13 Die trigonometrischen Funktionen

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1 13 Die trigonometrischen Funktionen Wir schreiben die Werte der komplexen Exponentialfunktion im Folgenden auch als e z = exp(z) (z C). Geometrisch definiert man üblicherweise die Werte der Winkelfunktion cos t, sin t als x-koordinate bzw. y-koordinate des Schnittpunktes des Halbstrahls vom Koordinatenursprung in Richtung des Winkels t mit dem Einheitskreis. Wir haben in Satz 1.11 gesehen, dass alle komplexen Zahlen der Form e it = exp(it) (t R) auf dem Einheitskreis in C = R liegen. Definition Für t R definiert man cos t = Re e it und sin t = Im e it. Mit den in Satz 1.11 hergeleiteten Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion erhält man sofort einige elementare Eigenschaften der so definierten Funktionen. Lemma 13.. (a) Für alle t R gilt: (i) e it = cos t + i sin t (Eulersche Formel) (ii) cos t = eit +e it, sin t = eit e it i. (b) Die Funktionen cos : R R, t cos t und sin = R R, t sin t sind stetig. Beweis. Teil (a) folgt direkt aus der Definition. Zum Beweis von Teil (b) sei (t n ) n N eine konvergente Folge in R mit Limes t R. Nach Satz 1.11 gilt dann lim n e itn = e it. Mit Satz 1.5 erhält man, dass lim n cos t n = lim n Re e itn = Re e it = cos t und lim n sin t n = lim n Im e itn = Im e it = sin t ist. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion impliziert die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus. Satz (Additionstheoreme) Für alle x, y R gilt: (a) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, (b) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Beweis. Definitionsgemäß gilt für x, y R cos(x + y) = Re e i(x+y) = Re (e ix e iy ) = Re e ix Re e iy Im e ix Im e iy = cos x cos y sin x sin y. völlig analog erhält man die Formal in (b). 69

2 Mit der Reihendarstellung der komplexen Exponentialfunktion erhält man sehr einfach Reihendarstellungen für Sinus und Cosinus. Satz Für alle x R gilt cos x = ( 1) k x k (k)!, sin x = wobei die Reihen absolut konvergieren in jedem x R. ( 1) k x k+1 (k + 1)!, Beweis. Die absolute Konvergenz der ersten Reihe folgt aus der Beschränktheit der Partialsummenfolge n ( 1)k xk n (k)! x k k! e x <. Eine analoge Abschätzung liefert die absolute Konvergenz der zweiten Reihe. Wegen i = 1 gilt für alle x R n+1 cos x + i sin x = e ix (ix) k = lim n k! ( n ) = lim (i ) k xk n n (k)! + i (i ) k x k+1 (k + 1)! = ( 1) k xk (k)! + i ( 1) k xk+1 ( k+1 )!. Dabei haben wir im letzten Schritt Satz 1.5 (a) benutzt. Durch Real- und Imaginärteilvergleich erhält man die behaupteten Reihendarstellungen. Fehlerabschätzungen zeigen, wie gut sich die Werte von Cosinus und Sinus durch die endlichen Teilsummen der darstellenden Reihen approximieren lassen. Lemma (Restgliedabschätzungen) Seien r n : R R(n ) definiert durch cos x = sin x = Dann gelten für n 0 die Abschätzungen n ( 1) k xk (k)! + r n+(x), n ( 1) k x k+1 (k + 1)! + r n+3(x). r n+ (x) x n+ (n + )! r n+3 (x) x n+3 (n + 3)! für x n + 3, für x n + 4. Für n = 0 erhält man insbesondere, dass cos x 1 = r (x) x für x 3 und sin x x = r 3 (x) x 3 6 für x 4. 70

