Stoffumfang 1.Semester - Lektionen. Grundbegriffe

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1 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Stoffumfng.Semester - Lektionen Grundbegriffe Differenzition Höhere Funktionen 4 Koordinten, Gerde, Steigung Funktionen und Grphen, Umkehrfunktion Trigonometrische Funktionen Verschiebungen, Dehnungen, Prbel, Kreis Vektoren im Koordintensystem, einfche Vektoropertionen Vektorprodukte Steigung, Seknte, Tngente Differenzitions-Regeln Geschwindigkeit, Beschleunigung, Änderungsrten, höhere Ableitungen Ableitung der trigonometrischen Funktionen Eponentil- und Logrithmus-Funktion Wchstums- und Zerflls-Prozesse, logrithmisches Differenzieren Hlb- und doppellog. Auftrgungen Inverse Winkelfunktionen, hyperbolische Funktionen Anwendung der Differenzilrechnung Abhängige Rten, Etremwerte Optimierungsufgben Linere und qudrtische Näherung, Tylorpolynome Tylorreihen, Tylorrest Integrtion 9 0 Bestimmtes Integrl, Fundmentlstz der Anlysis Unbestimmte Integrle, Rechenregeln Substitution Prtilbruchzerlegung kompliziertere Prtilbruchzerlegungen Anwendungen der Integrlrechnung Linere Gleichungssysteme, Mtrizen Bogenlänge, Oberflächen und Volumin Schwerpunkt, Moment, Arbeit Sttikprobleme und Drehungen in Mtrizendrstellung Mtriopertionen und Rechenregeln, inverse Mtri Gußsches Elimintionsverfhren Rng einer Mtri, freie Prmeter Guß-Jordn-Verfhren

2 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Wie schffe ich die Ingenieurmthemtik? Bestndsufnhme Viele Studiennfänger im Mschinenbu oder in der Umwelttechnik tun sich schwer mit der Ingenieurmthemtik. Die Urschen sind vielfältig: Einige hben z.b. uf der FOS den Wirtschftszweig oder gr den Sozilzweig gewählt, weil sie u.. mit der Mthemtik nicht so vertrut wren und sich in diesen Schulzweigen bessere Noten erhofften. Dnn wählen sie wegen der Berufsussichten doch ein technisches Studium. Generell wird in den höheren Schulen nicht mehr viel Rechnen geübt. Mn vertrut mehr uf die Hilfsmittel Tschenrechner und Formelsmmlung. Seit es Tschenrechner mit Bruchrechnung und symbolischer Algebr gibt ( Rechnen mit Buchstben ), werden diese Disziplinen nicht mehr beherrscht. Gnz zu Schweigen vom Kopfrechnen! Anforderungen Schule Studium Die technischen Wissenschften hben nur deswegen unser modernes Leben so entscheidend beeinflussen können, weil sie mit Hilfe der Mthemtik äußerst ekte Prognosen bgeben konnten. Angewndte Mthemtik ist dher der Huptinhlt des Kurses und diese ist erfhrungsgemäß noch unbeliebter bei den Studenten ls ds Durchrechnen von kdemischen Übungsufgben, gibt es hier doch selten Stndrdrezepte zur Lösung. Es hilft nur viel eigenständiges Üben und selbstständiges Überlegen. Mthemtik wird mehr ls Hndwerkszeug verstnden, die grundlegendenden Fähigkeiten: - Bruchrechnen - lgebrische Gleichungen umformen und nch einer Größe uflösen - Rechnen mit Potenzen und Logrithmen - geometrische Überlegungen, Rechnen mit Winkelfunktionen - Differenzieren und Integrieren von Funktionen sollten schon us der Schule beknnt, geübt und reflertig brufbr sein. Die letzten Punkte sind zwr uch Stoff der Vorlesung, sie werden ber dermßen schnell behndelt, dss ein erstmliges Erlernen erfhrungsgemäß schwer fällt. Der Huptunterschied besteht im von ußen unkontrollierten, eigenständigen Lernen, mit dem viele Studenten erst ml nicht zurecht kommen. Keine Kontrollen im Semester interpretieren viele mit: ni tun müssen mit entsprechendem Prüfungsmisserfolg. Pro Vorlesungsdoppelstunde sollten bei norml begbten Studenten zwei Nchrbeitungsstunden ngesetzt werden, Studenten mit Mthemtikschwäche (sog. Dysklkulie) können die Zhl ruhig um die Hälfte erhöhen. Für die Prüfungsvorbereitung sind dnn nochml c. 0 Stunden ngebrcht.

3 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Wie schffe ich die Ingenieurmthemtik? Skript Dieses Skript soll die häusliche Nchrbeit erleichtern, indem es Literturhinweise, Zustzmteril und Husufgben zur Verfügung stellt. Es ist in Lektionen gegliedert, wobei eine Lektion in den meisten Fällen einer Vorlesungsdoppelstunde entspricht. Es gibt Aufgben in Schwierigkeitsgruppen ( bis Sterne), die leichten und mittleren Aufgben müssen selbstständig berbeitet werden können. Für die Leistungsstrken gibt es dnn noch einige wenige -Sterne-Knobelufgben. In der Vorlesung sollte der Tfelnschrieb uf kriertem Ppier mitgeschreiben werden. Es gibt dbei viele Grphiken, die die Gelegenheit bieten, sich in Hndskizzen zu üben. Ds lles hört sich zwr recht mittellterlich n, Mitschreiben ist ber nch wie vor besser ls nur Zuhören oder Zusehen. Die mnuelle Tätigkeit unterstützt ds Verständnis, ds ht sich uch nch vielen multimedilen Eperimenten immer wieder bestätigt. Außerdem wird die Hndschrift geschult, ws erfhrungsgemäß gerde bei den griechischen Buchstben dringend nötig ist. Bücher Gut für Mschinenbuer geeignet sind: Bruch / Dreyer / Hcke (im Skript mit Mthemtik für Ingenieure bgekürzt) Kompkte Drstellung fst des gesmten Stoffes in einem Buch. Viele uch nspruchsvolle Übungsufgben stmmen us dem Bereich Mschinenbu und geben einen Einblick in die Mcht des Werkzeugs Mthemtik in den Händen des gut usgebildeten Ingenieurs. Es gibt Aufgben in llen Schwierigkeitsgrden inklusive Lösungen. Nicht lle Themengebiete werden in der Vorlesung behndelt. Nehmen Sie sich lso erst ml nur die zum Stoff pssenden Kpitel vor. ε Epsilon (im Skript mit ε bgekürzt) elektronisches Lernbuch übersetzt und erweitert von Prof. Dr. Günther Kurz, FH Esslingen Instlltionen uf den Übungs-PC s der FH Augsburg Gerde für den mthemtisch unbelsteten Studenten bestens geeignet, um sich den Stoff im Selbststudium zugänglich zu mchen. Dieser wir in gnz kleinen Häppchen mundgerecht verbreicht, Bilder (z.t. bewegt) popups und Übungsufgäbchen zur Lernkontrolle dienen der Verduung. Auf ds mthemtische Kuderwelsch wird in der Argumenttion weitgehend zugunsten des prktischen Verstndes verzichtet. Leider fehlen etliche Kpitel Vorlesungsstoff.

