mathphys-online TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x)

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1 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x) x-achse

2 Trigonometrische Funktionen Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Winkelfunktionen im Einheitskreis. Definition der Winkelfunktionen im ersten Quadranten. Vorzeichen in den verschiedenen Quadranten. Zurückführen stumpfer Winkel auf spitze Winkel Das Bogenmaß 4. Die natürliche Winkeleinheit 4. Das Bogenmaß besonderer Winkel 5 4 Die Sinusfunktion 6 4. Kreisdiagramm und Liniendiagramm 6 4. Eigenschaften der Sinusfunktion 6 5 Die Kosinusfunktion 7 5. Kreisdiagramm und Liniendiagramm 7 5. Eigenschaften der Kosinusfunktion 7 6 Die Kosinusfunktion 8 6. Kreisdiagramm und Liniendiagramm 8 6. Eigenschaften der Tangensfunktion 9 7 Die allgemeine Sinusfunktion 0 7. Einfluss der Parameter 0 7. Zusammenfassung 8 Goniometrische Gleichungen 7 9 Differentiation von Winkelfunktionen 9. Ein besonderer Grenzwert 9. Die Ableitung der Sinusfunktion 4 9. Die Ableitung der Kosinusfunktion Die Ableitung der Tangensfunktion 6 0 Integration von Winkelfunktionen 7 0. Verkettete Sinusfunktionen 7 0. Verkettete Kosinusfunktionen 7 0. Zusammengesetzte Winkelfunktionen 8 Graphiken erstellt mit Mathcad 5 September 0

3 Trigonometrische Funktionen Bei naturwissenschaftlichen oder technischen Aufgaben kommt es häufig vor, dass Winkel eines Dreiecks bestimmt werden müssen. Durch die Anwendung der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck oder von Sinussatz und Kosinussatz im beliebigen Dreieck können diese Winkel berechnet werden. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Die rechtwinkligen Dreiecke ABC und ABC sind ähnlich. Dann sind die Verhältnisse sich entsprechender Seiten gleich. Zum Beispiel gilt für den Winkel BAC bzw. BAC mit 0;90 folgende Definition Gegenkathete BC BC Sinus sin( ) Hypotenuse AC AC Ankathete AB AB Kosinus cos( ) Hypotenuse AC AC Gegenkathete BC BC Tangens tan( ) Ankathete AB AB Ankathete AB AB Kotangens cot( ) Gegenkathete B C B C Einige spezielle Werte Quadrat mit Seitenlänge Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge sin(45 ) cos(45 ) tan(45 ) sin(0 ) sin(60 ) cos(0 ) cos(60 ) tan(0 ) tan(60 )

4 Winkelfunktionen am Einheitskreis. Winkelfunktionen im ersten Quadranten Gegeben sind die rechtwinkligen Dreiecke MQP und MRS am Einheitskreis. Dann gilt: PQ PQ sin( ) PQ MP MQ MQ cos( ) MQ MP SR SR tan( ) SR MR Weiter gilt: (sin( )) (cos( )) Trigonometrischer Pythagoras. Vorzeichen in den verschiedenen Quadranten. Quadrant. Quadrant sin( ) positiv cos( ) positiv tan( ) positiv sin( ) positiv cos( ) negativ tan( ) negativ. Quadrant 4. Quadrant sin( ) negativ cos( ) negativ tan( ) positiv sin( ) negativ cos( ) positiv tan( ) negativ

5 . Zurückführen stumpfer Winkel auf spitze Winkel bei Winkelfunktionen. Quadrant Sinus: sin( ) sin(80 ) sin( ) Kosinus: cos( ) cos(80 ) cos( ) Tangens: tan( ) tan(80 ) tan( ). Quadrant Sinus: sin( ) sin(80 ) sin( ) Kosinus: cos( ) cos(80 ) cos( ) Tangens: tan( ) tan(80 ) tan( ) 4. Quadrant Sinus: sin( ) sin(60 ) sin( ) Kosinus: cos( ) cos(60 ) cos( ) Tangens: tan( ) tan(60 ) tan( )

