2. Übungsblatt (mit Lösungen) 3.0 VU Formale Modellierung

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1 2. Übungsblatt (mt en) 3.0 VU Formale Modellerung Maron Scholz, Gernot Salzer November 2014 Aufgabe 1 (0.3 Punkte) Se A der folgende Moore-Automat Z Z Z 2 1 (a) Geben Se de Ausgaben zu folgenden Engaben an: 00111, 01111, (b) Berechnen Se schrttwese δ (Z 0, 01101) und γ (Z 0, 01101). (c) Beschreben Se de Übersetzungsfunkton [A]. (a) w: [A](w):

2 (b) δ (Z 0, 01101) = δ (δ(z 0, 0), 1101) = δ (Z 0, 1101) = δ (δ(z 0, 1), 101) = δ (Z 1, 101) = δ (δ(z 1, 1), 01) = δ (Z 2, 01) = δ (δ(z 2, 0), 1) = δ (Z 2, 1) = δ (δ(z 2, 1), ε) = δ (Z 1, ε) = Z 1 γ (Z 0, 01101) = γ(δ(z 0, 0)) γ (δ(z 0, 0), 1101) = γ(z 0 ) γ (Z 0, 1101) = 0 γ(δ(z 0, 1)) γ (δ(z 0, 1), 101) = 0 γ(z 1 ) γ (Z 1, 101) = 00 γ(δ(z 1, 1)) γ (δ(z 1, 1), 01) = 00 γ(z 2 ) γ (Z 2, 01) = 001 γ(δ(z 2, 0)) γ (δ(z 2, 0), 1) = 001 γ(z 2 ) γ (Z 2, 1) = 0011 γ(δ(z 2, 1)) γ (δ(z 2, 1), ε) = 0011 γ(z 1 ) γ (Z 1, ε) = ε = (c) [A]: Der Automat erkennt ene gerade Anzahl an 1ern n der Engabe: War de Anzahl der 1er bsher gerade (aber größer 0), so st de Ausgabe 1, sonst 0. Aufgabe 2 (0.3 Punkte) Se L de Sprache { w {a,, l, x} w enthält das Telwort lla oder ll }. Geben Se enen determnstschen Automaten für L an. Gehen Se folgendermaßen vor: (a) Konstrueren Se enen ndetermnstschen Automaten für dese Sprache. (b) Wandeln Se den ndetermnstschen Automaten mt Hlfe des n der Vorlesung besprochenen Verfahrens n enen determnstschen um. Ist der so gewonnene Automat mnmal, d.h., st er unter den determnstschen Automaten für L jener mt der klenstmöglchen Zahl von Zuständen? Wr konstrueren zunächst auf möglchst drektem Weg enen belebgen Automaten für de gesuchte Sprache. 2

3 a,,l,x 3 l 5 l a,,l,x 1 l a l 6 Deser Automat st m Zustand 1 ndetermnstsch: Sowohl für das Symbol als auch l gbt es zwe möglche Folgezustände, nämlch 1 und 3 bzw. 1 und 2 Zusätzlch zur graphschen Darstellung geben wr de Übergangsfunkton auch als Tabelle an, da dese be der Determnserung hlft. δ a l x 1 {1} {1, 3} {1, 2} {1} 2 {} {4} {} {} 3 {} {} {5} {} 4 {} {} {6} {} 5 {} {} {7} {} 6 {7} {} {} {} 7 {7} {7} {7} {7} Enen determnstschen Automaten erhalten wr, ndem wr den ndetermnschen Automaten smuleren. En Zustand des determnstschen Automaten repräsentert dabe jene Zustände des ndetermnstschen, n denen sch deser zum jewelgen Zetpunkt befnden kann. Der Startzustand wrd mt {1} bezechnet, da sch der ndetermnstsche Automat zu Begnn m Zustand 1 (und nur n desem) befndet. Von desem Zustand ausgehend erstellen wr zelenwese de Tabelle für de Übergangsfunkton des determnstschen Automaten. ˆδ a l x {1} {1} {1, 3} {1, 2} {1} {1, 2} {1} {1, 3, 4} {1, 2} {1} {1, 3} {1} {1, 3} {1, 2, 5} {1} {1, 3, 4} {1} {1, 3} {1, 2, 5, 6} {1} {1, 2, 5} {1} {1, 3, 4} {1, 2, 7} {1} {1, 2, 5, 6} {1, 7} {1, 3, 4} {1, 2, 7} {1} {1, 2, 7} {1, 7} {1, 3, 4, 7} {1, 2, 7} {1, 7} {1, 7} {1, 7} {1, 3, 7} {1, 2, 7} {1, 7} {1, 3, 4, 7} {1, 7} {1, 3, 7} {1, 2, 5, 6, 7} {1, 7} {1, 3, 7} {1, 7} {1, 3, 7} {1, 2, 5, 7} {1, 7} {1, 2, 5, 6, 7} {1, 7} {1, 3, 4, 7} {1, 2, 7} {1, 7} {1, 2, 5, 7} {1, 7} {1, 3, 4, 7} {1, 2, 7} {1, 7} Jene Zustände, de ener Stuaton entsprechen, n der der ndetermnstsche Automat enen Endzustand errecht hat, snd de Endzustände des determnstschen Automaten; 3

