Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen"

Transkript

1 Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils unerschiedliche Lösungsechniken erfordern. Wir gehen hier noch einmal diese drei Typen durch. In allen Fällen bezeichnen wir die gesuche Funkion als x, die Variable als, und die Ableiungen als ẋ() = dx/d, ẍ() = d 2 x/d 2. Naürlich gil alles hier Gesage genauso, wenn andere Bezeichnungen gewähl werden ewa y für die gesuche Funkion, x für die Variable, mi Ableiung y (x) = dy/dx ec. Die drei Gleichungsypen sind ẍ() + a ẋ() + b x() = f(), ẋ() = a() b(x()), ẋ() = a() x() + f(). Schwingungsgleichung separiere Differenialgleichung 1. Ordnung Lineare Differenialgleichung 1. Ordnung Es fallen gleich einige Unerschiede zwischen diesen Gleichungen auf: Bei der Schwingungsgleichung ri neben der ersen Ableiung ẋ auch die zweie Ableiung ẍ auf (man sag, die Schwingungsgleichung is 2. Ordnung), während in den anderen beiden Fällen nur erse Ableiungen aufreen. Die Schwingungsgleichung und die lineare Differenialgleichung 1. Ordnung (also Fall I und Fall III) sind linear, d.h. es reen x, ẋ, ẍ nich in Poenzen oder anderen nich-linearen Funkionen auf. Im Unerschied dazu is bei der separieren DGL wegen der rech beliebigen Funkion b auch auch ein nichlineares Verhalen möglich z.b. für b(u) = u 10 haben wir den Term x() 10. In der Schwingungsgleichung sind a, b Konsane, d.h. reelle Zahlen, die nich von abhängen, während in Fall II und III a und b Funkionen von bezeichnen. In Fall I und III ri weierhin noch eine vorgegebene Funkion f auf, die Inhomogeniä genann wird. Da diese Gleichungen so unerschiedlich sind, verwunder es nich, dass man zum Lösen auch ganz unerschiedliche Verfahren verwende. Es komm also darauf an, zuers zu erkennen, mi welchem Typ man es in einer konkreen Aufgabe zu un ha, und dann das richige Verfahren anzuwenden. Dazu gib es weier unen Beispiele. In allen Fällen wird man daran ineressier sein, die Lösungen der beracheen DGL zu besimmen, also Funkionen x(), die die DGL erfüllen. Es gib üblicherweise viele (unendlich viele) Lösungen, die Menge aller Lösungsfunkionen nenn man die allgemeine Lösung der DGL. Diese allgemeine Lösung enhäl freie, unbesimme Parameer zwei Parameer c 1, c 2 R im Falle der Schwingungsgleichung, und einen Parameer c R in den anderen beiden Fällen. (Das lieg daran, dass die Schwingungsgleichung 2. Ordnung und die anderen 1. Ordnung sind.) Neben der allgemeinen Lösung ineressieren in der Physik auch häufig spezielle Lösungen, die durch sogenanne Anfangsbedingungen fesgeleg sind. Das bedeue, dass man zusäzlich zu der DGL noch eine oder zwei weiere Ideniäen forder, nämlich im Fall der Schwingungsgleichung x( 0 ) = ξ 1, ẋ( 0 ) = ξ 2, (0.1) 1

