Symmetrie im Raum An Hand der platonischen Körper
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- Silvia Schubert
- vor 7 Jahren
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Transkript
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2 Symmetrie im Raum An Hand der platonischen Körper Simon Steurer
3 Historisches Platonische Körper Vorüberlegungen Oktaeder Hexaeder Tetraeder Dodekaeder & Ikosaeder
4 Historisches benannt nach Platon (~430 v.chr., ~350 v.chr.)
5 Historisches benannt nach Platon (~430 v.chr., ~350 v.chr.) Elemente von Euklid (~360 v.chr., ~280 v.chr.)
6 Historisches entdeckt von Pythagoras (~570 v.chr., ~510 v.chr.) benannt nach Platon (~430 v.chr., ~350 v.chr.) Elemente von Euklid (~360 v.chr., ~280 v.chr.)
7 Historisches entdeckt von Pythagoras (~570 v.chr., ~510 v.chr.) benannt nach Platon (~430 v.chr., ~350 v.chr.) beschrieben von Theaitetos (~420 v.chr., ~370 v.chr.) Elemente von Euklid (~360 v.chr., ~280 v.chr.)
8 Platonische Körper Definition Platonische Körper sind: 3-dimensionale, solide, endliche, konvexe Körper mit Oberfläche aus regelmäßigen n-ecken gleicher Art an jeder Ecke gleich viele n-ecke
9 Platonische Körper Definition Platonische Körper sind: 3-dimensionale, solide, endliche, konvexe Körper mit Oberfläche aus regelmäßigen n-ecken gleicher Art an jeder Ecke gleich viele n-ecke Platonische Körper sind konvexe Hüllen ihrer Eckpunkte. n n conv(p) = { a i x i x i P, n N, a i = 1, a i 0} i=1 i=1 Symmetrieoperationen auf Eckpunktemengen
10 Platonische Körper solid an jeder Ecke mindestens 3 Flächen konvex an Ecken Winkelsumme < 360
11 Platonische Körper solid an jeder Ecke mindestens 3 Flächen konvex an Ecken Winkelsumme < 360
12 Platonische Körper solid an jeder Ecke mindestens 3 Flächen konvex an Ecken Winkelsumme < 360
13 Platonische Körper solid an jeder Ecke mindestens 3 Flächen konvex an Ecken Winkelsumme < 360
14 Platonische Körper solid an jeder Ecke mindestens 3 Flächen konvex an Ecken Winkelsumme < 360
15 Platonische Körper solid an jeder Ecke mindestens 3 Flächen konvex an Ecken Winkelsumme < 360
16 Vorüberlegungen Platonische Körper haben eindeutigen Schwerpunkt. Wähle Koordinatensystem mit Ursprung = Schwerpunkt. Betrachte Drehungen um Achse durch Ursprung, und Drehungen gefolgt von Spiegelungen.
17 Vorüberlegungen Symmetrieoperationen beschrieben durch orthogonale Matrizen O(3,R) 3x3 Matrizen M, bei denen Spaltenvektoren paarweise senkrecht bzw. M T M = E 3 1 = det(e 3 ) = det(m T M) = det(m T ) det(m) = det(m) 2 det(m) = ±1
18 Oktaeder
19 Oktaeder ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); ( 1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) = (±e i, ±e j, ±e k ) =: O
20 Oktaeder ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); ( 1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) = (±e i, ±e j, ±e k ) =: O Symmertrieoperationen Matrizen in O(3,R) Bilder der Einheitsvektoren = Spalten der Matrix
21 Oktaeder ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); ( 1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) = (±e i, ±e j, ±e k ) =: O Symmertrieoperationen Matrizen in O(3,R) Bilder der Einheitsvektoren = Spalten der Matrix Spalten O
22 Oktaeder ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); ( 1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) = (±e i, ±e j, ±e k ) =: O Symmertrieoperationen Matrizen in O(3,R) Bilder der Einheitsvektoren = Spalten der Matrix Spalten O Symmetrieoperationen der Form ±e i, ±e j, ±e k mit {e i, e j, e k } = {1, 2, 3}
23 Oktaeder 3! = 6 Möglichkeiten für Reihenfolge der 3 Einheitsvektoren 2 3 = 8 Möglichkeiten für Vorzeichen 6 8 = 48 Möglichkeiten Symmetrieoperationen
24 Oktaeder 3! = 6 Möglichkeiten für Reihenfolge der 3 Einheitsvektoren 2 3 = 8 Möglichkeiten für Vorzeichen 6 8 = 48 Möglichkeiten Symmetrieoperationen Drehungen: a) Identität 1 b) um ±90 um Koordinatenachsen 6 = 3 2 c) um 180 um Koodinatenachsen 3 d) um 180 um Verbindungen der Kantenmitten 6 e) um ±120 um Geraden durch Flächenmitten 8 = 4 2 Insgesamt: 24
25 Oktaeder 3! = 6 Möglichkeiten für Reihenfolge der 3 Einheitsvektoren 2 3 = 8 Möglichkeiten für Vorzeichen 6 8 = 48 Möglichkeiten Symmetrieoperationen Drehungen: a) Identität 1 b) um ±90 um Koordinatenachsen 6 = 3 2 c) um 180 um Koodinatenachsen 3 d) um 180 um Verbindungen der Kantenmitten 6 e) um ±120 um Geraden durch Flächenmitten 8 = 4 2 Insgesamt: 24 Jede ergänzt mit Spiegelung 24 2 = 48
26 Hexaeder
27 Hexaeder W = {(x, y, z) x, y, z { 1, 1}}
28 Hexaeder W = {(x, y, z) x, y, z { 1, 1}} Dualer Körper des Oktaeders
29 Hexaeder W = {(x, y, z) x, y, z { 1, 1}} Dualer Körper des Oktaeders Symmetrien des Hexaeders und Okateders induzieren sich. Symmetriegruppen von Hexaeder, Oktaeder sind identisch.