4 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 4 Wie schffe ich die Ingenieurmthemtik? Formelsmmlung Die wichtigsten mthemtischen Formeln muss mn ls Ingenieur und nturwissenschftlich gebildeter Mensch im Kopf hben (besser noch: im Brustwirbelbereich des Rückenmrks). Sie werden in diesem Skript etr gekennzeichnet. Z.B. e = cos + jsin j Nicht gnz so wichtige Formeln werden in einer kleinen Formelsmmlung ls Etrdokument zusmmengefsst, so dss eine weitere Formelsmmlung eigentlich nicht nötig ist. Hilfsmittel Wie gesgt, wichtigstes Hilfsmittel sollte ds eigene Hirn sein. Tschenrechner werden nur selten ml gebrucht, um numerische Ergebnisse mit höherer Genuigkeit zu erhlten. Für kompleere Berechnungen und zum Erstellen von Funktionsgrphen nimmt mn heute ntürlich PC-Progrmme. Bei den Mschinenbuern ht sich d Mtlb/Simulink wegen der überrgenden Möglichkeiten im Bereich Steuern und Regeln ls Stndrd herusentwickelt. Im Huptstudium werden Sie mit diesen Progrmmen in Berührung kommen. Nur für die ngewndte Mthemtik finde ich uch Mthcd gnz gut. Es ht nders ls Mtlb eine grphische Benutzeroberfläche und verwendet den üblichen Formelstz. Studentenversionen gb es ml beim Springer-Verlg für 99. Außerdem gibt es freie Probierversionen ( Mthcd-Eplorer ) im Internet. Im Lufe der Zeit hbe ich etliche Mthcd-Übungsblätter entwickelt, uf die in den einzelnen Lektionen hingewiesen wird. Für den Prüfungserfolg werden diese Mterilien nicht unbedingt gebrucht. (MÜ-HOme = An der FH Augsburg ht Prof. Dr. Weiß ein mthemtisches Progrmmsystem (Funktionsplotter mit vielen interktiven Möglichkeiten) entwickelt. Unter knn mn es kostenfrei herunterlden und entweder selbst dmit progrmmieren oder fertige Arbeitsblätter pssend zum Stoff genießen.

5 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 5 Lektion : Koordinten, Gerde, Steigung * b * Zeige: eine Gerde mit -Achsenbschnitt und y-achsenbschnitt b knn so beschrieben werden: / + y/b = Zeichne die Gerden C = 5/9(F-) sowie C = F in ein Achsenkreuz (Celsius Hochchse, Fhrenheit Rechtschse). Gibt es eine Tempertur, bei der die Celsius-Grde gleich den Fhrenheit-Grden sind? Wenn j, welche? Lektion : Funktionen und Grphen, Umkehrfunktion Kpitel.4 ε Lektion 4 FunktionsgrfV8.mcd: wie knn mn in wenigen Schritten in Mthcd eine Funktion definieren und einen Grphen erstellen FunktionenpuzzleV8.mcd: ordne verschiedene Funktionsgrphen den zugehörigen Funktionsformeln zu Ein Krftwerk, ds 5km flussufwärts einer Aluminiumhütte liegt, soll dieser elektrische Energie liefern. Krftwerk und Aluminiumhütte liegen n entgegengesetzten Ufern des 00m breiten Flusses. Die Kbelkosten betrgen 700 /m n Lnd und 00 /m im Fluss. Zur Kostenoptimierung wird ds Kbel vom Krftwerk weg schräg durch den Fluss gelegt und kommt uf der nderen Seite Ufermeter flussbwärts vom Krftwerk n. Skizziere die Sitution Bestimme die Funktion K() (Kbelkosten in ls Funktion von ) Zeichne den Grphen von K() im Bereich m Wo ist ds Optimum (grphisch, Ableiten kommt später)? b * Finde die Umkehrfunktion f - () von: f( ) = +

6 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 6 Lektion : Trigonometrische Funktionen ε MÜ-HOme/ IngMthe/ Mteril * b c Kpitel.4 Lektion 4 (Arten von Funktionen) SinusCosinus.zip: die Projektion des rotierenden Zeigers mit Länge uf die Vertikle ergibt den Sinus, uf die Horizontle den Cosinus Berechne ohne Tschenrechner (Periodizität, Symmetrie, Hlbwinkelformeln usnutzen): π π π 7π 5π π cos, tn, sin, sin, cos, sin 4 4 Wndle die Ausdrücke in solche, die nur noch sin und cos enthlten und vereinfche, flls möglich: π π cos( π + ), sin( π ), sin( ), cos( ) tn cot tn + cot, tn + cot Zeige: 4 4 cos sin = cos( ) cos sin = = tn sin + cos Gegenkthete sin : = sin 0 = sin 45 = sin 60 = Hypotenuse Ankthete cos : = cos0 = cos 45 = cos60 = Hypotenuse Gegenkthete sin tn : = = tn 45 = Ankthete cos sin + cos = " trigonometrischer Pythgors"

7 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 7 Lektion 4: Verschiebungen, Dehnungen, Prbel, Kreis Kpitel.5 ε Lektion 4 MÜ-HOme/ Zirkel und Linel/ Mitterncht.. 4 * Lösung der qudrtischen Gleichung mit Hilfe einer Kreiskonstruktion Zeichne freihnd uf kriertes Ppier (5mm) die ngegebenen Funktionen sowie ihre mrknten Punkte oder Asymptoten ein. Skliere dzu die Achsen möglichst geschickt. Gleiche Sklierung in und y ist nicht gewünscht: π π, 5 cos( + ) tn( ) Veränderung des Grphen Verschiebung um nch oben Verschiebung um b nch rechts Dehnung um Fktor c nch oben Dehnung um Fktor d nch rechts in Formel ersetzen y durch y- durch -b y durch y/c durch /d Bsp.: + y = Einheitskreis (/d) + (y/c) = Ellipse mit Hlbchse d in - und c in y-richtung Kreisumfng πr= πd (Rdius, Durchmesser) Kreisfläche πr Kugelfläche 4πR Kugelvolumen 4 πr llgemeine Prbelgleichung: y = + b + c b± b 4c Nullstellen ( Mitternchtsformel ): / =

