Titel: Darstellung und Analyse periodischer Signale Titel-Kürzel: FR

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1 itel: Darstellung und Analyse periodischer Signale itel-kürzel: FR Autoren: Hablützel Heinzpeter, hph; Gysel Ulrich, gys Koautoren: Markendorf Ralf, mar; Lekkas Georgios, lks Version v.: 6. Oktober 5 Version v.: 3. November 5 keine inhaltlichen Änderungen, nur Winword-Umbruch und pdf-version verbessert Version v.: 7. Dezember 5 fehlende Fig. 5 in der pdf-version eingefügt Version v.3: 5. September 6 diverse Verbesserungen Version v.4: 7. Juli 7 Verbesserungen von J. Wild eingefügt Version.4

2 Darstellung und Analyse periodischer Signale -. Einstieg 3. Reelle 6. Approximation von periodischen Funktionen 6. Konvergenz von 3. Bestimmung der Fourierkoeffizienten 3. Orthogonalitätsrelationen trigonometrischer Funktionen 3. Berechnung der Fourierkoeffizienten für -periodische Funktionen x() Fourierkoeffizienten einer -periodischen Funktion x(t) Eindeutigkeit der Fourierzerlegung 8 4. Amplituden- und Phasenspektrum einer vorgegebenen periodischen Funktion 9 5. Komplexe Form der Fourierreihe 5. Definition der komplexen FR und Bestimmung ihrer Koeffizienten 5. Zweiseitiges Linienspektrum einer komplexen Fourierreihe 6 6. Weitere Eigenschaften der FR 9 6. Symmetrieeigenschaften der FR 9 6. Verschiebungssatz Das Gibbs-Phänomen * Satz von Parseval * Zusammenfassung 38 Aufgaben 4 Lösungen 43 Mit * bezeichnete Abschnitte sind Zusatzmaterial, das weggelassen werden kann. Version.4

3 Lernziele Hauptziele dieses Kapitels sind Die mathematischen Grundlagen der reellwertiger, periodischer Funktionen in reeller und komplexer Schreibweise sollen erarbeitet werden. Die exakte Bestimmung reeller wie auch komplexer Fourierkoeffizienten soll verstanden sein und an konkreten numerischen Beispielen angewandt werden können. Die Zusammenhänge zwischen einfachen Symmetrien bei Signalen und den zugehörigen Fourierspektren werden erkannt und können zur vereinfachten Berechnung der Fourierkoeffizienten und der Spektren herangezogen werden. Voraussetzungen Die mathematischen Voraussetzungen und Grundkenntnisse, auf welche wir im Folgenden ohne weiteren Kommentar zurückgreifen wollen, sind: Grundlagen der Differential- und Integralrechnung Umgang mit komplexen Zahlen Konvergenz numerischer Reihen, Potenzreihen und einige einfache Konvergenzkriterien.. Einstieg Die (in unseren Ausführungen meistens kurz mit FR bezeichnet) werden sich als mächtiges Hilfsmittel im Umgang mit periodischen Signalen erweisen. Die folgenden Beispiele illustrieren die Verwendung von und geben dadurch einen ersten Einblick in das Wesen dieses mathematischen Werkzeugs. In seiner im Jahr 8 veröffentlichten heorie zu periodischen Funktionen sagt Jean Baptiste Joseph de Fourier im Wesentlichen das Folgende: Jede periodische Funktion mit der Periodendauer lässt sich als (unendliche) Summe von trigonometrischen Funktionen darstellen. Nehmen wir als konkretes Beispiel die Summe x(t) cos( t) + cos( 4 t + 4 ) + cos(3 t 6 ) (), die wir auch grafisch darstellen können (Fig. a). Diese Summe setzt sich aus drei Cosinusschwingungen zusammen. Die erste hat eine Periodendauer von 8 s. Diejenige des zweiten Summanden beträgt noch die Hälfte und die des dritten noch ein Drittel von. Wenn wir den Graphen betrachten, so fällt uns auf, dass das Summensignal x(t) eine Perio- Version.4 3

4 dendauer von aufweist, also gleich derjenigen der Cosinusschwingung mit der grössten Periodendauer ist. Diese wird auch Grundschwingung genannt. Die zwei weiteren Summanden besitzen Periodendauern, die ganzzahlige eilverhältnisse der Grundschwingung sind, und daher innerhalb von wiederum periodisch sind. Fig. Summe von drei Cosinusschwingungen mit den Periodendauern 8 s, 4 s und 3 8/3 s; Kurve a) gemäss Gl. () und Kurve b) mit anderen Nullphasenwinkeln für die beiden Harmonischen mit den Periodendauern und 3 als in () Statt der Periodendauer arbeitet man häufig mit der Frequenz f / einer Schwingung. Die beiden andern Schwingungen in der Funktion x(t) haben Frequenzen, welche ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind. Alle Schwingungen zusammen nennt man auch Harmonische. Eine Summe oder Reihe aus trigonometrischen Funktionen ist immer dann periodisch, wenn die Periodendauern aller Summanden ein gemeinsames Vielfaches aufweisen. Die Periode der Summe ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Oder wenn wir dieselbe Aussage mittels der Frequenzen der Schwingungen machen wollen, dann ist die Summe periodisch, wenn die Frequenzen der einzelnen Schwingungen einen gemeinsamen eiler aufweisen. Der grösste gemeinsame eiler entspricht der Grundfrequenz des periodischen Signals. Wir könnten die Amplituden und die Nullphasenwinkel der einzelnen Harmonischen verändern. Das Resultat bleibt eine periodische Funktion mit der Periodendauer, die Form der Funktion verändert sich jedoch (siehe Fig. Kurve b). Wir könnten weitere Harmonische mit noch grösseren ganzzahligen Vielfachen von f / hinzufügen. Dies würde die Form der Funktion weiter verändern, nicht aber ihre Periodendauer. In diesem Beispiel haben wir aus einzelnen Harmonischen eine periodische Funktion zusammengesetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Fouriersynthese. Mit Blick auf Gl. () genügt es offenbar zur Beschreibung des periodischen Signals, wenn man die Periodendauer, sowie für jede Harmonische mit der Periodendauer k /k die Amplitude und den Nullphasenwinkel angibt. Version.4 4

5 Beispiel Klangfarbe einer eingespannten Saite Die onqualität einer Saite eines Saiteninstruments hängt stark von der Zupf- oder Anstreichstelle auf der Saite ab. Ein kurzer Zeitausschnitt aus dem Klang der schwingenden Saite kann mit einem Klanganalysator (ein elektronisches Messgerät) aufgezeichnet und analysiert werden. Die Analyse liefert die Amplituden der Einzeltöne des Klangs: beim Grundton der Frequenz f und bei den sog. Obertönen mit den Frequenzen f f, f 3 3 f, f 4 4 f,.... Stellt man die Amplituden in Funktion der Frequenz oder allenfalls der Vielfachen k der Grundfrequenz dar, so erhält man das sog. Amplitudenspektrum des Signals (Fig. ). Je nach Art des Messgeräts liefert dieses nur die Amplituden der Harmonischen und nicht die Nullphasenwinkel, die für eine vollständige mathematische Beschreibung des Signals notwendig sind. Fig. Amplitudenspektrum, z.b. eines Saitenklangs Bei dieser Analyse eines Saitenklangs sprechen wir von der Fourierzerlegung oder Fourieranalyse des Klangs. Man versucht dabei aus einem gegebenen periodischen Signal die Anteile der Harmonischen mit ihren Amplituden und wenn notwendig ihren Nullphasenwinkeln zu bestimmen. Es handelt sich also um die umgekehrte Aufgabe zur Fouriersynthese. Beispiel Lokalisierung von Resonanzproblemen durch Fourieranalyse Bei neu gebauten Orgeln kann es vorkommen, dass gewisse öne einen störenden Nebenton aufweisen. Dieser könnte von einem unerwünscht schwingenden Pfeifenteil stammen, der in Resonanz gerät. Die Anregung dazu stammt von einem Oberton einer Pfeife. Spielt man die anregende Pfeife, so ist der Oberton, welcher zur Resonanz führt, übermässig stark im Klang vorhanden, was als störend empfunden wird. Misst man das Fourierspektrum des unreinen ones mit einem Analysator, so zeigt die Messung sofort, welche Harmonische verantwortlich ist, was Rückschlüsse auf die Dimensionen des zu lokalisierenden, unerwünscht vibrierenden Pfeifenteiles zulässt. In der Umgangssprache spricht man meist vom on eines Musikinstruments. Nun erzeugt man beim Streichen einer Seite oder beim Anschlagen einer Klaviertaste nicht nur einen sinusförmigen on, sondern die Summe einer Grundschwingung und mehrere Oberschwingungen. Wir bevorzugen dafür den Begriff Klang und reservieren den Begriff on für reine Sinusschwingungen. Version.4 5

