LEMAMOP. Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problem lösen. Kompetenztraining Mathematisch argumentieren.

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1 LEMAMOP Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problem lösen Kompetenztraining Mathematisch argumentieren Jahrgang 8 Schülermaterial

2 Klasse Argumente vereinbaren Blatt: 1 Datum: 1. Arbeitsauftrag: Argumente? a) Vervollständige die Satzanfänge von Fritzchen und schreibe eine kurze Reaktion seines Lehrers. Dialog 1: Fritzchen: Ich habe die Hausaufgaben nicht, weil. Lehrer:. Dialog 2: Fritzchen: 5 ist eine Primzahl, weil. Lehrer:. b) Worin besteht der Unterschied bei Fritzchens Argumentationen?

3 Klasse Argumente vereinbaren Blatt: 2 Datum: 2. Arbeitsauftrag: Wahr oder falsch? Wähle aus den folgenden Aussagen fünf aus. Bewerte die ausgewählten Aussagen mit wahr (w) oder falsch (f). Begründe deine Entscheidung. Aussage w oder f... denn ich weiß, dass... a) Jedes Quadrat ist ein Rechteck. b) In jedem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. c) Das Lineare Gleichungssystem hat die Lösung x = 11 und y = 4. d) In einem Sehnenviereck sind die Innenwinkel gemessen. Wird der Punkt A auf dem Kreisbogen bewegt, so bleibt der Winkel bei A stets gleich und die Winkel bei B und D verändern sich.

4 Klasse Argumente vereinbaren Blatt: 2 Datum: e) Jedes Viereck mit vier gleich großen Winkeln ist ein Rechteck. f) Gegeben ist folgende Figur. Der Flächeninhalt der Figur kann mit dem Term berechnet werden. g) Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar. h) Wenn man die eine Seite eines Quadrates um 5 cm verkürzt und die andere Seite um 9 cm verlängert, so erhält man ein Rechteck, das den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat hat.

5 Klasse Argumente im Einsatz Blatt: 1 Datum: Im Mathematikunterricht hast du schon häufig Aussagen begründet oder bewiesen. Solche Begründungen bzw. Beweise sollen jetzt gezielt durchgeführt werden. Aufgabe 1: Primzahlen? a) Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n ist eine Primzahl Unten sind zwei Beweise zu dieser Behauptung aufgeführt. Vergleiche beide Beweise und gib zentrale Argumente an. Beweis 1: Beweisschritt Setze ich die Zahlen 0, 1, 2, 3 für n ein, ergibt der Term nacheinander die Primzahlen 5, 7, 11 bzw. 17. Für n = 4 ergibt sich jedoch die Zahl ist keine Primzahl, die Behauptung ist also falsch. Begründung Systematisches Probieren... bis eine Zahl gefunden ist, für die die Behauptung falsch ist. Primzahlen sind Zahlen, die nur 1 und sich selbst als Teiler haben. 25 hat auch den Teiler 5, also ist 25 keine Primzahl. Beweis 2: Beweisschritt Begründung Setze die Zahl 5 für n ein, weil man dann ausklammern kann. ( ) Ausklammern und ausrechnen Die Behauptung ist falsch. Weil Primzahlen nur 1 und sich selbst als Teiler haben. b) Widerlege entsprechend die folgende Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n ist eine Primzahl.

6 Klasse Argumente im Einsatz Blatt: 2 Datum: Aufgabe 2: Umkreis Behauptung: In jedem Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Der Punkt ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Hier der zugehörige Beweis: Beweisschritt Begründung Erstelle eine Skizze mit sinnvoller Beschriftung. Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten haben den gleichen Abstand zum Punkt A und Eigenschaft der Mittelsenkrechten. zum Punkt C. Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten haben den gleichen Abstand zum Punkt B und Eigenschaft der Mittelsenkrechten. zum Punkt C. Der Punkt P ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und. Die folgenden Abstände sind gleich: Denn P liegt auf beiden Mittelsenkrechten. und, also ist auch P liegt auf der Mittelsenkrechten. Eigenschaft der Mittelsenkrechten. Notiere die zentralen vorgebrachten Argumente. Der letzte Schritt zum Beweis der Behauptung fehlt. Gib an, welcher Teil der Behauptung noch nicht bewiesen ist. Begründe, weshalb auch der letzte Beweisschritt gültig ist.

