Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen

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1 Dr. Theo Lettmnn Pderorn, den 9. Jnur 24 Age 9. Jnur 24 A x, A 2 x, Üungen zur Vorlesung Modellierung WS 23/24 Bltt Musterlösungen AUFGABE 7 : Es sei der folgende prtielle deterministishe endlihe Automt (DEA) A zum Eingelphet Σ={, } gegeen: ) Geen Sie die von A kzeptierte Sprhe L(A) forml in Mengenshreiweise n. ) Erweitern Sie A zu einem vollständigen deterministishen endlihen Automten A. Beshreien Sie A forml durh die Angen A =(Σ,Q,δ,,F ). Zeihnen Sie den Grphen zur Üergngsfunktion δ von A. ) Die vom Automten kzeptierte Sprhe ist L(A) ={w {, } w = x mit x }. ) Um den DEA A zu vervollständigen, erweitern wir die Zustndsmenge um einen weiteren Zustnd 2. Auf diese Weise können wir einen Automten ngeen, ei dem für jede Komintion us Zustnd und Eingesmol durh die Üergngsfunktion genu ein Folgezustnd definiert ist. In diesen gelngt mn, wenn nh einer Einge der Form noh ein weiteres Smol eingegeen wird. A ist ein vollständiger deterministisher endliher Automt A =(Σ,Q,δ,,F ) mit Σ = {, }, Q = {,, 2}, F = { } und der durh die folgende Telle gegeenen Üergngsfunktion δ:,, 2 δ AUFGABE 7 : Betrhten Sie die eiden Automten mit Σ A = {, } und Σ A2 = {x, }: x 2 ) Ist A ein deterministisher Automt? Ist A 2 ein deterministisher Automt? Ws ist der Grund dfür? ) Beshreien Sie die von A und A 2 kzeptierten Sprhen L(A ) und L(A 2 ) jeweils forml in Mengenshreiweise. ) Beshreien Sie die kzeptierten Sprhen L(A ) und L(A 2 ) jeweils durh einen regulären Ausdruk. ) Zu ehten ist hier, dss es ei einem deterministishen Automten us jedem Zustnd für jedes Eingesmol nur mximl einen Zustndsüergng git. Bei einem nihtdeterministishen Automten knn es hingegen eine Whlfreiheit geen. Aus einem Zustnd können für ein Eingesmol mehrere Knten verlufen. Ein Wort üer dem Eingelphet wird ei einem solhen nihtdeterministishen Automten kzeptiert, flls mn sih ei Verfolgung mindestens einer der zum Eingewort gehörigen Alterntiven eim Erreihen des Wortendes in einem kzeptierenden Zustnd efindet. A ist ein deterministisher Automt. Aus jedem Zustnd git es genu einen Üergng für jedes Smol us Σ A. A 2 ist kein deterministisher Automt. Denn es git us dem Zustnd mehr ls einen Üergng (drei Üergänge) ei Einge. ) Immer wenn ls letztes Smol ein gelesen wurde, efindet sih A im niht kzeptierenden Zustnd. Wenn jedoh ls letztes Smol ein gelesen wurde, efindet sih A im kzeptierenden Zustnd. Dher ist L(A )={w {, } + w endet mit } die vom Automten kzeptierte Sprhe. Für elieige Folgen us {x, } knn A 2 in den Zuständen oder verleien. Vom Zustnd knn der Automt nur in den Zustnd kommen, wenn entweder oder x gelesen wird. Dher kzeptiert der Automt Eingen der Form (x ) (x ) und solhe der Form (x ) x(x ). Somit ist L(A 2 ) = {w {x, } w = mit, {x, } und {, x}} die kzeptierte Sprhe. ) Regulärer Ausdruk zu L(A ): ( ). Regulärer Ausdruk zu L(A 2 ): (x ) ( x)(x ). Diese regulären Ausdrüke sollten mit den Erklärungen us ) klr sein. AUFGABE 72 : Sei A ein deterministisher endliher Automt (DEA), der genu jene Wörter w = w...w n Σ mit Σ={,, } kzeptiert, ei denen die einzelnen Zeihen w,...,w n Σ in ufsteigender Reihenfolge ezüglih der normlen Ordnung des Alphets ( <, <, < ) uftreten.