6 . Reelle. Approximation von periodischen Funktionen Die ordnen sich in den grossen Bereich der Funktionenreihen ein, mit denen Funktionen approximiert werden können. So wie stetige Funktionen in einem gegebenen Intervall durch endliche Potenzreihen mit beliebiger Genauigkeit approximiert werden können, lassen sich periodische Funktionen mit Reihen von trigonometrischen Funktionen approximieren. Dazu verwenden wir das System von Basisfunktionen, cos( (t-t )), sin( (t-t )), cos( (t-t )), sin( (t-t )), cos( 3(t-t )),... { } () Dabei ist mit Perioden- oder Intervalllänge und (3) t : Intervallanfangspunkt Mit diesen Basisfunktionen bilden wir Reihen der Form A k cos( k(t-t ))+ B k sin( k(t-t )) mit A k, B k, (4), k welche wir trigonometrische Reihen nennen. Wir verwenden als unabhängige Variable die Zeit t, weil in den meisten Anwendungen im Rahmen dieses Kurses Funktionen der Zeit betrachtet werden. Diese Reihen gelten verständlicherweise für beliebige Variablen. Es überrascht deshalb nicht, wenn in der mathematischen Literatur meist die unabhängige Variable x verwendet wird. Für die Bezeichnung der Frequenz der Grundschwingung verwenden wir in der Regel das Symbol f und für die Grundkreisfrequenz f, falls keine Gefahr für Verwechslungen besteht. Manchmal ist es sinnvoll für die Grundschwingung die Frequenz mit f bzw. die Kreisfrequenz mit zu bezeichnen. Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass wir die Frequenzen der Harmonischen dann folgerichtig als f k kf bzw. k k bezeichnen können. In andern Fällen ist es praktischer, die Grundfrequenz mit f bzw. zu bezeichnen. Dank der Additionstheoreme für die Sinus- und die Cosinusfunktion lassen sich alle trigonometrischen Reihen auf die wesentlich einfachere Form mit Entwicklungspunkt t bringen. Es gilt summandenweise: A k cos( k(t-t )) + B k sin( k(t-t )) a k cos( kt ) + b k sin( kt ) (5), natürlich mit neuen a k, b k (Berechnung siehe Aufgabe ), und damit erhalten wir für die Reihe, die nun nach ihrem Schöpfer Fourierreihe genannt wird Version.4 6

7 x(t) a k cos( k t ) + b k sin( k t ) a + a k cos(k t) + b k sin(k t) (6) k mit einer fest vorgegebenen Zahl +, beliebigen Koeffizienten a k, b k, die Fourierkoeffizienten genannt werden, und k Ordnungszahl der Harmonischen k Pro beteiligter Kreisfrequenz,, haben wir je einen Sinus- und einen Cosinus-Beitrag und wir nennen: a a cos(t) + b sin(t) konstanter Anteil. Harmonische oder Grundschwingung, a cos(t) + b sin(t). Harmonische oder. Oberschwingung,... a k cos(kt) + b k sin(kt) k. Harmonische oder (k-). Oberschwingung Bei physikalischen oder technischen Anwendungen sind die unabhängige und die abhängige Variable Grössen, welche eine Dimension besitzen, bei mathematischen Funktionen hingegen immer dimensionslose Zahlen, so dass wir auch bei FR auf korrekten Umgang mit den Einheiten achten müssen. Die Argumente der Sinus- und Kosinusfunktionen kt k t sind automatisch immer dimensionslos weil das Argument t und die Periodenlänge mit der gleichen Einheit versehen sind und diese aus dem Quotienten k t herausfällt. Die korrekte Dimension der abhängigen Variablen erhalten wir durch Multiplikation aller Amplituden a k resp. b k mit der zugehörigen Einheit. In einzelnen Fällen arbeiten wir mit trigonometrischen Funktionen der Form sin(at) oder cos(at), also ohne explizite Angabe der Kreisfrequenz oder der Periodendauer. In diesen in der Mathematik häufig anzutreffenden Ausdrücken ist a eine dimensionslose Konstante, insbesondere auch a, sodass auch die Variable t dimensionslos sein muss. Damit nun keine Verwechslung mit der dimensionsbehafteten Zeitvariablen t entsteht, verwenden wir in diesen Fällen die Hilfsvariable (siehe nachfolgendes Beispiel 3). Bei der dimensionslosen Schreibweise der lauten die erme mit der Grundfrequenz meist sin() bzw. cos(). Die zugehörige Periodendauer ist daher. Man spricht bei dieser Darstellung auch von periodischen. Wir werden diese nur ausnahmsweise verwenden und uns in der Regel mit periodischen Funktionen befassen, deren Periodendauer beträgt. Man nennt diese Funktionen dann -periodische. Version.4 7

8 Anders als bei den Potenzreihen wird es uns bei den FR gelingen, auch Funktionen mit Sprüngen streng analytisch zu erfassen. Das zentrale Problem der FR ist, wie bei allen Funktionenreihen, das Konvergenzverhalten. Die Reihe ist nur brauchbar, wenn sie für alle t-werte konvergiert und damit eine, auf der ganzen t-achse definierte Funktion darstellt. Der Konvergenzfrage werden wir im nächsten Abschnitt näher nachgehen. Hier wollen wir an zwei einfachen Beispielen zeigen, dass man mit FR tatsächlich periodische Funktionen approximieren kann. Besonders am Beispiel 3 wollen wir die Konvergenz der FR illustrieren. Beispiel 3 Konvergenz von An der gegebenen Fourierreihe x() sin() 9 sin(3)+ 5 sin(5) 49 sin(7) ()k+ sin (k ) k (k) (7) wollen wir zeigen, dass diese für jedes konvergiert und damit eine auf ganz definierte reelle Funktion darstellt. Beweis: Für jedes feste liegt eine numerische Reihe vor. Wegen sin(k ) gilt: () k + (k) (k) sin( (k ) ) damit ist die konvergente Reihe eine Majorante der Reihe x() für alle. k (k) Also konvergiert die Reihe x() für alle und stellt eine auf ganz definierte Funktion x() dar. Nun möchten wir natürlich wissen, wie diese Funktion x() aussieht; und dies mit einer Genauigkeit, bei welcher die Näherung (endliche Reihe) höchstens eine halbe Linienbreite (b L. mm) neben dem exakten Graph (unendliche Reihe) verläuft (Zeichnungsmasstäbe: die Einheit betrage.5 cm und.5 cm auf der Abszissen- resp. Ordinatenachse). Dazu schauen wir die Näherungsfunktionen x n () n k + ( )k sin (k ) (k ) an. Für die Abweichung der n-ten Näherung x n () von x() gilt: In dieser und den daraus abgeleiteten Gleichungen ist k Ordnung der Harmonischen. Version.4 8

