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1 Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 2 (Modul) Termin: 15. September 2007 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe Note a b c a b a b a b c d Soll Ist Hinweise: Lesen Sie zunächst alle Aufgaben durch. Vergewissern Sie sich, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 4 Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf eine konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie insbesondere auf Zusatzblättern bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe eine Lösung gehört. Aus Ihren Lösungen müssen die Lösungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, sollten Sie dies vermerken, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1

2 1. Ein Kleinunternehmen produziert 2 Produkte P 1 und P 2 in den Mengen x 1 und x 2 (in ME zu 1000 Stück) und verkauft sie zu den Preisen p 1 = 4.40 und p 2 = 2.80 (in e/stück bzw e/me). Die Kostenfunktion (in e) für die Produktion innerhalb einer Woche lautet K(x 1, x 2 ) = 3000x x 2 + 2(x 1 2x 2 ) 2 + 2x 2 1. (a) Wie viel muss von beiden Produkten innerhalb einer Woche produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? Weisen Sie nach, dass die berechneten Mengen ein Gewinnmaximum realisieren! (b) Wegen der beschränkten Produktionskapazitäten können von beiden Produkten insgesamt höchstens 500 ME je Woche produziert werden. Wie viel muss dann von den Produkten produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? Weisen Sie auch hier nach, dass es sich um ein ein Maximum handelt! (c) Um wie viel würde der maximale Gewinn in Aufgabe (b) näherungsweise steigen, wenn die Produktionskapazität um 10 ME gesteigert werden könnte? Hinweis: Endergebnisse können sinnvoll gerundet werden, Zwischenergebnisse müssen nicht gerundet werden. 2

3 2. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen hat durch eine Marktanalyse ermittelt, dass es von seinem Produkt in Abhängigkeit vom Preis (in e/stück) die durch die folgende Preis-Absatz-Funktion definierten Mengen (in Stück) absetzen könnte: { p, p [100, 140] x(p) = p p [140, 300] Bei Preisen über 300 e gilt das Produkt als unverkäuflich, Preise unterhalb von 100 e sind für das Unternehmen nicht realisierbar, da es dann nicht mehr kostendeckend arbeiten kann. (a) Wie groß ist die Konsumentenrente, d.h. der dem Unternehmen durch den Festpreis entgangene potentielle Erlös, bei einem Preis von p 0 = 130 e. (b) Wie viel Prozent dieser Konsumentenrente könnte das Unternehmen als Zusatzerlös realisieren, wenn es gelingt, das Produkt zusätzlich (unter einer Designermarke) zu einem Preis von p d = 220 e am Markt einzuführen. 3

4 3. In einer Teilefertigung werden aus drei Rohteilen R 1, R 2 und R 3 zunächst drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 und aus diesen die drei Produkte P 1, P 2 und P 3 gefertigt. Der spezifische Teilebedarf für die beiden Fertigungsstufen ist in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. Z 1 Z 2 Z 3 R R R P 1 P 2 P 3 Z Z Z (a) Wie viele der Rohteile R 1, R 2 und R 3 müssen für die Produktion bereitgestellt werden, wenn Teile P 1, Teile P 2 und Teile P 3 gefertigt werden sollen. Dabei soll ein vorhandener Lagerbestand von Zwischenprodukten Z 2 genutzt werden? (b) Wie hoch sind die Materialkosten für die Endprodukte [in e /Stück], wenn die Rohteile zu Preisen von 3 e (R 1 ), 2 e (R 2 ) und 5 e (R 3 ) eingekauft werden? 4

5 4. Gegeben ist das folgendes lineare Optimierungsproblem mit den Restriktionen R1 bis R4: z = 32x x x 3 max x 1 + 3x 2 + 2x (R1) 2x 1 + x 2 + 4x (R2) x 1 + x 2 + x (R3) x 2 + x (R4) x 1, x 2, x 3 0 Bei der Lösung des obigen LOP hat sich das folgende Simplextableau ergeben x 1 x 4 x 6 1 x x x x z Dabei sind x 4,..., x 7 die Schlupfvariablen der Restriktionen R1,..., R4. (a) Wie lauten die optimale Lösung und der optimale Zielfunktionswert? (b) Welche Änderungen des Zielfunktionskoeffizienten von x 3 hätten keinen Einfluss auf die optimale Lösung? (c) In welchem Bereich dürfte der Zielfunktionskoeffizient von x 2 schwanken, ohne dass sich die optimale Lösung ändert? Würde sich dies auf den optimalen Zielfunktionswert auswirken? Wenn ja - wie? (d) Ist die Restriktion R2 aktiv oder inaktiv und was bedeutet dies? 5

6 Lösungen 1. (a) x 1 = 450 x 2 = 275 G max = e (b) x 1 = 315 x 2 = 185 G max = e (c) λ = 360 = G max 3600 e 2. (a) K R = e 3. (a) (b) E = e, d.h % von K R r = (b) p = [e/stück] 4. (a) x opt = (15, 105, 0 0, 95, 0, 55), z max = 3945 (b) keine Änderungen, solange c (c) c 2 = 33 + t = z max = t t [ 1, 63] (d) R2 nicht aktiv, 95 Einheiten von R2 nicht genutzt. 6

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