Der gedämpfte Schwingkreis. Matthias Borchardt

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Käthe Kurzmann
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1 1 Dr gdämpft Schwingkris Matthias Borchardt Einlitung: Di Diffrntialglichung inr gdämpftn, lktromagntischn Schwingung lautt: LQ(t) R Q(t) Q(t), wobi Q(t) di zitlich 1 C Entwicklung dr Ladungsmng auf dn Kondnsatorplattn darstllt. Di Lösung disr Diffrntialglichung ist mathmatisch nicht infach und rfordrt Knntniss, di in dr Rgl im Schuluntrricht nicht bhandlt wrdn. Erst im Studium lrnt man Funktionn knnn, di auf dn komplxn Zahln dfinirt sind und shr lgant und umfassnd Lösungswg röffnn. Witr untn wird in kompltt mathmatisch Lösung dr Diffrntialglichung vorgstllt, di inn solch komplxwrtign Ansatz vrwndt. Disr analytisch Wg lifrt, j nach Wahl dr Wrt für R, L und C, dri grundsätzlich vrschidn Lösungn. Si wrdn üblichrwis als Schwingfall, apriodischn Grnzfall odr Krichfall bzichnt. Di Diffrntialglichung lässt sich abr auch numrisch lösn. Dabi brchnt dr Computr itrativ dn zitlichn Vrlauf dr Funktionn Q(t) und I(t) für bstimmt Anfangswrt Q() Q und Q() I. Disr Wg kann für intrssirt Schülrinnn und Schülr, di übr Programmirrfahrung vrfügn, durchaus in Möglichkit darstlln, di Lösungn dr Diffrntialglichung inr gdämpftn Schwingung im Rahmn inr Facharbit odr Rfrats tifrghnd zu thmatisirn und im Plnum dm Physikkurs vorzustlln. Auf di Grundstruktur ins solchn Programms soll witr untn dtaillirtr inggangn wrdn 1. Hrlitung dr Diffrntialglichung: Es ist üblich, di Diffrntialglichung mithilf ins Spannungsansatzs hrzulitn (Maschnrgl von Kirchhoff). Hir soll in altrnativr Ansatz angwndt wrdn, dr mathmatisch aufwändigr ist, dafür abr ohn Problm di richtign Vorzichn in dr Glichung lifrt, was sich bi dm rwähntn Spannungsansatz manchmal als twas schwirig hrausstlln kann. Id: Dr Widrstand ntnimmt aufgrund sinr Erwärmung dm Schwingkris kontinuirlich Enrgi. Di im Widrstand umgstzt Listung zu inm Zitpunkt t ntspricht dabi dr momntann Ändrungsrat dr Gsamtnrgi ds Schwingkriss. Dahr gilt: P l(t) W gs(t). Di Tatsach, dass di Gsamtnrgi zitlich abnimmt, also in monoton fallnd Funktion darstllt, wird durch das Minuszichn ausgdrückt. Mit P UI R I, sowi dn Formln für di Enrgi ds lktrischn und magntischn 1 Ein vom Autor rstllts Programm, das mit dr Programmirsprach Dlphi rzugt wurd, findn Si untr:

2 d 1 1 Flds rgibt sich: R I (t) LI (t) C U (t) dt und mit 1 U(t) Q(t) dann: C d R I (t) LI (t) Q (t) dt C. Führt man di Ablitungn aus (Kttnrgl: f (x) f(x) f (x) ), rhaltn wir: R I (t) LI(t) I(t) Q(t) Q(t) C 1 1 R I (t) LI(t) I(t) Q(t) I(t) I(t) LI(t) R I(t) Q(t) C C Daraus rhaltn wir schlißlich di Diffrntialglichung: 1 LQ(t) R Q(t) Q(t) C Numrisch Lösung dr Diffrntialglichung: R 1 Wir bringn di Diffrntialglichung in di Form: Q(t) Q(t) Q(t) und vrwndn di Schribwis: Q dq Q dt und Q dq Q dt L LC dq dq dt dt Programmstruktur: Vrwnd di Variabln: Q, QPunkt, QZwipunkt, dq, dqpunkt, A, B, L, R, C, t, dt. Wis R, L und C Wrt zu; Wähl inn Zitschritt dt. Stz di Anfangswrt: Q := A; QPunkt := B; REPEAT QZwipunkt : R / L QPunkt 1/ (LC) Q dqpunkt : QZwipunkt dt QPunkt : Qpunkt dqpunkt dq : QPunkt dt Q : Q dq t : t dt Plott t,q Plott t,qpunkt UNTIL t t End Wnn man di Zuwisung dr Wrt für R, L und C (auch A und B) mit Schibrglr vornimmt und di Kurvn jwils dirkt ausgibt, lässt sich in dynamischs und didaktisch wrtvolls Wrkzug programmirn, mit dm man das Vrhaltn ds Schwingkriss bi vrändrtn Paramtrn anschaulich darstlln kann.