2 So gehört zum Beispiel ds Wort zu der von A kzeptierten Sprhe L(A), ds Wort hingegen niht. Beshreien Sie A entweder durh einen Üergngsgrphen zu δ oder forml durh die Angen A =(Σ,Q,δ,,F) mit Eingelphet Σ, Zustndsmenge Q, Üergngsfunktion δ, Strtzustnd und Menge der kzeptierenden Zustände F.) Für die Konstruktion ist es hilfreih, sih in die Lge des DEA A zu versetzen. Dieser muss, um die Einhltung der lphetishen Reihenfolge zu üerprüfen, in jedem Shritt ds ktuelle Zeihen w i mit dem vorherigen Zeihen w i vergleihen. Ds heißt der DEA enötigt einen Speiher für ds letzte Zeihen w i und dmit 3 kzeptierende Zustände,, 2, welhe jeweils ds zuletzt eingelesene und dmit ds isher größte gelesene Zeihen (wenn die Reihenfolge is dhin eingehlten wurde) repräsentieren. Es wird ferner ein niht kzeptierender Zustnd eingeführt, welher ei einer Verletzung der Reihenfolgeregel erreiht wird. Dieser Zustnd ist zugleih uh Endzustnd, d er niht mehr verlssen werden knn. Der DEA wird nun so konstruiert, dss er sih, wenn die lphetishe Reihenfolge is dhin eingehlten wurde, im Zustnd i efindet, woei i für die Position des zuletzt eingelesenen Zeihens im Alphet steht ( für, für, 2 für ). Sold die lphetishe Reihenfolge niht eingehlten wird, gelngt mn von jedem Zustnd us in den niht kzeptierenden Zustnd. Als Strtzustnd wird der ds Zeihen repräsentierende Zustnd gewählt. Der deterministishe endlihe Automt A =(Σ,Q,δ,,F) knn forml wie folgt definiert werden: AUFGABE 73 : Betrhten Sie den Automten rehts zum Eingelphet Σ={, }. ) Beshreien Sie den Automten A forml durh die Angen A =(Σ,Q,δ,,F). ) Konstruieren Sie mit der in der Vorlesung esprohenen Methode zu dem Automten A einen deterministishen Automten., ) A ist ein nihtdeterministisher Automt, der lle mit einer gerden Anzhl von en eginnenden Wörter kzeptiert. Er lässt sih eshreien durh A =(Σ,Q,δ,,F) mit Eingelphet Σ={, }, Zustndsmenge Q = {, }, kzeptierende Zustände F = { } und der Üergngsfunktion δ gemäss dieser Telle: δ {, } { } { } ) Mit der Potenzmengenkonstruktion ergit sih der deterministishe Automt mit dieser Üergngsfunktion:, Σ={,, } ist ds Eingelphet Q = {,, 2, } ist die Menge ller Zustände {} Die Üergngsfunktion δ ist gegeen durh die folgende Telle: Q ist der Strtzustnd δ F = {,, 2 } Q ist die Menge der kzeptierenden Zustände. 2,,, {} {,}, D der Ursprungsutomt keine ɛ-bewegungen ht und Strtzustnd ist, ist {} Strtzustnd des DEA. Der einzige kzeptierende Zustnd des Ursprungsutomten ist. Dher sind {} (wegen { }) und {, } (wegen {, }) kzeptierende Zustände des DEA. AUFGABE 74 : Sei L := {w {, } ds zweitletzte Smol von w ist eine }. ) Geen Sie zu L einen nihtdeterministishen endlihen Automten A mit L(A) =L n. Beshreien Sie den Automten A sowohl durh einen Üergngsgrphen ls uh forml ls 5-Tupel. ) Geen Sie zu L einen deterministishen endlihen Automten A mit L(A )=L n. Beshreien Sie den Automten A sowohl durh einen Üergngsgrphen ls uh forml ls 5-Tupel.

3 ) Der nihtdeterministishe Automt A lässt sih eshreien durh A =(Σ,Q,δ,,F) mit Σ={, }, Q = {,, 2 }, F = { 2 } Qund der durh die folgende Telle gegeenen Üergngsfunktion δ: δ {, } { } { 2 } { 2 } 2,, 2 D 2 der einzige kzeptierende Zustnd des Automten ist, knn ein Wort nur kzeptiert werden, wenn sih der Automt nh dem Lesen der kompletten Einge in diesem Zustnd efindet. Dies ist nur möglih, flls ei Einge w = w...w n, w Σ, der Automt eim Lesen von w n vom Zustnd in den Zustnd wehselt (nur eim Lesen einer möglih!) und eim Lesen des nähsten Smols w n vom Zustnd in den Zustnd 2. Dmit kzeptiert der Automt genu die Worte w, für die w n =und n 2 gilt. ) D wir shon einen nihtdeterministishen Automten A zu der Sprhe L vorliegen hen, können wir einen deterministishen Automten A zu L üer die Potenzmengenkonstruktion erhlten. Mn erhält den Automten A eshrieen durh A = (Σ,Q,δ, {},F ) mit Σ = {, }, Q = { {}, {, }, {, 2}, {,, 2}}, F = { {, 2}, {,, 2}} und der durh die folgende Telle gegeenen Üergngsfunktion δ : {} {,} δ {} {, } {} {, } {,, 2} {, 2} {, 2} {, } {} {,, 2} {,, 2} {, 2} {,,2} ) Entwerfen Sie einen deterministishen endlihen Automten (DEA) zu der von dem regulären Ausdruk ( + ) erzeugten Sprhe. ) Der Üergngsgrph eines nihtdeterministishen endlihen Automten zu dem regulären Ausdruk ( ) ( ):,, 2 Der Automt knn in durh ein Wort us {, } iterieren, mit in üergehen, mit oder in 2 üergehen und shließlih mit in den kzeptierenden Zustnd wehseln. Eingen nderer Art werden niht kzeptiert. ) Der Üergngsgrph eines deterministishen endlihen Automten zu dem regulären Ausdruk ( + ): 4, 2, Dss der Automt ds Wort im Zustnd 4 kzeptiert, ist offensihtlih. Im Zustnd werden Eingen der Form + kzeptiert, im Zustnd 2 solhe der Form + +. Sold der Automt ds erste Zeihen liest, n dem zu erkennen ist, dss die Einge weder von der Form noh von der Form + ist, wird in den niht kzeptierenden Zustnd gewehselt. Dort verleit der Automt is zum Ende der Einge. AUFGABE 75 : {,2} ) Entwerfen Sie einen nihtdeterministishen endlihen Automten (NEA) zu der von dem regulären Ausdruk ( ) ( ) erzeugten Sprhe. AUFGABE 76 : Geen Sie reguläre Ausdrüke zu den folgenden Sprhen n: ) L = {w {, } w endet mit } ) L 2 = {w {, } + w eginnt und endet mit demselen Smol} ) L 3 = {w {, } + w eginnt mit einer und enthält keine zwei ufeinnder folgenden } ) Ein pssender regulärer Ausdruk ist ( ).