4 n desem Bespel snd das alle Zustände, deren Bezechnung 7 enthält. Deser wrd somt durch das Tupel Q, {a,, l, x}, ˆδ, {1}, F beschreben, wobe F = {{1, 2, 7}, {1, 7}, {1, 3, 4, 7}, {1, 3, 7}, {1, 2, 5, 6, 7}, {1, 2, 5, 7}} Q = {{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 5, 6}} F Deser Automat st ncht der klenstmöglche determnstsche Automat. In der Vorlesung wurde zwar ken Mnmerungsverfahren besprochen, man seht aber, dass von den Endzuständen mt jedem der ver Symbole weder nur Endzustände errechbar snd. Man kann dese daher zu enem enzgen Endzustand zusammenfassen, ohne de akzepterte Sprache zu verändern. Der verenfachte determnstsche Automat seht dann folgendermaßen aus: a,x 13 l 125 a,x a,x l a,,l,x 1 7 a,x l a,x l x 1256 a, l l Aufgabe 3 (0.3 Punkte) Geben Se endlche Automaten an, de deselbe Sprache beschreben we de folgenden regulären Ausdrücke. (a) (a + b) + (ac) b (b) (ab + b)(ab) + + a De gesuchten Automaten können mt dem allgemenen Verfahren konstruert werden, enthalten dann aber n der Regel vel mehr Zustände und ε-kanten als notwendg. De folgenden Automaten wurden berets verenfacht. 4

5 (a) a,b a,b a c b (b) a b a b a b a b Aufgabe 4 (0.4 Punkte) Geben Se enen regulären Ausdruck an, der deselbe Sprache beschrebt we der folgende endlche Automat. Verwenden Se dabe das n der Vorlesung beschrebene Verfahren und geben Se den Automaten nach jeder Zustandselmnaton an. a b a,b 0 ε 1 ε 2 Neuer Anfangs- und Endzustand: a ε b a + b 0 1 ε ε 2 f ε Wr elmneren de Zustände n der Rehenfolge 2, 1 und 0; andere Rehenfolgen snd ebenfalls möglch. Elmnaton von Zustand 2: a a+b ε b 0 1 f ε ε ε ε 5

6 Elmnaton von Zustand 1: a + b(a + b) ε 0 f ε + b(a + b) Elmnaton von Zustand 0: (a + b(a + b) ) (ε + b(a + b) ) f De Sprache des ursprünglchen Automaten kann daher durch den regulären Ausdruck (a + b(a + b) ) (ε + b(a + b) ) beschreben werden. Fleßaufgabe: Deser Ausdruck lässt sch noch verenfachen. De Sprache b(a+b) enthält das Wort b, da (a+b) das Leerwort enthält. Somt st (a+b) jedenfalls ene Telsprache von (a + b(a + b) ) ; da (a + b) aber berets de Menge aller Wörter über {a, b} st, glt (a + b) = (a + b(a + b) ). Wr erhalten daher: (a + b(a + b) ) (ε + b(a + b) ) = (a + b) (ε + b(a + b) ) = (a + b) ε + (a + b) b(a + b) = (a + b) + (a + b) b(a + b) Da der erste Ausdruck berets alle Wörter enthält, trägt der zwete Ausdruck nchts mehr be und kann gestrchen werden: = (a + b) Aufgabe 5 (0.3 Punkte) An der TU beschäftgte Personen erhalten Maladressen der Form Vorname.Mtteltel.Zuname+OrgEnhet@tuwen.ac.at wobe de Tele.Mtteltel und +OrgEnhet optonal snd. De Namenstele bestehen aus Groß- und Klenbuchstaben, wobe Umlaute und scharfes S durch ae, oe, ue, ss etc. zu ersetzen snd. OrgEnhet st de Kennung des Insttuts oder der Servceenrchtung, der de Person angehört; se besteht aus dem Zechen E gefolgt von dre Zffern und enem optonalen Großbuchstaben. Bespele: Hkaru.Sulu@tuwen.ac.at James.Tberus.Krk@tuwen.ac.at Beverly.Crusher+E010C@tuwen.ac.at Nyota.Penda.Uhura+E006@tuwen.ac.at 1 1 Wer von desen ver Personen passt ncht zu den anderen? 6