8 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 8 Lektion 5: Vektoren im Koordintensystem, einfche Vektoropertionen Kpitel 4. ε Lektion 9 5 5b Ein Mnt fährt 50 Schen Richtung Nord. Der Fuchsschwnz n der Antenne zeigt Richtung Ost. Der Mntfhrer gibt nun Gs und fährt 00 (weiter Richtung Nord). Der Fuchsschwnz zeigt jetzt nch Südost. Bestimme Windrichtung und stärke. Eine Wsserleitung zeigt Richtung Norden und steigt mit 0% (tnα!). Sie mcht dnn einen Knick nch Osten und steigt mit 0%. Skizze. Welchen Winkel ht ds Knie? (Sklrprodukt und rccos) + b Bezeichnung = y Addition + b = y + b y z z b + z Betrg ( Länge) : = = + y + z Einheitsvektor ˆ = Sklrprodukt b : = b + yby + zbz = b cosθ θ : Winkel zwischen und b (0 θ π) Lektion 6: Weitere Vektorprodukte Kpitel 4. ε Lektion 9 6 6b Finde einen Vektor, der senkrecht uf der durch die folgenden Punkte ufgespnnte Ebene steht: (,0,0) (0,b,0) (0,0,c). Welche Fläche ht ds durch die Punkte ufgespnnte Dreieck? Zeige: u ( v w) = ( u w) v ( u v) w Hinweis: ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit (obda) knn ngenommen werden, dß v uf der -Achse und w in der y-ebene liegt b y z b z y Vektorprodukt c = b = zb b z b y b y Eigenschften b = b sinθ, b, c bilden Rechtssystem c steht senkrecht uf und b Vorsicht b = b :

9 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 9 Lektion 7: Steigung, Seknte, Tngente Kpitel 5. ε Lektion 6 7 * Leseübung: 7 d 7! i =? d i= 0 i! n ( + ) = n ( k) k = 0 n n! ( ) = n n k k binomischer Stz b b Binominilkoeffizient : oder : k k!( n k)! Zeile n " Splte" k im Psclschen Dreieck n Fkultät n!: = n ( n )... : = ( n k) = k k= 0 k= r Ableitung der Potenz f ( ) = f '( ) = r oder r n d d r = r r r : reell Lektion 8: Differenzitionsregeln Kpitel 5. ε Lektion 7 8 d d [ f( f( )) ] 4 (überprüfe Ergebnis mit f() = ) 8b d d + = f, g : Funktionen von, b : Konstnte Linerität d d f + bg = f ' + bg ' Produktregel d ( f g) = f ' g + fg ' d Quotientenregel d f f ' g fg' = d g g Kettenregel d ( f ( g( ) ) = f '( g( )) g'( ) d Nchdifferenzieren ( )

10 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 0 Lektion 9: Änderungsrten, höhere Ableitungen Kpitel 5. ε Lektion 6 ESt00V8.mcd: die Steuerformel S(E) ist eine bschnittsweise definierte, stetig differenzierbre Funktion, die die zu zhlende Einkommensteuer S in Abhängigkeit des zu versteuernden Jhreseinkommens E ngibt. Mn unterscheidet zwischen Durschnittsbelstung S (mittlerer Steurstz) und E Grenzbelstung ds, die die zu zhlende Steuer für jeden zusätzlichen de Euro Mehrverdienst ngibt (ws bleibt von der Gehltserhöhung übrig?). Die Steuerformel wird ständig von der Politik geändert. Die ngegebene stmmt us dem Jhr 00. SymbolischDifferenzierenV8.mcd: Mthcd enthält eine einfche Version des beknnten Algebrsystems Mple, knn lso mit Formeln rechnen, wie der Student so schön sgt. Einige Möglichkeiten werden im Arbeitsbltt ufgezeigt, sämtliche Differenzierregeln werden utomtisch berücksichtigt. Ds Bltt zeigt die Möglichkeiten moderner Computermthemtik. Es soll nicht die häufig zu findende Einstellung bestärkt werden: wenn s der Computer knn, bruch s ich j nicht mehr zu können. Im Gegenteil, die Verwendung des Computerwerkzeug erfordert solide Mthemtikkenntnisse, um die Ergebnisse kritisch zu interpretieren. 9 * 9b * d d m= d 99 d = 7! (7 m)! m! m m 0 m! m

11 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion 0: Ableitung der trigonometrischen Funktionen Kpitel 5. ε Lektion 7 AbleitungSinus.mcd: gezeigt werden die für die Sndwichmethode sinθ benötigten Funktionen zur Bestimmung des Grenzwertes lim. θ 0 θ Außerdem sieht mn den Sinus über ufgetrgen, wobei einml ls Bogenmß (rot) und dnn ls Grdmß (blu) interpretiert wird. Nur die Steigung der roten Kurve ist im Ursprung, die blue Kurve steigt viel flcher mit π/80 pro Grd n! Genuer sollte es lso heißen: Ableitung des Sinus n der Stelle 0 ist pro Rd. 0 * + b < 0 Betrchte Funktion: f( ) = sin + cos 0 Bestimme und b so, dss f() knick- und sprungfrei wird und zeichne die Funktion im Bereich sin' = cos cos' = sin tn' = cos in Rdin!

12 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion : Logrithmusfunktion Kpitel ε Lektion 4 und 7 * b * c + log 0 log log 5 log log Vereinfche: Löse nch uf: Differenziere nch : k= 0 = ln tn cos + log Logrithmus mit beliebiger Bsis ln ntürlicher Logrithmus ln e = e = =, Euler Zhl k! lg 0er Logrithmus lg0 = ln ln lg = = ln0,0 log() = 0 log( b) = log + logb log b = log logb b log = blog log e log' = ln' = e = ln Eponentilfunkt. = Umkehrfunkt. des Logrithmus y + y = y = y ( ) y y y y ( ) = = ' ( ) ln ( e) = ' = e

13 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion : Eponentilfunktion, Wchstums- und Zerfllsprozesse, log. Differenzieren Kpitel ε Lektion 4 und 7 hochhochv8.mcd: Bei den Eponentiltürmen ist die Klmmerung entscheidend. * Vereinfche: e e 5 e (ln9)/ lg e,0 b Berechne f (0) durch log. Differenzieren: f( ) = + ( ) (+ 5 ) 4 5 c d * Zeige durch Induktion: i i i d d n n n n ( e ) = ( n + ) e : = =?(unendlicher Eponentilturm)