3 3 Analytisch Lösung dr Diffrntialglichung: Als Lösungsansatz wähln wir di komplxwrtig Funktion: Ablitn Q(t) s t t und Q(t) s und instzn führt zu: t t 1 t Ls R s s C t 1 s L R C 1 R 1 L R C L LC Di Lösungn für lautn: R R 1 R 1 R 1, 1 L L LC L LC L R 1 R i L LC L Q(t) s t, mit s,. R Mit dn Abkürzungn k, L Lösungn für dann di Form an: 1 k i k i 1 LC und k nhmn di bidn Nach dr Thori dr homognn gwöhnlichn linarn Diffrntialglichungn rgibt sich di allgmin Lösung dr Diffrntialglichung aus dr Linarkombination dr Einzllösungn Q (t) s t 1 und Q (t) s t, nämlich: 1 1 Q(t) s s. 1t t 1 1t t Di Ablitung von Q(t) rgibt di Stromstärk: I(t) Q(t) s s. Di Anfangswrt solln zunächst ganz allgmin angstzt wrdn: A Q() s s und 1 B Q() s1 1 s. 1 1 Das klin Glichungssystm lösn wir nach s 1 und s auf und stztn dis in di allgmin Lösung in: A s1 s s A s1 instzn in B s1 1 s und auflösn nach s 1 rgibt: B A B A k i s1 i 1 B A k i B A k i s A s1 A. i i

4 4 Di allgmin Lösung mit dn allgminn Anfangswrtn A und B lautt dann: B A k i B A k i Q(t) s s i i 1 t t k i k i 1 kt B Ak i B Ak i i i t it kt i it it it it B A k A i ix Wir vrwndn im Witrn di Eulrdarstllung cos(x) i sin(x), di sich dirkt aus dr Taylorntwicklung von x, sin(x) und cos(x) rgibt (s. Anhang).. Aus it cos( t) i sin( t) und it cos( t) i sin( t) rgibt sich: it it cos( t) und di Form an: it it i sin( t) und damit nimmt di obr Lösung kt Q(t) B Ak Ai i it it it it kt B Akisin( t) Aicos( t) i kt B Ak sin( t) Acos( t). Ergbnis (allgmin Lösung): kt B A k Q(t) A cos( t) sin( t) und kt Bk Ak I(t) Q(t) Bcos( t) Asin( t) mit dn Anfangswrtn A Q() und B Q().

5 5 Falluntrschidung: Di Krisfrqunz odr imaginär Wrt annhmn: 1 R k LC L kann rll Wrt, dn Wrt Null 1. Schwingfall: k Wir könnn dirkt di obrn Ergbniss übrnhmn: kt B A k Q(t) A cos( t) sin( t) und kt Bk Ak I(t) Q(t) Bcos( t) Asin( t). Üblichrwis wrdn zwi Spzialfäll untrschidn: Spzialfall 1: Dr Kondnsator ist zum Zitpunkt t= voll aufgladn, s flißt noch kin Strom: Q() Q A Q() B Di Lösungn nhmn dann di Form an: kt k Q(t) Q cos( t) sin( t) und Q kt I(t) k sin( t) Bispil: C = 4H, R = 7.

6 Anmrkung: Nicht sltn findt man in Büchrn odr im Intrnt als Lösung für dn Spzialfall 1 di kt Funktion: Q(t) Q cos( t). 6 Es fhlt also dr Trm k sin( t). Für klin Dämpfungswrt, also klin Wrt für k, spilt disr Trm tatsächlich kaum in Roll. Bi höhrn Widrstandswrtn darf dr Zusatztrm allrdings nicht vrnachlässigt wrdn. Das Bispil rchts zigt di Situation für inn Widrstand von R = 3. Das Vrhältnis von k zu Omga bträgt hir k.47, also twa 4%. Di dünn gzichnt Kurv stllt di Funktion ohn Zusatztrm dar. Si wicht dutlich von dr richtign Lösungsfunktion (ftt gzichnt Kurv) ab. Spzialfall : Dr Kondnsator ist zum Zitpunkt t= ntladn, s flißt dr maximal Strom: Q() A Q() I B Di Lösungn nhmn dann di Form an: I kt Q(t) sin( t) und k. kt I(t) Q(t) I cos( t) sin( t) Bispil: C = 4H, R = 7.

