: Für y [0, ) besitzt x 2 = y stets eine Lösung x R, nämlich etwa x = y, also gilt h(r) = [0, ).

52 Definition Sei f : A B eine Abbildung. Ist f injektiv und surjektiv, so nennt man f bijektiv. Beispiel Die Abbildung f : R R, x x + 1 ist injektiv und surjektiv, also bijektiv. Die Abbildung g : R R, x x 2 ist nicht injektiv (und auch nicht surjektiv), also nicht bijektiv. Die Abbildung h : [0, ) [0, ), x x 2 ist bijektiv: Wie zuvor gilt w 2 = x 2 w = x für alle w, x [0, ), was Injektivität zeigt, und weiter gilt h([0, )) = [0, ), da man zu y [0, ) stets x = y wählen kann und dann f (x) = x 2 = y gilt, was Surjektivität zeigt.

53 Satz Sei f : A B eine Abbildung. f ist genau dann injektiv, wenn zu jedem y B höchstens ein x A mit f (x) = y existiert. f ist genau dann surjektiv, wenn zu jedem y B mindestens ein x A mit f (x) = y existiert. f ist genau dann bijektiv, wenn zu jedem y B genau ein x A mit f (x) = y existiert. Beispiel Sei f : [0, ) [0, 1), x x x+1 und x [0, ) sowie y [0, 1). Aus y 1 y f (x) = y x x+1 = y x = y 1 y und [0, ) folgt, daß zu jedem y [0, 1) genau ein x [0, ) mit f (x) = y existiert. Damit ist f bijektiv.

54 Definition Sei f : A B bijektiv. Die Umkehrabbildung f 1 : B A von f ist definiert durch f (x) = y x = f 1 (y) für alle x A und y B. Beispiel Sei f : R R, x x + 1. Man hatte f (x) = y x = y 1, also erhält man die Umkehrfunktion f 1 : R R, y y 1. x Sei g : [0, ) [0, 1), x x+1. Für alle x [0, ) und y [0, 1) hatte man g(x) = y x = y 1 y, also erhält man die Umkehrfunktion g 1 : [0, 1) [0, ), y y 1 y.

55 5. Vorlesung Komplexe Zahlen Inhalte: Grundrechenarten Gaußsche Zahlenebene Polardarstellung quadratische Gleichungen

56 Definition Führe ein Symbol i mit i 2 = 1 als imaginäre Einheit ein und definiere auf der Menge C = {a + ib a, b R} der komplexen Zahlen die Grundrechenarten unter Beibehaltung der Rechenregeln (K1) (K9). Beispiel (2 + 3i) + (1 i) = (2 + 1) + (3 1)i = 3 + 2i (2 + 3i) (1 i) = (2 1) + (3 ( 1))i = 1 + 4i (2 + 3i) (1 i) = i ( i) + 3i ( i) = 2 + 3i 2i 3i 2 = 2 + i 3 ( 1) = 5 + i (1 + 3i) 2 = i + (3i) 2 = 1 + 6i + 9 ( 1) = 8 + 6i (1 3i) 2 = i + (3i) 2 = 1 6i + 9 ( 1) = 8 6i (1 + 3i)(1 3i) = 1 2 (3i) 2 = 1 9 ( 1) = 10

57 Definition Sei z C, und seien x, y R mit z = x + iy. Dann nennt man x iy die konjugierte komplexe Zahl zu z. Notation: z Für die Auswertung eines Bruchs komplexer Zahlen erweitere mit der konjugierten komplexen Zahl zum Nenner. Beispiel 1 i 2 + 3i = (1 i)(2 3i) (2 + 3i)(2 3i) = 1 5i 13 = i. Satz Seien x, y R. Dann gilt = 2 2i 3i + 3i2 2 2 (3i) 2 = 2 5i ( 1) 1 x + iy = x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2.

58 Definition Sei z C, und seien x, y R mit z = x + iy. Man nennt x den Realteil von z. Notation: Re z Man nennt y den Imaginärteil von z. Notation: Im z Man nennt x 2 + y 2 = z z den Betrag von z. Notation: z Beispiel Sei z = 4 3i. Re z = 4 Im z = 3 z = ( 3) 2 = = 25 = 5

59 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene: Realteil ist x-koordinate Imaginärteil ist y-koordinate Betrag ist Abstand vom Ursprung konjugierte Zahl einer komplexen Zahl entsteht durch Spiegelung an der x-achse Gegenzahl einer komplexen Zahl entsteht durch Punktspiegelung am Ursprung (entspricht Drehung um den Ursprung um 180 ) Addition zweier komplexer Zahlen entspricht Vektoraddition Subtraktion zweier komplexer Zahlen entspricht Vektorsubtraktion