14 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 4 Lektion : Logrithmische Auftrgungen Kpitel.5. LogAchsenV8.mcd: Funktionen sollen verschiedenen logrithmischen Netzen so zugeordnet werden, dss ein gerder Grph entsteht. DmpfdruckV8.mcd: die für die Dmpfturbinen wichtige Dmpfdruckkurve ist ein Beispiel für die sog. Aktivierungsuftrgung, bei der eine log. Hochchse und eine /T Auftrgung nch rechts verwendet wird (T = Kelvin- Tempertur). Dies ist immer dnn empfehlenswert, wenn sog. Aktivierungsenergien thermisch überwunden werden müssen, im Beispiel ist es die Verdmpfungswärme. DoppellogV8.mcd: Beispiel us der Vorlesung, Leonrdo d Vinci untersucht den Zusmmenhng zwischen Spnnweite und Gewicht bei Vögeln. Ergebnis:Gewicht Spnnweite, ds bedeutet, dss die sog. Flächenbelstung bei den untersuchten Vögeln ungefähr gleich ist. Konstruiere uf kriertem Block doppellog. Achsen: in und y je eine Dekde (=0cm). Einteilung zwischen und in 0,er Schritten, dnn in 0,5er Schritten. Trge folgende Messreihe ein und bestimme die Prmeter und b des vermuteten Potenzgesetzes y= b y 0,5 0,9 0,6 0, 0,44 0,54 0,89 0,98 Welchen Wert y würde mn demnch für =00 erwrten? Funktionstyp Auftrgung Steigung Punkt b y ( ) = C y log. lin. y log log y y b = = C=y(0) b y ( ) = C y log. log. y lg lg y y b = = lg lg C=y()

15 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 5 Lektion 4: Inverse Winkelfunktionen, Hyperbolische Funktionen Kpitel ε Lektion 4 ArcSinCosTnV8.mcd: Grphen der Arcusfunktionen smt Ableitungen HyperbolischV8.mcd: Grphen der hyperbolischen Funktionen trctriv8.mcd: eine Anwendung des Arcosh ist die sog. Hundekurve (Trktri), die in der Flugnvigtion oder bei der Kurvenfhrt eines Sttelschleppers eine Rolle spielt. Sie kommt nschulich durch Ziehen eines störrischen Hundes zustnde, wobei ds Herrchen entlng der y- Achse läuft und der n der Leine befestigte Hund nfngs uf der -Achse liegt. Die sich ergebende Schleifspur ist gerde die Trctri (trhere = ziehen). Im Arbeitspltt wird uch gezeigt, wie mn in Mthcd Animtionen erstellen knn, wobei sich ein Prmeter von Bild zu Bild verändert (hier die Position des Herrchens). Der entstndene Film knn ls gezipptes vi-file ebenflls unter MÜ-HOme heruntergelden und betrchtet werden (Mteril, trctri.zip). ctenv8.mcd: die Kurve des schweren, durchhängenden Seiles knn mit Hilfe des cosh beschrieben werden (Kettenkurve oder Cten). Im Arbeitsbltt werden die Enden des Seiles useinnder gezogen, ws immer größere horizontle Kräfte erfordert. Der entstndene Film knn ls gezipptes vi-file ebenflls unter MÜ-HOme heruntergelden und betrchtet werden (Mteril, cten.zip). 4 Vereinfche / berechne: d cos rctn cos(rcsin ) rccos d + 4b Zeige: y ( ) = rcosh dy = (Hundekurve) d löst die Differenzilgleichung

16 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 6 Lektion 5: Abhängige Rten, Etremwerte Kpitel 5.. ε Lektion 8 5 Eine 0m lnge Leiter lehne n einer m hohen Muer. Der Leiterfuß sei gerde 4m rechts von der Muer entfernt und wird mit,5m/s horizontl nch rechts weggezogen. Skizze. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich momentn ds in der Luft schwebende Leiterende horizontl und vertikl? Lektion 6: Optimierungsufgben Kpitel 5.. ε Lektion 8 WindmühleV8.mcd: Historisches Schmnkerl für die Umwelttechniker. Albert Betz fnd 98: Die mimle Leistung, welche wir mit einem Windrde von D m Durchmesser bei einer Windgeschwindigkeit v m/s dem Winde entziehen können, ist demnch 6 ρ D π mkg Lm = v 7 4 s Wie er druf km, wird im Arbeitsbltt erklärt OptFestSteifV8.mcd: Gelegentlich muss mn genuer spezifizieren, ws optiml bedeuten soll. Beim Biegeblken z.b. knn mn drunter minimle Durchbiegung (= optimle Steifigkeit) oder mimle Belstbrkeit (= optimle Festigkeit) verstehen. Im ersten Fll muss ds Flächen - moment im zweiten ds Widerstndsmoment optimiert werden. Rechnungen wie in der Vorlesung, nur mit entsprechenden Grphiken. 6 C Wie im Bild gezeigt treffen ein m A breiter Gng und eine 8m breite Hlle rechtwinklig ufeinnder. Es soll die größtmögliche Länge L eines Blkens ermittelt werden, den mn in horizontler Lge us der Hlle in den Gng trgen knn. Die Blkendicke soll vernchlässigt werden. Berechne zunächst l(α), die Länge der gezeigten Gerden AB (lles in Meter), die die Ecke C berührt. Ws ht diese Größe mit der gesuchten Länge L zu tun? (wr ml byerische Abiturufgbe und Prüfungsufgbe MA) α B

17 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 7 Lektion 7: Linere und qudrtische Näherung, Tylorpolynome Kpitel 7. ε Lektion 7 * 7b Linerisiere die Funktion bei =5 und berechne dmit 6 Berechne ds Tylorpolynom 4.Ordnung von n der Entwicklungsstelle b=5 linere Näherung f ( + h) f ( ) + f '( ) h k = ( k ) n f ( ) Näherung n ten Grdes f ( + h) f ( ) + h k! Tylorreihe n k lterntive Schreibweise (Entwicklungszentrum sei jetzt nicht mehr sondern b, Berechnungsstelle sei jetzt nicht mehr +h sondern ): k = 0 ( k ) f ( b) f( ) = ( b) k! Lektion 8: Tylorreihen, Tylorrest k Kpitel 7. ε Lektion TylorCOSV8.mcd und TylorLNV8.mcd: Ds Tylorpolynom wird bis zu immer höheren Ordnungen bestimmt. Beim Cosinus (Entwicklungsstelle 0) wird der Übereinstimmungsbereich zwischen Näherung und Funktion immer größer, b Näherung 00 kommt es ber zu numerischen Instbilitäten. Ln (Entwicklungsstelle ) und /(-) (Entwicklungsstelle 0) hben offensichtlich nur einen Konvergenzrdius von. Außerhlb kommt es bei immer höheren Näherungen zu drmtischen Abweichungen. Am gutmütigsten verhält sich die e-funktion (entwickelt bei 0). Selbst in hlblogrithmischer Auftrgung gibt es immer weitreichendere Übereinstimmung, je höher die Ordnung wird. Numerische Instbilitäten treten im positiven -Bereich nicht uf, d lle Summenglieder positiv sind. Die in Mthcd erzeugten Filme gibt es unter MÜ-HOme/Mteril ußerdem uch ls gezippte vi-files. 8 kombiniere die Tylorreihe von ln(+) und ln(-), um die Tylorreihe von + rtnh = ln zu erhlten (entwickelt bei 0). Überprüfe ds Ergebnis durch mehrmliges Differenzieren (mindestens ) des rtnh. Die Tylorreihe des ln (entwickelt bei ) km in der Vorlesung vor.