3 Beweis. Für x R und n N gilt r n+ (x) = k=n+1 ( 1) k xk n+1 xn+ mit (man klammere ( 1) (n+)! aus!) Setzt man a 0 = 1, so ist wegen a i = a i (x) = a i = (k)! = 1 a x n+ 1 + a a 3 + a 4... (n + )! x i (n + 3) (n + i + ) (i 1). x (n + i + 1)(n + i + ) a i 1 a i 1 für i 1 und x n + 3 die Folge (a i ) i 0 monoton fallend. Da die Reihe i=0 ( 1)i a i konvergiert, erhält man durch Zusammenfassen jeweils zweier aufeinander folgender Summanden die Abschätzungen 1 1 (a 1 a ) (a 3 a 4 ) (a 5 a 6 )... (1 a 1 ) + (a a 3 ) + (a 4 a 5 ) Damit erhält man für x n + 3, dass r n+ (x) x n+ (n + )! für alle n N gilt. Ganz ähnlich folgt die Restgliedabschätzung für den Sinus. Korollar Es gilt Für 0 < x < 6 ist sin x > 0. sin x lim x 0 x = 1 und lim cos x 1 = 0. x 0 x x 0 x 0 Beweis. Für 0 < x 4 gilt nach Satz 13.5 sin x x 1 = sin x x x x 6 (x 0) 0. Wegen sin x x 1 < 1 für x < 6 ist sin x > 0 für 0 < x < 6. Für 0 < x 3 gilt nach Satz 13.5 cos x 1 x x (x 0) 0. Damit sind alle Teile des Korollars gezeigt. Im Folgenden wollen wir unter anderem die Nullstellen von Cosinus und Sinus bestimmen. 71

4 Satz Es gibt genau ein x ]0, [ mit cos x = 0. Beweis. Wir begründen zunächst die Existenz einer Nullstelle in ]0, [. Lemma 13.5 mit n = 1 liefert für x 5 die Restgliedabschätzung r 4 (x) x 4 /4!. Insbesondere gilt cos = 1 + r 4() 1 + r 4 () 8 4 = 1 3. Wegen cos 0 = 1 impliziert der Zwischenwertsatz (Satz 10.1) angewendet auf die stetige Funktion cos [0,] die Existenz einer Nullstelle in ]0, [. Um zu begründen, dass es nur eine Nullstelle im Intervall [0, ] gibt, genügt es zu zeigen, dass der Cosinus streng monoton fällt auf diesem Intervall. Für s, t R erhält man mit Satz 13.3, dass cos(s + t) cos(s t) = (cos s cos t sin s sin t) (cos s cos( t) sin s sin( t)) = sin s sin t. Dabei haben wir benutzt, dass cos( t) = cos t und sin( t) = sin t ist (siehe Satz 13.4). Für 0 x < x ist ( x cos x ) ( + x x ) x cos x = sin sin < 0, denn nach Korollar 13.6 sind die beiden hier auftretenden Werte vom Sinus positive reelle Zahlen. Damit ist gezeigt, dass die Einschränkung von Cosinus auf das Intervall [0, ] streng monoton fällt. Definition Wir definieren π als die eindeutige reelle Zahl x im Intervall ]0, 4[ mit cos x = 0. Man kann zeigen, das π eine irrationale Zahl ist (siehe etwa [Aigner-Ziegler, Proofs from the book, Chapter 6]). Eine näherungsweise Berechnung der Zahl π findet man in [O. Forster, Analysis 1]. Korollar Sei x R. Für alle x R gilt: (a) e i π = i, e iπ = 1, e i 3 π = i, e πi = 1, (b) cos(x + π) = cos x, sin(x + π) = sin x, (c) cos(x ± π) = cos x, sin(x ± π) = sin x, (d) cos x = sin ( π x), sin x = cos ( π x) = cos ( x π ). Beweis. (a) Da π folgt mit Lemma 13., dass ist. Damit erhält man, dass e i π eine Nullstelle von cos in ]0, [ ist und da sin x > 0 ist nach Korollar 13.6 für x ]0, [, sin π = 1 cos π = 1 = cos π + i sin π = i ist. Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion (Satz 1.11) sieht man, dass e in π = ( e i π ) n = i n ist für alle n N. Die Teile (b)-(d) folgen aus Teil (a) mit Definiton 13.1 und den Additionstheoremen (Satz 13.3). 7