2 mi vorgegebenen Zahlen 0, ξ 1, ξ 2 R (meis is 0 = 0), und in den anderen beiden Fällen x( 0 ) = x 0 (0.2) mi vorgegebenen Zahlen 0, x 0 R. Forder man (0.1) bzw. (0.2), so lassen sich die freien Parameer c 1, c 2 bzw. c eindeuig besimmen, so dass man nur eine einzige Lösung der DGL mi zusäzlicher Anfangsbedingung ha. Bevor wir uns den Lösungsmehoden zuwenden, noch zwei Bemerkungen: Ersens sind die drei hier aufgeliseen Typen von Differenialgleichungen längs nich alle möglichen, sondern vielmehr drei häufig aufreende, aber sehr spezielle DGLen. Wenn man also auf eine DGL söß, kann es leich sein, dass sie zu keiner der obigen Klassen gehör, und deshalb mi den Mehoden dieser Vorlesung auch nich zu lösen is. Zweiens is zu bemerken, dass es zwar relaiv komplizier sein kann, eine (spezielle oder allgemeine) Lösung einer DGL zu berechnen, aber eine Probe, ob man asächlich eine Lösung gefunden ha, denkbar einfach is: Man nimm einfach die vermeinliche Lösungsfunkion x() her, sez sie in die DGL ein (d.h. berechne die Ableiungen ec) und prüf, ob die fragliche DGL erfüll is oder nich. So eine Probe empfiehl sich eigenlich immer. Jez zu den Lösungsmehoden für die drei unerschiedlichen Typen. 1) Die Schwingungsgleichung Dies is wie gesag die DGL ẍ() + a ẋ() + b x() = f(), (0.3) wobei a, b Konsanen sind (also Zahlen, die nich von abhängen), und f eine vorgegebene Funkion von is. Man unerscheide hier die beiden Fälle f() = 0 (das is die homogene Schwingungsgleichung) und f() 0 (die inhomogene Schwingungsgleichung). Im homogenen Fall (d.h. f() = 0) kann man sich Lösungen per Exponenialansaz verschaffen. Das heiß, man sez x() := e λ und besimm λ so, dass die Gleichung ẍ()+a ẋ()+b x() = 0 gil. Dies führ auf eine quadraische Gleichung für λ, nämlich λ 2 + a λ + b = 0, die eine oder zwei Lösungen ha. Im allgemeinen sind diese Lösungen komplexe Zahlen. Bilde man dann Real- und Imaginäreil von e λ, d.h. Re(e λ ) = e Re(λ) cos(im(λ) ) und Im(e λ ) = e Re(λ) sin(im(λ) ), so erhäl man reelle Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung. Für den Fall, dass λ 2 + a λ + b = 0 nur eine Lösung ha (aperiodischer Grenzfall), kann man sich eine zweie Lösung durch einen anderen Ansaz verschaffen (siehe Aufgabe 34). Im Zusammenhang mi der Schwingungsgleichung spiel der Begriff des Fundamenalsysems eine wichige Rolle. Man sieh nämlich, dass, wenn x 1 und x 2 zwei Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung sind, dann auch alle Linearkombinaionen, d.h. alle Funkionen von dem Typ c 1 x 1 ()+c 2 x 2 () ebenfalls Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung sind, für beliebige Parameer c 1, c 2 R. Zwei Lösungen x 1, x 2 bilden per Definiion genau dann ein Fundamenalsysem, wenn jede Lösung der homogenen Schwingungsgleichung eine Linearkombinaion von x 1 und x 2 is. Ob zwei Lösungen ein Fundamenalsysem bilden, prüf man prakisch dadurch nach, dass man nachrechne, ob die Wronski-Deerminane (siehe Aufgabe 33) ungleich Null is. Durch eine Anfangsbedingung (0.1) können dann die beiden freien Parameer c 1, c 2 in der allgemeinen Lösung der Schwingungsgleichung berechne werden. Als nächses berachen wir den inhomogenen Fall (f() 0). Hier gil es zunächs, überhaup 2