18 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 8 Lektion 9: Bestimmtes Integrl, Huptstz der Anlysis Kpitel 6.. und 6.. ε Lektion 9 www. 9 * 9b * Berechne edeinml mit dem Huptstz Anlysis und einml 0 eperimentell durch Kästchen uszählen uf kriertem Ppier (cm = Kästchen = 0, Einheiten in und y) Leseübung: bestimme 4 sgn( ) d rein geometrisch. 0 Skizziere die zu integrierende Funktion im Integrtionsbereich und berechne die Fläche (sgn() = Vorzeichenfunktion: + für positives Vorzeichen, - für neg. Vorzeichen, 0 bei 0). d Huptstz der Anlysis: f() t dt = f( ) d In Worten: Ableitung des bestimmten Integrls nch der oberen Grenze = Integrnd, genommen n der oberen Grenze Integrtion ist die Umkehrung der Differenzition Dmit knn mn bestimmte Integrle so bestimmen: F() heißt Stmmfunktion von f(), wenn F = f F ist bis uf eine Integrtionskonstnte C eindeutig b [ ] f( ) d= F( b) F( ) = F( ) = F( ) b Um eine Stmmfunktion F vom Integrnd f zu erhlten, müssen die Differenziertbellen nur von rechts nch links gelesen werden. Allerdings lässt sich nlytisch (lso mit Stndrdfunktionen) prktisch jede Funktion differenzieren, jedoch nicht notwendigerweise integrieren. Differenzieren ist Routine, Integrieren ist Kunst! b

19 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 9 Lektion 0: Unbestimmte Integrle, Rechenregeln Kpitel 6.., 6.. und 6.. ε Lektion 0 www. 0 0b Leite folgende Funktionen nch b: t 5 t t 4 F ( ) = e dt G ( ) = e dt H ( ) = e dt Zeige durch gliedweises Integrieren der Tylorentwicklung: d = ln( ) (die entsprechenden Tylorreihen kmen in der Vorlesung oder in den Husufgben vor) Unbestimmtes Integrl : nderer Ausdruck für Stmmfunktion, bedeutet genu dsselbe. Anderes Symbol: f( ) d= F( ) (beim Integrlzeichen werden die Grenzen weggelssen) Integrtionsregeln: - Linerität (gilt für bestimmte und unbestimmte Integrle) ( f( ) ± bg ( )) d= f( d ) ± b gd ( ) - Vertuschen der Grenzen b f( ) d= f( ) d - Zwischenschieben einer Grenze b c b b f( ) d= f( ) d+ f( ) d c - Mittelwert einer Funktion f() im Bereich b f : = f( ) d b b - Differenzition nch einer Vriblen in der oberen oder unteren Grenze d d h ( ) g( ) f( t) dt = f( h( )) h'( ) f( g( )) g'( )

20 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 0 Lektion : Integrtion durch Substitution Kpitel 6.. ε Lektion 0 www. Berechne: 4 ln t ln ( + e ) 4 t edt.schritt: ugenfällige Substitution, Grenzen mitsubstituieren! sinθ.schritt: substituiere u = tn θ, tn θ=, Grenzen mitsubst. cos θ.schritt: Mit trigonometrischer Formel noch vereinfchen und im Kopf usrechnen. f( g( )) g'( ) d= F( g( )) Grund: die rechte Seite differenziert nch der Kettenregel ergibt gerde den Integrnden. In der Pris nutzt mn dies so us: - Ein im Integrnd (evtl. wiederholt) vorkommender Ausdruck g() wird durch u ersetzt (u=g()) du - Die Ableitung nch = g'( ) wird ls Merkhilfe useinnder d gezogen, ws j eigentlich unkorrekt ist, d du ds Symbol für d Ableitung und keinen Bruch drstellt: du = g ()d - Mit dieser Beziehung wird d in du umgewndelt, mit der Substitution u=g() müssen ußerdem lle us dem Integrnden verschwinden (notflls mit Hilfe der Umkehrfunktion =g - (u)) - Letztendlich entsteht ein neues Integrl mit Integrtionsvrible u. Die Substitution lohnt ntürlich nur, wenn der neue Integrnd einfcher ls der lte ist. Mitsubstitution der Grenzen bei bestimmten Integrlen: b gb ( ) f( g( )) g'( ) d= f( u) du = F( u ) = = g( ) u g( b) u g( )

21 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion : Prtilbruchzerlegung Kpitel 6.. ε Lektion 0 5, 0+ 9,6 f( ) = 4 0, 4 4,6 +,6 +, 4 Bestimme die erste Nennernullstelle mit dem Newton-Verfhren (Strtwert = -), die weiteren Nullstellen durch Abspltung des Fktors ( ) mittels Polynomdivision und Hingucken. Führe die Prtilbruchzerlegung durch und bestimme die Stmmfunktion von f(). - Polynome vom Grd n hben genu n Nullstellen... n. Diese sind eventuell komple und/oder mehrfch ( Huptstz der Algebr ) - Stndrdform eines Polynoms vom Grd n: n n Q ( ) = + n (knn durch Ausklmmern des Koeffizienten bei n immer erreicht werden!) - Produktdrstellung eines Polynoms in Stndrdform mit Hilfe der Nullstellen: Q( ) = ( ) ( )... ( ) = ( ) - Nullstellensuche: bis zum Grd 4 gibt es Formeln, b Grd 5 gibt es prinzipiell keine Formeln mehr (Abel, 80) n n i= n= Mitternchtsformel (.Sem. Lektion 4) n=,4 Crdnische Formeln, zu kompliziert für die Anwendung - Polynomdivision: Ist eine beliebige Nullstelle i von Q() beknnt, so lässt sich Q() ohne Rest durch ( - i ) teilen. Bsp: + 60:( + ) = Rest Ds resultierende Polynom ist dnn im Grd um eins reduziert ( Abspltung einer Nullstelle ). Seine Nullstellen sind dher einfcher zu bestimmen ls die vom ursprünglichen Q(). i