9 x() x n () k n+ Es ist also k n+ ( )k+ (k ) ()k + sin (k ) (k) k n+ k n+ d (k ) ( ) n ( )k+ sin (k ) (k ) (n ) x() x n () ( n ) unabhängig von, und verlangt wird x() x n () 5 mm. mm. Dies wird erreicht mit ( n ). n 38 5 Zeichnet man die Reihe auf (Fig. 3), so zeigt sich, dass offensichtlich ein Dreieckssignal vorliegt. Der Beweis dafür ist nicht elementar, er steckt im Satz von Dirichlet drin, den wir nun gleich im folgenden Abschnitt besprechen werden. π π π π π π λ Fig. 3 Graph der Fourierreihe von Gl. (7) π Beispiel 4 Überlagerung von harmonischen Signalen Hier geht es um die Überlagerung von harmonischen Signalen x k (t),k,, 3,,N mit rationalen Frequenzverhältnissen f n : f m, die wieder ein harmonisches Signal x(t) mit der Grundfrequenz f gg f,f,f 3,... 3 liefern. Mit f k k f können wir x(t) wie folgt anschreiben: N x(t) x k (t) A k sin( k f t + k ) mit k k N N k a k cos( k f o t ) + b k sin( k f o t ) k 3 gg für Strecken auf der Zahlengeraden Version.4 9

10 Man nennt diese Darstellung von x(t) als endliche FR ein trigonometrisches Polynom. Ein konkretes Beispiel dazu: Die Überlagerung x(t) x (t) + x (t) + x 3 (t) + x 4 (t) cos( 4 t ) + 5sin( t 8 ) + 3sin( t + ) + sin(t) besitzt die Grundkreisfrequenz: gg 4, 3, 8 3, 33 s und die folgende Darstellung als trigonometrisches Polynom (FR): x(t) cos(6 t) + 5sin( t 3 ) + 3sin(44 t + 6 ) + sin(33 t) cos(6 t) 5 3 cos( t) + 5 sin( t) + 3 cos(44 t) sin(44 t) + sin(33 t) Die Überlagerung zweier harmonischer Signale mit irrationalem Frequenzverhältnis liefert kein harmonisches Signal mehr.. Konvergenz von Die präzisen Bedingungen über die Darstellung periodischer Funktionen als trigonometrische Reihen gehen auf den Mathematiker J. P. G. Dirichlet zurück Er hat sie im Jahr 8, kurz nach der Veröffentlichung der heorie durch J. B. J. de Fourier nachgeliefert. Sie sind im Hauptsatz der oder dem Satz von Dirichlet formuliert: Jede periodische Funktion x(t) mit der Periode, welche stückweise differenzierbar und beschränkt ist, lässt sich als Fourierreihe x(t) a + a k cos(k t) + b k sin(k t) (8) k darstellen. Die Fourierreihe konvergiert in allen Stetigkeitsstellen t der Funktion x(t) gegen den Funktionswert x(t) und an den endlich vielen Unstetigkeitsstellen konvergiert sie gegen den Wert ( lim x() + t lim x()) (9) t + Version.4

11 Der Beweis, dass die konvergieren, ist sehr umfangreich und sprengt den Rahmen dieses Kurses. Die leicht verständlichen Voraussetzungen und die klare Aussage der Konvergenzkriterien erlauben uns eine korrekte Anwendung, ohne dass wir auf die im Beweis versteckten, tieferen Hintergrundkenntnisse zurückgreifen müssen. Die Resultate des Hauptsatzes sollen anhand der periodischen Funktion x(t) von Fig. 4 veranschaulicht werden. x(t) und/oder x(t) sind überall, ausser eventuell an endlich vielen Stellen t,t,t 3,,t N einer Periode der Funktion stetig. In den Unstetigkeitsstellen existieren aber die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von x(t) resp. x(t). Weiter gibt es ein endliches Intervall M, M, welches alle Funktionswerte enthält, d.h. M x(t) M gilt für alle t. Fig. 4 Periodische Funktion mit einer endlichen Anzahl Sprungstellen; die Punkte markieren die Funktionswerte an den Sprungstellen Gemäss dem Hauptsatz besitzt diese Funktion x(t) eine Darstellung als FR x (t) a + a k cos(kt) + b k sin(kt) () k Allerdings ist die Übereinstimmung zwischen der durch die FR definierten Funktion x (t) und x(t) nicht ganz perfekt. Der Satz von Dirichlet garantiert x (t) x(t) in allen Punkten t, ausser in den (pro Periode endlich vielen) Unstetigkeitsstellen t,t,t 3,,t N ( + k ). In den Unstetigkeitsstellen jedoch nimmt x (t) den Mittelwert von den beiden links- und rechtsseitigen Grenzwerten an. Am besten sehen wir dies beim Vergleich des Graphen von Fig. 5 mit jenem von Fig. 4. ξ Fig. 5 Graph der Fourierreihe x (t) zur vorgegebenen Funktion x(t) Version.4

12 Weil der Unterschied zwischen einer vorgegebenen Funktion x(t) und ihrer Wiedergabe x (t) durch die zugehörige Fourierreihe i.a. nicht von wesentlicher Bedeutung ist, werden x(t) und x (t) normalerweise gar nicht unterschieden und für beide wird auch dieselbe Bezeichnung x(t) verwendet. Damit wir die anwenden können, müssen wir aber erst einmal den Zugriff zu den Fourierkoeffizienten einer vorgegebenen Funktion sicherstellen. Dies soll im nächsten Abschnitt geschehen. 3. Bestimmung der Fourierkoeffizienten 3. Orthogonalitätsrelationen trigonometrischer Funktionen Die Herleitung der Formeln für die gesuchten Fourierkoeffizienten einer vorgegebenen Funktion führen wir rein mathematisch (also dimensionslos) für Funktionen der Periode durch. Es gibt so einiges weniger zu schreiben und die Beweisideen werden nicht durch zusätzlichen Ballast überdeckt. Damit keine Verwechslungsgefahr mit der Funktion x(t) besteht, verwenden wir wie erwähnt als unabhängige Variable, die jetzt keine Zeit sondern eine reine mathematische Grösse darstellt. Der allgemeine Fall ist nachher leicht einzusehen und kann dem Leser als fakultative Übungsaufgabe überlassen werden. Die Funktion x() sei also -periodisch und erfülle die Bedingungen des Hauptsatzes. Sie kann also als FR gemäss Gl. (8) dargestellt werden. Vor der eigentlichen Rechnung müssen wir noch einige Beziehungen zwischen Sinus- und Kosinusfunktionen bereitstellen. Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen {, cos( n ), sin( m ) } n,m Es gilt: cos( n ) cos( m )d sin( n ) sin( m )d für n m für n m für n m für n m () () cos( n ) sin( m )d für alle n,m. (3) Die Beweise (mittels Goniometrie oder partieller Integration) überlassen wir dem Leser als Aufgabe. Die Gültigkeit dieser Beziehungen erkennt man auch ohne Beweise sehr rasch, wenn man die zu integrierenden Produkte grafisch aufzeichnet. Denn in allen Fällen, in denen das Ergebnis null wird, weist die zu integrierende Funktion immer gleiche positive wie negative Flächenanteile auf. Version.4

