R. Brinkmann Seite Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

Transkript

1 R. Brinkmann Seite Lineare e mit Gleichungen und Variablen Ein solches besteht aus zwei Gleichungen. Gesucht ist die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. Es gibt unterschiedliche Verfahren um zur Lösung zu gelangen. Das Additionsverfahren Additionsverfahren Variante 1 Gleichungen äquivalent so umformen, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen y, bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. 4. Die entstandenen Gleichungen addieren und nach der Variablen x auflösen. Den gefundenen Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der Variablen y auflösen. I 5x y= 1 1,5 I 7,5x 3y = 1,5 (I) 7,5x 3y = 1,5 + (II) 3x + 3y = 9 10,5x = 10,5 : 10,5 x = 1 x = 1 eingesetzt in II : 3x + 3y = y= y = 9 3 3y = 6 :3 y = Lösungsmenge aufschreiben L = ( 1 ) I 5x y= = 1 5 4= 1 1= = = 9 9 = 9 w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 1 von 10

2 R. Brinkmann Seite Additionsverfahren Variante Gleichungen äquivalent so umformen, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen x, bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. 4. Die entstandenen Gleichungen addieren und nach der Variablen y auflösen. Den gefundenen Wert für y in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der Variablen x auflösen. ( I ) 5x y = 1 3 ( II ) 3x + 3y = 9 ( 5) I 15x 6y = 3 ( II ) 15x 15y = 45 ( I ) 15x 6y = 3 + ( II ) 15x 15y = 45 1y = 4 : ( 1) y = y = eingesetzt in II : 3x + 3y = 9 3x + 3 = 9 3x + 6 = 9 6 3x = 3 : 3 x = 1 Lösungsmenge aufschreiben L = ( 1 ) I 5x y= = 1 5 4= 1 1= = = 9 9 = 9 w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite von 10

3 R. Brinkmann Seite Das Gleichsetzverfahren Gleichsetzverfahren Variante 1 Beide Gleichungen werden nach der Variablen x aufgelöst. Die rechten Seiten beider Gleichungen werden gleichgesetzt und nach der Variablen y aufgelöst. Der gefundene Wert für y wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen x aufgelöst. I 5x y= 1 + y 3y I 5x = 1+ y : 5 II 3x = 9 3y : 3 1+ y I x = 5 9 3y ( II ) x = 3 1+ y I x = 5 ( II ) x = 3 y 1+ y = 3 y y = 15 5y + 5y 1+ 7y = y = 14 : 7 y = y = eingesetzt in II : 3x + 3y = 9 3x + 3 = 9 3x + 6 = 9 6 3x = 3 : 3 x = 1 4. Lösungsmenge: L = ( 1 ) I 5x y= = 1 5 4= 1 1= = = 9 9 = 9 w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 3 von 10

4 R. Brinkmann Seite Gleichsetzverfahren Variante Beide Gleichungen werden nach der Variablen y aufgelöst. Die rechten Seiten beider Gleichungen werden gleichgesetzt und nach der Variablen x aufgelöst. Der gefundene Wert für x wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen y aufgelöst. ( I ) 5x y= 1 5x ( II ) 3x + 3y = 9 3x I y = 1 5x : ( ) ( II ) 3y = 9 3x : 3 1 5x y = 9 3x y = 3 5x 1 y = y = 3 x 5x 1 = 3 x 5x 1 = 6 x + x 7x 1 = x = 7 : 7 x = 1 I ( II ) I ( II ) x = 1 eingesetzt in II : 3x + 3y = y= y = 9 3 3y = 6 :3 y = 4. Lösungsmenge: L = ( 1 ) I 5x y= = 1 5 4= 1 1= = = 9 9 = 9 w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 4 von 10

5 R. Brinkmann Seite Das Einsetzverfahren Einsetzverfahren Variante 1 Gleichung (I) wird nach der Variablen x aufgelöst. Den gefundenen Term der rechten Seite in Gleichung (II) einsetzen und nach y auflösen. Der gefundene Wert für y wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen x aufgelöst. + y 5x = y + 1 : 5 1 x = y x = y + eingesetzt in ( II ): 3x + 3y = y + 3y = y+ + 3y = y+ 3y = y = y = 4 : 1 y = y = eingesetzt in II : 3x + 3y = 9 3x + 3 = 9 3x + 6 = 9 6 3x = 3 : 3 x = 1 4. Lösungsmenge: L = ( 1 ) I 5x y= = 1 5 4= 1 1= = = 9 9 = 9 w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 5 von 10

6 R. Brinkmann Seite Einsetzverfahren Variante Gleichung (II) wird nach der Variablen y aufgelöst. Den gefundenen Term der rechten Seite in Gleichung (I) einsetzen und nach x auflösen. Der gefundene Wert für x wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen y aufgelöst. 3x 3y = 9 3x : 3 y = 3 x y = 3 x eingesetzt in I : 5x y = 1 5x ( 3 x) = 1 5x 6 + x = x = 7 : 7 x = 1 x = 1 eingesetzt in II : 3x + 3y = y= y = 9 3 3y = 6 :3 y = 4. Lösungsmenge: L = ( 1 ) I 5x y= = 1 5 4= 1 1= = = 9 9 = 9 w Alle drei Verfahren mit ihren Varianten wurden auf ein bestimmtes angewendet. Wer sich die einzelnen Verfahren genauer anschaut, erkennt dass das Einsetzverfahren in der Variante den geringsten Rechenaufwand erfordert. Der Rechenaufwand für ein bestimmtes Verfahren hängt von dem zu lösenden ab. Deshalb sollte man zuerst überlegen, welches Verfahren sich mit dem geringstem Aufwand durchführen lässt. Dazu bedarf es aber einiger Übungen. Die folgenden Beispiele sollen eine kleine Hilfe dafür sein, dass geeignete Lösungsverfahren zu finden. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 6 von 10