30 Hexaeder maximale Untergruppen:
31 Hexaeder maximale Untergruppen: Sym rot (W) Drehgruppe
32 Hexaeder maximale Untergruppen: Sym rot (W) Drehgruppe Sym blau (W) a),c),e), Spiegelung an Koordinatenebebene
33 Hexaeder maximale Untergruppen: Sym rot (W) Drehgruppe Sym blau (W) a),c),e), Spiegelung an Koordinatenebebene Sym gelb (W) Drehungen a),c),e), Spiegelungen an Diagonalebene
34 Hexaeder maximale Untergruppen: Sym rot (W) Drehgruppe Sym blau (W) a),c),e), Spiegelung an Koordinatenebebene Sym gelb (W) Drehungen a),c),e), Spiegelungen an Diagonalebene Sym rot (W) = Sym blau (W) = Sym gelb (W) = 24
35 Tetraeder
36 Tetraeder
37 Tetraeder T = {(1, 1, 1); (1, 1, 1); ( 1, 1, 1); ( 1, 1, 1)} Symmteriegruppe Sym(T ) = Sym gelb (W) Sym(T ) = 24
38 Tetraeder T = {(1, 1, 1); (1, 1, 1); ( 1, 1, 1); ( 1, 1, 1)} Symmteriegruppe Sym(T ) = Sym gelb (W) Sym(T ) = 24 Untergruppe: Sym rot (T ) Drehungen Sym rot (T ) = 12
39 Dodekaeder & Ikosaeder
40 Dodekaeder & Ikosaeder Duale Körper
41 Dodekaeder & Ikosaeder Duale Körper Sym(D) für beide gleich Sym(D) = 5 Sym(W) 2 = 120
42 Dodekaeder & Ikosaeder Duale Körper Sym(D) für beide gleich Sym(D) = 5 Sym(W) 2 = 120 Untergruppe Drehgruppe: Sym rot (D) Sym rot (D) = 60
43 Dodekaeder & Ikosaeder
44 Dodekaeder & Ikosaeder Schreibe Ikosaeder in Würfel mit Ursprung = Zentrum ein.
45 Dodekaeder & Ikosaeder Schreibe Ikosaeder in Würfel mit Ursprung = Zentrum ein. Koordianten: (±1, ±a, 0); (0, ±1, ±a); (±a, 0, ±1) a > 0
46 Dodekaeder & Ikosaeder Koordianten: (±1, ±a, 0); (0, ±1, ±a); (±a, 0, ±1) a > 0
47 Dodekaeder & Ikosaeder Koordianten: (±1, ±a, 0); (0, ±1, ±a); (±a, 0, ±1) a > 0 betrachte Kante z.b. von (1,a,0) zu (0,1,a) Kantenlänge = 2a
48 Dodekaeder & Ikosaeder Koordianten: (±1, ±a, 0); (0, ±1, ±a); (±a, 0, ±1) a > 0 betrachte Kante z.b. von (1,a,0) zu (0,1,a) Kantenlänge = 2a (1 0) 2 + (a 1) 2 + (0 a) 2 = 2 2a + 4a 2 = 2a 4a 2 2a + 2 = 4a 2 a 1 = , a 2 = 1 5 2
49 Dodekaeder & Ikosaeder Symmetriegruppe Sym blau (W) mit Sym blau (W) = 24
50 Dodekaeder & Ikosaeder Symmetriegruppe Sym blau (W) mit Sym blau (W) = 24
51 Dodekaeder & Ikosaeder Oktaeder in diesen Würfel einschreiben und passend skalieren
52 Dodekaeder & Ikosaeder Oktaeder in diesen Würfel einschreiben und passend skalieren
53 Dodekaeder & Ikosaeder Tetraeder in Dodekaeder einschreiben.
54 Dodekaeder & Ikosaeder Tetraeder in Dodekaeder einschreiben.
55 Dodekaeder & Ikosaeder Tetraeder in Dodekaeder einschreiben. gleichzeitig auf 5 verschiedene Arten
56 Dodekaeder & Ikosaeder Tetraeder in Dodekaeder einschreiben. gleichzeitig auf 5 verschiedene Arten hat Sym rot (D)
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