13 Die Bezeichnung dieser drei Beziehungen als Orthogonalitätsrelation stammt aus der Vektorgeometrie. Mit diesen drei Relationen und dem Hauptsatz erreichen wir nun unser Ziel. 3. Berechnung der Fourierkoeffizienten für -periodische Funktionen x() Für eine -periodische Funktion x() lautet ihre Fourierreihe: x() a + a k cos(k) + b k sin(k) (4) k Nun berechnen wir das folgende Integral und setzen an Stelle von x() die Fourierreihe gemäss Gl. (4) ein. Dieses Integral wirkt wie ein Filter, das uns auf Grund der Orthogonalitätsrelationen nur gerade den gewünschten Anteil a n der Funktion cos(n) in der FR von x(t) herausfiltert. x() cos(n)d a + (a k cos(k) + b k sin(k)) i cos(n)d k [ a cos( n ) + ( a k cos(k)cos( n ) + b k sin(k)cos( n ))]d k a cos( n )d + a k cos(k)cos( n )d + b k sin(k)cos( n ) d k k für alle k n a k a n für k n für alle k Aufsummiert: Und damit gilt: fürn > a + n für n > + a für n fürn a n für n > a für n a x()d Mittelwert der Funktion x(t) und a n x() cos(n)d für n Version.4 3

14 In ähnlicher Weise berechnet man: x() sin(n)d b n für n also: b n x() sin(n)d für n Alles zusammengefasst erhält man die Rechenvorschrift für die Fourierkoeffizienten einer -periodischen Funktion x() 4 : a a n b n x()d Mittelwert der Funktion x() x() cos(n)d für n (5) x() sin(n)d für n Wegen der Periodizität von x( ) kann das Integrationsintervall in allen vorangehenden Formeln beliebig verschoben werden: x() cos( n )d x() cos( n )d und + + x() sin( n )d x() sin( n )d (6) (Der einfache Beweis wird dem Leser überlassen.) Geschickte Einpassung des Integrationsintervalls kann eine erhebliche Vereinfachung der Rechnung bewirken. Wir werden dies bei den nachfolgenden Beispielen und Aufgaben sehen. Sehr oft wird gewählt (z.b. bei Achsen- oder Punkt-Symmetrie von x( )). 4 Die Herleitung ergibt hier für die Laufvariable der Harmonischen die Bezeichnung n. Wir werden in der Regel im Rest dieses Kapitels wieder die Laufvariable k dafür verwenden. Version.4 4

15 Beispiel 5 Direkte Berechung der Fourierkoeffizienten Bestimme die FR der folgenden Signale mit Hilfe unserer Formeln, auch wenn ein kürzerer Weg zur Verfügung steht: a) Sägezahn von Fig. 6 λ Fig. 6 Sägezahl mit Gleichanteil π π π λ Rechnung: a A (Mittelwert, ohne Rechnung) a k A cos(k) + ksin(k) cos(k)d A k, k,, 3,... b k A sin(k) kcos(k) sin(k)d A k A k FR: x() A A ( sin() + sin() + sin(3) + sin(4) ), k,, 3,... b) Sägezahn von Fig. 7 λ Fig. 7 Sägezahn ohne Gleichanteil π π λ Durch direkte Koeffizientenberechnung erhält man a (Mittelwert, ohne Rechnung) a k A cos(k)d 5, k,, 3,... b k A sin(k) kcos(k) sin(k)d A k A k ( ) k, k,, 3,... 5 Weil der Integrand cos(k) ungerade ist und über ein bezüglich symmetrisches Intervall integriert wird Version.4 5

16 FR: x() A ( sin() sin() + 3 sin(3) sin(4) + 4 ) Diese Fourierreihe lässt sich einfacher durch eine Koordinatentransformation aus Beispiel 5a) berechnen (siehe auch Aufgaben). Beispiel 6 Fourierreihe des Rechtecksignals Berechnung der FR des Rechtecksignals von Fig. 8 Fig. 8 Rechtecksignal ohne Gleichanteil λ π π λ Rechnung: a (Mittelwert, ohne Rechnung) a k x() cos(k)d x() cos(k)d 6 cos(k)d + ( cos(k)) d 4 k sin(k ) k,, 3,... b k x() sin(k)d 7, k,, 3,... FR: x() 4 ( cos() cos(3) + cos(5) cos(7) ) (7) Nach den besonders einfachen FR für -periodische Funktionen machen wir nun den Übergang zu den allgemeineren -periodischen Funktionen. 6 weil der Integrand x() cos(k ) gerade ist und über ein bezügl. symmetrisches Intervall integriert wird. 7 weil der Integrand x() sin(k) ungerade ist und über ein bezügl. symmetrisches Intervall integriert wird. Version.4 6

17 3.3 Fourierkoeffizienten einer -periodischen Funktion x(t) Mit der Variablentransformation t, d dt und / f können wir die periodischen Formeln für die auf -periodische umschreiben. Dazu müssen wir selbstverständlich auch die Grenzen der Integrale anpassen. Für die Koeffizienten a k sieht dies so aus: a k x() cos(k) d / x(t) cos(kt) dt x(t) cos(kt) dt Für die Koeffizienten b k führen wir dieselbe ransformation durch und erhalten damit die Fourierkoeffizienten der -periodischen Funktion x(t): a a k b k x(t)dt Mittelwert der Funktion x(t) x(t) cos(kt)dt für k (8) x(t) sin(kt)dt für k Beispiel 7 Fourierkoeffizienten einer Dreieckspannung Bestimme die FR der -periodischen Dreieckspannung von Fig. 9 mit der Spitze S der. Periode in (3s, 3 V) mit Hilfe der vorangehenden Formeln. Fig. 9 Asymmetrische Dreieckspannung Rechnung (für ein Mal mit korrekter Mitführung der Einheiten): 4 s, s- a 3 4 V (Mittelwert, ohne Rechnung aus Fig. 9) Für den Integranden benötigen wir die Fallunterscheidungen von u(t): Version.4 7

18 u(t) t V s 3 V (t 4s ) s : : s t 3s 3s t 4s a k 4s u(t) cos(k 4s s t)dt 4 u(t) cos(k 4 s t) s dt s V 4 k b k 4s s 3 s t cos(k s t) 4 s dt + 3 s (t 4s) cos(k s t)) s dt 3 s 4s 3 cos(k ) V k,, 3,... u(t) sin(k s t)dt 3 t sin(k t) 4 dt + 3 (t 4s) sin(k t) dt s s s s 3 4V k sin(k 3 ) k,, 3,... FR: u(t) 3 4 V 4V 4V ( cos( s t) + 4 cos( s t) + 9 cos(3 s t) + 5 cos(5 t) + s ) ( sin( s t) 9 sin(3 s t) + 5 sin(5 s t) 49 sin(7 t) + s ) 3.4 Eindeutigkeit der Fourierzerlegung Die FR haben die wichtige Eigenschaft, dass es zu einer gegebenen periodischen Funktion x(t) nicht mehrere Reihenentwicklungen gibt. Es gilt der Satz: Zu jeder stetigen, periodischen Funktion x(t), t gibt es genau eine FR, durch welche die Funktion x(t) für alle t exakt dargestellt wird. Version.4 8

