Trigonometrische Funktionen

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1 Abbildungsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Trigonometrische Funktionen Die hier behandelten trigonometrischen Funktionen sind sin, cos, tan, cot. Es zeigt sich, dass die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nur stückweise definiert werden können. Die trigonometrischen Funktionen sind stückweise streng monoton, und nur für diese Teile lässt sich eine Umkehrfunktion bilden. Für den Cotangens und seine Umkehrfunktion bedarf es einiger zusätzlicher Überlegungen, da die Bezeichnung Cotangens nicht allen Taschenrechnern geläufig ist. Bei den Beschriftungen auf Taschenrechnern bezeichnet tan 1 in der Regel die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcus Tangens oder atan. Man beachte, dass cot(x) = 1 tan(x). In algebraischen Ausdrücken bezeichnet a 1 den Term 1 a. Die Bezeichnungen atan und arctan werden simultan verwendet. Der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens. Die Umkehrfunktion des Cotangens ist gleich der Funktion π 2 arctan(x) Das wird im folgenden gezeigt. 1 Tangens, Arcustangens, Cotangens, Arcuscotangens Die nachfolgende Abbildung zeigt, wie man den Graphen der Funktion atan aus dem Graphen der Funktion tan konstruieren kann. Man erhält den Graphen der Funktion atan aus dem Graphen der Funktion tan durch Spiegelung an der Geraden y = x. Dabei wird der Zweig des Tangens gespiegelt, dessen Graph durch den Nullpunkt des Koordinatensystems geht. 1

2 1.1 Graphen der Funktionen Tangens, Arcustangens Abbildung 1: tan, atan Hat man den Arcustangens (atan) auf diese Weise konstruiert, so kann man hieraus den Graphen der Funktion π atan(x) bestimmen. 2 2

3 1.2 Bildung des Graphen der Funktion π 2 atan(x) = arccot(x) Abbildung 2: tan, atan, acot 3

4 1.3 ArcusCotangens Den Graphen von π atan(x) erhält man auch durch Spiegelung eines Zweiges der Cotangens Funktion an der Geraden y = 2 x. Diese Spiegelung ergibt aber gerade die Umkehrfunktion des Cotangens, den Arcus Cotangens oder acot. Damit ist graphisch gezeigt, dass acot(x) = π 2 atan(x) Die graphische Darstellung folgt auf der nächsten Seite. 4

5 1.4 Graphen der Funktionen Cotangens, Arcuscotangens Abbildung 3: cot, arccot

6 Abbildung 4: arccot 6

7 2 ArcusSinus Abbildung 5: sin, arcsin

8 2.1 Aufgabe 1: Berechne arcsin(1, 5), wenn möglich Der Sinus ist streng monoton zwischen π 2 und +π und somit dort umkehrbar. Die Umkehrfunktion für diesen Teilbereich des Sinus wird als Arcussinus 2 bezeichnet. Über Definitionsbereiche und Wertebereiche von Funktionen und ihre Umkehrfunktionen gelten folgende Aussagen: Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion ist gleich dem Wertebereich der Funktion, aus der die Umkehrfunktion gebildet wurde. Da die Funktionswerte des Sinus im Intervall zwischen 1 und +1 liegen, kann auch der Definitionsbereich des Arcus-Sinus nur Punkte dieses Intervalls beinhalten. 1, 5 liegt außerhalb dieses Intervalles. Daher ist arcsin(1, 5) nicht definiert. 2.2 Aufgabe 2: Bestimme x aus arcsin x = 2, 5, wenn möglich Aus dem Funktionsgraphen erkennt man: arcsin(x) = 2, 5 ist nicht lösbar im Bereich der reellen Zahlen. Der Wertebereich von arcsin ist gleich dem Definitionsbereich seiner Umkehrfunktion, das ist der Bereich zwischen π 2 und π 2. π 2 ist ungefähr 1, 57. Der Wert 2, 5 liegt außerhalb des Intervalles [ π 2, π 2 ]. 8

9 3 ArcusCosinus Abbildung 6: cos, acos 3.1 Aufgabe 3: Man löse die Gleichung arccos x = 0, 25 Die vorangehende Abbildung zeigt die Lösbarkeit der Gleichung. cos(arccos x) = x x = cos(0, 25) 9

