T4 ZUSTANDSGLEICHUNG IDEALER GASE

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Lioba Lange
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1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichige Grundbegriffe: Byle-Mrieche Geez, Gy-Lucche Geez, Zundgleichung ideler Ge (hermdynmich und mlekulrkineich), Mwell-Blzmnnche Gechwindigkeivereilung, Gleichvereilungz, Ghermmeer Zundgleichung: Uner der Zundgleichung eine Sffe (G, Flüigkei, Fekörper) vereh mn eine Gleichung, die e gee, u dem funkinlen Zummenhng zwichen geeigneen Krdinen - den Zundvriblen - d phyikliche Verhlen eine Syem zu bechreiben. Al Zundgrößen für ein hermdynmiche Syem knn mn den Druck p, die Temperur T und d Vlumen V wählen. Für Ge knne eine in einem weien Bereich dieer mkrkpichen Zundvriblen gülige hermdynmiche Zundgleichung eperimenell bgeleie werden wie päer mlekulrkineich u den Eigenchfen der Gme, mi Hilfe der kineichen Gherie, hereich begründe werden. Thermdynmiche Zundgleichung: Au den eperimenell ermielen Zummenhängen zwichen Druck p, Vlumen V und der Temperur (gemeen in Celiugrden) erhäl mn die Zundgleichung p (1 V = pv + γ ), (1) wbei ich der Druck p und d Vlumen V uf 0 C beziehen und γ = 1/7,15 C -1 der Spnnungkeffizien i. Führ mn nelle der Celiuemperur die blue Temperur T (gemeen in Kelvin) ein mi T = 7, 15 +, () K C ergib ich pv p V = T = C T. () 7,15K Die Knne C i der Sffmenge de Ge prprinl, denn uner knnen Bedingungen vn Druck und Temperur benöig die dppele Sffmenge eine Ge d dppele Vlumen. Benuz mn l Sffmengeneinhei de Ge die Anzhl ν der Mle und lä die Indize fllen, erhäl mn l llgemeine Zundgleichung der idelen Ge pv = ν RT, (4) wbei R die uf d Ml bezgene llgemeine Gknne i, die ich u den Nrmlbedingungen für den Druck p = 60 Trr = 1, P und die Temperur T = 0 C = 7,15 K wie dem Mlvlumen V m =,41 l zu pv 1015P,4l J R = = = 8,1 (5) νt 1ml 7,15K ml K ergib. Al idele Ge bezeichne mn lle Ge, die die llgemeine Zundgleichung (4) reng erfüllen, w um eher für ein G zuriff, je kleiner der Druck und je höher die Temperur i. Treen Abweichungen vn dieer Zundgleichung uf, prich mn vn relen Gen. Die Dikuin der Zundgleichung bezüglich pezieller Zundänderungen eine idelen Ge liefer un flgende Ergebnie: Zundänderun Gleichung Geez g Iherm: T = cn p V = cn Byle-Mrie (6) Ichr: V = cn p (1 = p + γ ) (7) Gy-Luc Ibr: p = cn V (1 = V + γ ) (8) 78