19 Begründung:. Die Eindeutigkeit der FR folgt aus der eindeutigen Bestimmung der Fourierkoeffizienten, welche wir oben hergeleitet haben.. Die exakte Wiedergabe der Ausgangsfunktion wird durch unsern Hauptsatz garantiert. Bei unstetigen Funktionen, welche die Bedingungen von Dirichlet erfüllen, haben wir immer noch eine eindeutig bestimmte FR. Diese FR kann jedoch in den (paar wenigen) Unstetigkeitsstellen von der vorgegebenen Funktion abweichen. Dies wird uns aber in physikalischen oder technischen Anwendungen kaum je stören, da Sprungstellen i.a. nur als mathematische Idealisierungen von beliebig steilen aber stetigen Flanken auftreten und eigentlich nur benützt werden, um die Rechnungen zu vereinfachen. 4. Amplituden- und Phasenspektrum einer vorgegebenen periodischen Funktion Im vorangehenden Abschnitt haben wir gesehen wie sich periodische Funktionen x(t),t durch nach Gl. (8) darstellen lassen. Der gesamte Informationsgehalt der Funktion x(t) wird also durch die Periode und die Koeffizientenfolge a, a,b, a,b, a 3,b 3, (9) erfasst. Nun können wir die FR durch Zusammenfassen (Überlagern) der beiden harmonischen Funktionen gleicher Frequenz a k cos(kt) und b k sin(kt) in eine einzige Harmonische auf eine etwas einfachere und kompaktere Form bringen. a k cos(kt) + b k sin(kt) A k cos( kt + k ) () mit A k a k + b k Amplitude und k arg a k arctan( b k ) + a k > a k a k < b k Phase 8 (k ) Die Herleitung dieser Beziehung folgt aus der trigonometrischen Umformung: () A k cos(kt+ k ) A k cos(kt) cos k A k sin(kt) sin k und daraus a k A k cos k und b k A k sin k sowie a A. Wir erhalten damit die Fourierreihe in der neuen Form: 8 Unter der Annahme, dass für die arctan-funktion ihr Hauptwert im Intervall [ 9, +9 ] gewählt wird. Version.4 9

20 x(t) A + A k cos(kt + k ) mit A k und k wie oben () k Die periodische Funktion x(t) kann also in eine unendliche Summe von harmonischen Funktionen mit den Kreisfrequenzen k, den Amplituden A k und den Phasen k aufgespalten werden. Wiederum ist der gesamte Informationsgehalt der Funktion x(t) in der Periode und der Amplituden- und Phasenfolge A, A,, A,, A 3, 3, erfasst. Wir nennen die Zahlenfolgen A, A, A, A 3, Amplitudenspektrum und,, 3, 4, Phasenspektrum der periodischen Funktion x(t). In der Praxis sieht man hinter den Begriffen Amplituden- und Phasenspektrum meistens nicht die beiden gemäss Definition dahinterstehenden Zahlenfolgen, sondern die dazugehörigen anschaulichen Graphen, Fig.. Man spricht in diesem Zusammenhang oft von der Darstellung einer periodischen Funktion im Spektralbereich. Gemeint ist bei beiden Darstellungen natürlich dasselbe, einmal mathematisch exakt und für die Rechnung geeignet, das andere dagegen anschaulich und intuitiv für physikalische Überlegungen prädestiniert. ϕ ϕ ϕ Fig. Grafische Darstellung des Amplituden- und Phasenspektrums einer periodischen Funktion mit der Grundfrequenz f ϕ ϕ ϕ Version.4

21 Beispiel 8 Amplituden- und Phasenspektrum der Dreieckspannung Zur Veranschaulichung nehmen wir das Beispiel 7 des vorangehenden Abschnitts mit der Dreieckspannung von Fig. 9. Wir übernehmen aus alter Rechnung: a k ( ) V und b k 4 4 cos(k 3 k ) k sin(k 3 )V und finden durch Einsetzen nach einigen algebraischen Umformungen: A a 3 4 V A k a k + bk 4 k (cos(k 3 )) V 8 V sin(k 3 k 4 ), k A k k,,, 3 4, 4 8,, 4,, 4, 8, 4,, k Die Phasenwinkel erhalten wir aus: 8, V k arg a k b k cos(k arg 3 ) sin(k 3 ) arg(e j(k 3 ) ), k 9 k k,,3, 3 4,, 3 4,, 3 4,, 3 4,, 3 4,, k Aus der grafischen Darstellung (Fig. ) des Amplituden- und Phasenspektrums erkennt man sofort die Bedeutung der einzelnen Harmonischen in der Dreickspannung von Fig. 9. Deutlich sieht man die rasch kleiner werdenden Amplituden mit zunehmender Ordnung der Harmonischen. 9 Diese Gleichheit wird offensichtlich, wenn man die Zahlen mit Hilfe des Einheitskreises und des um nach links verschobenen Einheitskreises in der komplexen Zahlenebene aufzeichnet. Für k 4, 8,,... ist k nicht definiert da a k b k ist. Wegen A k darf aber für die Phase ein beliebiger Winkel in der FR gesetzt werden. Üblicherweise trägt man in solchen Fällen (a k b k ) keine Phase ins Diagramm ein. Wegen der begrenzten Wortbreite bei der Zahlendarstellung können numerische Mathematikprogramme diese Situationen nicht erfassen und liefern dann rundungsbedingte Zufallsphasen. Unsere Werte ( ) stammen aus Maple. Wird die gleiche Rechnung mit Matlab durchgeführt. so liefert sie jeweils /, eine Diskrepanz, welche uns weiter nicht stören soll, da sie wegen A k ohne Konsequenzen bleibt. Es dürfen auch Differenzen von auftreten. Version.4

22 π ϕ π Fig. Amplituden und Phasenspektrum zur periodischen Spannung von Beispiel 7 5. Komplexe Form der Fourierreihe Obwohl wir die Spektraldarstellung periodischer Signale mit dem vorangehenden Verfahren vollständig im Griff haben, gibt es gewichtige Gründe, das Ganze nochmals mit komplexen Mitteln aufzuarbeiten. Einerseits erinnern wir uns, welche Hilfe die komplexen Zahlen bei der Behandlung von harmonischen Signalen und gedämpften Schwingungen waren. Andererseits liefert die komplexe Darstellung von Signalen auch die Grundlage und einen verständlichen Zugang zu den nachfolgenden Kapiteln über die Fouriertransformation, die diskrete Fouriertransformation und die Laplacetransformation. 5. Definition der komplexen FR und Bestimmung ihrer Koeffizienten Wir rufen kurz die Eulersche Relation in die Erinnerung zurück und übersetzen damit die reelle FR in ihre komplexe Schreibweise. e j cos( ) + jsin( ) (3) und damit: e j k t e j k t cos(k t) + jsin(k t) cos(k t) jsin(k t) Einsetzen in der FR Gl. (6): cos(k t) e j k t j k t ( + e ) sin(k t) e j k t j k t ( e ) (4) j Sinus und Kosinus in komplexer Schreibweise x(t) a + ( a k cos(kt) + b k sin(kt) ) k Version.4

23 a + k a k e j k t j k t ( + e ) + b k j e j k t j k t ( e ) a + a k jb k e j k t + : c k : c k a k + jb k : c k e j k t Wenn wir nun die Koeffizienten von e j k t und e j k t, genannt c k, für k,,,,,, 3, wie oben eingetragen festsetzen, so können wir die FR in kurzer Form mit einheitlichen Summanden in komplexer Form notieren. x(t) c k e jkt mit k c k : a k jb k für k >, c : a und (5) c k : a k + jb k für k <. Hinweis: Die negativen Frequenzen, die hier auftreten, haben physikalisch keine Bedeutung. Sie sind einzig das Resultat der Darstellung der trigonometrischen Funktionen in exponentieller Form, Gl. (4). Die Vorteile der komplexen FR liegen aber nicht allein in ihrer schönen, kompakten Form. Es ist vor allem auch die Möglichkeit einer einfachen, direkten Bestimmung ihrer Koeffizienten aus der gegebenen Funktion x(t) über eine einzige Formel. Der mühsame Weg über die reellen Koeffizienten wird also nicht nötig sein. Suchen wir nun die versprochene direkte Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten c k. Dazu gehen wir von Gl. (5) und der reellen Berechnung der Fourierkoeffizienten Gl. (8) aus: c k ( a k jb k ) x(t) cos(kt)dt j x(t) sin(kt)dt x(t) cos(kt) jsin(kt) dt x(t) e jkt In gleicher Art können die Koeffizienten c und c -k berechnet werden. Zusammengefasst findet man so die elegante Formel dt Version.4 3