6 Das Bogenmaß. Die natürliche Winkeleinheit In der Mathematik, aber auch in vielen physikalischen und technischen Anwendungen, ist ein weiteres Winkelmaß, das so genannte Bogenmaß gebräuchlich. Kreisumfang: u r Verhältnis: b u 60 Kreisbogen: b u r r b b b... r r r r 80 Man sieht: Der Quotient b r ist eine Größe, die nur vom Mittelpunktswinkel abhängig ist. Definition: b Das Bogenmaß arc( ) eines Winkels ist gleich der Längenmaßzahl des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. r Es gilt: aarc( ) 80 Bemerkung: Die Schreibweise arc() wird nur selten verwendet. Stattdessen bezeichnet man in Winkelgraden gemessene Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben, z. B., im Bogenmaß gemessene Winkel mir kleinen lateinischen Buchstaben, z. B. a. Einheit des Bogenmaßes: Der Radiant (Einheitenzeichen rad) dient zur Angabe der Größe eines ebenen Winkels. Er ist eine abgeleitete Einheit im SI-Einheitensystem. Der ebene Winkel von Radiant umschließt auf der Umfangslinie eines Kreises mit Meter Radius einen Bogen der Länge Meter. Beim Taschenrechner können Winkelmaße in verschiedenen Einheiten ausgegeben werden. Für das Gradmaß ist Deg einzustellen, für das Bogenmaß Rad. Es gibt noch eine weitere Winkelteilung, die Gonteilung (Taschenrechner Gra). Bei diesem Winkelmaß hat ein rechter Winkel 00 gon. Diese Winkeleinteilung wird vor allem in der Vermessungstechnik verwendet. 4

7 . Das Bogenmaß besonderer Winkel. Quadrant. Quadrant Gradmaß Bogenmaß Quadrant 4. Quadrant Gradmaß Bogenmaß Beispiele x R R 57, Im Gradmaß rechnen: Taschenrechner auf Deg sin(0 ) 0,5 ; cos(0 ) 0, ; sin(50 ) 0, ; cos(50 ) 0, sin( ) 0,76 49,46; cos( ) 0,76 40,54 Im Bogenmaß rechnen: Taschenrechner auf Rad sin 0,5 6 ; cos 0, ; sin(0,87) 0, ; cos(0,87) 0, sin(a) 0,76 a 0,86 ; cos(a) 0,76 a 0,707 5

8 4 Die Sinusfunktion 4. Kreisdiagramm und Liniendiagramm Gegeben ist der Einheitskreis, dessen Bogen am Punkt (0/0) aufgeschnitten und auf die x- Achse abgewickelt wird. Der jeweilige Sinuswert wird über dem Winkel x im Bogenmaß aufgetragen. Funktionsterm: f(x) sin(x) D 0; Definitionsmenge: Sinus am Kreis und als Liniendiagramm x-achse Nach jedem Kreisumlauf wiederholen sich die Funktionswerte: f(x ) f(x) 4. Eigenschaften der Sinusfunktion Funktionsterm: f(x) sin(x) Definitionsmenge: D IR Wertemenge: W ; Graph der Sinusfunktion x-achse Symmetrie: f( x) sin( x) sin(x) f(x), also Punktsymmetrie zum Ursprung. Periodenlänge: p Nullstellen: sin(x) 0 x0 k k (Ganzzahlige Vielfache von Pi) 6

9 5 Die Kosinusfunktion 5. Kreisdiagramm und Liniendiagramm Gegeben ist der Einheitskreis, dessen Bogen am Punkt (0/0) aufgeschnitten und auf die x- Achse abgewickelt wird. Der jeweilige Kosinuswert wird über dem Winkel x im Bogenmaß aufgetragen. Funktionsterm: f(x) cos(x) Definitionsmenge: D IR Kosinus am Kreis und als Liniendiagramm x-achse Nach jedem Kreisumlauf wiederholen sich die Funktionswerte: f(x ) f(x) 5. Eigenschaften der Kosinusfunktion Funktionsterm: f(x) cos(x) Definitionsmenge: D IR Wertemenge: W ; Graph der Kosinusfunktion x-achse Symmetrie: f( x) cos( x) cos(x) f(x), also Achsensymmetrie zur. Nullstellen: cos(x) 0 x 0 (k ) k (Ungerade ganzz. Vielfache von ) Periodenlänge: p 7