7 R. Brinkmann Seite Beispiele für geeignete Lösungsverfahren. Beispiel 1: I y= 7x+ 8 x= 1 eingesetzt in I y= 7x+ 8 II y = x 1 y = y = 7+ 8 Gleichsetzverfahren : y = 1 7x + 8 = x 1 + x 9x + 8 = 1 8 9x = 9 : 9 {} Lösung : L = 1 1 Pr obe : x = 1 I y = + = ( ) + y = 7+ 8 y = 1 ( w) y = 1 y = 1 ( w) 7x 8 y II y = x 1 y = 1 1 Beispiel : I x + 4y = 8 y = 3 eingesetzt in I x + 4y = 8 II x 5y = 35 Additionsverfahren : I x+ 4y= 8 ( II ) x 5y = 35 ( 1) I x+ 4y= 8 + II x + 5y = 35 9y = 7 9 y = 3 x 1 = x = 0 : x = 10 {} Lösung : L = 10 3 Pr obe : 0 1 = 8 8 = 8 ( w) = = 35 ( w) I x+ 4y= = 8 II x 5y = = 35 Beispiel 3: I x + y = 5 x = 1 eingesetzt in I II x + y = 1 Einsetzverfahren : II nach y auflösen x+ y = 1 + x y = x + 1 eingesetzt in I x + y = 5 x + x + 1 = 5 x+ x+ = 5 3x = 3 : 3 x = 1 1+ y = 5 1 y = 4 : y = {} Lösung : L = 1 Pr obe : I x+ y = = 5 x+ y = 5 5 = 5 w II x + y = 1 1+ = 1= 35 1 = Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 7 von 10

8 R. Brinkmann Seite Beispiel 4: I = y= 5 eingesetzt in I = x y x y ( II ) + = 4 = x y x ( 5) Additionsverfahren : = 3 5 x I = x y 3 3 = x 1 10 x ( II ) + = 4 : ( ) x y 3 3 = x I = 4 x y x = Lösung : L = {( 5 )} x,y 0 ( II ) = x y Pr obe : = y I = = y x y ( 5) 10 = y : = = ( w) 5 = y y = 5 ( II ) + = 4 + = 4 x y 5 6 = 4 4 = 4 ( w) Bemerkung: Das besteht aus Bruchtermen. Da der Nenner nicht Null werden darf, ist die Definitionsmenge anzugeben. Ein solches ist nicht linear. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 8 von 10

9 R. Brinkmann Seite Zeichnerisches Verfahren I x y = ( II ) x y = 1 Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst. I x y = + y II x y = 1 + y I x = + y + II x = 1+ y 1 I x + = y y = x + II x 1 = y y = x 1 In jede Gleichung werden für x Zahlen eingesetzt. Daraus werden Wertepaare gebildet. x yi y II I II { } L = 0 ; 1 1 ; 0 ; 1 3 ;... L = 3 ; 1 1 ; 0 1 ; 1 3 ;... Für jede Gleichung entsprechen die Wertepaare deren Lösungsmenge. Trägt man diese in ein Koordinatensystem ein, so erhält man zwei Geraden. Im Schnittpunkt beider Geraden liegt die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. {} Lösungsmenge : L = Das zeichnerische Verfahren veranschaulicht den geometrischen Zusammenhang zwischen Gleichungen und Geraden. Als Lösungsverfahren ist es meist ungeeignet, da die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunktes oft nur ungenau aus der Grafik abgelesen werden können. e ohne eindeutige Lösung. Die zeichnerische Lösung veranschaulicht den geometrischen Zusammenhang zwischen Gleichungen und Geraden. Zwei Geraden können unterschiedliche Lagen zueinander haben. - Sie können sich in einem Punkt schneiden, dann gibt es, wie obiges Beispiel veranschaulicht, für die beiden linearen Gleichungen genau eine Lösung. - Sie können parallel zueinander verlaufen, dann gibt es keinen Punkt, den beide Geraden miteinander haben. Die dazugehörigen Gleichungen dürften demzufolge keine Lösung haben. - Sie können aufeinander liegen, also identisch sein, dann würde jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen sein. Die dazugehörigen Gleichungen dürften demzufolge unendlich viele Lösungen haben. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 9 von 10

10 R. Brinkmann Seite Beispiel 1: I 10x+ 4y= 4 ( II ) 5x + y = 1 ( ) I 10x+ 4y= 4 + II 10x 4y = 0 = falsche Aussage L = {} Der Lösungsansatz führt zu einer falschen Aussage. Das bedeutet, es existiert keine Lösung zu dem. Anschaulich bedeutet das, die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander und haben keinen Punkt gemeinsam. Beispiel : I 10x+ 4y= ( II ) 5x + y = 1 ( ) I 10x+ 4y= + II 10x 4y = 0 = 0 wahre Aussage Bei der Addition nach der Äquivalenzumformung heben sich Gleichung (I) und Gleichung(II) gegenseitig auf, das bedeutet sie sind identisch. Jedes Zahlenpaar, das (I) erfüllt, erfüllt folglich auch (II). Anschaulich bedeutet das, die beiden Geraden liegen aufeinander und haben jeden Punkt gemeinsam. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gl_syst_0doc :50 Seite 10 von 10