24 c k x(t) e j k t dt für alle k (6) Aus Gl. (5) erkennt man noch die Beziehung c k c k (7), so dass effektiv nur die Hälfte der Koeffizienten bestimmt werden muss. Wie schon bei der Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten vereinfacht sich auch bei der komplexen Berechnung der Koeffizienten die Arbeit, wenn wir den Periodenbeginn günstig legen. Aus den komplexen Fourierkoeffizienten erhalten wir durch Auflösen der Definitionsgleichungen für c k, Gl. (5), die Beziehungen a c a k c k + c k Re ck { } { } b k j(c k c k ) Im ck für k,, 3,... (8) Beispiel 9 Periodische Impulsspannung Die periodische Impulsspannung u(t),t von Fig. soll in ihre FR zerlegt werden. Fig. Periodische Impulsspannung Periodendauer 4 s, Impulsdauer s, Kreisfrequenz s Komplexe Fourierkoeffizienten:, maximaler Ausschlag A 4 V Wir berechnen die Koeffizienten für eine übersichtlichere Darstellung allgemein und verstecken so die vorkommenden Einheiten in den Formelvariablen. Den Mittelwert erhält man direkt zu c A V Version.4 4

25 c k u(t) e j k t dt A j k t e dt A e j k t jk, k A e j k jk A e j k jk A j(e j k k ) Und durch Einsetzen der Eulerschen Relation Gl. (3) erhält man schliesslich die Koeffizienten c k A k ( sin (k ) + j(cos(k )) ), k Mit Gl. (8) gewinnen wir die reellen Fourierkoeffizienten direkt, ohne weitere Integration: a k A sin (k ) k und b k A ( cos(k )) k für k,, 3, ( a A ) Nun setzen wir noch die vorgegebenen Werte für, und A ein und erhalten die komplexen und die reellen Fourierkoeffizienten: c V, c k V k a V, ( sin ( k ) + j(cos( k ) )),k, a k 4Vsin(k ) k und b k 4 V ( cos(k )) k für k Damit notieren wir die gesuchte FR in ihrer komplexen Form: u(t ) V + k V k ( sin ( k ) + j(cos( k ) )) e j k s t, k Schliesslich berechnen wir noch die Amplituden A k U k und die Phasen k der einzelnen Spektrallinien mit Hilfe von Gl. () (U k Effektivwert der k. harmonischen Spannung): A k a k + A sin (k bk ) k + A ( cos(k )) k Nach einiger Rechnung findet man das einfachere Ergebnis A k A k und cos(k ) A k sin(k ) für k (9) k arg a k arg sin(k ) cos(k ) b k für k (3) Version.4 5

26 Das Amplitudenspektrum der Impulsfolge nimmt also nach einer sehr einfachen Gesetzmässigkeit ab. Wir werden dieses Beispiel später nochmals ansehen und eine weiter verkürzte Berechnungsweise kennen lernen. 5. Zweiseitiges Linienspektrum einer komplexen Fourierreihe Genau so, wie wir im zweiten Abschnitt das Amplituden- und Phasenspektrum zu einer reellen FR definiert haben, verfahren wir auch mit komplexen FR. Bei dieser steckt der gesamte Informationsgehalt der Funktion x(t) in der Koeffizientenfolge,c,c,c,c,c,c 3 und der bekannten Periode von x(t). Notiert man nun c k in der Form c k c k e j k mit k arg( c k ), so wird ersichtlich, dass dieser Informationsgehalt auch durch die beiden reellen Zahlenfolgen der Beträge und Phasen von c k gegeben ist. Wir nennen analog zur reellen FR die Zahlenfolgen, c, c, c, c, c, c 3 zweiseitiges Linienspektrum und,,,,,, 3 zweiseitiges Phasenspektrum der periodischen Funktion x(t). Aus c k c k ergeben sich noch die beiden Symmetrien: c k c k und k k. Der enge Zusammenhang mit der reellen FR zeigt sich in den Beziehungen: ) Wegen c a und A a gilt: c A. ) Aus c k a k jb k folgt c k ck c k a k jb k a k + jb k 4 a ( k + b k ) 4 A k also gilt: c k A k für k. 3) Wegen arg(c k ) arg(a k jb k ) sind die Phasen der beiden Spektraldarstellungen für alle k gleich. Die beiden Spektraldarstellungen sind also aufs Engste miteinander verknüpft. Dass wir bei der komplexen FR im Wesentlichen doppelt so viele Summanden haben, äussert sich in den halb so grossen Amplituden der Spektrallinien ausser bei c. Wie schon bei den reellen FR Version.4 6

27 spricht man wieder von der Darstellung einer periodischen Funktion im Spektralbereich und meint damit die beiden zweiseitigen Spektren, mit welchen die Funktion exakt rekonstruiert werden kann. Auch hier sieht man hinter diesen Begriffen meistens nicht die beiden dahinterstehenden Zahlenfolgen, sondern eher die dazugehörigen anschaulichen Graphen. Für exakte Resultate muss man natürlich mit den Zahlenfolgen arbeiten. Schauen wir uns das Ganze nun an der Dreiecksspannung von Beispiel 7 an. Beispiel Komplexes Spektrum der Dreieckspannung Wir übernehmen die reellen Fourierkoeffizienten aus alter Rechnung: a 3 4 V ; a k 4 ( ) V und b k 4 k cos(k 3 ) k sin(k 3 ) V, für k und bestimmen daraus mit Gl. (5) die komplexen Fourierkoeffizienten: c 3 4 V ; c k a k jb k ( ) cos(k 3 k ) jsin(k 3 ) V, für k. Wegen c k c k ist sofort ersichtlich, dass die vorangehende Formel auch für negative k und somit für alle k gilt. Daraus erhalten wir nun das zweiseitige Linienspektrum: c 3 4 V c k V ( ) + sin (k 3 ) V k cos(k 3 ) k cos(k 3 ) Explizit: V cos(k 3 k ) 4 V k sin(k 3 4 ) A k c, 4,,,, 4, k, 3 k , 4,,,,, 4, V k und weiter das zweiseitige Phasenspektrum : Die folgende Gleichheit wird wieder offensichtlich, wenn man die Zahlen mit Hilfe des Einheitskreises und des um nach links verschobenen Einheitskreises in der komplexen Zahlenebene aufzeichnet. Version.4 7

28 k arg( c k ) arg( cos(k 3 ) jsin(k 3 )) arg( e j k 3 ) arg( e j k 3 ) Explizit: k k,, 3 4,, - 3 4,, 3 4,, - 3 4,, 3 4, -, - 3 4,, 3 4, -, - 3 4,, 3 4, k Die grafische Darstellung des zweiseitigen Spektrums in Fig. 3 zeigt seine enge Verwandtschaft mit dem einseitigen Spektrum von Fig.. So sind jetzt die Amplituden ausser bei k halbiert. ϕ Fig. 3 Zweiseitiges Spektrum der Dreieckspannung von Beispiel 7 Für k 4, 8,,... ist k wie beim einseitigen Spektrum nicht definiert. Es gilt dieselbe Bemerkung wie sie schon dort gemacht wurde. Die schönen Winkel ±3 /4 und ± liest man auch direkt am verschobenen Einheitskreis ab. Version.4 8