60 In der Gaußschen Zahlenebene bilden die komplexen Zahlen mit Betrag 1 den Einheitskreis. Definition Sei ϕ R. Mit exp(iϕ) wird die komplexe Zahl bezeichnet, die in der Gaußschen Zahlenebene Endpunkt des Einheitskreisbogens ist, der in 1 beginnt, gegen den Uhrzeigersinn gezeichnet ist und Bogenlänge ϕ hat (entsprechend dem Winkel ϕ im Bogenmaß). Beispiel π 2 im Bogenmaß entspricht 90, es gilt exp(i π 2 ) = i. π im Bogenmaß entspricht 180, es gilt exp(iπ) = 1. 2π im Bogenmaß entspricht 360, es gilt exp(i2π) = 1. π 4 im Bogenmaß entspricht 45, es gilt exp(i π 4 ) = i. π 6 im Bogenmaß entspricht 30, es gilt exp(i π 6 ) = i.

61 Satz Seien ϕ, ψ R, und sei n Z. exp(i(ϕ + ψ)) = exp(iϕ) exp(iψ) exp(inϕ) = (exp(iϕ)) n exp(i(ϕ + 2nπ)) = exp(iϕ) exp(iϕ) = cos ϕ + i sin ϕ Beispiel Der Winkel 225 entspricht im Bogenmaß 5 4π, es gilt exp(i 5 4 π) = exp(i(π + π 4 )) = exp(iπ) exp(i π 4 ) = ( 1) ( i) = i. Der Winkel 60 entspricht im Bogenmaß π 3, es gilt exp(i π 3 ) = exp(i2 π 6 ) = (exp(i π 6 ))2 = ( i)2 =... = i.

62 Für jedes z C \ {0} gilt z = z z z z. Dabei hat z den Betrag 1. Satz Sei z C \ {0}. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes ϕ [0, 2π) mit z = z exp(iϕ). (Polardarstellung) Definition Das ϕ aus dem letzten Satz heißt Argument von z. Notation: arg z. Beispiel Sei z = 1 + i. Dann gilt z = = 2 und z z = i = i = exp(i π ), also z = z z z = 2 exp(i π 4 ). Insbesondere hat z das Argument π 4.

63 Satz Seien c, w C \ {0}, und seien ϕ, ψ R mit c = c exp(iϕ) und w = w exp(iψ). Weiter sei n N. Es gilt c w = c w exp(i(ϕ + ψ)). Es gilt w n = w n exp(inψ). Die Gleichung z n = c für z C hat genau n verschiedene Lösungen. Die Gleichung z n = c für z C hat n c exp(i 1 nϕ) als eine Lösung. Ist ζ = exp(i 2π n ) und w eine Lösung von zn = c für z C, so ist die Lösungsmenge dieser Gleichung gleich {w, wζ, wζ 2, wζ 3,..., wζ n 1 }.

64 Beispiel Man kann 4 = 4 ( 1) = 4 exp(iπ) schreiben. Als eine Lösung von z 4 = 4 für z C erhält man somit 4 4 exp(i π) = exp(i π 4 ) = 2 ( i) = 1 + i. Weiter gilt exp(i 2π 4 ) = exp(i π 2 ) = i. Die Lösungsmenge von z4 = 4 für z C lautet also {1 + i, (1 + i) i, (1 + i) i 2, (1 + i) i 3 } = {1 + i, 1 + i, 1 i, 1 i}. geometrische Interpretationen in der Gaußschen Zahlenebene: Eine Multiplikation mit c C \ {0} entspricht einer zentrischen Drehstreckung mit Streckfaktor c und Drehwinkel arg c. Ist n N und c \{0}, so bilden die Lösungen der Gleichung z n = c für z C die Eckpunkte eines regelmäßigen n-ecks.

65 Satz Seien p, q, w C mit w 2 = ( p 2 )2 q. Dann hat z 2 +pz +q = 0 genau die Lösungen p 2 ± w für z C. Beispiel Gegeben sei die Gleichung z 2 2iz 1 2i = 0 für z C. Zur Lösung dieser Gleichung suche ein w C mit w 2 = ( 2i 2 )2 ( 1 2i) = ( i) i = i = 2i. Man kann 2i = 2i i = 2i exp(i π 2 ) schreiben und erhält daraus 2i exp(i 1 2 π 2 ) = 2 exp(i π 4 ) = 2( i i) = 1 + i als eine Lösung für w. Die Lösungen für obige Gleichung für z C lauten also 2i i = 1 + 2i und 2i 2 (1 + i) = 1.

66 Satz Seien a, b R mit b 0. Setzt man d = 2(a + a 2 + b 2 ) und w = 1 2 d + i b d, so gilt w 2 = a + ib. Beispiel Zur Bestimmung eines w C mit w 2 = 3 + 4i benutze den letzten Satz mit a = 3 und b = 4. Mit obiger Notation berechnet man d = 2( 3 + ( 3) ) = 2( ) = 2( 3 + 5) = 4 und w = i 4 4 = i4 2 = 1 + 2i.