10 6 Die Tangensfunktion 6. Kreisdiagramm und Liniendiagramm Gegeben ist der Einheitskreis, dessen Bogen am Punkt (0/0) aufgeschnitten und auf die x- Achse abgewickelt wird. Der jeweilige Tangenswert wird über dem Winkel x im Bogenmaß aufgetragen. Funktionsterm: f(x) tan(x) Definitionsmenge: D 0; \ ; Nach jedem halben Kreisumlauf wiederholen sich die Funktionswerte: f(x ) f(x) 8

11 6. Eigenschaften der Tangensfunktion Funktionsterm: sin(x) f(x) tan(x) f(x) cos(x) Definitionslücken: cos(x) 0 x 0 (k ) k Definitionsmenge: D IR\ k (k ) W ; Wertemenge: Nullstellen: sin(x) 0 x0 k k Symmetrie: f( x) tan( x) tan(x) f(x), Punktsymmetrie zum Ursprung. Periodenlänge: p 9

12 7 Die allgemeine Sinusfunktion Gegeben ist die Funktion f mit c f(x) a sin(bx c) d f(x) a sinbx d, b wobei xir, a,bir \{0}, c,d IR. 7. Einfluss der Parameter Beispiel f(x) a sin(x) a f (x) sin(x) f(x) 0,5 sin(x) f(x) sin(x) f(x) 4,5 sin(x) Jeder Funktionswert der Grundfunktion g(x) sin(x) wird mit a multipliziert. Der Graph von f a wird in Richtung der gestaucht ( a a 0) oder gestreckt ( a ) Graphen von f(x) = a sin(x) x-achse in Vielfachen von a = ; a = 0,5; a = ; a = -,5 Beispiel f(x) sin(bx) b f (x) sin(x) f(x) sin0,5x f(x) sinx Der Graph von f b wird in Richtung der x-achse gestaucht ( b ) oder gestreckt ( b b 0). Periodenlänge: p b Graphen von f(x) = sin(bx) x-achse in Vielfachen von b = ; b = 0,5; b = ; Nullstellen: sin(bx) 0 bxk k x0 b k 0

13 Beispiel f(x) c sin(x c) f (x) sin(x) f(x) sinx 4 f(x) sinx 4 Der Graph von f c wird in Richtung der x-achse verschoben, für c > 0 nach links und für c < 0 nach rechts. Phasenwinkel: c Graphen von f(x) = sin(x + c) x-achse in Vielfachen von c = 0; c = +/4; c = -/4; Nullstellen: sin(xc) 0 xc k x0 kc k Beispiel 4 f b, c(x) sin(bx c) f (x) sin(x) ; 0 f(x) sin x 4 sin x nach links f(x) sinx 4 sin x 8 nach links Graphen von f(x) = sin(bx + c) x-achse in Vielfachen von b = ; c = 0; b = 0,5; c = /4; b = ; c = /4; c Phasenwinkel:. b Der Graph von f c wird in Richtung der x-achse verschoben, für 0 nach links und für 0 nach rechts. Nullstellen: sin(b x c) 0 b x c k kc x0 b k

14 Beispiel 5 f d(x) sin(x) d f (x) sin(x) f (x) sin(x) f (x) sin(x) f 4(x) sin(x),5 Der Graph von f d wird in Richtung der verschoben, für d > 0 nach oben und für d < 0 nach unten Graphen von f(x) = sin(x) + d x-achse in Vielfachen von d = 0; d = ; d = -; d = -,5 7. Zusammenfassung f(x) asin(bx c) d, wobei x, a,b \ {0}, c,d. Amplitude: A a Periodenlänge: p b Kreisfrequenz: b Phasenwinkel: c b Wertemenge: W d a ; d a Nullstellen: d f(x) 0 a sin(b x c) d 0 sin(b x c) c c c Substitution: b x c u sin(u) u0 arcsin b b Falls c 0 : b c Lösung im ersten Quadranten: u u0 arcsin b

15 c Lösung im zweiten Quadranten: u u0 arcsin b Resubstitution: c c bxc u bxc arcsin x arcsin c b b b c c bxc u bxc arcsin x arcsin c b b b Alle Lösungen: c x arcsin ck b b b mit k c x arcsin ck b b b mit k c Falls 0 : b c Lösung im dritten Quadranten: u u0 arcsin b c Lösung im vierten Quadranten: u u0 arcsin b Resubstitution: c c bxc u bxc arcsin x arcsin c b b b c c bxc u bxc arcsin x arcsin c b b b Alle Lösungen: c x arcsin ck b b b c x arcsin ck b b b mit k mit k