10 x = (approximativ) Lösung mit Taschenrechner. 4 Bogenmaß und Gradmaß Der Umfang des Kreises berechnet sich nach der Formel U = 2rπ. Zur Festlegung des Bogenmaßes betrachtet man einen speziellen Kreis, den Einheitskreis. Das Bogenmaß ist die Länge eines Kreisbogens auf dem Einheitskreis. Ein Einheitskreis ist ein Kreis um den Ursprung eines zweidimensionalen xy-koordinatensystems mit dem Radius r = 1. Der Umfang des Einheitskreises beträgt 2π. Ein Viertelkreis hat die Bogenlänge π 2. Die Angabe bezeichnet einen Winkel im Gradmaß. Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Einheitskreis mit eingezeichnetem Winkel α = 90. Das zugehörige Bogenmaß ist die Länge des Kreisbogens, der diesem Winkel entspricht. Für α = 90 ist das gerade die Länge des Viertelkreises π 2. 10

11 4.1 Bogenmaß und Gradmaß am Einheitskreis Der Einheitskreis Abbildung 7: Einheitskreis Der Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Gradmaß: x 2π = α 360 α = x 180 π x = α π 180 Dabei wird α in Grad (deg, ) gemessen und x im Bogenmaß. 11

12 Für α = 90 beträgt das Bogenmaß gerade ein Viertel des Einheitskreis-Umfanges. Beispiel: x = π 2 α = 90 α 360 = 1 2 α = 90 x = π 2 Für einen Kreis mit Radius r = 2 erhält man als Kreisumfang 4π. Einem Winkel von α = 90 entspricht in diesem Fall ein Kreisbogenstück der Länge π. 12

13 5 Aufgabe 4: Funktionsgraphen 5.1 Aufgabe 4.a: y = 4 sin(3x π) Dynamische HTML Datei für Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x π) Link auf eine dynamische HTML Datei Link: 4 sin(3x π) Dieser Link wurde dynamisch eingerichtet (relativer Link). Die dynamische HTML Datei befindet sich im gleichen Directory (Folder) wie das pdf file. Adobe macht hier Probleme. Falls der Link nicht funktioniert, bitte den nachfolgenden Link verwenden (Link2). Er beinhaltet eine fest definierte URL. Link2: 4 sin(3x π) Falls beide Links nicht funktionieren, der nachfolgenden Paragraph umfasst die Inhalte der dynamischen HTML Datei. Das Dynamische hat hier folgende Bedeutung: man kann einzelne Funktionsgraphen einblenden bzw. ausblenden. 13

14 5.1.2 Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x π) Schwarz: y = sin(x) Rot: y = sin(3x) Blau: y = 4 sin(3x) Grün: y = 4 sin(3x π) Abbildung 8: Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x π) 5.2 Aufgabe 4.b: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x Direkte graphische Addition der beiden Funktionen 14

15 5.2.1 Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x Rot: y = 3 sin(2x) Blau: y = 4 cos(2x) Grün: y = 3 sin(2x) + 4 cos(2x) Abbildung 9: Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x 5.3 Aufgabe 4.c y = 3 sin x + 2 sin ( ) x π 2 15

16 5.3.1 Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin ( ) x π 2 Rot: y = 3 sin x Blau: y = 2 sin ( ) x π 2 Grün: y = 3 sin x + 2 sin ( ) x π 2 Abbildung 10: Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin ( x π 2 ) 16

17 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1 tan, atan tan, atan, acot cot, arccot arccot sin, arcsin cos, acos Einheitskreis Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x π) Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin ( ) x π

18 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Tangens, Arcustangens, Cotangens, Arcuscotangens Graphen der Funktionen Tangens, Arcustangens Bildung des Graphen der Funktion π atan(x) = arccot(x) ArcusCotangens Graphen der Funktionen Cotangens, Arcuscotangens ArcusSinus Aufgabe 1: Berechne arcsin(1, 5), wenn möglich Aufgabe 2: Bestimme x aus arcsin x = 2, 5, wenn möglich ArcusCosinus Aufgabe 3: Man löse die Gleichung arccos x = 0, Bogenmaß und Gradmaß Bogenmaß und Gradmaß am Einheitskreis Der Einheitskreis Aufgabe 4: Funktionsgraphen Aufgabe 4.a: y = 4 sin(3x π) Dynamische HTML Datei für Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x π) Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x π) Aufgabe 4.b: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x Aufgabe 4.c Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin ( x π 2 )