Elliptische Funktionen

Transkript

1 Elliptische Funktionen Jeff Schomer Universität Freiburg (Schweiz)

2 Einleitung In diesem Seminar werden wir über doppelt periodische und elliptische Funktionen sprechen. Nachdem wir grundlegende Definitionen und Eigenschaften bearbeitet haben, besteht unser Ziel darin einfache elliptische Funktionen zu konstruieren. Beginnen wir mit den doppelt periodischen Funktionen. 2 Doppelt periodische Funktionen 2. Definition : Sei f : C C. Dann heisst f periodisch mit P eriode ω 0, falls f(z + ω) = f(z), für alle z C. Sind ω und ω 2 Perioden, so auch mω + nω 2 für n, m Z. 2.2 Definition: f : C C heisst doppelt periodisch, wenn f zwei Perioden ω und ω 2 besitzt mit ω ω 2 Bemerkung : Sei ω ω 2 R. Dann gibt es 2 Fälle: - Sei ω /ω 2 Q, i.e. ω /ω 2 = a/b, mit a, b Z teilerfremd. Dann existieren m, n Z so dass mb + na =. Sei ω = mω + nω 2. Dann ist ω Periode, und man hat: ω = ω /b ω = bω und ω 2 = aω. Also sind ω, ω 2 ganze Vielfache der gleichen Periode ω. - Sei ω /ω 2 / Q. Dann hat f unendlich kleine Perioden und ist somit konstant. (cf. Satz 7.2, Apostol S.57) In beiden Fällen handelt es sich also nicht mehr um 2 unabhängige Perioden, und man kann nicht mehr von einer doppelt periodischen Funktion reden. / R 2.3 Definition: Sei f : C C doppelt periodisch mit Perioden ω, ω 2. Dann heisst (ω, ω 2 ) Fundamental-Paar jede Periode von f ist von der Form mω + nω 2, mit m,n Z. 2.4 Definition: Sei (ω, ω 2 ) ein Fundamental-Paar, dann heisst das von ω, ω 2 erzeugte Periodengitter. Ω = Ω(ω, ω 2 ) := Zω + Zω 2 Bemerkung : Die komplexe Ebene wird durch die Elemente von Ω = Ω(ω, ω 2 ) in kongruente Parallelogramme eingeteilt: Die Eckpunkte der Parallelogramme sind genau die Perioden ω = mω + nω 2. Zu den Randpunkten eines solchen P eriodenparallelogramms zählt man 2 sich schneidende Kanten und ihr Schnittpunkt. 2

3 2.5 Satz : Sei (ω, ω 2 ) ein Fundamental-Paar. Dann enthält das (abgeschlossene) Dreieck mit den Eckpunkten 0,ω,ω 2 keine weiteren Perioden. Umgekehrt ist jedes Paar von Perioden mit dieser Eigenschaft ein Fundamental-Paar. Beweis. : In einem Periodenparallelogramm befinden sich keine weiteren Perioden ausser den Eckpunkten. Folglich befinden sich auch keine weiteren Perioden in dem Dreieck. : Wenn sich in dem von 0, ω, ω 2 erzeugten Dreieck keine weiteren Perioden befinden, kann man zeigen dass sich wegen ω 2 /ω / R jede Periode als ω = mω + nω 2 schreiben lässt. Somit ist (ω, ω 2 ) ein Fundamental-Paar. 2.6 Definition: Seien (ω, ω 2 ), (ω, ω 2) komplexe Paare mit nicht reellem Quotienten. Dann heissen sie äquivalent, i.e. 2.7 Satz : (ω, ω 2 ) (ω, ω 2) : Ω(ω, ω 2 ) = Ω(ω, ω 2) Seien (ω, ω 2 ), (ω, ω 2) komplexe Paare mit nicht reellem Quotienten. Es gilt: ( ) a b (ω, ω 2 ) (ω, ω 2) A := GL(2, Z) mit det(a) = ±, so dass c d ( ) ( ) ( ) ω 2 a b ω2 = c d ω ω Offensichtlich handelt es sich bei um eine Aequivalenzrelation. 3 Elliptische Funktionen 3. Definition: Sei f : C C. f heisst elliptisch f doppelt periodisch und f meromorph. Nun folgen einige einfache Eigenschaften elliptischer Funktionen: 3.2 Satz : Sei f eine elliptische Funktion. Falls f nicht konstant ist existiert ein Fundamental-Paar von Perioden. Beweis. Weil f elliptisch ist, existieren 2 Perioden mit nicht reellem Quotienten. Man sucht zuerst eine Periode, die sich am nächsten zum Ursprung befindet. Anschliessend sucht man eine geeignete linear unabhängige Periode und benützt Satz 2.5. Bemerkung: Seien f, g elliptische Funktionen (g 0) mit Perioden ω, ω 2, so sind auch f ± g, f g, f/g, f und g elliptische Funktionen mit gleichen Perioden. 3