5 Korollar Es gilt: (a) {x R; sin x = 0} = πz(= {kπ; k Z}), (b) {x R; cos x = 0} = π + πz(= { π + kπ; k Z}), (c) {x R; e ix = 1} = πz(= {πk; k Z}). Beweis. Wegen sin 0 = 0 und sin(x ± π) = sin x für alle x R, ist sin(kπ) = 0 für alle k Z. Da cos [0,] nach dem Beweis von Satz 13.7 streng monoton fällt und da cos π = 0 ist, ist cos x = cos( x) > 0 für x [0, π [. Mit Korollar 13.9 erhält man, dass sin x = cos(x π ) > 0 für x ]0, π[ ist. Ebenfalls nach Korollar 13.9 gilt sin(x ± π) = sin x für alle x R. Induktiv folgt daher, dass sin x > 0 ist auf jedem Intervall der Form ]kπ, (k + 1)π[ mit k Z. Damit ist Teil (a) bewiesen. Teil (b) folgt aus Teil (a), da cos x = sin(x π ) ist für alle x R (Korollar 13.9). Da die komplexe Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt (Satz 1.11), folgt aus der Darstellung sin x = ei x e i x i = e i x i (e ix 1) zusammen mit Teil (a) die Gültigkeit von Teil (c). Wir wissen (Satz 1.11), dass die komplexen Zahlen der Form e it (t R) auf dem Einheitskreis in C = R liegen. Mit dem Zwischenwertsatz folgt umgekehrt, dass jede Zahl auf dem Einheitskreis eine solche Darstellung besitzt. Korollar (Polarkoordinaten) Jede komplexe Zahl z C hat die Gestalt z = re it mit r 0 und t [0, π[. Für z 0 ist t eindeutig bestimmt. Beweis. Wir dürfen annehmen, dass z 0 ist. Hat z die angegebene Darstellung, so ist notwendigerweise r = z. Definiert man r = z, so ist Re z/r [ 1, +1]. Nach dem Zwischenwertsatz (10.1) angewendet auf die stetige Funktion cos [0,π] existiert ein ϕ [0, π] mit cos ϕ = Re z/r. Dann ist (Im z) = z (Re z) = r (1 cos ϕ) = r sin ϕ und daher z = Re z + iim z = r cos ϕ ± ir sin ϕ = re it 73

6 mit t = ϕ oder t = ϕ. Ist z = re it0 0 mit irgendeiner reellen Zahl t 0, so ist r = z und mit Korollar (c) erhält man, dass {t R; z = re it } = t 0 + πz ist. Da jedes Intervall der Form [a, a + π[ mit a R genau eine Zahl aus t 0 + πz enthält, folgt auch die behauptete Eindeutigkeit. Definition Für x R \ {(k + 1) π ; k Z} definiert man tan x = sin x cos x und für x R \ {kπ; k Z} setzt man cot x = cos x sin x. Satz (a) Die Abbildung cos : [0, π] [ 1, 1] ist bijektiv und streng monoton fallend. Die stetige und streng monoton fallende Umkehrfunktion arccos : [ 1, 1] [0, π] heißt Arcus-Cosinus. (b) Die Abbildung sin : [ π, π ] [ 1, 1] ist bijektiv und streng monoton wachsend mit stetiger und streng monoton wachsender Umkehrfunktion (Arcus-Sinus) arcsin : [ 1, 1] [ π, π ]. (c) Die Abbildung tan :] π, π [ R ist bijektiv und streng monoton wachsend mit stetiger und streng monton wachsender Umkehrfunktion (Arcus-Tangens) arctan : R ] π, π [. Beweis. (a) Nach dem Beweis von Satz 13.7 ist die Funktion cos [0, π ] streng monoton fallend. Wegen cos x = cos(π x) ist auch cos [ π,π] streng monoton fallend. Da cos 0 = 1 und cos π = 1 ist, zeigt der Zwischenwertsatz (10.1), dass cos([0, π]) = [ 1, 1]. Die übrigen Behauptungen in (a) folgen aus Satz 11.4 (und Lemma 13. (b)). (b) Die Behautungen in Teil (b) folgen wegen sin x = cos( π x) aus Teil (a) zusammen mit Satz (c) Als wohldefinierter Quotient stetiger Funktionen ist tan :] π, π [ R stetig (Satz 9.1). Da sin x > 0 und cos x > 0 auf ]0, π [ ist, folgt aus dem in (a) und (b) beschriebenen Monotonieverhalten von Cosinus und Sinus, dass die Funktion tan [0, π [ streng monoton wächst (benutze Satz 3.4 (b)). Da tan x = tan( x) für alle x R\ π (Z+1) gilt, ist tan x auch streng monoton wachsend auf ] π, 0]. Ist (x n ) n N eine Folge in ]0, π [ mit Limes π, so folgt aus mit Satz 4.0, dass (tan x n ) n N = 0 < cos x n (n ) 0 sin x n ( sin x n cos x n )n N (n ). Also ist lim x π tan x = und lim x π tan x = lim x π tan( x) =. Die strenge Monotonie impliziert die Injektivität von tan :] π, π [ R und der Zwischenwertsatz (10.1) die Surjektivität. Ähnlich wie wir im Beweis von Satz 11.5 die Stetigkeit des Logarithmus begründet haben, erhält man mit Satz 11.4 die Stetigkeit des Arcus-Tangens. 74