Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2

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1 6 Logik, Teil 2 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer Oktober 2008 Kap. 6: Logik, Teil 2 1

2 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter (auch mehrere Parameter möglich) Kap. 6: Logik, Teil 2 2

3 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter (auch mehrere Parameter möglich) Beispiel: x > 0 Kap. 6: Logik, Teil 2 2

4 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter (auch mehrere Parameter möglich) Beispiel: x > 0 Interessant z.b., für welche Werte der Parameter eine Aussage wahr werden kann, etwa x > 0 x < 2 Kap. 6: Logik, Teil 2 2

5 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter (auch mehrere Parameter möglich) Beispiel: x > 0 Interessant z.b., für welche Werte der Parameter eine Aussage wahr werden kann, etwa x > 0 x < 2... und ob sie überhaupt wahr werden kann (Erfüllbarkeit) Kap. 6: Logik, Teil 2 2

6 Quantoren der Allquantor; zum Beispiel: nur wahr, wenn x 2 0 für alle x gilt (wenn x R, dann also wahr) x R : x 2 0, (1) Kap. 6: Logik, Teil 2 3

7 Quantoren der Allquantor; zum Beispiel: nur wahr, wenn x 2 0 für alle x gilt (wenn x R, dann also wahr) der Existenzquantor; zum Beispiel: x R : x 2 0, (1) x R : x 2 = 5, (2) nur wahr, wenn es ein (gern auch mehrere) x gibt, für die x 2 = 5 also ± 5 wenn x R Kap. 6: Logik, Teil 2 3

8 Beweisen Nun sind wir in der Lage, schöne Behauptungen formal aufzuschreiben das ist schon mal ein wesentlicher Schritt, um sie für einen mathematisch denkenden Menschen akzeptabel zu machen. Kap. 6: Logik, Teil 2 4

9 Beweisen Nun sind wir in der Lage, schöne Behauptungen formal aufzuschreiben das ist schon mal ein wesentlicher Schritt, um sie für einen mathematisch denkenden Menschen akzeptabel zu machen. Allerdings wird der dann im nächsten Schritt vermutlich einen Beweis unserer Behauptung sehen wollen; um darauf vorbereitet zu sein, schauen wir uns einige Standardtechniken zur Konstruktion von Beweisen an. Kap. 6: Logik, Teil 2 4

10 Beweisen Nun sind wir in der Lage, schöne Behauptungen formal aufzuschreiben das ist schon mal ein wesentlicher Schritt, um sie für einen mathematisch denkenden Menschen akzeptabel zu machen. Allerdings wird der dann im nächsten Schritt vermutlich einen Beweis unserer Behauptung sehen wollen; um darauf vorbereitet zu sein, schauen wir uns einige Standardtechniken zur Konstruktion von Beweisen an. Im direkten Beweis startet man mit Aussagen, deren Richtigkeit angenommen wird und leitet daraus neue Aussagen her, die unter dieser Annahme dann auch gelten. Beweise dieser Art waren in den Übungsaufgaben schon ab und zu dran, daher kommt hier kein extra Beispiel. Kap. 6: Logik, Teil 2 4

11 Widerspruchsbeweis (1) Eine häufige Argumentation ist der Widerspruchsbeweis: man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein. Kap. 6: Logik, Teil 2 5

12 Widerspruchsbeweis (1) Eine häufige Argumentation ist der Widerspruchsbeweis: man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein. Nicht ernst gemeintes Beispiel Sherlock Holmes lebt : Wir nehmen das Gegenteil an: Sherlock Holmes lebt nicht Kap. 6: Logik, Teil 2 5

13 Widerspruchsbeweis (1) Eine häufige Argumentation ist der Widerspruchsbeweis: man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein. Nicht ernst gemeintes Beispiel Sherlock Holmes lebt : Wir nehmen das Gegenteil an: Sherlock Holmes lebt nicht Wenn er nicht lebt, dann muss er schon gestorben sein Kap. 6: Logik, Teil 2 5

14 Widerspruchsbeweis (1) Eine häufige Argumentation ist der Widerspruchsbeweis: man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein. Nicht ernst gemeintes Beispiel Sherlock Holmes lebt : Wir nehmen das Gegenteil an: Sherlock Holmes lebt nicht Wenn er nicht lebt, dann muss er schon gestorben sein Wäre er gestorben, wäre ein Nachruf in der Times erschienen Kap. 6: Logik, Teil 2 5

15 Widerspruchsbeweis (1) Eine häufige Argumentation ist der Widerspruchsbeweis: man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein. Nicht ernst gemeintes Beispiel Sherlock Holmes lebt : Wir nehmen das Gegenteil an: Sherlock Holmes lebt nicht Wenn er nicht lebt, dann muss er schon gestorben sein Wäre er gestorben, wäre ein Nachruf in der Times erschienen Es ist nie ein Nachruf auf Sherlock Holmes in der Times erschienen. Kap. 6: Logik, Teil 2 5