2 Den bei knnem Druck gemeenen Wer vn γ nenn mn den Vlumenudehnungkeffizien, den bei knnem Vlumen gemeenen Wer nenn mn den Druck- der Spnnungkeffizien de Ge. Mlekulrkineiche Ableiung der Ggleichung: In der kineichen Gherie nimm mn die Gme l Kugeln der Me m mi verchwindendem Eigenvlumen n (Menpunkmdell), die ufeinnder keinerlei Kräfe uüben, lnge ie ich nich berühren. Söße der Ame mi der Gefäßwnd (der unereinnder) werden l vllkmmen elich nge- v = v, v v, die zunäch für nmmen. Die Ame bewegen ich mi der Gechwindigkei { } y, lle Ame dem Berg nch l gleich und deren Richung l irp vereil ngenmmen wird. Der Druck uf die Wnd A (Abb. 1) eine l quderförmig ngenmmenen Behäler mi dem Vlumen V knn dnn ddurch erklär werden, d eine Krfwirkung eneh, weil jede uf d Flächenelemen reffende Am den Impul P = mv ( mv ) = mv uf die Wnd A überräg. z Abb.1 Impulüberrgung uf eine Wnd Die Zei zwichen Sößen eine Teilchen mi der Wnd A beräg l = und die Krf, v P mv v mv die d Teilchen uf die Wnd A uüb, i F = = =. Alle N Teilchen im l l Ken überrgen dnn im Miel die Krf mv F = N. (9) l Mi der mileren qudrichen Gechwindigkei v wird berückichig, d im Unerchied zur eingng ngenmmenen Vereinfchung die Gechwindigkei der Teilchen inflge elicher Söße unereinnder nich einheilich i, ndern gemäß der Mwell-Blzmnnchen Gechwindigkeivereilung lle Were zwichen Null und Unendlich mi unerchiedlicher Whrcheinlichkei (die vn der Temperur bhäng) nnehmen knn. Abb. zeig die Whrcheinlichkeidichevereilung der Gechwindigkei für zwei verchiedene Temperuren T 1 und T. 79

3 Für den Druck flg u (9) ergib ich Abb. Mwell-Blzmnn-Gechwindigkeivereilung F N N p = = mv = m v und mi der Teilchenzhldiche A A l V N n = (10) V p = n m v. (11) D keine der Richungen,y,z bevrzug i, die Teilchen l in gleicher Weie gegen lle 6 1 Wände ßen, gil v = vy = vz und u v = v + vy + vz flg v = v bzw. v = v. Erez mn in (11) v durch 1 v, flg für den Druck 1 p = n m v (1) unbhängig vn der Frm de Behäler. Erez mn in der Beziehung für den Druck die Amzhldiche (10), erhäl mn 1 pv = N m v, (1) wbei uf der rechen Seie Größen ehen, die ich bei knner Temperur nich verändern, d.h. diee Gleichung begründe im mlekulrkineichen Mdell die Güligkei de Byle-Mriechen Geeze (6). Vergleich mn die rechen Seien vn (4) und (1), ergib ich 1 ν RT = N mv = NEkin, (14) wbei E kin der Mielwer der kineichen Energie eine Gm i. D ν, R und N unbhängig vn der Nur de Ge ind, i l die blue Temperur der kineichen Energie der Gme prprinl, wmi uch die blue Temperur eine mlekulrkineiche Deuung gefunden h. Au (14) flg ν R Ekin = R T = T = kt, (15) N N wbei N A die Avgdr-Knne (6,0 10 ml -1 ) und k die Blzmnn-Knne i. D ich jede Am im dreidimeninlen Rum in drei unbhängigen Rumrichungen, y, z bewegen knn, g mn, e h Freiheigrde der Trnlin. Au (15) flg dmi A 80