7 (a) Geben Se enen regulären Ausdruck n algebrascher Notaton an, der de Menge derartger Emaladressen beschrebt. (b) Geben Se enen Posx Extended Regular Expresson an, der alle Zelen beschrebt, de ausschleßlch ene derartge Emaladresse enthalten. (c) Geben Se das Syntaxdagramm an, das Ihrem regulären Ausdruck aus Telaufgabe a entsprcht. (a) BB (ε+.bb ).BB (ε+(+ezzz(ε+g)))@tuwen.ac.at wobe Z ene Abkürzung für ( ), G ene für (A + + Z) und B ene für (A + + Z + a + + z) st. (b) ^[A-Za-z]+(\.[A-Za-z]+)?\.[A-Za-z]+(\+E[0-9]{3}[A-Z]?)?@tuwen\.ac\.at$ (c) Emaladr = VN. MT. ZN + Dom VN = MT = ZN = B OE = E Z Z Z GB Dom = tuwen.ac.at Ạ Z = 0. 9 GB = A. Z B =. Z a. z Aufgabe 6 (0.3 Punkte) Bertram der Bber frert m Wnter regelmäßg, er zttert und bbbert. Sene Mtbber geben hm daher Namen we bbberbbberbbbernderbber, bbbernderbbberbbberbbberbbberbber, oder enfach nur bbberbber. Enem Bberforscher gelngt es, dese 7

8 Bbbersprache durch de Grammatk G = N, T, P, A zu beschreben, wobe N = {A, B, C, D, E} T = {b, d, e,, n, r} P = {A bb B B ber C er C bb B nder D D bb E E ber D er } (a) Überprüfen Se für de nachfolgenden Wörter, ob se n der von der Grammatk G spezfzerten Sprache L(G) legen. Falls ja, geben Se ene Parallelabletung an. Falls nen, argumenteren Se, warum ncht. (1) bbbernderbbberbbber (2) bbberbbbernderbber (3) bbbernderbbbernderbber (b) Snd folgende Aussagen über de Sprache L(G) korrekt? Wenn ja, warum? Wenn nen, geben Se en Gegenbespel! (1) Jedes Wort endet mt bber. (2) De Anzahl der bbber vor bzw. nach nder m Wort snd glech. (3) Jedes Wort begnnt mt bb. (c) Konstrueren Se enen endlchen Automat, der de Sprache L(G) akzeptert. (a) (1) Das Wort st ncht Tel der Sprache L(G), da jedes Wort deser Sprache mt bber enden muss. Das lässt sch folgendermaßen sehen. Jede Abletung endet durch Anwendung der Produkton B er oder E er. De Nontermnale B und E treten aber mmer nur unmttelbar nach der Symbolfolge bb auf. Somt endet jede Abletung auf ene der folgenden Arten: A bb B bber C bb B bber D bb E bber 8

