3 Allgemeine Algebren

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1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 3 Allgemeine Algebren Definition 3.1 Für eine Menge A nennen wir eine n-stellige Funktion ω : A n A eine n-äre algebraische Operation. Bemerkung zum Fall n = 0 : Nulläre Operationen werden als Konstanten bezeichnet. Notation (Wiederholung): A (An) ist die Menge aller n-stelligen Funktionen ω : A n A. Definition 3.2 Ein Paar (A, Ω) heißt (universelle) Algebra, falls 1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge) ist, und 2. Ω S n N A (An), d.h. Ω eine Menge von Operationen auf A ist. Beispiele: (N,+), (Z, ), (N,+, ) Für S := {x : x N x Quadratzahl} ist (S, ) eine Algebra, aber (S,+) keine.

2 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 Beispiel 0: ({t,f},{,, }) mit Beispiel Boolesche Algebra : {t,f} {t,f} eine 1-stellige Operation und : {t,f} {t,f} und : {t,f} {t,f} zweistellige Operationen sind mit (t) = f, (f) = t (t,t) = (t,f) = (f,t) = t (f,f) = f (t,t) = t (t,f) = (f,t) = (f,f) = f

3 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 3 Beispiel Halbgruppe Definition 3.3 Eine Algebra der Form (H, ) heißt Halbgruppe, falls eine zweistellige assoziative Operation auf H ist. Wir nennen e H neutrales Element (oder Einselement) von (H, ), falls a e = e a = a für jedes Element a H gilt. Wir nennen n H Nullelement von (H, ), falls a n = n a = n für jedes Element a H gilt. Hat (H, ) ein neutrales Element e und gilt für Elemente a,b H die Beziehung a b = e = b a, so nennen wir die Elemente a und b zueinander invers. Eine Halbgruppe (H, ) mit Einselement heißt Monoid. Lemma 3.1 Ist (H, ) eine Halbgruppe mit Einselement e, und sind einerseits a H und b H sowie anderereseits a H und b H jeweils zueinander invers, so gilt b = b.

4 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 4 Beispiele zu Halbgruppen Beispiel 1 Es seim A die Menge aller zweistelligen Relationen über A. Dann ist (M A, ) eine Halbgruppe mit dem Einselement I A und dem Nullelement /0. Bemerkung: Die Relation R 1 ist allerdings i.a. kein Inverses zu R. Beispiel 2 Es sei M eine beliebige Menge. Dann ist (2 M, ) eine Halbgruppe mit dem Einselement /0 und dem Nullelement M. (2 M, ) ist eine Halbgruppe mit dem Einselement M und dem Nullelement /0.

5 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5 Beispiel Boolesche Algebra Definition 3.4 Eine Algebra (S,,, } mit zweistelligen Operationen und und einer einstelligen Operation heißt Boolesche Algebra, falls 1. (S, ) kommutatives Monoid mit neutralem Element 0 S ist, 2. (S, ) kommutatives Monoid mit neutralem Element 1 S ist, 3. für die Operation gilt: a ( a) = 1 für alle a S und a ( a) = 0 für alle a S 4. die Distributivgesetze a (b c) = (a b) (a c) für alle a,b,c S und a (b c) = (a b) (a c) für alle a,b,c S gelten.

6 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 6 Satz 3.2 Für jede Boolesche Algebra (S,,, } gilt für alle a,b,c S: 1. Idempotenz: a a = a,a a = a 2. Einselement: a 1 = 1, Nullelement a 0 = 0 3. Absorption: a (a b) = a,a (a b) = a 4. Involution: ( a) = a 5. Konstante: 0 = 1, 1 = 0 6. De Morgan: (a b) = a b, (a b) = a b

7 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 7 Beispiel Halbring Definition 3.5 Eine Algebra der Form (R,+,,0) heißt Halbring, falls 1. +, zweistellige assoziative Operationen auf R sind, 2. + kommutative Operation auf R ist, 3. 0 R neutrales Element der Halbgruppe (R,+) 4. und Nullelement der Halbgruppe (R, ) ist, und 5. die Distributivgesetze (a+b) c = a c+b c und a (b+c) = a b+a c gelten. Wir nennen e R Einselement von (R,+,,0), falls a e = e a = a für jedes Element a R gilt.

