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1 Proeklusur zur Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 201/1 1. Jnur 201 Prof. Dr. André Schulz Bereitungszeit: 120 Minuten [So oder so ähnlich wird ds Deckltt der Klusur ussehen.] Nme... Mtrikel Nr.... Studiengng Ihre Lösungen werden nur ewertet, wenn Sie die Zulssung zu dieser Klusur erworen hen. 2. Schreien Sie nicht mit Rot- oder Bleistiften. Andernflls werden Ihre Lösungen nicht ewertet.. Auf diesem Klusurogen ist genügend Pltz, um die Lösungen der Aufgen ufzuschreien. 1 Notflls knn uch die Rückseite eines Blttes verwendet werden (itte uf der Vorderseite nmerken). Zusätzliche Blätter müssen mit der Mtrikelnummer versehen werden, ndernflls werden diese nicht ewertet. Der Klusurogen ist uf jeden Fll mit zugeen! Nicht vergessen, uf llen Blättern die Mtrikelnummer einzutrgen, uf diesem Deckltt uch den Nmen sowie Ihren Studiengng! Aufge Σ mximle Punktzhl 2 2 erreichte Punktzhl Korrektor/in Bechten Sie die Hinweise uf der Rückseite! 1 Auf der Proeklusur nicht ;-) 2 Die Gesmtpunktzhl wird ei der richtigen Klusur höher sein. 1

2 Je nch Aufgenstellung müssen Sie Ihre Üerlegungen mehr oder weniger detilliert drlegen. Die folgende Üersicht eschreit welcher Grd von Detilgenuigkeit von Ihnen erwrtet wird. Skizzieren der Vorgehensweise: Hier steht ds Ergenis der Aufge im Vordergrund. Bei einem richtigem Ergenis knn mn die volle Punktzhl erreichen. Wir empfehlen jedoch Anmerkungen zum Lösungsweg zu mchen, so dss ei Rechenund Folgefehlern trotzdem noch Punkte erzielt werden können. Ausführen eines Algorithmus: Führen Sie den Algorithmus us. Ds heißt, sie protokollieren die Dtenstrukturen, welche während der Ausführung des Algorithmus ngelegt zw. verändert werden. Gegeenenflls erläutern Sie, wie Verzweigungen/Schleifen ei der Areitung durchlufen werden. Dokumentieren Sie ds Ergenis des Algorithmus. Kurz egründen: Führen Sie in 2-5 Sätzen us, wrum ein Schverhlt gilt, zw. elegen Sie durch ein Gegeneispiel wrum dies nicht so ist. Ülicherweise müssen hier 2- eknnte Fkten zu einer neuen Aussge kominiert werden. Beweisen: Vollständiger Beweis gefordert. Alle TM-Progrmme können in Modulschreiweise ngegeen werden. Ws drf ich vorussetzen? Alle Aussgen, die in der Vorlesung zw. ls Üungsufge ewiesen wurden, dürfen ohne Beweis enutzt werden. Wenn in der Vorlesung gezeigt wurde, dss eine Sprche in einer (oder nicht in einer) estimmten Klsse liegt, dürfen Sie ds uch verwenden. Bei Anwendung eines Stzes muss mn zeigen, dss dessen Vorussetzungen erfüllt sind. Einzige Ausnhme von dieser Regel ilden Klusurufgen, die ereits ls Üungsufgen gestellt wurden. In diesem Fll müssen Sie die Aufge noch einml lösen. 2

3 Aufge 1. Betrchten Sie folgende Sprche: L := {w {,, c} tw (w) = tw (w) + tw c (w)} Hier eschreit tw x (w) wie oft ein Buchste x {,, c} im Wort w vorkommt. () Beweisen Sie unter Verwendung des Pumpinglemms, dss L nicht regulär ist. () Beweisen Sie, dss L kontextfrei ist. () Aufge 2. Bezeichne A den folgenden DEA üer dem Alphet {, }: () Bestimmen Sie die äquivlenten Zustände. () Minimieren Sie A. (c) Geen Sie einen regulären Ausdruck für jede Äquivlenzklsse der Myhill-Nerode Reltion von L(A) n. Skizzieren Sie jeweils ihre Vorgehensweise. () Aufge. Sei folgende kontextfreie Grmmtik üer dem Alphet {x, y, z} gegeen: S CB SS A A x B BCz y C xz ε Wie ülich stehen Großuchsten für Vrilen und Kleinuchsten für Terminle; ds Strtsymol ist S. Üerführen Sie die ngegeene Grmmtik in Chomsky Normlform. Führen Sie den in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus us. ()

4 Aufge. () Betrchten Sie folgende Sprche üer dem Alphet {0, 1}: L := {w {0, 1} w enthält ds Teilwort 001 er nicht ds Teilwort 11} Geen Sie einen DEA n, der die Sprche L erkennt. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. () Bezeichne A den folgenden NEA üer dem Alphet {, }: ε 5 Bestimmen Sie die Sprche, die von A erknnt wird. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. () Aufge 5. Seien L, L zwei Sprchen üer dem Alphet Σ. Üerprüfen Sie die folgenden Aussgen uf ihre Richtigkeit. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. () Ist L kontextfrei und L regulär, so ist uch L \ L kontextfrei. () Sind L und L regulär und hen die Minimlutomten von L und L eide je n Zustände, so ht der Minimlutomt von L L uch mindestens n Zustände. (c) Sind sowohl L ls uch L kontextfrei, so ist L regulär. Hier ezeichnet L die Spiegelung der Sprche L. () Aufge 6. Seien L, L zwei Sprchen üer dem Alphet Σ. Üerprüfen Sie die folgenden Aussgen uf ihre Richtigkeit. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. () { M L(M) prim } E () Wenn L kontextfrei ist, so ist L uch co-ufzählr. (c) (L m L L A) L E (d) Wenn Σ us nur einem Element esteht, dnn ist L E. ()

5 Aufge 7. () Geen Sie eine Sprche us NP n. Begründen Sie ihre Antwort kurz. () Beweisen Sie, dss NP unter Schnitt geschlossen ist. (c) Angenommen P NP. Beweisen Sie: es git Sprchen L 1, L 2 NP \ {, Σ }, so dss L 1 p L 2. (d) Angenommen P = NP. Beweisen Sie, dss jede Sprche L us P \ {, Σ } NPvollständig ist. () Aufge 8. Sei Σ ein Alphet und f : Σ Σ eine erechenre Funktion. Beweisen Sie, dss es eine Turingmschine M git, so dss f( M ) eine zu M äquivlente Turingmschine eschreit. () 5

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