9 (2) Ja, das Wort legt n der Sprache L(G): A P bb B P bb ber C P bb ber bb B P bb ber bb ber C P bb ber bb ber nder D P bb ber bb ber nder bb E P bb ber bb ber nder bb er (3) Das Wort st ncht Tel der Sprache L(G), da es zwe n enthält, jedes Wort der Sprache aber höchstens en n bestzt. Das lässt sch folgerndermaßen argumenteren. Zunächst glt, dass n nur durch de Produkton C nder D engeführt werden kann. Für D gbt es aber nur de Produkton D bbe, für E nur de Produktonen E berd und E er; das heßt, dass durch D ken weteres n engeführt werden kann. Da nach jedem Abletungsschrtt höchstens en Nontermnal m Ausdruck vorkommt, daher nsbesondere höchstens en C, enthält das erzeugte Wort der Sprache maxmal en n. (b) (1) Rchtg. Argumentaton sehe de zu Aufgabe a1. (2) Falsch. En Gegenbespel st das Wort aus Aufgabe a2, das n der Sprache legt und zwe bbber vor, aber ken bbber nach nder aufwest. (3) Rchtg. De enzge Produkton für das Startsymbol A ersetzt es durch bb B, daher fängt jedes Wort der Sprache mt bb an. (c) Im Wesentlchen werden de Nontermnale zu den Zuständen des Automaten. Weters müssen wr, da das Alphabet aus enzelnen Buchstaben besteht und Übergänge nur für enzelne Symbole defnert snd, de Slben mt Hlfe von zusätzlchen Zuständen n enzelne Buchstaben zerlegen. e b r b b A B C b b e n d e r b e r r r e E b b D 9

10 Aufgabe 7 (0.4 Punkte) In Büchern über formale Sprachen st folgende Defnton zu fnden: Ene reguläre Grammatk wrd durch en 4-Tupel G = V, T, P, S festgelegt, wobe V und T endlche, dsjunkte Mengen von Symbolen snd (V T = {}), S en Symbol aus V st (S V ) und P V (T V {ε}) ene endlche Menge von Paaren st. De Elemente von P werden Produktonen genannt; statt (x, y) P wrd auch x y geschreben. De Notaton x y 1 y n st ene Abkürzung für de Produktonen x y 1,..., x y n. Das Wort u y v st aus dem Wort u x v n enem Schrtt abletbar, geschreben u x v u y v, wenn x y glt. De von G genererte Sprache L(G) st defnert als de Menge { w T S w }, wobe den reflexven und transtven Abschluss von bezechnet. 2 (a) Geben Se an, welche der folgenden Tupeln ene reguläre Grammatk gemäß der obgen Defnton darstellt. Begründen Se Ihre Antwort, falls es sch um kene reguläre Grammatk handelt. Entsprcht das Tupel der Defnton, geben Se de Sprache an, de durch de Grammatk generert wrd. (1) {X}, {a, b}, {X axb ε}, X (2) {X, Y}, {a, b}, {X ax by ε, Y by}, X (3) {a, b}, {X, Y}, {a Xa Yb ε, b Yb}, b (4) {X, Y}, {a, b}, {X Xa Yb ε, Y Yb ε}, X (b) Beschreben Se en Verfahren, das zu ener regulären Grammatk enen äquvalenten endlchen Automaten lefert. (c) Beschreben Se en Verfahren, das zu enem endlchen Automaten ohne ε-übergängen ene äquvalente reguläre Grammatk lefert. Lässt sch Ihr Verfahren auch für Automaten mt ε-übergängen verwenden? 2 Das heßt, dass de klenste Relaton mt folgenden Egenschaften st: Aus u v folgt u v. Es glt u u für alle Wörter u T. Aus u v und v w folgt u w. Anschaulch gesprochen steht für de Abletbarket n belebg velen Schrtten. 10