7 7 Di Amplitudnfunktionn (inhüllnd Funktionn): kt B A k Di Einhüllndn dr Funktion Q(t) A cos( t) sin( t) und dr kt Bk Ak Funktion I(t) Q(t) Bcos( t) Asin( t) rgbn sich durch di folgnd trigonomtrisch Forml (Formlsammlung): b a sin(x) bcos(x) a b sin x arctan a. Di Amplitudnfunktion wird also durch dn Faktor a b dargstllt. Angwndt auf Q(t) und I(t) rgbn sich di folgndn Amplitudnfunktionn: B Ak k t ˆQ(t) A und Bk Ak k t Î(t) B A Bispil: C = 4H, R = 7, Q() Q A Q() B

8 8. Apriodischr Grnzfall: k kt B A k Aus Q(t) A cos( t) sin( t) wird kt sin( t) Q(t) A B Ak t, dnn s gilt lim Außrdm wird t (s. Anhang). kt Bk Ak I(t) Q(t) Bcos( t) Asin( t) kt I(t) Q(t) B B k A k t. Di allgmin Lösung für dn apriodischn Grnzfall lautt also: zu kt Q(t) A B A k t und kt I(t) B Bk Ak t Spzialfall 1: Dr Kondnsator ist zum Zitpunkt t= voll aufgladn, s flißt noch kin Strom: Q() Q A Q() B Di Lösungn nhmn dann di Form an: kt Q(t) Q 1 k t und kt I(t) Q k t Bispil: C = 4H, R = 7956.

9 Spzialfall : Dr Kondnsator ist zum Zitpunkt t= ntladn, s flißt dr maximal Strom: Q() A Q() I B Di Lösungn nhmn dann di Form an: und kt I(t) I 1 k t kt Q(t) I t 9 Bispil: C = 4H, R = 7956.

10 1 3. Krichfall: k ( 1) k i k i, K mit k. K Hirfür ist s günstigr, di allgmin Lösung nicht mit Sinus und Cosinus zu formulirn, sondrn mithilf dr Exponntialdarstllung: kt it it it it Q(t) B Ak Ai. i Wnn wir nun durch K ik rstzn, rgibt sich: kt Q(t) B Ak Aii ii und wgn i 1 wird daraus: K iik t iik t iik t iik t K kt Q(t) B Ak A K K t K t K t K t K kt I(t) k B Ak A B und K t K t K t K t K K Spzialfall 1: Dr Kondnsator ist zum Zitpunkt t= voll aufgladn, s flißt noch kin Strom: Q() Q A Q() B Di Lösungn nhmn dann di Form an: kt Q(t) Q k K t K t K t K t K K kt I(t) Q k Bispil: C = 4H, R = 1. K K Kt Kt und

11 11 Spzialfall : Dr Kondnsator ist zum Zitpunkt t= ntladn, s flißt dr maximal Strom: Q() A Q() I B Di Lösungn nhmn dann di Form an: kt Kt Kt Q(t) I K und kt I(t) I k Bispil: C = 4H, R = 1. K t K t K t K t K K

12 1 Anhang: 1. Taylorpolynom dr Funktion f(x) bi x=: 1 i i! (i) i p(x) f () x 3 (IV) 4 f () f () x f () x f () x f () x... Damit rgbn sich di folgndn Taylordarstllungn: sin(x) x x x x cos(x) 1 x x x x x x x x x x Für di komplxwrtig Funktion ix rgibt sich: ix i x x i x x i x x x x x... i x x x cos(x) i s in(x) Dis führt zur sognanntn Eulrdarstllung inr komplxn Zahl z: z r cos( ) isin( ) r i sin(x). Grnzwrt von lim x x : Stll di Sinusfunktion mithilf ihrs Taylorpolynoms dar: x x x x... sin(x) lim lim x x x x lim 1 x x x... 1 x Und ntsprchnd: t ( t) ( t)... sin( t) 6 1 lim lim lim t t t... t Matthias Borchardt, Bonn im März 16

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