29 6. Weitere Eigenschaften der FR 6. Symmetrieeigenschaften der FR In diesem Abschnitt halten wir einige Zusammenhänge zwischen den reellen Fourierkoeffizienten a k und b k und den Symmetrien der durch die FR nach Gl. (8) dargestellten Funktion x(t) fest. Rufen wir uns kurz die Begriffe gerade resp. ungerade Funktion in Erinnerung zurück: Die Funktion x : heisst gerade, wenn x( t ) x(t ) für alle t gilt. x ist in diesem Fall symmetrisch bezüglich der Ordinatenachse und Weiter gilt: und x : heisst ungerade, wenn x( t ) x(t ) für alle t gilt. x ist in diesem Fall punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Das Produkt g(t) u(t) einer geraden Funktion g(t) mit einer ungeraden Funktion u(t) ist immer ungerade. Das Produkt zweier gerader Funktionen g (t) g (t) oder zweier ungerader Funktionen u (t) u (t) ist immer gerade. Diese beiden Symmetrien übertragen sich nun sehr eindrücklich auf die FR. Es gilt der Satz Die Fourierkoeffizienten b k einer geraden Funktion g(t) sind alle gleich null. D.h. die FR einer geraden Funktion besteht nur aus Kosinusgliedern und der Konstanten a. Man spricht von einer Kosinusreihe. Die Fourierkoeffizienten a k einer ungeraden Funktion u(t) sind alle gleich Null. D.h. die FR einer ungeraden Funktion besteht nur aus Sinusgliedern (sie hat auch keine Konstante a ). Man spricht von einer Sinusreihe. Beweis: Sei also x(t) eine gerade Funktion mit der Periode, dann berechnen sich die b k -Koeffizienten gemäss b k x(t) sin(k t)dt Der Integrand x(t) sin(k t) ist ungerade, weil x(t) gerade und sin(k t) ungerade ist. Integriert wird über das bezüglich des Ursprungs symmetrische Intervall [-/, +/]. Bestimmte Integrale einer ungeraden Funktion über einem bezüglich symmetrischen Integrationsbereich sind aber immer gleich Null. Somit sind alle b k. Der Beweis, dass zu einer ungeraden Funktion eine Sinusreihe gehört, verläuft analog und wird dem Leser als Aufgabe überlassen. Version.4 9

30 Die Symmetrien können aber auch bei der Berechnung der nicht verschwindenden Koeffizienten ausgenützt werden. Für gerade Funktionen gilt: a k x(t) cos(k t)dt und analog dazu für ungerade Funktionen: 4 x(t) cos(k t)dt b k x(t) sin(k t)dt 4 x(t) sin(k t)dt weil beide Male gerade Integranden über dem bezüglich symmetrischen Integrationsintervall [-/, +/] vorliegen. Diese Vereinfachung wird uns in der Anwendung willkommen sein, wenn die Funktion x(t) mit Hilfe von mehreren Fallunterscheidungen definiert ist, denn sie halbiert unsern Aufwand. Das Beispiel 6 des symmetrischen Rechtecksignals (Fig. 8) zeigt dies mit seiner FR von Gl. (7) deutlich. Die Abwesenheit der Sinusglieder in diesem Beispiel ist also durch die Achsensymmetrie bezüglich der Ordinatenachse begründet. Könnte nun die Abwesenheit aller Frequenzen gerader Ordnung in dieser FR auch von einer Symmetrie herstammen? Die Antwort finden wir schnell, es ist die Punktsymmetrie der Funktion x(t) bezüglich des Mittelpunktes der halben Periode auf dem Intervall [, /] welche dafür verantwortlich ist. Wir formulieren dies gleich etwas allgemeiner (siehe Fig. 4): Fig. 4 Gerade bzw. ungerade Funktionen mit einer zusätzlichen Symmetrie bezüglich /4 Version.4 3

31 Besitzt eine gerade (resp. ungerade) -periodische Funktion eine Punktsymmetrie (resp. Achsensymmetrie) bezüglich der Mitte der halben Periode auf dem Intervall [, /], so fallen alle Glieder mit gerader Ordnung der zugehörigen Kosinusreihe (resp. Sinusreihe) weg. Begründung: Diesmal für eine ungerade Funktion x(t) mit der Achsensymmetrie bei /4. b k 4 x(t) sin(k t)dt x(t) ist also achsensymmetrisch bezüglich der Vertikalachse bei /4 ( gerade bezüglich /4). Die Sinusfunktionen sin(k t) mit ungeradem k sind auch alle symmetrisch bezüglich dieser Achse, diejenigen mit geradem k hingegen punktsymmetrisch oder ungerade bezüglich t /4. Für gerade k sind die Integranden x(t) sin(k t) also alle ungerade oder punktsymmetrisch bezüglich t /4 und damit werden ihre Integrale über [, /] alle gleich null. Die Begründung für gerade Funktionen verläuft wieder analog und wird dem Leser als fakultative Aufgabe überlassen. Beispiel Symmetrische Impulsspannung Wir kehren nochmals zurück zu unserm Beispiel 9. Betrachten wir die zugehörige Impulsspannung von Fig., dann erkennen wir, dass es für die Darstellung dieser periodischen Spannung als FR günstiger wäre, wenn wir diese um / nach links verschieben dürften (Fig. 5). Dann entsteht eine gerade Funktion, deren Fourierkoeffizienten wesentlich einfacher zu berechnen sind. Wir führen diese in reeller Weise durch, da nur Koeffizienten a k vorkommen dürfen. Fig. 5 Symmetrische Impulsspannung Der Koeffizient a c A / bleibt unverändert. a k / x(t)cos(kt)dt 4 A / 4 A k sin(kt) / / cos(kt)dt A k sin(k ), k (3) Diese Darstellung wird oft mit Hilfe der Funktion sin(x)/x in modifizierter Form geschrieben Version.4 3

32 a k A sin(k /), k (3) k / Das zweiseitige Spektrum können wir mit der einzigen Formel c k A sin(k /), für alle k (33) k / angeben. Das Amplituden- wie das Phasenspektrum dieser Folge sind in Fig. 6 dargestellt. π ϕ Fig. 6 Zweiseitiges Amplituden- und Phasenspektrum der Impulsfolge von Fig. 5 Da die Koeffizienten rein reell sind, kommen nur Phasen von und ±8 vor, letzteres ist für negative Koeffizienten der Fall. Um die ungerade Symmetrie des Phasenspektrums zu unterstreichen, wurden in der Figur für positive Frequenzen +8 gewählt und für negative 8, obwohl beide Winkel bei der Berechnung dasselbe Resultat ergeben. Für k n oder k n, n,, 3,... (34) werden die Koeffizienten null. Dies trifft immer dann zu, wenn / ein rationales Verhältnis ist. In unserm Beispiel ist dies für k 4, 8,,... der Fall. Diesen Spezialfall des rein reellen Spektrums stellt man oft auch so dar, dass man die reellen Koeffizienten c k (inkl. Vorzeichen) in einer einzigen Grafik darstellt. Version.4 3

33 6. Verschiebungssatz Wir bleiben beim vorhergehenden Beispiel mit der Impulsfolge von Fig. 5. Vergleichen wir die Koeffizienten a k von Gl. (3) mit den Amplituden A k von Gl. (9) aus dem Beispiel 9 für die gleiche, jedoch zeitlich verschobene Impulsfolge, sehen wir, dass a k A k ist. Ebenso sind die beiden a identisch. Offenbar wird das Amplitudenspektrum eines Signals x(t) durch eine zeitliche Verschiebung nicht beeinflusst. Wir wollen zeigen, dass dies allgemein gilt. Gegeben seien die Fourierkoeffizienten c k von x(t). Nun suchen wir die Fourierkoeffizienten der um verschobenen Funktion x' (t) x(t ) (35) Diese setzen wir in die Berechnungsgleichung für die komplexen Fourierkoeffizienten Gl. (6) ein und führen noch die Variablentransformation t- durch. Dabei ist es nicht notwendig, dass wir die Grenzen des Integrals ebenfalls transformieren, da nach Gl. (6) das Integrationsintervall beliebig verschoben werden kann. c' k x(t ) e j k t dt x() e j k (+ ) d x() e j k e j k d e j k x() e j k j k d c k e Die Beziehung x' (t) x(t ) c' k c k e j k (36) nennt man Verschiebungssatz. Die neuen Fourierkoeffizienten c' k haben also dieselben Amplituden wie c k, die Phasen hingegen erleiden eine zu k proportionale Phasenverschiebung von k. Beispiel Anwendung des Verschiebungssatzes Wir wenden diese einfache Beziehung an, um die Fourierkoeffizienten der asymmetrischen Impulsspannung von Beispiel 9 aus der symmetrischen Impulsspannung von Beispiel zu berechnen. Die Phasen ' k von c' k erhalten wir, indem wir zu den Phasen in Fig. 6 den Betrag k k /addieren, oder mit der Verschiebung unseres Signals um /8 wird k k / 4. Damit finden wir das Phasenspektrum der ursprünglichen Impulsspannung von Beispiel 9 ohne grossen Rechenaufwand (siehe Fig. 7). Version.4 33

