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1 $Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $ 2 Gruppen 2.1 Isomorphe Gruppen In der letzten Sitzung hatten unter anderen den Begriff einer Gruppe eingeführt und auch schon einige Beispiele von Gruppen vorgeführt. Wir wollen diese Untersuchungen jetzt noch etwas weiter fortführen und als nächsten Begriff die Isomorphie, oder strukturelle Gleichheit, von Gruppen einführen. Um zu sehen, was dies bedeutet betrachten wir erst einmal die folgenden beiden Gruppen und a b a a b b b a Diese beiden Gruppen sind sicherlich nicht gleich, sie haben ja nicht einmal dieselben Elemente. So richtig verschieden sind sie aber auch nicht, die rechte Tafel entsteht aus der linken indem man einfach a statt 0 und b statt 1 schreibt, es liegt also nur eine Umbenennung der Elemente vor. Man spricht in solchen Situationen davon, dass die beiden Gruppen isomorph sind. Für eine exakte Definition müssen wir den Begriff nun formal genau erfassen. Seien also zwei Gruppen (G, ) und (H, ) gegeben. Die Umbenennung bedeutet das jedem Element von G ein eindeutiges Element von H entspricht und umgekehrt, dass wir also in anderen Worten eine bijektive Abbildung f : G H haben. Was bedeutet jetzt, dass sich die Gruppentafeln dabei ineinander übertragen? In der Zeile x G und Spalte y G der Gruppentafel von (G, ) steht das Produkt x y. Die x und y entsprechenden Elemente von H sind f(x) und f(y), also muss in Zeile f(x) und Spalte f(y) der Gruppentafel von (H, ) das x y entsprechende Element stehen, und dieses ist f(x y). Andererseits steht dort f(x) f(y), wir benötigen also die Bedingung f(x y) = f(x) f(y). Es stellt sich als sinnvoll heraus, diese Eigenschaft von f auch für allgemeine, nicht notwendig bijektive, Abbildungen f von G nach H zu untersuchen. Definition 2.5: Eine Abbildung f : G 1 G 2 zwischen zwei Gruppen (G 1, ) und (G 2, ) heißt Homomorphismus (oder ausführlicher Gruppenhomomorphismus), wenn f(a b) = f(a) f(b) für alle a, b G 1 gilt. Ist f dabei bijektiv, so heißt f ein Isomorphismus, beziehungsweise Gruppenisomorphismus, und G 1 und G 2 werden isomorph genannt. Wir wollen einige Beispiele durchgehen. 4-1

2 1. Die Funktion f : (Z, +) (Z, +); x 2x ist ein Gruppenhomomorphismus, denn für alle x, y Z gilt f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y). 2. Die Funktion f : (Z, +) (Z, +); x x 2 ist dagegen kein Gruppenhomomorphismus, denn im allgemeinen ist f(x +y) = (x +y) 2 = x 2 +2xy +y 2 x 2 +y 2 = f(x) + f(y). 3. Sei n N. Dann ist die Funktion f : (Z, +) (Z n, ); x [x], die jede ganze Zahl auf ihre Restklasse modulo n abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Die Homomorphiebedingung f(x + y) = [x + y]! = [x] [y] = f(x) + f(y) für x, y Z ist dabei direkt die Definition der Addition von Restklassen modulo n. 4. Die Abbildung f : (Z, +) (Z, +); x x ist ein Gruppenisomorphismus, denn bijektiv ist sie allemal und für x, y Z gilt stets f(x + y) = (x + y) = x y = f(x) + f(y). 5. Zum Abschluß noch ein etwas komplizierteres Beispiel. Die Exponentialabbildung f : (R, +) (R >0, ); x e x ist ein Gruppenisomorphismus. Dabei werden wir e x eigentlich erst etwas später in diesem Semester behandeln, daher verlasse ich mich hier auf Ihre Erinnerungen aus der Schulzeit. Dort haben Sie gelernt das f die reellen Zahlen bijektiv auf die positiven reellen Zahlen abbildet. Die Homomorphiebedingung besagt f(x + y) = e x+y! = e x e y = f(x) f(y) und dies ist gerade die Haupteigenschaft der e-funktion, ihre Funktionalgleichung. 6. Wir wollen jetzt auch noch ein letztes Beispiel betrachten, das die Gruppentafeln der beiden betrachteten Gruppen verwendet. Wir wollen die beiden folgenden Gruppen auf vier Elementen 0, 1, 2, 3 betrachten: und Wir behaupten, dass diese beiden Gruppen isomorph sind wobei der Isomorphismus durch Vertauschen von 2 und 3 gegeben ist. Diese Behauptung wollen wir 4-2