16 Widerspruchsbeweis (1) Eine häufige Argumentation ist der Widerspruchsbeweis: man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein. Nicht ernst gemeintes Beispiel Sherlock Holmes lebt : Wir nehmen das Gegenteil an: Sherlock Holmes lebt nicht Wenn er nicht lebt, dann muss er schon gestorben sein Wäre er gestorben, wäre ein Nachruf in der Times erschienen Es ist nie ein Nachruf auf Sherlock Holmes in der Times erschienen. Wenn unsere Folgerungen wasserdicht wären, hätten wir aus der Negation der Aussage den Widerspruch Es ist ein Nachruf erschienen und es ist kein Nachruf erschienen hergeleitet. Mithin ist die ursprüngliche Aussage wahr. Kap. 6: Logik, Teil 2 5

17 Widerspruchsbeweis (2) Ernst gemeintes Beispiel: Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann ich nicht mit 1 2-Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausfüllen Kap. 6: Logik, Teil 2 6

18 Widerspruchsbeweis (2) Ernst gemeintes Beispiel: Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann ich nicht mit 1 2-Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausfüllen Wir nehmen das Gegenteil an, also dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen. Kap. 6: Logik, Teil 2 6

19 Widerspruchsbeweis (2) Ernst gemeintes Beispiel: Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann ich nicht mit 1 2-Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausfüllen Wir nehmen das Gegenteil an, also dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen. Jeder Dominostein belegt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Kap. 6: Logik, Teil 2 6

20 Widerspruchsbeweis (2) Ernst gemeintes Beispiel: Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann ich nicht mit 1 2-Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausfüllen Wir nehmen das Gegenteil an, also dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen. Jeder Dominostein belegt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Dann belegt eine beliebige Menge von Dominosteinen genauso viele weiße wie schwarze Felder. Kap. 6: Logik, Teil 2 6

21 Widerspruchsbeweis (2) Ernst gemeintes Beispiel: Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann ich nicht mit 1 2-Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausfüllen Wir nehmen das Gegenteil an, also dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen. Jeder Dominostein belegt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Dann belegt eine beliebige Menge von Dominosteinen genauso viele weiße wie schwarze Felder. Das fragliche Gebiet hat aber nur 30 weiße (und 32 schwarze) Felder (für Pedanten: oder umgekehrt). Kap. 6: Logik, Teil 2 6

22 Widerspruchsbeweis (2) Ernst gemeintes Beispiel: Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann ich nicht mit 1 2-Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausfüllen Wir nehmen das Gegenteil an, also dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen. Jeder Dominostein belegt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Dann belegt eine beliebige Menge von Dominosteinen genauso viele weiße wie schwarze Felder. Das fragliche Gebiet hat aber nur 30 weiße (und 32 schwarze) Felder (für Pedanten: oder umgekehrt). Und das ist der Widerspruch: wenn es eine Anordnung gäbe, würde sie einerseits genauso viele weiße wie schwarze Felder bedecken, andererseits aber zwei schwarze Felder mehr als weiße. Kap. 6: Logik, Teil 2 6

23 Vollständige Induktion (1) Eine andere Standardtechnik ist die vollständige Induktion: wenn eine Aussage A(n) für n = 1 wahr ist und für alle ganzen Zahlen n 1 die Implikation A(n) A(n + 1) gilt, dann ist A(n) für alle n N wahr. Kap. 6: Logik, Teil 2 7

24 Vollständige Induktion (1) Eine andere Standardtechnik ist die vollständige Induktion: wenn eine Aussage A(n) für n = 1 wahr ist und für alle ganzen Zahlen n 1 die Implikation A(n) A(n + 1) gilt, dann ist A(n) für alle n N wahr. Beispiel: für jedes n N gilt n (2i 1) = n 2. i=1 Kap. 6: Logik, Teil 2 7

25 Vollständige Induktion (1) Eine andere Standardtechnik ist die vollständige Induktion: wenn eine Aussage A(n) für n = 1 wahr ist und für alle ganzen Zahlen n 1 die Implikation A(n) A(n + 1) gilt, dann ist A(n) für alle n N wahr. Beispiel: für jedes n N gilt n (2i 1) = n 2. i=1 Induktionsanfang n = 1: 1 (2i 1) = 1 = 1 2. i=1 Kap. 6: Logik, Teil 2 7

26 Vollständige Induktion (2) Induktionsschritt: sei n 1 und die Behauptung sei für n wahr. Dann gilt sie auch für n + 1: n+1 (2i 1) = i=1 ( n ) (2i 1) +2(n + 1) 1 i=1 }{{} n 2 (Induktionsvoraussetzung) = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 Kap. 6: Logik, Teil 2 8

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