7 Klasse Argumente im Einsatz Blatt: 3 Datum: Aufgabe 3: ungerade Zahl Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Und hier der zugehörige Beweis: Beweisschritt Begründung ist eine ungerade Zahl ( ) das Quadrat einer ungeraden Zahl ( ) Binomische Formel die Summe zweier gerader Zahlen muss ( ) wieder eine gerade Zahl sein, da sie durch 2 teilbar ist ist ungerade addiert man eine gerade Zahl mit 1, wird sie ungerade Begründe den ersten Beweisschritt in der Tabelle. Aufgabe 4: nie 148 Behauptung: Das Produkt dreier gerader natürlicher Zahlen ist nie 148. Und hier der zugehörige Beweis: Beweisschritt Begründung Vervollständige die Begründung der Argumentationskette.

8 Klasse Argumentationstraining Blatt: 1 Datum: Aufgabenstellung: Bearbeite einzelne Aufgaben deiner Wahl. Die Sterne geben dir den Schwierigkeitsgrad an. Sammle durch das Lösen der Aufgaben mindestens 8 Sterne. * einfach ** mittel *** schwierig Aufgabe 1: Dreiecke im Quadrat * Zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke kann ich immer zu einem Quadrat zusammenlegen. Ist die Behauptung wahr? Begründe! Aufgabe 2: 6 oder 7? * Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen zweier Würfel die Augensumme 7 auftritt, ist größer als die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augensumme 6. Ist die Behauptung wahr? Begründe! Aufgabe 3: Gerade Primzahlen * Die einzige gerade Primzahl ist die 2. Ist die Behauptung wahr? Begründe! Aufgabe 4: Die schneiden sich doch, oder? ** Gegeben sind die beiden linearen Funktionen f und g mit den folgenden Gleichungen: Schneiden sich die beiden zugehörigen Geraden? Gib für deine Entscheidung zwei unterschiedliche Begründungen an.

9 Klasse Argumentationstraining Blatt: 2 Datum: Aufgabe 5: Hat meine Grundschullehrerin gelogen? ** Berni behauptet, dass seine Grundschullehrerin ihm etwas Falsches beigebracht hat: Damals sagte sie, dass 2 nicht das Gleiche ist wie 1. Jetzt kann ich endlich das Gegenteil beweisen! Hier ist sein Beweis: ( )( ) ( ) ( ) ( ) Erkläre, was Berni falsch gemacht hat. Welches zentrale Argument wurde verwendet, um Bernis Fehler zu entlarven?

10 Klasse Argumentationstraining Blatt: 3 Datum: Aufgabe 6: Das kenn ich doch vom Dreieck?! ** Behauptung: In einem regelmäßigen Fünfeck ist die Summe der Innenwinkel gleich 540. Vervollständige den Beweis. Welches zentrale Argument wurde verwendet? Beweisschritt Begründung Erstelle eine Skizze mit sinnvoller Beschriftung. Die fünf Innenwinkel sind mit 1, 2, 3, 4 und 5 bezeichnet. Sinnvolle Zerlegung in Dreiecke (Die Zerlegung bitte noch durchführen!)

11 Klasse Argumentationstraining Blatt: 4 Datum: Aufgabe 7: Gerade oder ungerade? *** Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade. Begründe, dass diese Behauptung stimmt. Erkläre, welche zentralen Argumente verwendet wurden. Aufgabe 8: Dreieck = Dreieck? *** Zeige, dass die beiden dunklen Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind. Du kannst davon ausgehen, dass Abbildung 1 und Abbildung 2 bis auf das dunkle Dreieck gleich sind. Die Figuren über den Seiten des Dreiecks ABC sind jeweils Quadrate. Abbildung 1 Abbildung 2 Erkläre, welche zentralen Argumente verwendet wurden.

12 Klasse Argumentationstraining Blatt: 5 Datum: Aufgabe 9: Ebenfalls gleichseitig? *** In dem gleichseitigen Dreieck ABC werden auf jeder Seite die Teilpunkte D, E und F markiert, die gleich weit von den entsprechenden Ecken entfernt sind. Diese Punkte werden miteinander verbunden. Man kann nun beweisen, dass das Dreieck DEF dann ebenfalls gleichseitig ist. Zerschneide die folgenden Beweisschritte und bringe sie in die richtige Reihenfolge: Nr. Beweisschritt Begründung 1 Das Dreieck DEF ist gleichseitig. 2 3 Die beiden Dreiecke EBF und FCD stimmen in zwei Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen Winkels überein. 4 und In einem gleichseitigen Dreieck sind die Innenwinkel gleich groß.,, Die Punkte D, E und F sind von den Ecken A, B und C gleich weit entfernt. 5 Die beiden Dreiecke EBF und FCD sind kongruent. Kongruenzsatz SWS Die beiden Dreiecke FCD und DAE stimmen in zwei, 6 Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen Winkels überein., 7 Die beiden Dreiecke FCD und DAE sind kongruent. Kongruenzsatz SWS 8 und 9 10 Die Dreiecke FCD und DAE sind kongruent. Die Dreiecke EBF und FCD sind kongruent. Übersicht: Aufgabe Sterne * * * ** ** ** *** *** *** Gelöst