11 (a). Ist kene reguläre Grammatk, da de rechte Sete der ersten Produkton, axb, n der Menge T V T legt, ncht aber n der Menge T V. (Offenschtlch st asb auch ncht das Leerwort.). Ist ene reguläre Grammatk, de de Sprache {a} generert.. Ist ene reguläre Grammatk, de de Sprache {} generert. v. Ist kene reguläre Grammatk, da etwa de rechte Sete der ersten Produkton, Xa, n der Menge V T legt, ncht aber n der Menge T V. (b) Wr nterpreteren de Varablensymbole als Zustände und führen für jede Produkton A sb enen Übergang mt dem Symbol s von Zustand A nach Zustand B en. A st Endzustand genau dann, wenn es de Produkton A ε gbt. Formal lässt sch der Automat A G = Q, Σ, δ, q 0, F zu ener regulären Grammatk G = V, T, P, S folgendermaßen defneren. Q = V Σ = T δ = { (A, s, B) (A sb) P } q 0 = S F = { A (A ε) P } (c) Analog lässt sch zu jedem Automaten A = Q, Σ, δ, q 0, F ohne ε-übergängen ene reguläre Grammatk G A = V, T, P, S defneren, ndem man de Zustände zu Nontermnalen und de Übergänge zu Produktonen macht: V = Q T = Σ P = { (q sq ) (q, s, q ) δ } { (q ε) q F } S = q 0 Aufgabe 8 (0.4 Punkte) Angenommen es snd zwe determnstsche Automaten A und B gegeben. Geben Se en allgemenes Verfahren an um enen endlchen Automaten zu konstrueren, der genau jene Wörter akzeptert, de von A aber ncht von B akzeptert werden. Welche Egenschaft regulärer Sprachen lässt sch daraus ablesen? Seen A = Q 1, Σ, δ 1, 1, F 1 und B = Q 2, Σ, δ 2, 2, F 2 zwe belebge determnstsche Automaten über dem Alphabet Σ. Wr konstrueren enen Automaten C, der de beden Automaten A und B glechzetg ausführt. Als Zustände für C verwenden wr Paare 11

12 (q 1, q 2 ), wobe q 1 Q 1 en Zustand des ersten Automaten und q 2 Q 2 en Zustand des zweten Automaten st. Der neue Automat befndet sch be Engabe enes Wortes w m Zustand (q 1, q 2 ), wenn sch der erste Automat be desem Wort m Zustand q 1 und der zwete m Zustand q 2 befnden würde. Der Startzustand ( 1, 2 ) entsprcht der Stuaton, n der sch de beden ursprünglchen Automaten m Startzustand befnden. En Übergang mt dem Symbol s von (q 1, q 2 ) nach (q 1, q 2 ) exstert genau dann, wenn man mt desem Symbol n A von q 1 nach q 1 = δ 1(q 1, s) und n B von q 2 nach q 2 = δ 2(q 2, s) gelangt. Uns nteresseren nun alle Wörter, de von A aber ncht von B akzeptert werden. En derartges Wort legt genau dann vor, wenn der neue Automat damt enen Zustand (q 1, q 2 ) errecht, be dem q 1 en Endzustand des Automaten A aber q 2 ken Endzustand des Automaten B st. Der gesucht Automat st somt gegeben durch C = Q 1 Q 2, Σ, δ, ( 1, 2 ), F 1 (Q 2 \ F 2 ), wobe de Übergangsfunkton festgelegt st durch δ((q 1, q 2 ), s) = (δ 1 (q 1, s), δ 2 (q 2, s)) für alle (q 1, q 2 ) Q 1 Q 2 und alle s Σ. De Menge der Wörter, de von A aber ncht von B akzeptert werden, st nchts anderes als de Mengendfferenz L(A) \ L(B). Unsere Konstrukton zegt, dass de Dfferenz von Sprachen, de von Automaten akzeptert werden, weder durch enen Automaten beschreben werden kann. De Famle der Sprachen, de von endlchen Automaten akzeptert werden, st daher abgeschlossen gegenüber Mengendfferenz. In der Vorlesung haben wr gezegt, dass dese Sprachfamle genau den regulären Sprachen entsprcht. Daher snd auch de regulären Sprachen abgeschlossen gegenüber Dfferenzbldung: De Dfferenz zweer regulärer Sprachen st weder regulär. Aufgabe 9 (0.3 Punkte) De Plannng Doman Defnton Language (Pddl) wrd zur Beschrebung von Planungsproblemen verwendet. Das folgende Pddl-Bespel beschrebt en Problem namens Blocksworld-Instanz-1 aus dem Berech Blocksworld, n dem es de Objekte A, B und C vom Typ Block sowe das Objekt D vom Typ Cube gbt; der :nt -Abschntt beschrebt de gegebene Ausgangsstuaton, der :goal -Abschntt de gewünschte Zelstuaton. (defne (problem Blocksworld-Instanz-1) (:doman Blocksworld) (:objects A B C - Block D - Cube) (:nt (Clear A) (Clear C) (On C B) (OnTable A) (OnTable B) (HandEmpty) ) (:goal (OnTable C) (On A B) (On B C) ) ) 12

