50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 3 Aufgaben

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1 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 3 Aufgaben c 2010 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Lies den Text der einzelnen Aufgaben und überlege dir den Lösungsweg. Schreibe deine Rechnungen und Lösungen auf. Erkläre deine Lösungswege und formuliere sie in Sätzen Geldscheine und Münzen In einem Geldbeutel sind 3 Geldscheine und 3 Münzen. Zusammen sind es 43 Euro. Welche Scheine und Münzen können es sein? Finde beide Möglichkeiten Würfelspiel Jan und Tini würfeln mit einem Würfel. Wer die meisten Punkte würfelt, hat gewonnen. Sie spielen nacheinander nach verschiedenen Regeln. Einen Punkt erhält man, wenn Folgendes eintritt: a) Die Zahl ist ungerade. b) Die Zahl ist gerade. c) Die Zahl ist größer als fünf. d) Die Zahl ist kleiner als fünf. e) Die Zahl ist kleiner als drei. Nenne für jede Regel die Anzahl der Gewinnmöglichkeiten. Für welche Regel würdest du dich entscheiden? Quadrate Wie viele Quadrate findest du in der rechtsstehenden Figur? Kennzeichne sie. Du kannst die gefundenen Quadrate in die vier untenstehenden verkleinerten Figuren einzeichnen. Auf der nächsten Seite geht es weiter!

2 Subtraktion von Spiegelzahlen Wähle aus den Ziffern 1 bis 9 zwei Ziffern aus, bilde eine zweistellige Zahl. Vertausche nun Einer und Zehner. Du erhältst die Spiegelzahl. Subtrahiere nun die kleinere von der größeren Zahl. Beispiel: = 27 a) Finde alle Aufgaben mit dem Ergebnis 9. b) Erkennst du eine Regel? Schreibe sie auf Zahlenfolgen Setze die Folgen sinnvoll fort und schreibe die Regel auf. a) 3, 4, 6, 9, 13,,, b) 100, 87, 74, 61, 48,,, c) 3, 5, 10, 12, 24, 26,,, d) 6, 72, 12, 66, 18, 60,,, a) Regel: b) Regel: c) Regel: d) Regel:

3 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 4 Aufgaben c 2010 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Lies den Text der einzelnen Aufgaben und überlege dir den Lösungsweg. Schreibe deine Rechnungen und Lösungen auf. Erkläre deine Lösungswege und formuliere sie in Sätzen Summen finden Unten links findest du ein ausgefülltes Rechenviereck. Die Summe zweier benachbarter Zahlen wird in das überstehende Kästchen geschrieben. Fülle das untenstehende rechte Rechenviereck aus. Finde alle Lösungen Kindergeburtstag Die Tochter des Mathematikprofessors fragt ihren Vater, wie viele Kinder sie zu ihrer Geburtstagsfeier einladen darf. Der Vater antwortet: Würdest du zur Anzahl der Kinder, die du einladen darfst, die Zahl 9 addieren und diese Summe dann mit 9 multiplizieren, so wäre das Ergebnis um 9 größer als 99. Wie viele Kinder darf die Tochter einladen? Wechselgeld Heike kauft mit einem 20-e-Schein ein Buch. Sie bekommt Geld zurück, und zwar genau 3 e weniger als das Buch kostet. a) Wie viel kostet das Buch? b) Wie viel bekommt Heike zurück? Auf der nächsten Seite geht es weiter!

4 Murmeln ziehen Karin hat ein Säckchen mit genau acht Murmeln darin. Vier Murmeln davon sind blau und vier davon sind rot. Karin kann die Murmeln nicht sehen und zieht nacheinander immer genau eine aus dem Säckchen bis sie vier gezogen hat. Sie legt die vier Murmeln in der Reihenfolge, wie sie gezogen wurden, auf den Tisch. Dann legt sie die gezogenen Murmeln wieder in den Sack, damit es wieder acht Murmeln sind, bevor sie wieder vier Murmeln aus dem Säckchen nimmt. Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Reihenfolge der vier Murmeln gibt es? Schreibe alle möglichen Reihenfolgen auf Schnittpunkte Zeichne drei Geraden, die sich a) in genau einem Punkt schneiden, b) in genau zwei Punkten schneiden, c) in genau drei Punkten schneiden. Zeichne nun einen Kreis und ein Rechteck, die sich d) in genau einem Punkt berühren, e) in genau zwei Punkten schneiden, f) in genau drei Punkten schneiden oder berühren.