3 nun verifizieren. Wir müssen in der linken Tafel die dritte und die vierte Zeile sowie Spalte jeweils miteinander vertauschen. Beachte das dies im linken, unteren 2 2-Kästchen zum Vertauschen der beiden Zeilen führt, im rechten, oberen 2 2-Kästchen zum Vertauschen der beiden Spalten und im rechten, unteren 2 2- Kästchen muss beides zugleich gemacht werden, d.h. die Einträge werden über Kreuz ausgetauscht. Anschließend müssen dann noch in den Tafeleinträgen die 2 und die 3 miteinander vertauscht werden. Der Übersichtlichkeit halber führen wir dies hier in zwei Schritten durch Vertauschen Umbenennen Insgesamt ist also die durch f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 3 und f(3) = 2 gegebene Abbildung ein Gruppenisomorphismus. Bevor wir fortfahren wollen wir noch eine Grundeigenschaft von Gruppenisomorphismen und allgemeiner von Gruppenhomomorphismen festhalten. Lemma 2.6: Seien (G 1, ) und (G 2, ) Gruppen mit neutralen Elementen e 1 G 1 und e 2 G 2. Dann gilt für jeden Homomorphismus f : G 1 G 2 stets für alle a G 1. Beweis: Zunächst gilt und damit ist auch f(e 1 ) = e 2 und f(inv(a)) = inv(f(a)) f(e 1 ) = f(e 1 e 1 ) = f(e 1 ) f(e 1 ), f(e 1 ) = f(e 1 ) e 2 = f(e 1 ) f(e 1 ) inv(f(e 1 )) = f(e 1 ) inv(f(e 1 )) = e 2. Dies zeigt die erste Behauptung. Nun sei a G gegeben. Die Eindeutigkeit inverser Elemente nach Lemma 4 ergibt, dass wir nur zeigen müssen das f(inv(a)) G 2 die definierende Eigenschaft eines inversen Elements zu f(a) G 2 hat. Dies ergibt sich aus f(a) f(inv(a)) = f(a inv(a)) = f(e 1 ) = e

4 2.2 Klassifikation von Gruppen Unter der Klassifikation von Gruppen versteht man die Beschreibung der möglichen Isomorphietypen von Gruppen, beziehungsweise spezieller Klassen von Gruppen. Was dabei genau unter einer Beschreibung zu verstehen ist, ist nicht ganz eindeutig festgelegt, sondern hängt immer von den gerade verfolgten Zielen beziehungsweise von dem was für die betrachtete Sorte von Gruppen überhaupt möglich ist, ab. Die einfachste Art von Klassifikation ist eine vollständige Auflistung, also die Angabe einer Liste in der jede der betrachteten Gruppen bis auf Isomorphie an genau einer Stelle auftaucht. Für die ganz kleinen Gruppen werden wir dies hier vorführen Klassifikation der Gruppen mit einem Element Eine solche Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element, und je zwei gehen durch Umbenennung eben dieses neutralen Elements auseinander hervor. Bis auf Isomorphie gibt es also nur eine Gruppe mit einem Element Klassifikation der Gruppen mit zwei Elementen In einer solchen Gruppe haben wir das neutrale Element e und ein weiteres Element a. Die Gruppentafel hat also die Gestalt e a e e a a a Nach Aufgabe (10) taucht in jeder Zeile und in jeder Spalte einer Gruppentafel jedes Element genau einmal auf, die Tafel läßt sich also nur auf eine einzige Weise auffüllen e a e e a a a e Schreiben wir 0 statt e und 1 statt a, so erkennen wir hier die Gruppentafel von (Z 2, ). Bis auf Isomorphie gibt es also auch genau eine Gruppe mit zwei Elementen, nämlich (Z 2, ) Klassifikation der Gruppen mit drei Elementen Eine Gruppe mit drei Elementen hat ihr neutrales Element e und zwei weitere Elemente a, b. Die Verknüpfungstafel ist e a b e e a b a a b b 4-4