13 Grundsätzlch bestehen Problembeschrebungen aus nenander geschachtelten Lsten, de jewels n runden Klammern engeschlossen snd. De Lstenelemente werden durch Leerzechen getrennt. Es genügt, wenn Se enzelne Leerzechen zur Trennung vorsehen, mehrfache Leerzechen und Zelenumbrüche müssen ncht berückschtgt werden. De oberste Lste besteht aus sechs Elementen, nämlch dem Schlüsselwort defne gefolgt von Lsten für de Problembezechnung, de Berechsbezechnung, de Objektdefntonen, de Ausgangs- und de Zelstuaton (we m Bespel oben). defne, problem, :doman, :objects, :nt und :goal snd Schlüsselwörter. Alle anderen Bezechnungen bestehen aus Buchstaben, Zffern und Bndestrchen, begnnen aber mmer mt enem Buchstaben. Objekte werden m :objects -Abschntt defnert. Der Lste von Objekten folgt getrennt durch enen Bndestrch hr Typ. Darauf können wetere Objekte mt ener wetere Typangabe (m Bespel oben Cube ) folgen, und so weter. Der :nt - und der :goal -Abschntt besteht jewels aus ener Folge von sogenannten Prädkaten. Jedes Prädkat st ene Lste, de mt enem Prädkatnamen begnnt, dem Argumente folgen können. Etwa enthält das Prädkat (Clear A) den Prädkatnamen Clear und das Argument A. (HandEmpty) enthält nur enen Prädkatnamen, aber kene Argumente. Im Prädkat (On A B) folgen dem Prädkatnamen zwe Argumente. Geben Se ene strukturerte kontextfree Grammatk n Ebnf an, de den Aufbau derartger Problembeschrebungen spezfzert. V, T, P, Pddl mt V = {Pddl, Problem, Doman,..., Char, Letter, Dgt}, T = {" ", "(", ")", "-", ":", "a",..., "z", "A",..., "Z", "0",..., "9"}, P = {Pddl "(defne " Problem " " Doman " " Objects " " Int " " Goal ")", Problem "(problem " Name ")", Doman "(:doman " Name ")", Objects "(:objects " ObjDecl { " " ObjDecl } ")", ObjDecl Name { " " Name } " - " Name, Int "(:nt " PredLst ")", Goal "(:goal " PredLst ")", PredLst Pred { " " Pred }, Pred "(" Name { " " Name } ")", Name Letter { Char }, Char Letter Dgt "-", Letter "a" "z" "A" "Z", Dgt "0" "9" } 13

14 Aufgabe 10 (0.3 Punkte) Se E de Sprache der Posx Extended Regular Expressons, wobe nur de n der folgenden Tabelle angeführten Sprachelemente zugelassen snd. regexp trfft zu auf \s Zechen s s s, falls ken Sonderzechen. alle Zechen [s 1 s n ] en Zechen aus {s 1,..., s n } (r) r regexp trfft zu auf rr r gefolgt von r r r r oder r r* 0 Mal r r+ 1 Mal r r? 1 Mal r Weters st das Alphabet auf de Zechen A, 9, \,., [, ], (, ),, *, +,? und! engeschränkt, es besteht also nur aus den n der Tabelle auftretenden Sondersymbolen sowe aus den dre Symbolen A, 9 und!. Bespel: Das Wort ([A9.]*(! \?)?)+ legt n der Sprache E. Spezfzeren Se de Sprache der Posx Extended Regular Expressons mt Hlfe ener kontextfreen Grammatk. Verwenden Se so wet als möglch Ebnf-Notatonen, um de Grammatk überschtlch zu halten und rekursve Regeln zu vermeden. V, T, P, RegExp, wobe V = {RegExp, Quantor, Enzel, Zechen, SonderZ, NormalZ}, T = {"A", "9", "\", ".", "[", "]", "(", ")", " ", "*", "+", "?", "!"}, P = { RegExp Enzel "("RegExp")" RegExp [" "] RegExp RegExp Quantor, Quantor "*" "+" "?", Enzel "\"Zechen NormalZ "." "["Zechen { Zechen }"]", Zechen SonderZ NormalZ, SonderZ "\" "." "[" "]" "(" ")" " " Quantor, NormalZ "A" "9" "!" } Aufgabe 11 (0.4 Punkte) Zegen Se mt Hlfe der algebraschen Gesetze für logsche Operatoren und Quantoren, dass de beden Formeln jewels äquvalent zuenander snd. Übersetzen Se jede Formel n natürlche Sprache, wobe de Prädkatensymbole de durch hren Namen nahegelegten Bedeutungen haben sollen. (a) x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) und x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) (b) x ((Frau(x) ymann(y)) z Lebt(x, y)) und x Mann(x) z (Frau(z) Lebt(z, y)) 14