8 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 8 Beispiele zu Halbringen Beispiel 3 Es seim A die Menge aller zweistelligen Relationen über A. Dann ist (M A,,, /0) ein Halbring mit dem Einselement I A. Beispiel 4 1. (2 M,,, /0) ist ein Halbring mit dem Einselement M. 2. (2 M,,,M) ist ein Halbring mit dem Einselement /0. Beispiel 5 (N,+,,0) ist ein Halbring mit dem Einselement 1. Beispiel 6 Es sei E 2 N die Menge aller endlichen Teilmengen von N. Dann ist (E,,, /0) ein Halbring ohne Einselement.

9 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 9 Beispiel Gruppe Definition 3.6 Eine Algebra der Form (G, 1,e) heißt Gruppe, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: 1. ist binäre assoziative Operation auf G. 2. Für alle g G gilt: g e = e g = g. [e ist Einselement.] 3. Für alle g G gibt es ein Element g 1 G, sodass gilt: g (g 1 ) = (g 1 g = e. [g 1 ist Inverses zu g.] Eine Gruppe (G, 1,e) heißt Abelsche Gruppe, wenn a b = b a für alle a,b G gilt.

10 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 10 Beispiel Ring Definition 3.7 Eine Algebra der Form (R,+,,,0) heißt Ring [(R,+,,,0,1) heißt Ring mit Einselement], falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: 1. (R, +,, 0) ist Abelsche (kommutative) Gruppe. 2. ist binäre assoziative Operation auf R. [(R,,1) ist Monoid.] 3. Es gelten die Distributivgesetze, d.h. für beliebige a, b, c R gelten a (b+c) = a b+a c und (a+b) c = a c+b c. Definition 3.8 Die Signatur Σ einer Algebra (A, Ω) besteht aus der Menge aller Paare ( f,s), wobei f Ω und s die zu f gehörige Stelligkeit ist. Algebra in Beispiel 0: Σ = {(,2),(,2),(,1)}

11 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 11 Definition 3.9 Zwei Algebren (A,Ω) und (A,Ω ) heißen gleichartig, falls es eine eineindeutige aritätserhaltende Abbildung ψ von Ω auf Ω gibt. (Man sagt auch, (A,Ω) und (A,Ω ) haben dieselbe Signatur.) Definition 3.10 Eine Abbildung h : A A heißt Homomorphismus einer Algebra (A,Ω) in eine (unter ψ gleichartige) Algebra (A,Ω ), falls für alle ω Ω und alle a i A die Gleichung gilt. h ( ω(a 1,...,a n ) ) = ψ(ω) ( h(a 1 ),...,h(a n ) ) Hierbei sei ω eine n-äre Operation in (A, Ω).

12 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 12 Diagramm zum Homomorphismus Algebra A: a 1,...,a ω n ω(a 1,...,a n ) h... h h Algebra A ψ(ω) : h(a 1 ),...,h(a n ) h( ω(a 1,...,a n ) ) = ψ(ω) ( h(a 1 ),...,h(a n ) )

13 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 13 Beispiele zu Homomorphismen Beispiel 7 Es seien X endliche Menge von Symbolen (endliches Alphabet), X die Menge aller Zeichenketten aus Symbolen des Alphabets X Sprachen L 1,L 2 X L 1 L 2 := {u v u L 1 und v L 2 } Konkatenation von L 1 und L 2 u v = uv Konkatenation der Wörter u und v Algebra (X, ), h : X N mit h(w) = w (Länge von w, d.h. Anzahl der Symbole von w) h ist Homomorphismus von (X, ) nach (N,+): h(u v) = u v = u + v = h(u)+h(v)

14 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 14 Beispiel 8 Es seien (2 M,,, /0) und (2 M,,,M) die Halbringe aus Beispiel 4. Wir setzen ψ( ) :=, ψ( ) := und ψ(/0) := M. Dann ist die durch h(x) := M X definierte Abbildung ein eineindeutiger Homomorphismus, d.h. ein Isomorphismus, von (2 M,,, /0) auf (2 M,,,M), der überdies auch die Einselemente M und /0 ineinander überführt.

