MATHEMATIK BASICS. Rainer Hofer, Marc Peter, Jean-Louis D Alpaos. Trigonometrie

Transkript

1 MATHEMATIK BASICS Rainer Hofer, Marc Peter, Jean-Louis D Alpaos Trigonometrie

2 Vorwort In allen technisch-konstruktiven Berufen sind die Kenntnisse der Dreieckslehre von grosser Bedeutung. Für Lernende, die Schwierigkeiten haben, dem Unterricht im Fachrechnen zu folgen, wurde dieses Lehrmittel als Produkt langjähriger Erfahrungen im Bereich der Pädagogischen Fördermassnahmen (PFM) an Berufsfachschulen entwickelt. Es ist systematisch aufgebaut und ermöglicht einen handlungs- und ressourcenorientierten Unterricht im Umfang von zirka 20 Lektionen. Ergänzend können Lehrpersonen auf der Webseite des Verlags ein ausgefülltes Exemplar sowie Lernkontrollen freischalten und herunterladen. Zu Beginn dieses Lehrmittels wird der Satz des Pythagoras behandelt, obwohl die Theorie zur Planimetrie gehört. Für viele Lernende ist dies vielleicht eine Repetition, aber unabdingbar, um im letzten Kapitel den Kosinussatz zu verstehen. Im rechtwinkligen Dreieck können Winkel und Seiten mithilfe der drei trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens ermittelt werden. Am einfachen Beispiel einer Strasse mit Steigung wird die Grundlage der Trigonometrie erarbeitet. Vom Seitenverhältnis über den Funktionswert bis zum Winkelwert werden alle Teilschritte aufgezeigt. Mit diesem Grundlagenwissen und der selbst erarbeiteten Formelsammlung, werden nun viele unterschiedliche Beispiele berechnet. Ganz besonderen Wert wird auf Skizzen gelegt, weil alle Seiten und Winkel zuerst einmal bezeichnet werden müssen, bevor die eigentlichen Berechnungen vorgenommen werden können. Eine Vielzahl praktischer Übungen ermöglicht eine Festigung des neu erlernten. Aufbauend auf den Gesetzen der trigonometrischen Funktionen rechtwinkliger Dreiecke werden nun Sinus- und Kosinussatz an nicht rechtwinkligen Dreiecken aufgezeigt. Dabei beschränkt sich die Theorie bewusst auf den l. und II. Quadranten des Einheitskreises, um wirklich bei den «Basics» zu bleiben, aber dennoch fundiert aufzubauen. In Beispielen werden die beiden Sätze praktisch angewendet, und in den letzten sechs Übungssequenzen wächst der Schwierigkeitsgrad kontinuierlich. Das Lehrmittel Trigonometrie ist bewusst Teil der Reihe Mathematik Basics, weil es zusammen mit den anderen Bänden die Grundlage fürs fachkundliche Rechnen bildet. Dieses Lehrmittel kann in der beruflichen Grundbildung und in Förderkursen an der Berufsfachschule eingesetzt werden. Mein grosser Dank gilt Marc Peter ( ), der mich bei der Erstellung der Erst ausgabe massgeblich unterstützt hat. Nun ist Jean-Louis D Alpaos mein Brainstorming-Partner und unterstützt mich bei der Weiterentwicklung dieses Lehrmittels. Rainer Hofer, Berufsschullehrer und Lehrperson für Förderangebote

3 Inhaltsverzeichnis 1 Rechtwinklige Dreiecke Seite Satz des Pythagoras Seite 6 2 Winkelmessung und Einheitskreis Seite Winkelmessung Seite Einheitskreis Seite 14 3 Trigonometrie rechtwinkliger Dreiecke Seite Grundlagen der Trigonometrie Seite Betrachtungswinkel in rechtwinkligen Dreiecken Seite Bespiel aus dem Alltag Steigung m Seite Überblick der vier trigonometrischen Funktionen Seite Überblick Formeln Seite Beispiele von Berechnungen rechtwinkliger Dreiecke Seite Darstellung der Winkelfunktionen im I. Quadranten Seite Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen Seite 29 4 Trigonometrische Funktionen von Winkeln über 90 Seite Begriff der Winkelfunktionen über 90 Seite Der Sinussatz Seite Beispiele zum Sinussatz Seite Der Kosinussatz Seite Beispiele zum Kosinussatz Seite Vermischte Aufgaben Seite 40 Lösungen zu den Übungen Seite 41 Trigonometrie Seite 5

4 1 Rechtwinklige Dreiecke Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen, spielen in der Geometrie eine besondere Rolle. Einmal wegen ihrer leichten Konstruierbarkeit (Thaleskreis), zum anderen weil ihre Seiten in einer rechnerischen Beziehung zueinander stehen, was insbesondere im Lehrsatz des Pythagoras zur Geltung kommt. Dieses Wissen wurde für Konstruktionen und Berechnungen verwendet, beispielsweise beim Bau der Pyramiden. 1.1 Satz des Pythagoras Der Grieche Pythagoras lebte von ca. 570 v.chr. bis 500 v.chr. Er gründete in Kroton (Unteritalien) einen Bund mit religiösen, wissenschaftlichen, politischen und ethischen Zielen (Pythagoreer). Man geht jedoch davon aus, dass der berühmte Satz des Pythagoras schon 1700 v.chr. von den Babyloniern angewandt wurde. Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn die beiden anderen Seiten bekannt sind. Die Addition aller Winkel in einem Dreieck ergibt bekanntlich 180. Da bei rechtwinkligen Dreiecken der rechte Winkel 90 beträgt, ist die Summe der beiden anderen Winkel immer Mit Ausnahme des rechten Winkels müssen beim Satz des Pythagoras keine anderen Winkel bekannt sein. Bei der Bezeichnung rechtwinkliger Dreiecke gilt: Wie bei allen Dreiecken werden die drei Seiten a, b und c im Gegenuhrzeigersinn angeschrieben. Die längste Seite wird als Hypotenuse bezeichnet. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Üblicherweise wird sie als die Seite c angegeben. Die beiden anderen Seiten a und b werden als Katheten bezeichnet. Sie bilden zusammen den rechten Winkel. Trigonometrie Seite 6

5 Der Satz von Pythagoras besagt, dass die Flächen über den beiden Katheten zusammen gleich gross sind wie die Fläche über der Hypotenuse: Satz des Pythagoras:... Trigonometrie Seite 7