Logik für Informatiker Logic for computer scientists
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- Sven Kranz
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1 Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 31
2 Die Logik der Quantoren Till Mossakowski Logik 2/ 31
3 Wahrheitsfunktionale Form Ersetze alle quantifizierten Teilformeln, die nicht im Skopus eines anderen Quantors liegen, durch Satzbuchstaben. Gleiche Formeln innerhalb eines Satzes werden dabei durch den gleichen Buchstaben ersetzt. Ein quantifizierter Satz der Sprache erster Stufe heißt genau dann eine Tautologie, wenn wenn seine wahrheitsfunktionale Form eine Tautologie ist. x Cube(x) x Cube(x) wird zu A A Till Mossakowski Logik 3/ 31
4 Wahrheitsfunktionale Form Beispiele PL1-Satz w. f. Form x Cube(x) x Cube(x) A A ( y Tet(y) z Small(z)) z Small(z) (A B) B x Cube(x) y Tet(y) A B x Cube(x) Cube(a) A B x (Cube(x) Cube(x)) A x (Cube(x) Small(x)) x Dodec(x) A B Till Mossakowski Logik 4/ 31
5 Beispiele für die - Elimination x(cube(x) Small(x)) x Cube(x) x Small(x) A B C xcube(x) x Small(x) x Cube(x) x Small(x) A B A B Nein! Ja! Till Mossakowski Logik 5/ 31
6 Tautologien und logische Wahrheiten Jede Tautologie ist eine logische Wahrheit, aber nicht umgekehrt. Beispiel: x Cube(x) x Cube(x) ist eine logische Wahrheit, aber keine Tautologie. Analog ist jedes tautologisch gültige Argument auch logisch gültig, aber nicht umgekehrt. x Cube(x) x Cube(x) ist ein logisch gültiges Argument, aber kein tautologisch gültiges Argument Till Mossakowski Logik 6/ 31
7 Die verschiedenen Stufen der Wahrheiten Tautologien PL1-Wahrheiten Logische Wahrheiten Till Mossakowski Logik 7/ 31
8 Tautologien und logische Wahrheiten (Fortsetzung) Aussagenlogik PL1 Tarski s World Allgemein Tautologie PL1-Wahrheit TW-Wahrheit Logische Wahrheit Tautologische PL1- TW- Logische Folgerung Folgerung Folgerung Folgerung Tautologische PL1- TW- Logische Äquivalenz Äquivalenz Äquivalenz Äquivalenz Till Mossakowski Logik 8/ 31
9 PL1-Wahrheiten und Ersetzungsmethode Wenn man erkennen kann, dass ein Satz logisch wahr ist, ohne die Bedeutung der Namen, der Prädikate (außer der ldentität) und der Funktionssymbole zu kennen, die in ihm vorkommen, dann bezeichnen wir diesen Satz als PL1-Wahrheit. Um auf PL1-Wahrheit oder analog auf PL1-Folgerung zu testen, ersetzt man zunächst alle Prädikate außer der Identität durch neue, bedeutungslose Prädikate, wobei darauf zu achten ist, alle Vorkommen eines Prädikates durch dasselbe bedeutungslose Prädikat zu ersetzen. (Falls Funktionssymbole vorkommen, werden auch sie entsprechend ersetzt.) Till Mossakowski Logik 9/ 31
10 Welche Sätze sind PL1-Wahrheiten? x SameSize(x, x) x Cube(x) Cube(b) (Cube(b) b = c) Cube(c) (Small(b) SameSize(b, c)) Small(c) Till Mossakowski Logik 10/ 31
11 Ersetzen der Prädikate durch bedeutungslose Prädikate x Outgrabe(x, x) x Tove(x) Tove(b) (Tove(b) b = c) Tove(c) (Slithy(b) Outgrabe(b, c)) Slithy(c) Till Mossakowski Logik 11/ 31
12 Welche Sätze sind PL1-Wahrheiten? Fortsetzung x SameSize(x, x) x P(x, x) x Cube(x) Cube(b) (Cube(b) b = c) Cube(c) (Small(b) SameSize(b, c)) Small(c) x Q(x) Q(b) (Q(b) b = c) Q(c) (R(b) P(b, c)) R(c) Till Mossakowski Logik 12/ 31
13 Welche Sätze sind PL1-Wahrheiten? Fortsetzung x SameSize(x, x) x P(x, x) x Cube(x) Cube(b) (Cube(b) b = c) Cube(c) (Small(b) SameSize(b, c)) Small(c) x Q(x) Q(b) (Q(b) b = c) Q(c) (R(b) P(b, c)) R(c) Alle Sätze sind logische Wahrheiten, aber nur Sätze 2 und 3 sind PL1-Wahrheiten. Till Mossakowski Logik 13/ 31
14 Ist das ein gültiges PL1-Argument? x(tet(x) Large(x)) Large(b) Tet(b) Till Mossakowski Logik 14/ 31
15 Ist das ein gültiges PL1-Argument? x(tet(x) Large(x)) Large(b) Tet(b) Ersetzen durch bedeutungslose Prädikate: x(borogove(x) Mimsy(x)) Mimsy(b) Borogove(b) Till Mossakowski Logik 15/ 31
16 Ist das ein gültiges PL1-Argument? x(tet(x) Large(x)) Large(b) Tet(b) Ersetzen durch bedeutungslose Prädikate: x(borogove(x) Mimsy(x)) Mimsy(b) Borogove(b) Man erkennt, die Konklusion ist sowohl logische Folgerung als auch sogar PL1-Folgerung der Prämissen. Till Mossakowski Logik 16/ 31