13 Klasse Lernprotokoll Blatt: 1 Datum: Aufgabe 1: Argumente im Alltag und im Mathematikunterricht a) Nenne ein typisches Argument deiner Eltern, warum du dein Zimmer aufräumen sollst. b) Nenne eine Situation, in der in letzter Zeit Argumente im Mathematikunterricht eine Rolle gespielt haben. c) Erläutere kurz, wo die Unterschiede und die Gemeinsamkeiten bei Argumentationen im Alltag und innerhalb der Mathematik sind. Aufgabe 2: Argumente im Einsatz Peter ist verwirrt. Er ist sich sicher, dass er die folgende merkwürdige Behauptung bewiesen hat: Es gilt 5=4. Beweis: ( ) ( ) ( ) Überprüfe Peters Argumente. An welcher Stelle steckt der Fehler? Persönlicher Code:

14 Klasse Lernprotokoll Blatt: 2 Datum: Aufgabe 3: Argumentationen ausführen Behauptung: Das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist eine gerade Zahl. Prüfe, obdiese Behauptung wahr ist. Fülle dazu die Argumentationstabelle aus. Beweisschritt 1. Begründung Persönlicher Code:

15 Über Argumentationen nachdenken Argumentieren Argumentationsgrundlagen kennen Argumentationen verstehen Klasse Kompetenzcheck Blatt: 1 Datum: Bewerte bitte die Aussagen in Bezug auf das gerade durchgeführte Kompetenztraining. Aussage ++ + Ich konnte ein verwendetes mathematisches Argument erkennen und nachvollziehen. Ich konnte ein mathematisches Argument wiedergeben. Ich konnte erkennen, ob bei einer mathematischen Argumentation fehlerhafte Argumente verwendet wurden. Ich konnte Argumentationsketten nachvollziehen, die aus mehreren Schritten bestehen. Ich weiß, worin der Unterschied zwischen alltäglichen und mathematischen Argumentationen besteht. Ich konnte Definitionen von mathematischen Begriffen oder Sätze angeben, um sie als Grundlage für eine Argumentation zu verwenden. Ich konnte mathematische Verfahren angeben, um sie als Grundlage für eine Argumentation zu verwenden. Ich konnte mit einem Gegenbeispiel eine Argumentationskette widerlegen. Ich kann auf einer mir bekannten Definition eines Begriffes oder eines mathematischen Satzes ein Argument aufbauen. Ich kann ein bereits akzeptiertes Verfahren anwenden, um meine Argumente zu stützen. Ich kann eine fehlerhafte Argumentation durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Ich kann angefangene Argumentationsketten vervollständigen. Ich traue mir zu, dass ich auch komplexe Zusammenhänge mathematisch korrekt nachweisen kann. Ich überlege mir nach einer gelungenen Argumentation, was mir geholfen hat, diese zu formulieren. Ich überlege mir, ob meine Argumentation auch kritischen Nachfragen standhält. Ich notiere mir neue und zulässige Argumentationsgrundlagen in meinen Wissensspeicher. Ich traue mir zu, mit meinen mathematischen Argumenten meine Mitschüler überzeugen zu können. Zeichenerklärung: ++ + Trifft zu. Trifft eher zu. Trifft eher nicht zu. Trifft nicht zu. Persönlicher Code:

16 Klasse Kompetenzcheck Blatt: 2 Datum: In der Checkliste oben hast du dir einen Überblick verschafft, was du im Zusammenhang mit mathematischem A g mentie en schon wie g t kannst. Wo siehst du selbst am dringendsten die Notwendigkeit zur Verbesserung? Worauf willst du selbst in der nächsten Zeit besonders achten? Ich muss überhaupt erst einmal Begründungsaufgaben ernst nehmen. Ich muss meine eigenen mathematischen Argumentationen auch aufschreiben. Ich muss meine Gedanken zu Begründungsaufgaben klarer strukturieren. Dazu helfen evtl. folgende Fragen: Was ist die Argumentationsgrundlage, von der ich ausgehe? Was kann ich daraus folgern? In welcher Reihenfolge wird daraus eine schlüssige Begründung? Ich muss mich besser an Vorwissen erinnern können, das als Grundlage beim Argumentieren benötigt wird. Dazu lege ich einen Wissensspeicher an. Ich muss noch genauer darauf achten, ob die einzelnen Begründungsschritte wirklich so allgemein gültig sind, wie hingeschrieben. Meine weiteren Ziele für die nächsten Situationen, in denen ich mathematisch argumentiere: Ich Ich Ich Ich Persönlicher Code: