Lineare Gleichungssysteme mit 3 und mehr Variablen

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1 Linere Gleihungssysteme mit un mehr rilen Beispiel 1 mit rilen: 11 Zunähst estimmt mn ie rile, ie mn ls Erste eliminieren will. In iesem Fll soll von hinten nh vorn vorgegngen weren,.h. zuerst soll rile entfernt weren. Dzu muss mn jeweils zwei Gleihungen so kominieren, ss sih eim Aieren ie rile ufhet. Durh weren zwei neue Gleihungen mit nur noh zwei rilen geilet. In iesem Beispiel weren Gleihung I mit Gleihung II un nn erneut Gleihung I mit Gleihung III kominiert. (Eine Gleihung muss oppelt verreitet weren.) 11 Ü Ü Die Neenrehnungen weren er Üersiht hler, wenn möglih, seitlih versetzt geshrieen Es wuren zwei neue Gleihungen geilet: Diese weren wieer miteinner kominiert, um nn en Wert er ersten rilen zu erhlten. D hier er Koeffizient von shon üereinstimmt, muss nihts mehr veränert weren un es wir sofort iert. (Ansonsten muss wieer eine Neenrehnung erfolgen.)

2 D in ieser letzten Gleihung nur noh eine rile enthlten ist, enötigt mn hier keine weitere Nummerierung. Der Wert er rilen wir usgerehnet: Um en Wert er rilen zu erhlten, setzt mn en Wert er rilen in eine er eien Gleihungen ein, ie nur un enthlten. (lso I oer ) In iesem Beispiel wir in Gleihung eingesetzt: 7 Ü 7 1 Durh Umformung ergit sih für er Wert: Nun enötigt mn noh en Wert er rilen. Diesen erehnet mn in einer er rei Ausgngsgleihungen urh Einsetzen von un. Hier wir in Gleihung I eingesetzt: Ü Durh Umformung ergit sih für er Wert: 1 D es sih hier um ie Berehnung eines Gleihungssystems hnelt, muss m Shluss eine Lösungsmenge ngegeen weren. In ihr weren nur ie Werte er rilen in er Reihenfolge es Alphets ufgelistet, um ie Zuornung gewährleisten zu können. Dies geshieht uh, wenn ie rilen in einer neren Reihenfolge erehnet wuren. L ;; 1 Eine Proe in llen rei Gleihungen estätigt ie Rihtigkeit es Ergenisses. Enthlten niht lle Ausgngsgleihungen rilen, so knn mn urh geshikte Komintion en Rehenweg verkürzen. Dei ist es niht immer sinnvoll, im ersten Shritt grunsätzlih s Eliminieren er letzten rilen urhzuführen. Dies gilt eenflls für ein volles Gleihungssystem. Wenn mn geshikter un mit kleinen Zhlen rehnen will, muss mn sih us en Gleihungen ie rihtige rile für en ersten Shritt herussuhen.

3 Beispiel mit rilen: D hier ie ritte Gleihung kein enthält, kominiert mn im ersten Shritt nur ie Gleihungen I un II so, ss ie rile eliminiert wir Ü Ü Diese neue Gleihung enthält nun ieselen rilen wie Gleihung III, soss eie miteinner kominiert weren können Ü Drus ergit sih mit: 1 Durh Einsetzen von in Gleihung III un umformen erhält mn mit: Setzt mn un in Gleihung II ein, so erhält mn mit: Un ie Lösungsmenge lutet in er rihtigen Reihenfolge: L 1; ; Die Proe niht vergessen!

4 Beispiel mit rilen: In einem solhen Fll muss mn reiml kominieren (jeweils zwei Gleihungen), mit mn rei Gleihungen mit nur noh rei rilen erhält. Dnn verfährt mn wie im Beispiel 1. (ei fünf Gleihungen ml kominieren für Gleihungen mit rilen, usw.) Welhe Gleihungen mehrfh genutzt weren, ist urh geshiktes Kominieren vorgegeen. Auh im Beispiel soll ls erstes ie rile (letzte rile) eliminiert weren. (Es ietet sih er uh ie rile n.) Folgene Komintionen ieten en shnellsten Erfolg mit geringstem Aufwn: ergit sih us irekter Aition von Gleihung II un III Neenrehnungen Drus ergit sih: 18 1 D hier nur noh zwei Gleihungen ie rile enthlten, weren iese kominiert, um zu eliminieren. Ü Ü

5 1 18 Ü Nun knn mn ie Gleihungen un III kominieren: 11 Ü Drus ergit sih er Wert er rilen. Durh Einsetzen in ie neren Gleihungen knn mn nn, nh un zum Shluss errehnen. Die Lösungsmenge lutet: L 1; ; ;1 Die rilen weren in lphetisher Reihenfolge ngegeen. Mehrere rilen ürfen enselen Wert esitzen (hier un ). Auh ie Null ist ein Wert für eine rile un muss entsprehen er Reihenfolge mit ngegeen weren.

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