5 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 5 Aufgaben c 2010 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Hier findest du sieben Zahlenfolgen. Sie fangen bis auf die letzte immer mit den Zahlen 2 und 3 an, gehen dann aber unterschiedlich weiter: Sie sind jeweils nach einer anderen Vorschrift aufgebaut. Setze jede Zahlenfolge um drei Zahlen fort und gib jeweils die Vorschrift an. a) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30,,, b) 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6,,, c) 2, 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 62,,, d) 2, 3, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 11, 8, 12, 16,,, e) 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6,,, f) 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,,, g) 1, 1, 2, 4, 8, 16,,, In der Turnhalle der Linden-Schule stehen mehrere gleich lange Bänke. Zwei Gruppen haben gerade gemeinsam Sport. Es setzen sich immer sechs Kinder auf eine Bank, aber die letzte Bank wird nicht voll; da sitzen nur drei Kinder. Wenn sich nur fünf Kinder auf eine Bank setzen würden, dann würden nicht alle Kinder sitzen können, vier von ihnen müssten stehen. a) Wie viele Kinder sind in der Turnhalle, und wie viele Bänke stehen dort? Am Ende der Stunde soll Nick aufräumen. Er soll vier Zweierhocker auf die nebenstehende Fläche stellen. b) Zeichne alle Möglichkeiten auf, wie er die vier Hocker auf die Fläche stellen kann. c) Nun kommt Lucas angerannt. Er hat noch einen fünften Zweierhocker gefunden. Zeichne wieder alle Möglichkeiten auf, wie sie jetzt die fünf Hocker auf die neue, größere Fläche stellen können. Auf der nächsten Seite geht es weiter!

6 Jens kommt kurz vor seinem Geburtstag zu seinem Opa. Opa holt einen großen Sack mit vielen Münzen und sagt: Pass mal auf, Jens. In diesem Sack sind viele Münzen mit allen Werten, die es gibt, also 1 Cent, 2 Cent, 5 Cent, 10 Cent, 20 Cent, 50 Cent, 1 Euro und 2 Euro. Du darfst dir davon 20 Münzen aussuchen halt, stopp, warte aber du musst aus diesen 20 Münzen zwei Geldbeträge gleichzeitig auf den Tisch legen können; einer soll 5,34 e betragen, der andere 4,66 e. Zehn Euro sind dir also sicher. Ach ja, jeder Münzwert soll auf dem Tisch mindestens einmal vorkommen. So, wie viel Geld schenke ich dir maximal? a) Beantworte die Frage für Jens. b) Wie viel hätte Jens maximal geschenkt bekommen, wenn er die Geldbeträge 5,35 e und 4,65 e hätte legen sollen und Opa immer noch gefordert hätte, dass alle Münzwerte auf dem Tisch mindestens einmal vorkommen? Niklas hat die gegebene Figur in der rechten Abbildung gezeichnet und will die in ihr vorkommenden Vierecke zählen. Dazu überlegt er erst einmal, welche verschiedenen Formen und Größen von Vierecken vorkommen; er entschließt sich, sich auf Quadrate, Rechtecke, die keine Quadrate sind, und Parallelogramme, die keine Rechtecke sind, zu beschränken. Suche nach diesen Quadraten, Rechtecken und Parallelogrammen in der Figur. Dabei sollen sich diese Vierecke in Form oder Größe unterscheiden, sie sollen also nicht deckungsgleich sein. Zeichne für jedes der verschieden aussehenden Vierecke eine neue Grundfigur und kennzeichne das Viereck farbig. Schreibe neben jede Zeichnung, wie oft man dieses Viereck in der Grundfigur finden kann.