16 Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) sinx mit x IR. Gesucht sind alle Nullstellen. Lösung: Nullstellenbedingung: f(x) 0 sinx 0 sin x Substitution: x u sin(u) Bemerkung: Sinus ist positiv im ersten oder zweiten Quadranten. Nullstelle: Taschenrechner auf Rad stellen, u0 arcsin 0,40 Der Taschenrechner liefert die Lösung im ersten Quadranten, der Sinuswert ist positiv. Im ersten Quadranten: u u0 0,40 Im zweiten Quadranten: u u0 0,40,80 Resubstitution: x u x 0,40 x 0,955 x u x,80 x,86 Die weiteren Lösungen bekommt man durch Addieren bzw. Subtrahieren mit Vielfachen der Periodenlänge p : b x (k) 0,955 k ; x (k),86 k ; k. In Abhängigkeit von der Definitionsmenge werden die entsprechenden k-werte für die Null- D 6; 6 stellen ausgewählt: Menge der Nullstellen: L 5,; 4,0;,9; 0,96; 0,96;,9; 4,0; 5, 0 4

17 Graph von f mit Nullstellen x x y - Achse d 4 5 x - Achse Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) sinx mit x IR. Gesucht sind alle Nullstellen. Lösung: Nullstellenbedingung: f(x) 0 sinx 0 sin x Substitution: x u sin(u) Bemerkung: Sinus ist negativ im dritten oder vierten Quadranten. Nullstelle: Taschenrechner auf Rad stellen, u0 arcsin 0,40 Der Taschenrechner liefert einen negativen spitzen Winkel, der in die stumpfen Winkel im dritten und vierten Quadranten umgerechnet werden muss. Es wird grundsätzlich zunächst die Lösung im ersten Quadranten berechnet! Im ersten Quadranten: u0 arcsin arcsin 0,40 Im dritten Quadranten: u u0 0,40,48 Im vierten Quadranten: u u0 0,40 5,94 Resubstitution: x u x,48 x,56 5

18 x u x 5,94 x,757 Die weiteren Lösungen bekommt man durch Addieren bzw. Subtrahieren mit Vielfachen der Periodenlänge p : b x (k),56 k ; x (k),757 k ; k. In Abhängigkeit von der Definitionsmenge werden die entsprechenden k-werte für die Null- D 6; 6 stellen ausgewählt. Menge der Nullstellen: L 5,67;,76;,5; 0,6; 0,6;,5;,76; 5,67 0 Graph von f mit Nullstellen 5 x 4 x y - Achse d x - Achse 6

19 8 Goniometrische Gleichungen Definition Gleichungen, in denen die Variable als Argument von Winkelfunktionen vorkommen, nennt man goniometrische Gleichungen. Durch die Vielfalt der formen bei goniometrischen Gleichungen können nur für einfache ausgewählte Gleichungstypen systematische Verfahren angegeben werden. Ansonsten muss zum Lösen ein Näherungsverfahren (z. B. das Newton-Verfahren) angewendet werden. Zum Lösen von goniometrischen Gleichungen unterscheidet man folgende Gleichungstypen: Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion gleichen Arguments (Typ ) Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion verschiedener Argumente (Typ ) Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen gleichen Arguments (Typ ) Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen verschiedener Argumente (Typ 4) Beispiel : Gleichungstyp () Gegeben ist die Gleichung cos(x) (cos(x)) mit x IR. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Lösungsansatz: Substitution: u cos(x) Neue Gleichung und Lösung: Resubstitution: cos(x) x k (k ) ; u u0 u ; u ; 5 cos(x) x k ; x k ; Konkrete Lösungen für x 8; 8: L ; ; ; ; ; ; ; Graphische Lösung Beispiel x-achse 7