3 irgend eine Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden. Für allgemeines f wurde das in der Vorlesung nich behandel, sondern nur für harmonische Inhomogeniä, d.h. f() = cos(ω 0 ) oder f() = sin(ω 0 ), mi vorgegebenem ω 0 > 0. Für diese Fälle hilf wieder ein Exponenialansaz weier: Man geh zuers zu einer komplexen Gleichung über, indem man f() durch e iω 0 ersez, und mach dann den Ansaz x() := k e iω 0 mi einem zu besimmenden k. Einsezen führ auf eine Bedingungsgleichung für k, die man meis lösen kann (z.b. falls a 0, nur im Resonanzfall kann man die Gleichung nich lösen, und brauch einen anderen Ansaz, siehe Aufgabe 35). Ha man k besimm (das wird üblicherweise eine komplexe Zahl sein), so erhäl man eine reelle Lösung, indem man enweder den Realeil von k e iω 0 bilde (für f() = cos(ω 0 )) oder den Imaginäreil (für f() = sin(ω 0 )). Nennen wir diese so gefundene ( spezielle ) Lösung der inhomogenen Gleichung x in, dann is die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung x() = c 1 x 1 () + c 2 x 2 () + x in (), c 1, c 2 R, wobei x 1, x 2 ein Fundamenalsysem der homogenen Gleichung is. 2) Trennung der Variablen Eine separiere Differenialgleichung 1. Ordnung sieh so aus: ẋ() = a() b(x()), (0.4) hierbei sind a, b vorgebene Funkionen, also nich wie bei der Schwingungsgleichung Konsanen. Im Gegensaz zur Schwingungsgleichung is diese DGL im allgemeinen nich linear; ein Exponenialansaz führ deshalb hier nich zum Erfolg. Das richige Verfahren für diesen Fall heiß Trennung der Variablen, man merk es sich am besen schemaisch so: In Schri 1 der Lösung renn man die Variablen, gemein sind dami x und d.h. man form die DGL so um, dass links nur x e und rechs nur s sehen. Dabei noier man ẋ = dx/d, erhäl also formal dx = a() d. b(x) Beide Seien dieser Gleichung machen nich viel Sinn, es handel sich nur um eine Merkregel. Für einen sinnvollen Ausdruck werden wir beide Seien inegrieren links über x, rechs über, dx b(x) = a() d + c. (0.5) Diese Inegrale sind ersmal als unbesimme Inegrale, dh Sammfunkionen, aufzufassen, wobei wir auf der rechen Seie eine beliebige Konsane c R addier haben, da Sammfunkionen nur bis auf Addiion einer Konsanen fesgeleg sind. Schri 2 der Lösung beseh jez darin, beide Inegrale auszurechnen. Dann erhäl man links eine Funkion von x, rechs eine Funkion von welche Funkionen das sind, häng naürlich von a und b ab. Im Schri 3 des Verfahrens lös man diese Gleichung nach x auf, und ha dami die Formel für die Lösung x() erhalen. Es is klar, dass diese Formel immer noch von der unbesimmen Konsane c abhängen wird. Fordern wir jez zusäzlich die Anfangsbedingung (0.2), so läss sich c eindeuig berechnen. Es sei noch bemerk, dass man die Anfangsbedingung auch gleich von Anfang an mi in das Lösungsschema einbauen kann. Ha man nämlich die Forderung x( 0 ) = x 0, so formulier man die besimmen Inegrale x() dx x 0 b(x ) = a( ) d. 0 3

4 Hier wurden als Inegraionsvariable x, verwende, um sie von den Inegraionsgrenzen zu unerscheiden. Berechnen der Inegrale und Auflösen nach x() führ dann auomaisch auf die Lösung, die auch x( 0 ) = x 0 erfüll. In dieser Form läss sich auch erkennen, dass das Lösungsschema eine Anwendung der Subsiuionsregel für Inegrale is es sell eine gue Übung dar, die Formel mi den besimmen Inegralen mal wirklich aus der DGL herzuleien (ohne formales Hanieren mi dx und d). 3) Variaion der Konsanen Eine lineare Differenialgleichung 1. Ordnung sieh so aus: ẋ() = a() x() + f(), (0.6) hierbei sind a und f vorgegebene Funkionen. Im Vergleich zur separieren DGL fäll auf: Die Funkion b fehl, aber dafür haben wir jez einen Exraerm f() die Inhomogeniä. Wie bei der Schwingungsgleichung is es für die Lösung dieser DGL wichig, sich zuers den homogenen Fall anzugucken, in dem man (vorers) f() = 0 sez. Dann ha man als DGL ẋ() = a() x() vorliegen. Das is offenbar eine DGL von Typ II, und sogar eine besonders einfache! Wir können also (0.5) verwenden, und die x-inegraion ausführen: dx a() d + c = = log x. x Wir haben die Konsane hier c genann, aber das is ja eine reine Bezeichnungssache. Auflösen nach x (was wir dann wieder x() nennen) ergib ( ) x() = exp a() d + c = e c a() d e. Lös man noch den Berag x() = ±x() auf und sez c := ±e c, so erhalen wir die Formel x() = c e a() d, c R. (0.7) Dies is die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, welche wie gesag nur ein Spezialfall von Typ II is. Nun sehen wir aber vor dem Problem, dass uns eigenlich die inhomogene Gleichung ineressier, also f() 0. Um dafür eine Lösung zu bekommen, gib es einen Ansaz ( Variaion der Konsanen ), der immer zum Erfolg führ. Man sez (wieder mi der Bezeichnung x in für die Lösung der inhomogenen Gleichung) x in () := c() e a() d. Hier is jez c keine Konsane mehr, sondern eine Funkion von, die es zu besimmen gil. Prakisch nimm man jez den Ansaz her, sez ihn in die inhomogene DGL ẋ = a()x + f() ein, und erhäl daraus eine Gleichung für (die Ableiung von) c, aus der man c besimmen kann. Dies liefer eine Lösung der inhomogenen Gleichung, und die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ergib sich nun ganz analog wie bei der Schwingungsgleichung als x() = c e a() d + x in (), c R. Wiederum läss sich die Konsane c (nich die Funkion c, die wir an dieser Selle ja schon besimm haben) durch eine Anfangsbedingung der Form (0.2) feslegen. 4