5 Starten wir mit dem markierten Eintrag. Dieser ist e oder b, aber würden wir e nehmen, so müsste rechts daneben b stehen, was nicht geht. Wir sind also gezwungen die markierte Stelle mit b zu belegen. Für die restlichen drei Einträge gibt es dann überhaupt keine Wahlfreiheiten mehr, und wir erhalten die Tafel e a b e e a b a a b e b b e a Bis auf Isomorphie gibt es also höchstens eine Gruppe mit drei Elementen, nämlich die mit der oben stehenden Tafel. Andererseits kennen wir schon die Gruppe (Z 3, ) mit drei Elementen, und damit gibt es bis auf Isomorphie genau eine Gruppe mit drei Elementen, nämlich (Z 3, ) Klassifikation der Gruppen mit vier Elementen (teilweise) Die Gruppen mit vier Elementen stellen sich als etwas komplizierter als diejenigen mit 1, 2, 3 Elementen heraus. Hier gibt es erstmals echte Wahlmöglichkeiten in der Gruppentafel und es gibt auch nicht isomorphe Gruppen. Wir wollen diesen Fall hier nicht vollständig vorführen, aber zumindest zeigen was so getan werden muss. Man nennt das neutrale Element wieder e und die drei anderen Elemente seien a, b, c. Die erste frei Stelle in der Gruppentafel ist dann wieder a a, und dies könnte irgendein Gruppenelement ungleich a sein. Man beginnt dann damit einfach die verschiedenen Möglichkeiten durchzugehen, starten wir etwa mit a a = e. Durch diese Wahl werden sofort auch einige weitere Einträge festgelegt, und wir kommen bis zur folgenden Tafel e a b c e e a b c a a e c b b b c c c b An der markierten Stelle können wir jetzt e oder a eintragen. Nachdem wir uns für eine der Möglichkeiten entschieden haben ist alles weitere festgelegt. Dies führt auf e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e und e a b c e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Dies sind beides Kandidaten für Gruppen mit vier Elementen, und wir müssten jetzt überprüfen ob es sich um Gruppen handelt. Für die zweite Tafel führen wir eine kleine 4-5

6 Umbenennung durch e a b c e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a e = 0, a = 2, b = 1, c = und sehen das es sich um die Gruppe (Z 4, ) handelt. Auch die erste Tafel ist die Tafel einer Gruppe. Bezeichnen wir die mit Verknüpfung mit, so ist x x = e für alle x, und sind x y und x, y e, so ist x y das dritte von e verschiedene Element. Hieraus ergibt sich leicht das Assoziativgesetz. Sind etwa x, y, z e paarweise verschieden, so ist x y = z und (x y) z = z z = e und y z = x, x (y z) = x x = e. Die anderen Fälle für x, y, z sind leichter und sollen jetzt nicht mehr vorgeführt werden. Die beiden obigen Tafeln hatten wir durch die Wahl a a = e erhalten. Jetzt kann man so fortfahren und auch die anderen möglichen Tafeln bestimmen. Dies werden wir jetzt nicht mehr tun, es kommen zwar noch einige neue Tafeln hinzu, aber diese führen alle auf Gruppen, die zu einer der beiden obigen Gruppen isomorph sind. Wenn Sie Aufgabe (11) bearbeit haben, wissen Sie das noch zwei weitere Kandidatentafeln auftauchen, die beides Gruppentafeln sind. Damit gibt es bis auf Isomorphie höchstens zwei Gruppen mit vier Elementen. Um zu sehen, dass es genau zwei sind, muss man sich noch überlegen, dass die beiden gefundenen Gruppen nicht isomorph sind. Dies kann man entweder durch Durchprobieren aller möglichen Isomorphismen machen, das sind ja nur sechs Stück, oder sich überlegen das bei isomorphen Gruppen auf der Diagonale der Gruppentafel das neutrale Element gleich häufig auftauchen muss. Weil es in der linken Tafel vier mal, in der rechten Tafel aber nur zweimal auftaucht, können die beiden Gruppen damit nicht isomorph sein. Gruppen mit noch mehr Elementen lassen sich immer schlechter durch die bisher benutzte Methode des Auflistens möglicher Gruppentafeln behandeln. Was man anstelle dessen macht gehört aber nicht mehr zum Stoff dieser Vorlesung. Als Anzahl von Isomorphietypen ergeben sich n Für die Zahl der Isomorphietypen ist die numerische Größe von n gar nicht so wichtig, entscheidend ist vielmehr die Primzerlegung von n. Ist n beispielsweise eine Primzahl, so gibt es bis auf Isomorphie immer nur eine eindeutige Gruppe. Besonders viele Typen gibt es für n = 8 = 2 3 und n = 16 = 2 4, hier sind eben die Exponenten in der Primzerlegung schon etwas größer. 4-6