4 ) Ein pssender regulärer Ausdruk ist (( ) ) (( ) ). ) Ein pssender regulärer Ausdruk ist ( ) +. AUFGABE 77 : Entwerfen Sie deterministishe endlihe Automten für die folgenden Sprhen: ) Die Menge ller Zeihenketten, die niht mit enden. ) Die Menge ller Zeihenketten, in denen drei ufeinnder folgende en uftreten. ) Eine möglihe Relisierung eruht uf folgender nur ei vollständigen deterministishen Automten verwendren Idee: Wir uen einen deterministishen Automten, der lle Wörter kzeptiert, die uf enden. Dnn mhen wir genu die Zustände zu kzeptierenden Zuständen, die es eim diesem Automten niht wren. Es ergit sih der Automt mit diesem Üergngsgrphen: ) Beshreien Sie die von A kzeptierte Sprhe L(A) forml in Mengenshreiweise. ) Geen Sie einen regulären Ausdruk zur kzeptierten Sprhe L(A) n. d) Wrum ist A kein deterministisher Automt? e) Konstruieren Sie den zu A gehörigen deterministishen endlihen Automten (DEA) A gemäß der in der Vorlesung vorgestellten Potenzmengenkonstruktion. ) Der Grph zur Üergngsfunktion δ von A: 4 2 ) Üergngsgrph eines Automten zu der Sprhe:, 2 2 Es ist leiht einzusehen, dss der Automt nur genu dnn in den einzigen kzeptierenden Zustnd wehselt, wenn der Automt drei ufeinnder folgende en gelesen ht. KORREKTURAUFGABE 78 : Sei A = ({, }, {., 2,, 4 },δ,, { 2, 4 }) ein nihtdeterministisher endliher Automt (NEA). Die Üergngsfunktion δ sei durh diese Telle definiert: δ {, } {, 4 } { 2 } 2 { 2 } 4 ) Zeihnen Sie den Üergngsgrphen zu A (die grphishe Drstellung der Funktion δ). ) Von A werden lle Eingen der Form ( ) kzeptiert. Im Zustnd knn der Automt durh keine oder mehr en iterieren. Dnn knn der Automt mit us dem Zustnd in den kzeptierenden Zustnd 4 wehseln oder mit zw. vi zw. vi in den nderen kzeptierenden Zustnd 2 wehseln. Dher ist die von A kzeptierte Sprhe: L(A) ={ w {, } w = uv mit u und v {,, }} ) Der reguläre Ausdruk zu L(A) sollte mit den Erklärungen us ) klr sein: ( ) d) A ist kein deterministisher Automt, d es us ei Einge und jeweils mehr ls einen Zustndsüergng git. e) Üer die Potenzmengenkonstruktion erhlten wir den Grph zur Üergngsfunktion δ des deterministishen Automten A mit L(A )=L(A):, {}, {,3} {,4} {,2,3} Bei der Konstruktion des Automten ruht mn einen Zustnd, d es us den Zuständen 2 und 4 keine Zustndsüergänge git. Akzeptierende Zustände sind {, 2,} (wegen 2 {, 2, }), {, 4} (wegen 4 {, 4 }) und {2} (wegen 2 { 2 }). {2}

5 Gut geeignet zum Aufreiten eventueller Wissenslüken im Bereih der endlihen Automten ist ürigens ds Skript zur Vorlesung Berehenrkeit & formle Sprhen von Professor Blömer. Er ht es uf den Weseiten zu seiner Vorlesung unter der URL zur Verfügung gestellt. Es git dort je einen Skriptteil zu deterministishen und nihtdeterministishen Automten.

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