5 Beispiel 1: Wir berachen die Differenialgleichung ẍ() + 4 ẋ() + 8 x() = 0, die wir als vom Typ (0.3) (Schwingungsgleichung) erkennen (mi a = 4, b = 8, f() = 0, also homogen). Häen wir ewa ẍ() + 3 ẋ() 2 + x() = 0 oder ẍ() + ẋ() + 8 x() = 0 vorliegen, können wir mi dem Soff dieser Vorlesung ersmal nichs zur Lösung sagen, weil diese Gleichungen nich vom Typ (0.3) sind (und auch von keinem der anderen Typen). Aber zurück zu ẍ()+4 ẋ()+8 x() = 0. Wir machen den Exponenialansaz x() = e λ, sezen ein, leien ab, eilen durch e λ, und erhalen so die Bedingung λ λ + 8 = 0. Auflösen nach λ ergib zwei Lösungen, λ ± = 2 ± 2i, d.h. wir haben die komplexen Lösungen z ± () := e ( 2±2i) = e 2 (cos(2) ± i sin(2)). Naürlich wollen wir reelle Lösungen haben, und bilden deshalb Real- und Imaginäreil. Das ergib Re(z ± )() = e 2 cos(2) Im(z ± )() = ±e 2 sin(2). Das sind in diesem Fall also drei Lösungen, wobei sich die aus dem Imaginäreil gewonnenen Lösungen nur um ein Vorzeichen unerscheiden, also sicher kein Fundamenalsysem bilden. Wenn wir aber x 1 () := e 2 cos(2) und x 2 () := e 2 sin(2) wählen, kann man leich nachprüfen, dass ein Fundamenalsysem vorlieg (Die Wronski-Deerminane is in diesem Fall 2 e 4 0.) Dami wissen wir, dass die allgemeine Lösung von ẍ() + 4 ẋ() + 8 x() = 0 is: x() = c 1 e 2 cos(2) + c 2 e 2 sin(2), c 1, c 2 R. (0.8) Um c 1, c 2 feszulegen, sellen wir jez zusäzlich noch die Anfangsbedingung x(0) = 0, ẋ(0) = 1. Dann ergib sich c 1 = 0, c 2 = 1 2, also die spezielle Lösung x() = 1 2 e 2 sin(2). Beispiel 2: Wir berachen die Differenialgleichung ẋ() = 9 x(), die wir als vom separieren Typ erkennen ( Ableiung von x = (Funkion von ) mal (Funkion von x) ), mi a() = 9 und b(u) = u. Wir rennen die Variablen (man könne sich auch die Lösungsformel (0.5) merken, aber Trennung der Variablen sag eigenlich alles und schon das Gedächnis), also formal dx d = 9 x = dx = x d 9 + c. Jez beide Inegrale ausrechnen: dx = x dx x 1/2 = 2 x 1/2 = 2 x, und d 9 + c = c. 5

6 Gleichsezen, auflösen: 2 x = ( 10 + c = x() = 20 + c ) 2. 2 Fordern wir jez mal noch die Anfangsbedingung x(0) = 1, so erhalen wir konkre c = 2. Beispiel 3: Wir berachen die DGL ẋ() = 3x() + x() + 4 (für > 0), die wir als vom Typ III erkennen ( Ableiung von x = (Funkion von ) mal x + Funkion von ), mi a() = und f() = 4. Nach dem ensprechenden Schema nehmen wir uns also ersmal die homogene Gleichung ẋ() = ( 3 + 1) x() vor, rennen die Variablen, und inegrieren: ( ) ( ) dx 3 dx 3 d = + 1 x = x = d c. Das x-inegral gib den Logarihmus (wie immer bei Variaion der Konsanen), und für das -Inegral erhalen wir ( ) 3 d + 1 = 3 log +. Gleichsezen (mi Konsane c ) und Auflösen nach x ergib wie in (0.7) x hom () = c e 3 log + = c 3 e. Das is die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. Jez Ansaz für Variaion der Konsanen: einsezen in ẋ() = 3x() und für die reche Seie x in () := c() 3 e, + x() + 4 liefer für die linke Seie der Gleichung ẋ in () = c() (3 2 e + 3 e ) + ċ() 3 e, 3x() + x() + 4 = 3c() 3 e + c() 3 e + 4. Gleichsezen beider Seien liefer nach Auflösung ċ() = e, also (mi parieller Inegraion) c() = d e = e + Dami haben wir als eine Lösung der inhomogenen Gleichung d e = ( + 1)e. x in () = ( + 1)e 3 e = 3 ( + 1). (Die Probe zeig, dass es simm). Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung is also x() = c 3 e 3 ( + 1). Wählen wir ewa als Anfangsbedingung x(1) = 1, so erhalen wir c = 2/e. Schlussbemerkung: Man sieh, dass in diesem Fall nich beliebige Anfangsbedingungen erfüll werden könnnen, z.b. is immer (für alle c) x(0) = 0. Das lieg daran, dass die Funkion a() = bei 0 unseig is; wir gehen auf diesen Punk hier nich näher ein. 6