17 Ist das ein gültiges PL1-Argument? Ersetzen durch bedeutungslose Prädikate: x Larger(x, a) x Larger(b, x) Larger(c, d) Larger(a, b) x R(x, a) x R(b, x) R(c, d) R(a, b) Till Mossakowski Logik 17/ 31
18 Ein Gegenbeispiel Ein PL1-Gegenbeispiel Interpretiere R(x, y) als Mag(x, y) Till Mossakowski Logik 18/ 31
19 Ersetzungsmethode (Fortsetzung) Um zu prüfen, ob S eine PL1-Wahrheit ist, versucht man, die Namen, Prädikate und Funktionssymbole in S zu interpretieren und eine Situation zu beschreiben, in der der interpretierte Satz S falsch ist. Wenn es keine solche Situation gibt, ist der ursprüngliche Satz eine PL1-Wahrheit. Um zu prüfen, ob S eine PL1-Folgerung aus den Prämissen P 1,..., P n ist, versucht man, eine Situation und eine Interpretation zu finden derart, dass S falsch ist, obwohl P 1,..., P n alle wahr sind. Falls es keine solche Situation gibt, handelt es sich bei dem ursprünglichen Argument um eine PL1-Folgerung. Till Mossakowski Logik 19/ 31
20 PL1-Äquivalenzen Zwei wohlgeformte Formeln P und Q mit freien Variablen heißen logisch äquivalent, wenn sie in in allen möglichen Umständen von denselben Dingen erfüllt werden. In Zeichen: P Q Substitutionsprinzip Wenn P Q, dann S(P) S(Q). Hierbei ist S( ) ein Satz mit einer Lücke. Till Mossakowski Logik 20/ 31
21 DeMorgansche Gesetze für Quantoren x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) Till Mossakowski Logik 21/ 31
22 Weitere Äquivalenzen für Quantoren (1) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) Till Mossakowski Logik 22/ 31
23 Weitere Äquivalenzen für Quantoren (2) x P P x P P x (P Q(x)) P x Q(x) x (P Q(x)) P x Q(x) falls x in P nicht frei ist Till Mossakowski Logik 23/ 31
24 Weitere Äquivalenzen für Quantoren (3) x P(x) y P(y) x P(x) y P(y) falls y in P nicht vorkommt Till Mossakowski Logik 24/ 31
25 TW Folgerung PL1-Folgerung Wir haben Argumente gefunden, die in Tarki s Welt gültig sind, aber nicht PL1-gültig. x (Cube(x) SameShape(x, c)) Cube(c) Die Ersetzungsmethode liefert ein ungültiges Argument: x (P(x) Q(x, c)) P(c) Till Mossakowski Logik 25/ 31
26 Die axiomatische Methode Die Axiomatische Methode überbrückt die Lücke zwischen der Tarski s-welt-folgerung und der PL1-Folgerung, indem man in systematischer Weise Tatsachen über die Prädikate, die in unseren Argumenten vorkommen, zum Ausdruck bringt. Die Sätze, die diese Tatsachen ausdrücken, werden als Axiome eingeführt. Sie beschränken die mögliche Interpretation der Prädikate. Axiome können als zusätzliche Prämissen bei Folgerungen/Beweisen genutzt werden. Till Mossakowski Logik 26/ 31
27 Das Argument noch einmal betrachtet x (Cube(x) SameShape(x, c)) x SameShape(x, x) Cube(c) Die Ersetzungsmethode liefert ein gültiges Argument: x (P(x) Q(x, c)) x Q(x, x) P(c) Till Mossakowski Logik 27/ 31
28 Die grundlegenden Formaxiome 1 x (Cube(x) Tet(x)) 2 x (Tet(x) Dodec(x)) 3 x (Dodec(x) Cube(x)) 4 x (Tet(x) Dodec(x) Cube(x)) Till Mossakowski Logik 28/ 31
29 Ein Argument, welches die Formaxiome nutzt x (Dodec(x) Cube(x)) x (Tet(x) Dodec(x) Cube(x)) x Tet(x) x (Cube(x) Dodec(x)) x (P(x) Q(x)) x (R(x) P(x) Q(x)) x R(x) x (Q(x) P(x)) Till Mossakowski Logik 29/ 31
30 Einführungs- und Beseitigungsaxiome von SameShape 1 x y ((Cube(x) Cube(y)) SameShape(x, y)) 2 x y ((Dodec(x) Dodec(y)) SameShape(x, y)) 3 x y ((Tet(x) Tet(y)) SameShape(x, y)) 4 x y ((SameShape(x, y) Cube(x)) Cube(y)) 5 x y ((SameShape(x, y) Dodec(x)) Dodec(y)) 6 x y ((SameShape(x, y) Tet(x)) Tet(y)) Till Mossakowski Logik 30/ 31
31 Euklids Axiomatisierung der Geometrie 1 Von jedem Punkt nach jedem Punkt kann man eine Strecke ziehen. 2 Man kann eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern. 3 Man kann mit jedem Mittelpunkt und Abstand einen Kreis zeichnen. 4 Alle rechten Winkel sind einander gleich. 5 Parallelenpostulat: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass die innen auf derselben Seite entstehenden Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte sind, dann treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. Till Mossakowski Logik 31/ 31
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