22 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion : Prtilbruchzerlegung (Fortsetzung) - Rtionle Funktion P ( ) f ( ) = P Polynom vom Grd m, Q vom Grd n Q ( ) - Echt gebrochen m < n, sonst unecht gebrochen. Unecht gebrochene rtionle Funktionen lssen sich durch Polynomdivision in ein Polynom plus eine echt gebrochene rtionle Funktion verwndeln. - Prtilbruchzerlegung echt gebrochener rtionler Funktionen (nur solche werden im Folgenden betrchtet!), Nenner besitze Stndrdform und n reelle einfche Nullstellen: P ( ) A B Z f( ) = = (*) Q( ) n - Zur Bestimmung der reellen Konstnten A... Z wird Gleichung (*) mit Q() durchmultipliziert. Die entstehende Polynomgleichung wird entweder durch Koeffizientenvergleich gelöst (lineres Gleichungssystem) oder durch Einsetzen der Nullstellen für (schneller, führt direkt uf die gesuchten A... Z). f ( ) d = A ln + B ln Z ln n (Integrtion der Prtilbruchzerlegung ist einfch) -

23 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion : kompliziertere Prtilbruchzerlegungen Kpitel 6.. ε Lektion f( ) = Führe die Prtilbruchzerlegung ( + + ) durch und bestimme f( ) d - Mehrfche reelle Nullstellen, z.b. Q ( ) ( ) P ( ) A A A f( ) = = + + Q ( ) = : ( ) ( ) - Komplee Nullstellen von Q() treten immer prweise uf: ist = r+ js Nullstelle, dnn ist uch ds konjugiert Komplee * r js * knn dnn ber immer zu einem reellen qudrtischen Ausdruck zusmmengefsst werden, der den Ausgngspunkt für die reelle Prtilbruchzerlegung liefert: * = r+ ( r + s ): = + b+ c = Nullstelle. ( ) ( ) ( ) ( ) Diskriminnte = b 4c = 4s < 0 - Prtilbruchnstz für komplee Nullstellen: P ( ) B+ C f( ) = = b+ c... + b+ c ( ) ( ) - Mehrfche komplee Nullstellen, z.b. P ( ) B + C B + C f( ) = = b+ c... + b+ c + b+ c ( ) ( ) ( ) - Die Konstnten A, A,..., B, C,..., B, C,... können wieder entweder durch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen einfcher Zhlen für (0, ±, ±, reelle Nullstellen) bestimmt werden. Die Prtilbrüche lssen sich uch jetzt reltiv einfch mit Stndrdintegrlen integrieren

24 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 4 Lektion 4: Bogenlänge, Oberflächen, Volumin www. 4 * 4b Kpitel 6.4. und Bestimme die Bogenlänge des Cosinushyperbolicus zwischen =0 und =. Bestimme ds Volumen eines Fsses: der Fssbuch sei im Schnitt prbolisch mit Durchmesser D n der dicksten Stelle, d m Fssboden, Fsshöhe sei H. Rottionschse sei, dickste Stelle bei =0, Schnitt sei symmetrisch zur y-achse (Skizze!). Bei der Interpoltionsprbel fällt der linere Term dnn weg. Ds bestimmte Integrl liefert nicht nur die Fläche unter dem Funktionsgrphen, sondern es knn für eine Vielzhl von Summierufgben ngewndt werden, bei denen viele unterschiedlich kleine Teile zusmmengezählt werden müssen: - Bogenlängenelementchen ds = d + dy = + ( y ') d Bogenlänge b s = + ( y') d - Oberflächenelementchen eines Rottionskörpers mit Drehchse und Kontur y(): Oberfläche ds = π y ds = π y + ( y ') d b S = π y + ( y') d - Volumenelementchen (= dünne Scheibe mit Dicke d, Aufschnitt senkrecht zur -Achse) eines Rottionskörpers mit Drehchse und Kontur y(): dv = π y d Volumen V = π y d - Volumen einer dünnen Scheibe mit Fläche A() und Dicke d, die senkrecht zur -Achse steht: dv = A( ) d Gesmtvolumen V = A( ) d b b

25 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 5 Lektion 5: Schwerpunkt, Moment, Arbeit 5 Kpitel 6.4. Welche Hubrbeit ist nötig, um den Fuijm ufzuschütten? (Annhme: kegelförmig 780m hoch, 8,9 km Rdius n der Bsis, Gesteinsdichte,0 to/m ). Knn dies je von Menschenhnd geschehen? - Jhresrohöl- Produktion 00:, Mrd to, 00 l /to, Brennwert grob 0 kwh/l, Wirkungsgrd Motor grob 0% - Größte je detonierte thermonuklere Bombe: Zr-Bombe, erbut vom späteren Regime-Kritiker Schrow für den dmligen Präsidenten Chruschow, Entwicklungszeit 6 Wochen, Eplosion m.0.96 über Hlbinsel Novj Zemly. Sprengkrft 50 MegTonnen TNT, kg TNT setzt (nur), kwh Eplosionsenergie frei. - Yello-Strom: 4,6 Cent/kWh (vielleicht gibt s Rbtt bei größeren Abnhmemengen), Bundeshushlt 00: 50 Gig - Gotteshnd: geschätzte Energie des Ries-Meteoriten: 5GigTonnen TNT Gewichtskrftmoment dm (im Uhrzeiger pos.) einer bei liegenden Teilmsse dm bezüglich eines Drehpunktes mit -Koordinte (Erdbeschleunigung g in Richtung y): dm = g ( ) dm Dmit lssen sich lle möglichen Flächen- und Linienschwerpunkte durch Integrtion berechnen, deren Konturen durch Funktionen y() gegeben sind. Bezüglich des Schwerpunktes verschwindet ds Gewichtskrft- Gesmtmoment. Teilrbeit (=Teilenergie) dw, die bei Verrückung um d von Krft F geleistet wird: dw = F d (Sklrprodukt!) Dmit lssen sich lle möglichen Gesmtenergien durch Integrtion usrechnen, bei denen sich entweder die Krft längs des Weges verändert, oder bei denen komplizierte, gekrümmte Wege usgeführt werden, oder bei denen viele unterschiedlich große Teilrbeiten verrichtet werden müssen.

