The trick in teaching mathematics is that I do the easy part and you do the hard part. Hahn Hiang Shin, Complex Numbers and Geometry
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1 The trick in teaching mathematics is that I do the easy part and you do the hard part. Hahn Hiang Shin, Complex Numbers and Geometry MBT Mathematische Basistechniken Der Vektorraum Lineare Gleichungssysteme I Christian Cenker CSLearn Center for Computer Science Didactics and Learning Research Fachdidaktik und Lernforschungszentrum Informatik mbt/_vo Die reellen Zahlen., 0,1,2,, 9,, ist ein Körper, da, ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element, ist eine kommutative Gruppe mit Einselement Es gilt das Distributivgesetz mbt/_vo 1
2 Rechenregeln Addition Die reellen Zahlen (A0) Die Addition ist abgeschlossen (A1) Die Addition ist assoziativ (A2) Die Addition ist kommutativ (A3) Die 0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition (A4) Zu jeder Zahl gibt es ein additives Inverses Multiplikation (M0) Die Multiplikation ist abgeschlossen (M1) Die Multiplikation ist assoziativ (M2) Die Multiplikation ist kommutativ (M3) Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist 1 (M4) Zu jeder Zahl gibt es ein multiplikatives Inverses Distributivgesetze (D1) Erstes DG:,,,. (D2) Zweites DG:,,,. Beispiele Der Vektorraum,,,,,,, 1,, Notation,,,,,, mbt/_vo 2
3 Kartesische Koordinaten Der Vektorraum,, rechtwinkelig Kartesische Koordinaten Der Vektorraum,, rechtsdrehend linksdrehend linksdrehend mbt/_vo 3
4 Punkte und Vektoren 4 33 Der Vektorraum Punkt: ; 3; Der Vektor Vektor ist der Ortsvektor des Punktes 4,3,3. Vektor = Klasse von Pfeilen gleichlang gleichgerichtet gleichorientiert Rechnen mit Vektoren Der Vektorraum Skalar mbt/_vo 4
5 Rechnen mit Vektoren Der Vektorraum Skalares Produkt und Winkel zwischen Vektoren, cos,, Fläche = Lineare Vektorräume, ist linearer Vektorraum, falls für alle Vektoren,, und Skalare aus dem Körper gilt: Kommutativität:,, Assoziativität:,,, Neutrales Element 0: 00, Inverses Element : 0 Neutrales Element 1 bez. Skalarmultiplikation: 1, Distributivität der Skalaraddition bez. der Skalarmultiplikation: λ μ,,, Distributivität der Vektoraddition bez. der Skalarmultiplikation:,,, Assoziativität bez. der Skalarmultiplikation: λ μ,,, mbt/_vo 5
6 Lineare Vektorräume Linearer Teilraum ist ein linearer Teilraum, falls für alle Vektoren in gilt: Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition:,, Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation: Norm eines Vektors 0,, Normierter Vektorraum Der Vektorraum Lineare Vektorräume,ist ein linearer normierter Vektorraum.,ist ein linearer normierter Vektorraum. Lineare Teilräume Die Ebenen und sind 2 dimensionale lineare Teilräume des. Die Gerade ist ein 1 dimensionaler linearer Teilraum des. CC by SA 3.0, en.wikipedia mbt/_vo 6
7 Der Vektorraum Lineare Teilräume Die Ebenen und sind 2 dimensionale lineare Teilräume des. Die Gerade ist ein 1 dimensionaler linearer Teilraum des. Affine Vektorräume verschobene Vektorräume CC by SA 3.0, en.wikipedia 0 Der Vektorraum Lineare Teilräume: Ebenen und Geraden Wie können Ebenen und Geraden mathematisch modelliert werden? Durch lineare Gleichungen. CC by SA 3.0, en.wikipedia mbt/_vo 7
8 Beispiele Lösung 1 1 Lineare Gleichungen, Geradengleichung Steigung der Geraden Versatz entlang Achse affin lineare Funktion affin strukturerhaltend Beispiele 2 2 0, Lineare Gleichungen Lösung parametrisch, Parameterdarstellung einer Geraden mbt/_vo 8
9 Beispiele 2 2 0, Lineare Gleichungen Lösung parametrisch, Parameterdarstellung einer Geraden Beispiele Lineare Gleichungssysteme 2 lineare Gleichungen in 2 Variablen Lösung über Geradengleichungen mbt/_vo 9
10 Beispiele Lineare Gleichungssysteme 2 lineare Gleichungen in 2 Variablen Lösung 1 1 Andere Sicht des Beispiels und 1 Beispiele Lineare Gleichungssysteme Lösung lineare Gleichungen in 3 Variablen,, Andere Sichtweise Eindeutige Lösung ist Ortsvektor des Punktes mbt/_vo 10
11 Geraden im 1 Parameterform Ebenen im Parameterform mbt/_vo 11
12 Geraden im Geraden im mbt/_vo 12
13 Geraden im Geraden im mbt/_vo 13
14 Geraden im Geraden im mbt/_vo 14
15 Ebenen im Ebenen im mbt/_vo 15
16 Ebenen im Implizite Form Ebenen im mbt/_vo 16
17 Ebenen im 2 Ebenen im mbt/_vo 17
18 Ebenen im mbt/_vo 18
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