34 ϕ π Fig. 7 Phasenspektrum der Impulsspannung von Beispiel 9 Mit einigem Aufwand lässt sich zeigen, dass dieses Phasenspektrum identisch ist mit dem Resultat von Gl. (3). 6.3 Das Gibbs-Phänomen * Wir wenden uns noch einmal der symmetrischen Impulsspannung von Fig. 5 zu. Diese hat Unstetigkeitsstellen. Nach den Konvergenzkriterien im Abschnitt. konvergiert die Folge an den Sprungstellen zum Mittelwert der Grenzwerte, welche die Funktion auf beiden Seiten des Sprungs einnimmt, Gl. (9). Sonst konvergiert die Fourierreihe überall zum Wert x(t). Diese Konvergenz wollen wir nun konkret an unserer Impulsspannung überprüfen. Wir schreiben uns dazu ein kleines Matlabprogramm, mit dem wir die endliche Approximation x n (t) bilden können. %Fourierreihe der Impulsfolge t-:6/:5; A4; 4; %Periodendauer ; w*pi/; %Grundkreisfrequenz Ninput('Anzahl Harmonische'); aa*/ %Gleichspannung xna*ones(,length(t)); %Gleichspannung für alle Frequenzen for k::n xnxn+*a/k/pi*sin(k*pi*/)*cos(k*w*t); end plot(t,xn) grid Im Ergebnis von Fig. 8 sieht man gut, wie die Approximation von u(t) an den Sprungstellen durch den Mittelwert der beiden Grenzwerte auf beiden Seiten der Sprungstelle, nämlich u(t) V verläuft. In der Umgebung der Sprungstellen pendelt die Approximation um den korrekten Wert von u(t). Die grösste Abweichung unmittelbar neben der Sprungstelle beträgt ca. 9 %. Version.4 34

35 Fig. 8 Approximation der Impulsfolge mit einer endlichen trigonometrischen Reihe Vergleichen wir die beiden Approximationen mit n 5 und n 45, so fällt auf, dass dieses sog. Überschiessen mit zunehmendem n nicht kleiner wird. J.W. Gibbs hat gezeigt, dass dieses Überschiessen auch für n noch vorhanden ist. Ist x(t) an der Stelle t unstetig, so ist die FR bei t - und t + um ca. 9 % daneben. In der Praxis löst man dieses Überschiessen der FR, indem man die Fourierkoeffizienten mit einem Gewichtsfaktor multipliziert, der mit zunehmender Ordnung der Koeffizienten vom Wert gegen null abnimmt. Funktionen mit Sprungstellen benötigen zur Approximation viele, relativ grosse Koeffizienten auch bei Harmonischen hoher Ordnung. Schauen wir uns die Approximationen der Impulsspannung von Fig., die Sägezahnsignale von Fig. 6 oder Fig. 7 sowie die Rechteckfunktion von Fig. 8 an, dann steckt in all diesen Fällen im Koeffizienten A k der Faktor /k. Man sagt, die Koeffizienten A k oder c k nehmen mit der Ordnung /k ab. Bei Funktionen ohne Sprungstellen, wie beispielsweise der Dreieckspannung von Fig. 9, nehmen die Koeffizienten A k hingegen mit der Ordnung /k ab. Man kann allgemein zeigen, dass folgender Satz gilt: Periodische Funktionen, die n-fach stückweise stetig differenzierbar sind, besitzen, deren Koeffizienten c k mit der Ordnung /k n gegen null konvergieren. Version.4 35

36 In der Nachrichtentechnik wünscht man sich öfters ein Signal, das möglichst wenige und kleine Harmonische in seiner FR enthält. Dann muss man darauf achten, dass das Signal nicht nur stetig ist, sondern auch möglichst viele stetige Ableitungen aufweist. 7. Satz von Parseval * Legt man eine periodische Spannung u(t) an einen Widerstand R, so berechnet man die mittlere Verlustleistung in diesem Widerstand über das Integral P R u (t) dt R u(t) dt U eff R (37) Nun nehmen wir an, dass man von dieser periodischen Spannung die Fourierkoeffizienten c k oder A k kennt. Es stellt sich daher die Frage, ob ev. die mittlere Leistung in diesem Widerstand auch aus den Fourierkoeffizienten bestimmt werden kann. Der Satz von Parseval bestätigt diesen Zusammenhang. Er lautet: x(t) dt c k c + c k A + A k U eff k k k (38) Dabei beachte man, dass A k / dem Quadrat des Effektivwertes der k. Harmonischen entspricht. Physikalisch interpretiert besagt dieser Satz also, dass das Quadrat des Effektivwertes einer periodischen Grösse gleich der Summe der Quadrate der Effektivwerte der einzelnen Spektralanteile ist. Zum Beweis dieses Satzes setzen wir die Fourierreihe teilweise in das Integral ein: x(t) dt x(t) x (t) dt x(t) c k e j k t dt k k c k x(t)e j k t dt k c k x(t)e j k t dt x(t)e j k t dt c k k c k k j k t x(t)e dt x(t) dt c k ck c k k k Falls wir also die Fourierkoeffizienten unserer periodischen Spannung kennen, seien dies die c k oder A k, dürfen wir die mittlere Leistung in unserm Widerstand auch schreiben als Version.4 36

37 P R c + c k R A k + A k k Dieses Ergebnis überrascht auf den ersten Blick. Bei genauerem Hinsehen wird aber klar, warum dies so sein muss. In Gl. (37) bilden wir genau genommen das Integral über das Produkt von Strom i und Spannung u am Widerstand, wobei wir den Strom durch u/r ersetzt haben. Mit dem Einsetzen der FR für u in Gl. (37) bilden wir alle Produkte der i. Harmonischen des Stromes mit der j. Harmonischen der Spannung und integrieren sie über eine ganze Periode. Wegen der Orthogonalität der trigonometrischen Funktionen Gl. (), () und (3) ergeben alle Produkte für welche i j ist, immer null. Nur Ströme und Spannungen der gleichen Harmonischen geben einen Beitrag zur mittlerer Leistung P. (39) Beispiel 3 Anwendung des Satzes von Parseval Um den Satz von Parseval zu illustrieren, nehmen wir das Beispiel 6 mit dem symmetrischen Rechtecksignal (Fig. 8). Damit wir im Einklang sind mit den Formulierungen in diesem Abschnitt, nehmen wir an, das Recktecksignal sei -periodisch mit der Periodendauer. Mit dem Spitzenwert finden wir für den quadratischen Mittelwert x(t) dt Wir müssen denselben Wert erhalten, wenn wir die quadrierten Amplitudenkoeffizienten aus Gl. (7) aufsummieren, oder A k 6 k k (k + ) Die Reihe in diesem Ausdruck ergibt tatsächlich /8, wie man in einem umfangreicheren Formelbuch nachsehen kann. Man kann aber auch numerisch einige erme der Reihe aufsummieren und sieht, dass sie gegen den angegebenen Wert konvergiert. Somit erhalten wir auch für die Summe der quadrierten Effektivwerte aller Harmonischen den Wert. Version.4 37

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