4 für die milere kineiche Energie eine Am bei der Temperur T in Übereinimmung mi 1 dem Gleichvereilungz ein Wer vn Ekin = kt pr Freiheigrd. Im Gleichvereilungz wird über d biher berchee einmige G hinugehend berückichig, d Mleküle zuäzlich zur Trnlinenergie uch nch Rin- und Schwingungenergie ufnehmen können, d die Zhl ihrer Freiheigrde uch größer l ein knn. Jllyche Ghermmeer: D Jllyche Ghermmeer i ein wichige Gerä zur Klibrierung/Eichung vn Thermmeern und zur Felegung der Temperurkle. In dieem Veruch wird e zur Meung de Spnnungkeffizienen benuz. D Ghermmeer beeh u einem mi Luf gefüllen Glblln K (Abb. ), der über eine enge Kpillre R mi einem Queckilber-Mnmeer in Verbindung eh. Der reche Schenkel de Mnmeer knn mi einer Sellchrube gehben und geenk werden. Durch Einellen der Queckilberkuppe im linken Schenkel de Mnmeer uf die Mrke M, die uf einem kleinen Spiegel mrkier i, knn bei jeder Temperur ein gnz beimme Vlumen eingeell werden. Der Druck, uner dem die Luf in dieem Vlumen eh, i gleich dem äußeren Lufdruck p plu dem u der jeweiligen Höhendifferenz h der beiden Queckilberkuppen errechneen Druck. Die Höhendifferenz h wird in Millimeern Queckilberäule bgeleen und in Pcl (SI- Einhei für Druck) umgerechne: 1 mm Hg-Säule $= 1, Pcl. Abb. Ghermmeer AUFGABEN 1. Meung der Höhendifferenz h m Ghermmeer bei Zimmeremperur, für Eiwer und iedende Wer, jeweil 10 Mewere.. Berechnung de Spnnungkeffizienen nch (16).. Berechnung der Zimmeremperur mi Hilfe de in Aufgbe ermielen Spnnungkeffizienen und Vergleich mi der Temperurnzeige eine Zimmerhermmeer. 81

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Für Aufgbe 1 wird die Höhendifferenz wird der Glblln K (Abb. ) in Eiwer (Temperur iedende Wer (Temperur nch (17), Druck Höhendifferenz h h zunäch bei Zimmeremperur gemeen. Dnn = 0 C, Druck p ) und päer in p ) gebrch und e wird jeweil die i beimm. Die Höhendifferenz wird für lle drei Mepunke je zehnml beimm, wbei uch die Einellung uf die Mrke M zehnml erflgen mu. Für Aufgbe berechne mn den Spnnungkeffizienen nch (7) u p p γ = (16) p mi der genuen Siedeemperur nch der empirichen Frmel 4 4 / C = 100 +,81 10 ( p / P 10,1 10 ). (17) Die Meunicherhei chäze mn u den Meunicherheien für den Lufdruck p und die Höhendifferenzen hi b. Für Aufgbe, die Beimmung der Zimmeremperur z, benöig mn eine weiere Druckmeung bei Zimmeremperur (Druck p z ). Diee Meung führ mn zweckmäßigerweie l ere durch. Die Zimmeremperur z ergib ich dnn ebenfll u (7), wbei für γ der in Aufgbe beimme Wer einzuezen i. Die Unicherheien der Ergebnie in Aufgbe und werden durch die Unicherhei der Druckmeung beding; mn lege l größe Srgfl uf die Meungen vn h und p (uf ± 0, mm genu meen!). Al mögliche Quellen yemicher Abweichungen dikuiere mn den Einflu der Wärmeudehnung de Glgefäße und den Einflu de Vlumen der Kpillre, d nich uf Meemperur gebrch wurde. ACHTUNG! Beim Arbeien mi dem Ghermmeer i llergröße Vrich geben: Mn uche den Glblln nich in iedende Wer, d dnn der Druck plözlich neig, d d Hg u dem ffenen Schenkel de Mnmeer herupriz. D Wer mu mi dem Glblln llmählich bi zum Sieden erwärm werden. Nch der Druckmeung bei 100 C mu vr dem Enfernen de Siedegefäße der Queckilberpiegel n der Mrke M (Abb. ) unbeding wei geenk werden, d kein Hg in die Kpillre der gr in den Glblln K hinüber reen knn. FRAGEN 1. Wie i die hermdynmiche Temperurkle, die der bluen Temperur zugrunde lieg, definier?. Nennen Sie lernive Temperurmeverfhren und erläuern Sie die phyiklichen Grundlgen dzu! Vergleichen Sie die Verfhren mieinnder hinichlich ihrer Vr- und Ncheile!. Welchen Einflu h der äußere Lufdruck uf die Meergebnie? 8

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