20 Beispiel : Gleichungstyp () Gegeben ist die Gleichung sin(x) sin( x) 0 mit x IR. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Lösungsansatz: Verwendung Additionstheorem: sin( ) sin( ) cos( ) Neue Gleichung: sin(x) sin(x) cos(x) 0 sin(x) ( cos(x)) 0. Fall: sin(x) 0 x k ; mit k. 4. Fall: cos(x) 0 cos(x) x k ; x k ; Konkrete Lösungen für x 8; 8: 4 4 L ; ; ; ; 0; ; ; ; Graphische Lösung Beispiel x-achse Beispiel : Gleichungstyp () Gegeben ist die Gleichung cos(x) cos(x) sin(x) 0 mit x IR. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Lösungsansatz: Ausklammern: cos(x) cos(x) sin(x) 0 Reduzieren auf eine Winkelfunktion mithilfe von: Neue Gleichung: Vereinfachen: cos(x) cos(x) cos(x) 0 cos(x) cos(x) 0. Fall: cos(x) 0 x (k ) (k ),57;. Fall: sin( ) cos( ) cos(x) 0 cos(x) cos(x) ; 8

21 x 0,65k ; x 0,65 k,56 k ; x4 0,65 k,757 k ; x5 0,65 k 5,668 k ; Konkrete Lösungen für x 8; 8: L 7,9; 6,9; 5,7; 4,7;,8;,5;,6; 0,6; 0,6;,6;,5;,8; 4,7; 5,7; 6,9; 7,0 Graphische Lösung Beispiel x-achse Beispiel 4: Gleichungstyp (4) Gegeben ist die Gleichung sin(x) cos(x) mit x IR. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Lösungsansatz: sin( ) cos( ) Reduzieren auf eine Winkelfunktion mithilfe von: Neue Gleichung: sin(x) (sin(x)) Quadrieren: sin(x) (sin(x)) (sin(x)) Probe nötig!!! Zusammenfassen: (sin(x)) sin(x) 0 sin(x) sin(x) 0. Fall: sin(x) 0 x (k) k ; mit k.. Fall: sin(x) x (k) k ; Probe: x ; sin( ) cos( ) Lösung x ; sin( ) cos( ) keine Lösung x 0; sin(0) cos(0) Lösung x4 ; sin( ) cos( ) keine Lösung 9

22 x5 ; sin( ) cos( ) Lösung D. h. alle geraden Vielfachen von sind Lösung. x x x ; sin cos 0 ; sin cos 0 5 ; 5 5 sin cos 0 D. h. alle x(k) (4k) mit k sind Lösung. Lösung Lösung Lösung Konkrete Lösungen für x 8; 8: 5 L ; ; 0; ; ; ; Graphische Lösung Beispiel x-achse Beispiel 5: Gleichungstyp (5) Gegeben ist die Gleichung sin(x) cos( x) mit x IR. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Lösungsansatz: Reduzieren auf eine Winkelfunktion mithilfe von: Umformung: Substitution: sin(x) u Quadratische Gleichung: 5 sin(x) x (k) k ; x (k) k ; cos( ) (sin( )) sin(x) (sin(x)) (sin(x)) sin(x) 0 Resubstitution: sin(x) x (k) k ; u u0 u ; u ;

23 Konkrete Lösungen für x 8; 8: L ; ; ; ; ; ; ; Graphische Lösung Beispiel 5 x p x p x-achse Beispiel 6: Gleichungstyp (6) Gegeben ist die Gleichung sin( x) cos(x) mit x IR. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Lösungsansatz: Reduzieren auf eine Winkelfunktion mithilfe von: sin( ) sin( ) cos( ) Umformung: sin(x) cos(x) cos(x) cos(x) sin(x) 0. Fall: cos(x) 0 x (k) (k ) ; 5. Fall: sin(x) 0 sin(x) x (k) k ; x (k) k ; 6 6 : Konkrete Lösungen für x 8; L ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Graphische Lösung Beispiel x-achse

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25 Differentiation trigonometrischer Funktionen 9 Differentiation von Winkelfunktionen 9. Ein besonderer Grenzwert Gegeben ist der Einheitskreis und ein Winkel mit dem Bogenmaß arc( ) h, wobei 0 h. Behauptung: sin(h) lim h0 h Beweis Abschätzung: sin(h) h tan(h) :sin(h) 0 Dividieren: Vereinfachen: Linke Seite der Ungleichung: Rechte Seite der Ungleichung: sin(h) h tan(h) sin(h) sin(h) sin(h) h sin(h) cos(h) h sin(h) (*) sin(h) h h sin(h) cos(h) (**) sin(h) cos(h) h sin(h) Zusammenfassung von (*) und (**): cos(h) h Grenzwertbetrachtung: lim cos(h) folgt: Mit h0 Deshalb gilt: sin(h) lim cos(h) lim h h0 h0 sin(h) lim h0 h sin(h) lim h h0