15 (a) x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) xf = x F x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) F G = F G x ( Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) (F G) = F G x ( Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) F = F x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) xf = x F x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) (F G) = F G x (Mann(x) y ( Frau(y) Lebt(x, y))) F G = F G x (Mann(x) y (Frau(y) Lebt(x, y))) De erste Formel lässt sch lesen als Ncht alle Männer leben ene Frau, de letzte als Es gbt Männer, de alle Frauen ncht leben. De Zwschenformel n der fünften Zele entsprcht der Formulerung Manche Männer leben kene Frau. (b) x ((Frau(x) ymann(y)) z Lebt(x, y)) zf = F wenn z ncht n F vorkommt x ((Frau(x) ymann(y)) Lebt(x, y)) F G = F G x ( (Frau(x) ymann(y)) Lebt(x, y)) (F G) = F G x ( Frau(x) ymann(y) Lebt(x, y)) xf = x F x ( Frau(x) y Mann(y) Lebt(x, y)) x(f G) = F xg wenn x ncht n F vorkommt y Mann(y) x ( Frau(x) Lebt(x, y)) F G = F G y Mann(y) x (Frau(x) Lebt(x, y)) yf [y] = xf [x] wenn x ncht n F vorkommt x Mann(x) x (Frau(x) Lebt(x, y)) xf [x] = zf [z] wenn z ncht n F vorkommt x Mann(x) z (Frau(z) Lebt(z, y)) De erste Formel entsprcht der Aussage: Für alle x glt: Falls x ene Frau st und falls es rgendenen Mann gbt, dann glt für alles, dass x en Objekt y lebt. Auffällg an deser Formel st, dass es ene free Varable y für en Element des Unversums gbt, das von x gelebt wrd. Dese Varable hat nchts mt der glechnamgen Varable n der Telformel ymann(y) zu tun. Weters gbt es noch de quantfzerte Varable z, de aber nrgends vorkommt, wodurch der entsprechende Quantor bedeutungslos st. De letzte Formel st de aufgeräumte Verson der ersten und kann gelesen werden als: Alles st ken Mann (bzw. nemand st en Mann), oder alle Frauen leben das durch y bezechnete Objekt. Aufgabe 12 (0.5 Punkte) Seen Person/1, Nass/1, Hobby/1 und Betrebt/2 Prädkatensymbole sowe surfen und tauchen Konstantensymbole mt folgender Bedeutung: 15