7 2.3 Zyklische Gruppen Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralen Element e. Wir können dann Potenzen von Elementen von G einführen, indem für a G, n N a n := a a a }{{} n mal definiert wird. Diese Operation erfüllt dann die üblichen Potenzrechenregeln a n a m = a n+m und (a n ) m = a nm für alle a G, n, m N. Die erste Regel ergibt sich dabei als a n a m = a} a {{ a} n mal und für die zweite Regel rechnen wir (a n ) m = a n a n a n }{{} m mal a a a }{{} m mal = a} a {{ a} = a n+m n + m mal = a} a {{ a} a} a {{ a} n mal n mal } {{ } m mal = a} a {{ a} = a nm. nm mal Die Potenzen von Gruppenelementen kann man auch noch auf ganzzahlige Exponenten ausdehnen, indem für a G, n N zusätzlich a 0 := e und a n := inv(a n ) definiert wird. Beispielsweise ist dann a 1 = inv(a). Als eine Übungsaufgabe kann man sich überlegen, dass die Potenzrechenregeln auch bei beliebigen ganzzahligen Exponenten n, m Z gültig bleiben. Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die Potenzen a n eines Elements a einer Gruppe G eingeführt, und nachgewiesen das diese die Potenzrechenregeln a n a m = a n+m, (a n ) m = a nm für alle n, m Z erfüllen. Diese Potenzen erlauben es uns jetzt eine wichtige spezielle Sorte von Gruppen einzuführen, die sogenannten zyklischen Gruppen. Wenn man jedes Element einer Gruppe durch eine geeignete Potenz ein und desselben Elements darstellen kann, so spricht man von einer solchen zyklischen Gruppe. Die genaue Definition einer lautet: Definition 2.7: Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein a G gibt so, dass G = {a k k Z} 4-7

8 gilt. Dieses Element a heißt dann ein erzeugendes Element der Gruppe G, oder auch ein Erzeuger von G. Wir kennen auch schon einige Beispiele zyklischer Gruppen. Ist beispielsweise m N, so ist die Gruppe (Z m, ) zyklisch mit dem Erzeuger a = [1]. Ist nämlich k {0, 1,..., m 1} gegeben so ist [k] = [1] [1] = k[1] }{{} k mal die k-te Potenz von a. Wir schreiben hier k[1] statt [1] k da dies bei additiv geschriebener Verknüpfung üblich ist, man spricht dann meist auch von Vielfachen statt von Potenzen. Eine weiteres Beispiel einer zyklischen Gruppe ist die Gruppe (Z, +) mit dem Erzeuger a = 1, hier gilt direkt k = ka für jedes k Z. Ein weniger offensichtliches Beispiel, das wir hier auch nicht beweisen wollen, ist die multiplikative Gruppe (Z p, ) wenn p eine Primzahl ist. Dieses Beispiel wird in einer Übungsaufgabe näher untersucht werden. Wir kommen nun zu einer allgemeinen Aussage über endliche zyklische Gruppen. Lemma 2.8 (Endliche zyklische Gruppen) Sei (G, ) eine endliche zyklische Gruppe mit n N Elementen und bezeichne e das neutrale Element von G. Dann gilt a n = e für jedes erzeugende Element a G. Beweis: Da G zyklisch mit erzeugenden Element a ist, gilt G = {a k k Z}. Da G endlich ist, können die Elemente e, a, a 2, a 3,... von G nicht alle verschieden sein, es gibt also m, i Z mit 0 i < m und a i = a m. Dabei wählen wir i und m der Reihe nach minimal. Die Potenzrechenregeln ergeben a m i = a m a i = a m inv(a i ) = a i inv(a i ) = e = a 0, und die minimale Wahl von i ergibt i = 0. Damit ist auch a m = a i = a 0 = e und die Minimalität von m besagt a j e für alle 1 j < m. Die Elemente e, a, a 2,..., a m 1 sind paarweise verschieden, denn andernfalls gäbe es 0 j < k < m mit a j = a k, und wie oben folgt a k j = e mit 0 < k j k < m, im Widerspruch zur Minimalität von m. Weiter sind dies überhaupt alle Elemente von G, ist nämlich k Z beliebig, so liefert die Division mit Rest 1.Lemma 1 zwei ganze Zahlen q, r Z mit 0 r < m und k = qm + r, und die Potenzrechenregeln ergeben a k = a qm+r = a qm a r = (a m ) q a r = e q a r = e a r = a r {e, a,..., a m 1 }, und es folgt G = {a k k Z} = {a k 0 k < m}. Insbesondere ist n = m die Anzahl der Elemente von G, und damit ist a n = a m = e. 4-8