7 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 6 Aufgaben c 2010 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Maria und Rebecca kramen auf dem Dachboden beim Opa in alten Kisten. Opa war Mathematiklehrer und hat sich gerne Kryptogramme ausgedacht. Sie finden vier Stück und wollen sie nun lösen. Beim Knobeln stellen sie fest, dass das gar nicht so einfach geht, denn es sind Kryptogramme dabei, die mehrere Lösungen haben. A B B + B B A C A B C Kryptogramm (1) A B + A C D C B Kryptogramm (2) A B C + D E F G H I Kryptogramm (3) A B C F A C B A G Kryptogramm (4) In einem Kryptogramm werden gleiche Buchstaben durch gleiche Ziffern ersetzt und verschiedene Buchstaben durch verschiedene Ziffern. Der erste Buchstabe jeder Zahl darf keine 0 sein. a) Finde eine Lösung des Kryptogramms (1). b) Finde alle Lösungen des Kryptogramms (2). c) Finde eine Lösung des Kryptogramms (3). d) Finde drei verschiedene Lösungen des Kryptogramms (4). In jeder der drei Lösungen soll der Buchstabe A durch eine andere Ziffer ersetzt werden Jede natürliche Zahl hat eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren (PFZ). Zum Beispiel ist 36 = = oder 1230 = Wir nennen in dieser Aufgabe die Anzahl der Primfaktoren einer Zahl ihre Primlänge. Die beiden Zahlen 36 und 1230 haben also beide die Primlänge 4. a) Welche Primlänge können zweistellige Zahlen höchstens haben? b) Gib alle zweistelligen Zahlen an, die diese größtmögliche Primlänge aufweisen. c) Gib alle zweistelligen Zahlen mit der Primlänge 5 an. d) Finde die größte Primlänge für dreistellige Zahlen. e) Gib alle dreistelligen Zahlen an, die diese größte Primlänge aufweisen. Auf der nächsten Seite geht es weiter!

8 Die drei Freunde Michi, Niki und Omar aus Hamburg kommen zum Abschluss ihrer Schulzeit auf eine ausgefallene Idee. Sie wollen einen Ausflug zur 150 km entfernten Floßburg machen. Das Ausgefallene an ihrem Plan ist, dass sie nur einen Motorroller für zwei Personen zur Verfügung haben. Natürlich können sie auch zu Fuß gehen; ein Fußgänger schafft 5 km in der Stunde. Sie sprechen mehrere Möglichkeiten durch, um ihr Vorhaben umzusetzen. a) Omar sagt: Keiner von uns soll laufen. Und wir lassen den Roller ganz gemütlich mit 60 km/h fahren. Wie können sie es machen und wie lange dauert es dann, bis alle drei an der Floßburg sind? b) Das dauert Niki zu lange. Er erklärt sich bereit, zur selben Zeit, in der seine beiden Freunde mit dem Roller zur Floßburg starten, in Hamburg loszulaufen. Er will vier Stunden gehen und dann warten, bis ihn einer seiner Freunde abholt. Er möchte aber auch, dass der Roller solange mit 70 km/h gefahren wird, bis er abgeholt wird; danach soll der Roller mit 65 km/h fahren. Wie lange wäre dann die Wartezeit für Niki, und wie lange dauert es, bis alle an der Floßburg sind? c) Michi sagt: Der Roller kann auch 75 km/h fahren. Ich laufe in Hamburg los, ihr fahrt zur Floßburg, dann soll einer sofort umdrehen und mich unterwegs aufnehmen. Wie weit muss Michi nach seiner Idee laufen? Wie lange dauert es, bis alle drei Freunde auf diese Weise zur Floßburg kommen? (Vor einer genauen Lösung ist eine Schätzung sinnvoll.) In einem Puzzle gibt es acht verschiedene, rechtwinklige, flächengleiche Formen, die jeweils 8 Kästchen umfassen. Von jeder Form sind ausreichend viele Teile vorhanden, die auch gedreht und umgeklappt verwendet werden dürfen. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) a) Wähle drei verschiedene Teile aus den 8 Puzzle-Formen aus und lege daraus ein Rechteck. Finde zwei Möglichkeiten, in denen alle drei Puzzle-Formen unterschiedlich sind. b) Wie viele dieser Rechtecke aus a) benötigst du, um daraus das kleinstmögliche Quadrat zu legen? Wie groß ist die Seitenlänge dieses Quadrates? c) Lege ein Quadrat (12 12 Kästchen) mit nur zwei verschiedenen Puzzle-Formen aus; sie müssen nicht in der gleichen Anzahl vorkommen. Gib zwei Möglichkeiten an, in denen nicht die beiden gleichen Puzzle-Formen verwendet werden. d) Wähle fünf verschiedene Formen aus und lege aus diesen fünf Teilen ein Rechteck. e) Wenn du Zeit und Lust hast: Lege aus acht verschiedenen Puzzle-Teilen ein Quadrat.