16 Person(x)... x st ene Person Nass(x)... x st nass Hobby(x)... x st en Hobby Betrebt(x, y)... x betrebt y surfen... Surfen tauchen... Tauchen Verwenden Se dese Symbole, um de folgenden Sätze n prädkatenlogsche Formeln zu übersetzen. (a) Alle Personen, de Surfen oder Tauchen betreben, snd nass. (b) Es gbt Personen, de alle nassen Hobbes betreben. Se weters folgende Interpretaton I gegeben: U = {Tom, Anna, Lsa, Karn, Schwmmen, Surfen, Segeln, Eslaufen, Tauchen, Radfahren, Lesen, Laufen} I(Person) = {Tom, Lsa, Karn} I(Nass) = {Schwmmen, Surfen, Segeln, Eslaufen} I(Hobby) = {Schwmmen, Surfen, Tauchen, Radfahren, Lesen, Laufen} I(Betrebt) = {(Tom, Eslaufen), (Tom, Radfahren), (Tom, Segeln), I(surfen) = Surfen I(radfahren) = Radfahren (Anna, Radfahren), (Anna, Tauchen), (Anna, Eslaufen), (Lsa, Surfen), (Lsa, Schwmmen), (Lsa, Segeln), (Karn, Radfahren), (Karn, Eslaufen)} Übersetzen Se de nachfolgenden Formeln n natürlche Sprache. Geben Se an, ob de Formeln n der Interpretaton I wahr oder falsch snd. Begründen Se Ihre Antwort; es st kene formale Auswertung erforderlch. (c) x (Betrebt(x, surfen) Betrebt(x, radfahren)) (d) x (Nass(x) (Person(x) y Betrebt(x, y))) (e) x (Person(x) y (Hobby(y) Betrebt(x, y))) (a) x ((Person(x) (Betrebt(x, surfen) Betrebt(x, tauchen))) Nass(x)) (b) x (Person(x) y ((Hobby(y) Nass(y)) Betrebt(x, y))) (c) Übersetzung: Es gbt etwas, das surft aber ncht Rad fährt. Dese Aussage st rchtg, da (Lsa, Surfen) I(Betrebt) und (Lsa, Radfahren) / I(Betrebt) (d) Übersetzung: Alles Nasse st ene Person und betrebt rgendetwas. Dese Aussage st falsch, da Schwmmen I(Nass) aber Schwmmen / I(Person). 16

17 (e) Übersetzung: Es gbt ene Person, de en Hobby betrebt. Dese Aussage st wahr, da Tom I(Person), Radfahren I(Hobby) und (Tom, Radfahren) I(Betrebt). Aufgabe 13 (0.4 Punkte) Geben Se für das folgende Petr-Netz mt Anfangsmarkerung alle möglchen Rehenfolgen an, n denen de Transtonen feuern können, sowe de Endmarkerungen, de dadurch errecht werden. (Endmarkerung bedeutet, dass kene Transton aktvert st.) t 1 2 t 3 t 2 De Transtonsfolgen t 1 t 2 und t 2 t 1 lefern bede de folgende Endmarkerung. t 1 2 t 3 t 2 Feuern de Transtonen n der Rehenfolge t 2 t 3 t 1 t 1, ergbt sch folgende Markerung. 17

18 t 1 2 t 3 t 2 De letzte Möglchket st de Rehenfolge t 2 t 3 t 1 t 3 t 1 t 3, de mt folgender Markerung endet: t 1 2 t 3 t 2 Aufgabe 14 (0.4 Punkte) Bem Boardng enes Flugzeugs werden zwe Schlangen gebldet, regular und premum, wobe de Premumschlange für Velfleger gedacht st. Jede der beden Schlangen wrd von enem Mtarbeter der Fluglne betreut. Der Prozess st be beden Schlangen dent: Zuerst wrd der Resepass kontrollert und dann der Barcode auf dem Flugtcket gescannt. (a) Modelleren Se deses System mt Hlfe enes Petr-Netzes. Geben Se ene geegnete Anfangsmarkerung für fünf reguläre und zwe Velfleger an. (b) Da es mest mehr reguläre als Premumgäste gbt, st der Premumbetreuer wenger ausgelastet als der andere. Erwetern Se Ihr Modell dahngegend, dass der Premumbetreuer, wenn er ncht gerade enen Passager abfertgt, Fluggäste von der regulären Schlange n de Premumschlange umrehen kann. 18

19 Schlange regular Passkontrolle Pass kontrollert Tcketscan Mtarbeter fre Mtarbeter fre Kunde fertg Schlange premum Passkontrolle Pass kontrollert Tcketscan De Token, de de Kunden repräsenteren, befnden sch zunächst n der Schlange regular oder der Schlange premum. Ist der jewelge Mtarbeter verfügbar, so kann de Passkontrolle und anschleßend der Tcketscan durchgeführt werden. Der Mtarbeter st erst weder für den nächsten Kunden beret, sobald für den aktuellen Kunden bede Schrtte durchgeführt wurden. Soll der Mtarbeter, der de Premummtgleder betreut, zusätzlch enzelne Kunden von der regular n de premum Schlange schcken können, so muss das Netz we folgt erwetert werden. Schlange regular Passkontrolle Pass kontrollert Tcketscan Umrehung Mtarbeter fre Mtarbeter fre Kunde fertg Schlange premum Passkontrolle Pass kontrollert Tcketscan 19