26 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 6 Lektion 6: Sttikprobleme und Drehungen in Mtridrstellung Kpitel 4. ε Lektion 4 6 Formuliere ds linere Gleichungssystem für unten stehendes Sttikproblem in Mtrischreibweise (Rhmen qudrtisch). Gegeben: Krftkomponenten P, Py, Q, Qy der Belstungen uf die Knoten und (Vorzeichen behftet!) Gesucht: Stbkräfte F.. F5 (positiv bei Zug) und Krftkomponenten A, Ay, B von den Lgern uf die Knoten und 4 (Vorzeichen behftet!) A P B Q y 6b Berechne die Drehmtrizen D =D z90 D 90 und D =D 90 D z90 sowie die Quderdrehungen D Q und D Q mit: cosα sin α D z sin cos 0 D α = α α α = 0 cosα sinα sinα cosα Q = Überprüfe mit kleiner D-Skizze die Richtigkeit der Rechnung n m Mtri A: rechteckiges Zhlenschem mit n Zeilen, m Splten ik : Element von A, lso die Zhl in der i-ten Reihe und k-ten Splte Mtrimultipliktion: A(n m) B(m p) = C(n p) nch dem Schem Zeile Splte (Spltenzhl von A muss gleich sein Zeilenzhl von B!): m. oder c ik = il b i n lk { 4.. k p l= 4 Vektoren können ls einspltige Mtrizen ufgefsst werden. Bei der Multipliktion A b muss lso die Spltenzhl von A mit der Komponentenzhl von b übereinstimmen.

27 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 7 Lektion 7: Mtriopertionen und Rechenregeln, inverse Mtri, Determinnte Kpitel 4. und 4. ε Lektion 5 und 6 7 Löse ds Gleichungssystem A = b durch Einsetzen nch uf dja und zeige dmit : A = wobei det A dja= det A= 7b Zeige durch Mtrimultipliktion: Dα = D α mit cosα sinα D α = (-dimensionle Drehmtri um Winkel α gegen sinα cosα den Uhrzeiger) Rechenregeln - Multipliktion Mtri mit Zhl geschieht elementweise - Addition Mtri mit Mtri geschieht elementweise - Multipliktion A B ist nicht kommuttiv: AB BA. Bei nichtqudrtischen Mtrizen knn eines der beiden Produkte gr nicht gebildet werden AB C= A BC - ( ) ( ) - A ( B+ C) = A B+ A C - r AB = ( r A) B= A ( r B) = r ( AB ) Definitionen - trnsponierte Mtri A T : Zeilen und Splten werden vertuscht. - qudrtische n n Mtri: Zeilenzhl = Spltenzhl - symmetrische Mtri: A T = A - inverse Mtri: A - : A - A = A A - = (Einheitsmtri). Die Inverse ist nur bei qudrtischen Mtrizen definiert und spielt bei der Lösung linerer Gleichungssysteme eine entscheidende Rolle. Die Berechnung ist ufwendig. Determinnte det A einer qudrtischen Mtri (= Zhl) - Mtri: det A : = - Mtri: Srrusregel - nn Mtri: Rückführung uf (n-)(n-)-unterdeterminnten ( Lplcescher Entwicklungsstz ), sehr rechenufwendig - Mit Determinnten und Unterdeterminnten (sog. Adjunkten) knn die Inverse A - berechnet werden. Ds Verfhren ist jedoch vom Rechenufwnd her inkzeptbel. - Ist det A = 0, so eistiert die Inverse A - nicht. Die Zeilen oder Splten von A sind dnn nicht liner unbhängig.

28 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 8 Lektion 8: Gußsches Elimintionsverfhren Kpitel 4.4. ε Lektion 7.ls gußeli.ls: Aufgbe 6 knn nur durch Zeilen und Spltentusch in Dreiecksgestlt gebrcht werden. Mit dem Ecel-file knn mn ds reltiv leicht üben. Wichtig ist: - Beim Zeilentusch muss die rechte Seite (gelb, rechts) mitgetuscht werden. Dem Zeilentusch entspricht nur eine ndere Reihenfolge der Gleichgewichtsbedingungen n den Knoten (gelb, links, k4y ist die Gleichgewichtsbedingung in y-richtung m Knoten 4). - Beim Spltentusch werden die unbeknnten Stb- und Lgerkräfte umgeordnet. Deswegen wurden sie über die Mtri geschrieben und grün mrkiert. Jeder Splte ist eine Krftkomponente zugeordnet. Diese grünen Zellen müssen beim Tusch mitgenommen werden, dmit mn die richtige Reihenfolge der Unbeknnten bekommt. In Ecel gibt es keinen Befehl für Vertuschen. Mn muss lso z.b. Splte erst n eine freie Stelle hinräumen, den freigewordenen Pltz mit Splte f besetzen und zum Schluß in die erste Splte kopieren, um f mit zu tuschen. Im Ecel-Bltt ist oben links und rechts die Ausgngssitution, unten die Lösung. Versuche es mit einer der oberen Mtrizen! 8 * Löse Aufgbe 6 mit dem Elimintionsverfhren ohne Spltentusch. Gußelimintion. Bringe A b durch Elementrumformungen in obere Dreiecksgestlt (Vorwärtselimintion): Suche Zeile, die nicht mit Null beginnt und mrkiere sie Nulle durch Elementrumformungen mit mrkierter Zeile die. Splte ller nderen Zeilen (sofern nötig) nch n- Schritten ist obere Dreiecksform erreicht (bestehend us den mrkierten Zeilen). Löse entstndenes gestffeltes Gleichungssystem von unten nch oben (Rückwärtssubstitution) Beispiel: b 8 c b+ b Lösung : = ; = = 8 = =

29 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 9 Lektion 9: Rng einer Mtri, freie Prmeter Bei der Gußelimintion eines llgemeinen Gleichungssystems ( ) ( ) ( ) A m n n = b m (Hochinde = Dimension n,m beliebig) knn es vorkommen, dss in einem Schritt lle Zeilen mit Null beginnen. Es ergibt sich dnn eine unterbrochene Digonlreihe, einige Treppenstufen werden breiter (rote Blöcke im unteren Bild). Außerdem können mehr oder weniger Zeilen ls Unbeknnte vorkommen. Ds Resultt der Gußelimintion wird in jedem Fll so ussehen: Ds Gleichungssystem ist nur dnn widerspruchsfrei, wenn der grüne Block lediglich us Nullen besteht. Die Lösung knn dnn in Schritten erfolgen: llg. homogene Lösung spez. inhomogene Lsg. - Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung A O = 0. Dzu werden die roten Blöcke mit Vorzeichenumkehr nch rechts gestellt, der schwrze Block wird gestrichen und es erfolgt wie gewohnt die Rückwärtssubstitution. Die sich ergebende llgemeine homogene Lösung O ist n-komponentig und enthält die freien Prmeter: O = λ c+ λ c λn r cn r - Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung A S = b. Dzu werden lle λs Null gesetzt (die roten Blöcke werden gestrichen), uf der rechten Seite wird nur der Schwrze Block berücksichtigt. S ist wie O n-komponentig (die zu Null gesetzten freien Prmeter λ werden in die Lösung hinein geschrieben, z.b. n die Stelle und 4). - Die llgemeine Lösung der ursprünglichen inhomogenen Gleichung ist dnn einfch: = O + S