26 Differentiation trigonometrischer Funktionen 9. Die Ableitung der Sinusfunktion Satz Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) sin(x). Dann gilt für die Ableitungsfunktion: f '(x) cos(x) Beweis Ansatz mithilfe des Differentialquotienten: f(x h) f(x) sin(x h) sin(x) f '(x) lim lim h0 h h0 h Mit dem Additionstheorem sin( ) sin( ) cos sin gilt: xh x xhx cos sin f '(x) lim h0 h Vereinfachen: xh h xh h cos sin cos sin f '(x) lim lim h0 h h0 h Umformen nach den Grenzwertregeln: h sin x h f '(x) lim cos lim h0 h0 h Berechnen der Grenzwerte: x f '(x) cos cos(x) Graph von f Graph von f' x-achse 4

27 Differentiation trigonometrischer Funktionen 9. Die Ableitung der Kosinusfunktion Satz Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) cos(x). Dann gilt für die Ableitungsfunktion: f'(x) sin(x) Beweis Umformung: f(x) cos(x) sinx Ableitung mithilfe der Kettenregel: f '(x) cosx sin(x) Graph von f Graph von f` x-achse 5

28 Differentiation trigonometrischer Funktionen 9.4 Die Ableitung der Tangensfunktion Satz Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) tan(x). Dann gilt für die Ableitungsfunktion: f '(x) (tan(x)) (cos(x)) Beweis sin(x) Umformung: f(x) tan(x) cos(x) Ableitung mithilfe der Quotientenregel: cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)) (cos(x)) (sin(x)) f'(x) (cos(x)) (cos(x)) (cos(x)) (sin(x)) (tan(x)) (cos(x)) 6

29 Integration trigonometrischer Funktionen 0 Integration von Winkelfunktionen 0. Verkettete Sinusfunktionen Funktionstyp : f(x) sin(x) Stammfunktion: F(x) sin(x)dx cos(x) K Funktionstyp : f(x) sin(ax b) Stammfunktion: F(x) sin(a x b)dx cos(a x b) K a Beispiel Funktionsterm: f(x) sin(x ) Stammfunktion: F (x) sin( x )dx cos( x ) K Beispiel Funktionsterm: f(x) sin(0,5x ) Stammfunktion: F (x) sin(0,5 x )dx cos(0,5 x ) K cos(0,5 x ) K 0,5 0. Verkettete Kosinusfunktionen Funktionstyp : f(x) cos(x) Stammfunktion: F(x) cos(x) dx sin(x) K Funktionstyp 4: f(x) cos(ax b) Stammfunktion: F(x) cos(a x b)dx sin(a x b) K a Beispiel Funktionsterm: f (x) cos( x ) Stammfunktion: F (x) cos( x )dx sin( x ) K Beispiel 4 Funktionsterm: f(x) 4 cos(0,5x ) Stammfunktion: F 4(x) cos(0,5 x )dx sin(0,5 x ) K sin(0,5 x ) K 0,5 7

30 Integration trigonometrischer Funktionen 0. Zusammengesetzte Winkelfunktionen Folgende Funktionen sind für physikalische Anwendungen (z. B. im Wechselstromkreis) wichtig. Die entsprechenden Umformungen (z. b. Additionstheoreme) werden der Merkhilfe entnommen. Funktionstyp 5: f(x) sin(x) cos(x) Stammfunktion: F(x) sin(x) cos(x) dx sin( x)dx cos( x) K cos( x) K Beispiel 5 Funktionsterm: f 5 (t) sin( t) cos( t) Stammfunktion: F 5(t) sin( t) cos( t) dt sin( t) dt cos( t) K cos( t) K Funktionstyp 6: f(x) sin(x) Stammfunktion: x F(x) sin(x) dx cos( x) dx x sin( x) K sin( x) K 4 Beispiel 6 f(x) sin(x ) Funktionsterm: Stammfunktion: 6 F 6(x) sin( x ) dx cos(4 x 6) dx x xsin(4x6) K sin(4x6) K 4 8 Beispiel 7 Funktionsterm: f(t) sin( t) 7 Stammfunktion: F 7(t) sin( t) dt cos(t) dt t sin(t) K 8