15 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 15 Beispiel zu Halbringen (Restklassenring) Beispiel 9 Wir betrachten die Menge Z p := {0,1,..., p 1} N, p 2, und definieren auf ihr die Operationen + p, p und 0 p wie folgt a+ p b := Rest von a+b bei Division durch p, a pb := Rest von a b bei Division durch p und 0 p := 0. Dann ist ( Z p,+ p, p,0 p ) ein Halbring mit Einselement 1p = 1, in dem jede Gleichung der Form a+ p x = b lösbar ist. Beispiel 10 Wir betrachten den Halbring (Ring) der ganzen Zahlen (Z,+,,0). Die durch h p (x) := Rest von x bei Division durch p definierte Abbildung von Z auf Z p ist ein Homomorphismus der Algebra (Z, +,, 0) auf ( Z p,+ p, p,0 p ). Für a,b Z schreiben wir a p b oder a b mod p, falls h p (a) = h p (b).

16 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 16 Definition 3.11 Es sei (A,Ω) eine Algebra, Wir nennen B A abgeschlossen unter Ω, falls für alle ω Ω aus a i B stets ω(a 1,...,a n ) B folgt. Ist B A unter den Operationen ω Ω abgeschlossen, so nennen wir (B, Ω) eine Unteralgebra von (A, Ω). [ Kurzschreibweise: (B,Ω) (A,Ω) ] Beispiel 11 Der Halbring (E,,, /0) aus Beispiel 6 ist ein echter Unterhalbring von (2 N,,, /0). Beispiel 12 Ist X M, so ist (2 X,,, /0) ein Unterhalbring von (2 M,,, /0). Das Einselement M von (2 M,,, /0) gehört allerdings nicht notwendig zu (2 X,,, /0).

17 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 17 Definition 3.12 Eine binäre Relation heißt Kongruenzrelation auf einer Algebra (A, Ω), falls 1. Äquivalenzrelation auf der Menge A ist, und 2. für alle Operationen ω Ω und alle a i,a i A die Beziehung ω(a 1,...,a n ) ω(a 1,...,a n) aus a i a i folgt. Notation: [a] := {a : a A a a} bezeichne die von a A erzeugte Äquivalenzklasse. Satz 3.3 Sind (A, Ω) eine Algebra und eine Kongruenzrelation auf (A, Ω), so bildet die Menge der Äquivalenzklassen A/ := { [a] : a A } mit den gemäß der Gleichung ω ( [a 1 ],...,[a n ] ) := [ω(a1,...,a n )] definierten Operationen ω Ω eine Algebra (A/, Ω), die homomorphes Bild von (A, Ω) unter dem Homomorphismus h (a) := [a] ist.

18 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 18 Diagramm zu Satz 3.3: Korrektheit der Operation ω in der Algebra A/ Algebra A: Wahl der Repräsentanten b 1,...,b n a 1,...,a n... ω Algebra A/ : [a 1 ],...,[a n ] ω ω ω(a 1,...,a n ) h ω(b 1,...,b n ) h [ω(a 1,...,a n )] = [ω(b 1,...,b n )] = ω ( [a 1 ],...,[a n ] )

19 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 19 Satz 3.4 (Homomorphiesatz) Es seien (A,Ω) und (A,Ω ) (unter ψ gleichartige) Algebren, und es sei h : A A ein Homomorphismus von (A,Ω) in (A,Ω ). Dann definiert die Beziehung a a genau dann, wenn h(a) = h(a ) eine Kongruenzrelation auf (A, Ω), und es gibt einen Isomorphismus ϕ von (A/,Ω) in (A,Ω ) derart, dass h(a) = ϕ(h (a)) für alle a A gilt.

20 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 20 Diagramm zum Homomorphiesatz (A, Ω) h ( {h(a) a A},Ω ) (A,Ω ) h (A/, Ω) ϕ Folgerung 3.5 Es seien (A,Ω) und (A,Ω ) (unter ψ gleichartige) Algebren, und es sei h : A A ein Homomorphismus von (A,Ω) in (A,Ω ). Dann ist {h(a) a A} abgeschlossen bezüglich der Operationen aus Ω, m.a.w. ({h(a) a A},Ω ) ist eine Unteralgebra von (A,Ω ).