30 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 0 Lektion 9: Rng einer Mtri, freie Prmeter (Fortsetzung) Beispiel ε Lektion 7 5 Gleichungen mit 4 Unbeknnten oder zusmmen gefsst : Rng der Mtri ist nur, nur so viele unbhängige Informtionen stecken im Gleichungssystem, d die Zeilen und us nderen Zeilen durch Linerkombintion folgen (z.b. Zeile = Zeile + 5 Zeile4). Also knn mn uch nur Unbeknnte, und bestimmen, 4 bleibt unbestimmt und wird zum freien Prmeter λ umgetuft. Ds Gleichungssystem ist widerspruchsfrei, d der grüne Block us Nullen besteht. λ = 4 llg. homogene Lsg. 4 0 = 4 = λ 0,5 0,5 O = λ = + λ = λ, 5 =,5λ In O wird der freie Prmeter λ = 4 mit hineingeschrieben. spez. inhomogene Lsg. 4 0 = 4 =,5 4 4,5 S = = = 6,5 0 = 6,5 In S wird ebenflls der freie Prmeter λ = 4 = 0 mit hineingeschrieben. Gesmtlösung ist = O + S 9 9b * Gegeben sei: = 0 0. Vorwärtselimintion ohne Zeilentusch. llgemeine Lösung der homogenen Gleichung. spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung 4. llgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung Es sollen mit Flschen gekuft werden: - Flschen Schnps (0 /Fl.) - y Flschen Wein ( /Fl.) - z Flschen Bier (0,5 /Fl.) Bestimme die llgemeine Lösung Bestimme die vernünftigen Lösungen (,y,z 0, gnzzhlig)

31 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lektion 0: Guß-Jordn-Verfhren zur Bestimmung der Inversen 0 Bilde die Inverse der Mtri A mit Guß-Jordn-Verfhren 4 5 A = Guß-Jordn-Verfhren:. Schreibe rechts neben A die entsprechende Einheitsmtri. Eliminiere Avorwärts, mche jedes Digonlelement uf der linken Seite zu Eins, wende lle Elementrumformungen uch uf die rechte Seite n. Eliminiere rückwärts, bis links die Einheitsmtri erscheint. Die rechte Seite ist dnn ds Ergebnis A - Beispiel: b c,5 0,5 0 b/( ) 0,5 0,5 b + c d 0 c e c,5 d e d f e Ergebnis und Kontrolle: f e d 0 Im oberen roten Block sind die Ergebniszeilen der Rückwärtselimintion nur so sortiert, dss links die Einheitsmtri entsteht. Im unteren Block wurde die Ausgngsmtri links hingeschrieben. Wenn mn den Block links unten mit dem rechten oberen nch dem Flk-Schem multipliziert muss unten rechts die Einheitsmtri erscheinen.

32 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Lösungen der etws schwierigeren Aufgben b b 5 K( ) = (5000 ) =50m, K=,70 Mio (,74 bei rechtwinkliger Verlegung) f ( ) = + +,,,,, cos, sin, cos, sin,, cos sin cos SW mit 7km/h 5b cosθ = 0, 095 θ = 9, bc c ( bc ) + ( c ) + ( b ) b i= 0 7! i! i 8 8 f ( ) f ( f( )) [ f( f( )) ] 8b b 0 =, b= / - b c ln/ln(/) /cos e 7 b 5 6

33 FH Augsburg Ingenieurmthemtik d Bestimmungsgleichung für die Lösung:( ) =. Mögliche Lösungen sind = oder 4. Wenn mn die Rechnung näherungsweise mit TR oder Computer durchführt kommt rus (Strtwert =, dnn Schleife mit neu ( ) lt = ). Die. Lösung ist ein bstoßender Fipunkt (kommt später noch in der Vorlesung). =0,0065 b=,5 y=4,9 4 sgn für > 0 sgn( ) : = 5 + für < 0 gesprochen : Signum ( Vorzeichen) 5 0,4 m/s nch rechts,,44 m/s nch unten = 5 + = b ( 5) ( 5) ( 5) ( ) ln + = ( ) ln = rtnh = 9 e 9b π F ( ) = e 0 i= i ( ) i= i+ i= 0 i i i + 5 t 4 + i i G ( ) = e dt+ 5 e H ( ) = e e 4 4 ( + u ) rctn4 rctn4 cosθdθ = sinθ rctn rctn 4 4 sinθ = du tnθ + tn θ 5

34 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 4 f( ) = + + 0, 6 + f ( ) d = ln + 0,6 ln + ln ln ( + + ) f ( ) d = ln + ln( + + ) rctn + 4 ( e e) f( ) d=, b 5 6 h 0 V = π ( A+ C ) d A= ym = D Ch = yl ym + yr = d D h= H π H V = (8D + 4dD + d ) 60 π ρ 9 gr h = 4, 0 J =, 0 kwh Hubrbeit entspricht,6 Rohöl-Jhresproduktionen Hubrbeit entspricht der Eplosionsenergie von 00 Zr-Bomben Strom würde,8 Ter kosten, entsprechend 7 Bundeshushlten Hubrbeit entspricht Ries-Meteoriten F F F P F z.b: 4 Py = F Q A Q y A y B 0

35 FH Augsburg Ingenieurmthemtik 5 6b D = 0 0 D Q = D = 0 0 D Q = = A b 7b D α Dα = 8 Eine Möglichkeit ist unten ngegeben. Ds Gußsche Elimintionsverfhren ist nicht eindeutig, d in jedem Schritt eine beliebige nicht mit Null beginnende Zeile zum Weiterechnen hergenommen und mrkiert werden knn. Ds Ergebnis ist llerdings eindeutig F 0 P Py Qy F F Q y F Qy F Py Q y F ( Py + Qy) F4 P F 4 Py Q y = 0 0 F = 5 Py Q y F 5 Q 0 A P A P + Py + Qy A y Q A y Py Qy B Py Qy Q B P y Qy Q = λ = = + 0 S S 9b z.b. yz = λ 9 freier Prmeter λ = z gewählt (z): steigende Gerde mit Nullstelle bei z= 80 y(z): fllende Gerde mit Nullstelle bei z=94,74 lso können die vernünftigen Werte nur im Bereich z=80, uftreten und d kommen nur (0, 0, 80) und (5,, 94) in Frge A,5 9, =, , 5 0,5 0,5