Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I

Transkript

1 Hans-Georg Weigand / Andreas Filier / Reinhard Hölzl / Sebastian Kuntze / Matthias Ludwig / Jürgen Roth / Barbara Schmidt-Thieme / Gerald Wittmann Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I Spektrum ^ ~*L AKADEMISCHER VERLAG

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 7 I Ziele des Geometrieunterrichts (H.-G. Weigand) 13 1 Lernziele, Kompetenzen und Leitlinien 13 2 Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts Geometrie und die Erschließung der Welt Grundlagen wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens Geometrie und Problemlösen 22 3 Inhaltsspezifische Ziele des Geometrieunterrichts Verständnis geometrischer Begriffe und ihrer Eigenschaften Lernen geometrischer Denk- und Arbeitsweisen Erkennen der Beziehung zwischen Geometrie und Wirklichkeit Zur Unterrichtskultur 30 II Beweisen und Argumentieren (G. Wittmann) 35 1 Beweisen in der Geometrie Was ist ein Beweis? Funktionen des Beweisens Beweis und Beweisfindung Beweistypen 42 2 Beweisen und Argumentieren im Unterricht Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern Mathematisch argumentieren Inhaltlich-anschauliche Beweise 50 III Konstruieren (M. Ludwig und H.-G. Weigand) 55 1 Konstruktive Zugänge zur Geometrie Spannen von Seilen und Bändern Falten Zeichnen 58 2 Die Werkzeuge Die Klassiker: Zirkel und Lineal Die Praktischen: Parallelzeichner und Geodreieck Die Modernen: Computer 62 3 Konstruieren als mathematische Tätigkeit Bedeutung von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen Was versteht man unter Konstruieren? Konstruktionsbeschreibungen 66

3 2 Inhaltsverzeichnis 4 Vom Einfachen zum Komplexen Grund- und Standardkonstruktionen Das Modulkonzept 70 5 Didaktische Bedeutung von Konstruktionsaufgaben Konstruieren als Problemlösen Warum Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen? Konstruktionen mit dem Computer 76 IV Problemlösen (G. Wittmann) 81 1 Problemlösen im Geometrieunterricht Was ist ein Problem? Schritte im Problemlöseprozess Ziele des Problemlosem 86 2 Problemlösen lehren und lernen Allgemeine heuristische Strategien Inhaltsspezifische heuristische Strategien Hilfen im Lösungsprozess 97 V Begriffslernen und Begriffslehren (H.-G. Weigand) 99 1 Zum Prozess der Begriffsbildung Mentale Modelle Phänomene als Ausgangspunkte Lernen geometrischer Begriffe Aufbau angemessener Vorstellungen Erwerb von Kenntnissen Aneignung von Fähigkeiten Das Definieren geometrischer Begriffe Logische Aspekte von Definitionen Definitionen im Geometrieunterricht Genetische und charakterisierende Definitionen Strategien des Begriffsiehrens Kurzfristiges Lehren geometrischer Begriffe Mittelfristiges Lehren geometrischer Begriffe Langfristiges Lehren geometrischer Begriffe 119 VI Ebene Figuren und Körper (J. Roth und G. Wittmann) Lehren und Lernen von Figuren und Körpern Interne und externe Bezüge Bedeutung operativer Begriffsbildungen..ZZZZZZZZZZZZZZZZ Dreiecke Dreiecke als Grundbausteine Dreiecksgrundformen 129

4 3 Vierecke Begriffsumfang der Vierecksbegriffe Viereckseigenschaften und Haus der Vierecke Körper Lernen der Körpergrundformen Körpermodelle und -netze Raumvorstellung und Kopfgeometrie Raumvorstellung Kopfgeometrie 151 VII Flächeninhalt und Volumen (S. Kuntze) Messen als Leitidee für Flächeninhalts- und Volumenbestimmung Ziele Flächen- und Volumenmessung im Laufe der Schuljahre Aspekte des Messens Kontexte des Messens Flächeninhaltsbegriff und Volumenbegriff Flächeninhalte und Volumina als Größenbereiche Flächeninhaltsbegriff Auslegen bzw. Ausfüllen Zerlegen und Ergänzen Flächen-und Körperverwandlungen Approximieren von Flächen- und Rauminhalten Zusammenhänge: Flächeninhalts- und Volumenformeln Funktionale Zusammenhänge bei Flächeninhaltsformeln Ausblicke 184 VIII Symmetrie und Kongruenz (B. Schmidt-Thieme und H.-G. Weigand) Mathematische Grundlagen von Symmetrie und Kongruenz Symmetrie Kongruenzabbildungen Kongruenz Symmetrie als Umweltphänomen Zum Lernen des Symmetriebegriffs Der Symmetriebegriff zu Beginn der Sekundarstufe Symmetrische Figuren Achsenspiegelung Anwendungen der Symmetrie Kongruenz Bedeutung von Abbildungen Zugänge zum Kongruenzbegriff Begründungen der Kongruenzsätze 206

5 4 Inhaltsverzeichnis 5.4 Kongruenzbeweise versus Abbildungsbeweise Symmetrie und Kongruenz im Raum 210 IX Ähnlichkeit (R. Hölzl) Ähnlichkeit in Figuren Phänomen Ähnlichkeit" Die Strahlensätze Die Umkehrung der Strahlensätze Ähnlichkeitsabbildungen Geometrische Abbildungen Die zentrische Streckung Die Ähnlichkeitssätze Anwendungen der Ähnlichkeitslehre Der Satz des Pythagoras Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks Der Goldene Schnitt Ausblick 237 X Trigonometrie (A. Filier) Bedeutung der Trigonometrie in der Sekundarstufe Bezüge zu früheren Inhalten des Mathematikunterrichts Algebraisierung: Von Konstruktionen zu Berechnungen Mit Dreiecken Konstruktion- und Vermessungsprobleme lösen Einstiege in die Trigonometrie Vergleich zweier Einstiege Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck Eigenschaften und Anwendungen von Sinus, Kosinus und Tangens Näherungswerte bestimmen und auswerten Exakte Bestimmung einiger Funktionswerte Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens Lösen von Übungs- und Anwendungsaufgaben Berechnungen in beliebigen Dreiecken Anwendungen der Trigonometrie in der Raumgeometrie Trigonometrische Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens für beliebige Winkelgrößen Graphen der trigonometrischen Funktionen Ausblicke 262 XI Geometrie und Geometrieunterricht (H.-G. Weigand) Geometrie als Erdmessung" Geometrie als praktische Lebenshilfe Geometrie und die Darstellung unserer Umwelt 266

6 2 Geometrie und die Macht des Denkens Thaies von Milet Pythagoras von Samos Piaton Die Elemente des Euklid Definitionen Postulate Axiome Huberts Grundlagen der Geometrie Zum Wesen mathematischer Objekte Axiome Euklid versus Hubert Der Geometrieunterricht - Hin zu Euklid Praktischer Aspekt Schule des Denkens Der Geometrieunterricht - Weg von Euklid Bewegliche Geometrie Abbildungsgeometrie Kongruenzgeometrie Aktuelle Strömungen 280 Literatur: 283 Stichwortverzeichnis 301