4 3.3 Satz : Sei f eine elliptische Funktion. Ist f ohne Pole oder ohne Nullstellen in einem Periodenparallelogramm, so ist f konstant. Beweis. Weil f ohne Pole ist, ist f stetig und beschränkt auf dem Abschluss eines Periodenparallelogramms. Durch die Periodizität ist f auf ganz C beschränkt. Anhand des Satzes von Liouville erhält man, dass f konstant ist. 3.4 Definition: Als Zelle bezeichnet man ein Parallelogramm, das durch Translation aus einem Periodenparallelogramm hervorgeht und weder Pole noch Nullstellen auf dem Rand aufweist. 3.5 Satz : Das Integral von f über den Randzyklus einer Zelle ergibt Null. Beweis. Die Integralbestandteile über parallele Kanten einer Zelle heben sich wegen der Periodizität auf. 3.6 Satz : Die Summe der Residuen einer elliptischen Funktion verschwindet. Beweis. Der Residuensatz und Satz 3.5 angewandt auf eine Zelle ergibt, dass die Summe aller Residuen gleich 0 sein muss. 3.7 Satz : Eine nichtkonstante elliptische Funktion hat in jedem Periodenparallelogramm gleich viele Nullstellen wie Polstellen (jede Anzahl mit Multiplizität gezählt). Beweis. Ist f elliptisch, dann auch f /f. Das Integral von f /f über den Randzyklus Z einer Zelle ergibt also 0. Mit der Formel #Nullstellen #P olstellen = f (z) 2Πi Z f(z) dz erhält man dann das gewünschte Resultat. 3.8 Definition : Die Anzahl der Nullstellen (oder Pole) einer elliptischen Funktion f in einem Periodenparallelogramm heisst die Ordnung der Funktion f. Jede nicht konstante elliptische Funktion hat Ordnung 2. 4 Konstruktion elliptischer Funktionen Das nächste Problem besteht darin eine nicht konstante elliptische Funktion zu erstellen. Dies erreicht man mit folgendem Satz: 4. Satz Sei f(z) = (z ω) 3, wobei Ω = Zω + Zω 2. ω Ω Dann ist f eine elliptische Funktion mit Perioden ω, ω 2 und einem Pol der Ordnung 3 in jeder 4

5 Periode ω Ω. Um die Konvergenz dieser Reihe zu beweisen, benötigen wir folgende Lemmata: 4.2 Lemma Sei α R. Die unendliche Reihe ω Ω,ω 0 ist absolut konvergent genau dann, wenn α > 2. ω α Beweis. Seien r respektiv R die kleinste respektiv grösste Distanz vom Nullpunkt zu den Kanten des Periodenparallelogramms. Dann erhält man, r ω R für 8 Perioden des Gitter, resp. 2r ω 2R für 2 8 Perioden, usw. Folglich hat man, R ω für 8 Perioden r und des weiteren: R α ω α für 8 Perioden, rα..., (nr) α ω α für n 8 Perioden. (nr) α Nimmt man nun die Summe über die ersten n dieser Ungleichungen, so erhält man: 8 n 8 n R α S(n) kα r α k α (*), wobei S(n) := ω α über die 8( n) k= k= Perioden, die am nächsten bei 0 liegen. Aus (*) kann man schliessen, dass S(n) für α > 2 konvergiert und für α 2 divergiert. 4.3 Lemma 2 Sei α > 2 und R > 0. Die Reihe ω >R (z ω) α ist absolut und gleichmässig konvergent in der Scheibe z R. Beweis. Man suche M (abhängig von R und α), so dass für α gilt: z ω M α ω. Anhand von Lemma garantiert diese Ungleichung die Konvergenz der Reihe. α Obige Ungleichung ist erfüllt für: M = ( R R+d ) α mit d = ω R > 0 minimal. Beweis des Satzes: Nach Lemma 2 ist die Konvergenz von f für ω > R in der Scheibe z R gegeben. Die restlichen Terme der Reihe ( ω > R) sind analytisch, abgesehen von den endlich vielen Polen 3. Ordnung in den Perioden in der Scheibe z R. f ist also eine meromorphe Funktion. Da ω ω (resp. ω ω 2 ) alle Perioden in Ω durchläuft mit Polen der Ordnung 3 in der Scheibe z R folgt wegen der absoluten Konvergenz der Reihe, dass f(z + ω ) = f(z) = f(z + ω 2 ). Also ist f elliptisch. 5 Bibliographie T. Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory,s.-9,57 5