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN Skrium zum Fach Mechanik 5Jahrgang HTL-Eisensad DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN DilIngDrGüner Hackmüller 5 DilIngDrGüner Hackmüller Alle Reche vorbehalen

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh

Mehr

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen 58 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Die Unersuchung der Normalformen von Marizen soll nun auf die Lösung von Differenialgleichungssysemen angewende

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sysemheorie eil A - Zeikoninuierliche Signale und Syseme - Muserlösungen Manfred Srohrmann Urban Brunner Inhal 3 Muserlösungen - Zeikoninuierliche Syseme im Zeibereich 3 3. Nachweis der ineariä... 3 3.

Mehr

MATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

MATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4. Einleiung Eine der herausragenden Särken von MATLAB is das numerische (näherungsweise) Auflösen von Differenialgleichungen. In diesem kurzen Kapiel werden wir uns mi einigen Funkionen zum Lösen von

Mehr

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten!

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Universiä Regensburg, Winersemeser 3/4 Examenskurs Analysis (LGy) Dr. Farid Madani Probeklausur Thema Nr. (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeien! Aufgabe (5 Punke). Man

Mehr

Theoretische Physik I/II

Theoretische Physik I/II Theoreische Physik I/II Prof. Dr. M. Bleicher Insiu für Theoreische Physik J.. Goehe-Universiä Frankfur Aufgabenzeel IV 9. Mai hp://h.physik.uni-frankfur.de/ baeuchle/u Lösungen Die Vorlesung wird durch

Mehr

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.

Mehr

2.2 Rechnen mit Fourierreihen

2.2 Rechnen mit Fourierreihen 2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

3. Partielle Differentialgleichungen

3. Partielle Differentialgleichungen 3.. Grundlagen und Klassifikaion Welche Ordnung haben diese Gleichungen?? 3.4.1 Lineare parielle Differenialgleichungen. Ordnung Analogie: Klassifikaion Kegelschnie 1 3.4.3 Korrek geselle Probleme Anfangs-

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt Prof Dr M Gerds Dr A Dreves J Michael Winerrimeser 6 Mahemaische Mehoden in den Ingenieurwissenschafen 4 Übungsbla Aufgabe 9 : Mehrmassenschwinger Berache wird ein schwingendes Sysem aus Körpern der Masse

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppiz, Dr. I. Rbak 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mahemaik Sommersemeser 9 Prof. Dr. M. Sroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Konvergenzverhalen

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

4. Quadratische Funktionen.

4. Quadratische Funktionen. 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012 Technische Universiä München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis für Physiker Lösung Monag SS 0 Aufgabe Gradien und Tangene ( ) Besimmen Sie zur Funkion f(x, y) = x y + xy + y die pariellen Ableiungen,

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 13 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 13 Wintersemester 2011/2012 Prof Dr O Junge, A Biracher Zenrum Mahemaik - M3 Technische Universiä München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 3 Winersemeser 2/22 Tuorübungsaufgaben (3-3222) Aufgabe T Berachen Sie das Anfangswerproblem

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten Einmassenschwinger eil I.7 Impulslasen 53 7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasen Impulslasen im echnischen Allag sind zum Beispiel Soß- oder Aufprallvorgänge oder Schläge. Die Las seig dabei in kurzer

Mehr

Freie Schwingung - Lösungsfälle

Freie Schwingung - Lösungsfälle Freie Schwingungen Seie von 6 Peer Schüller peer.schueller@bbw.gv.a Freie Schwingung - Lösungsfälle Maheaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Differenialgleichung.Ornung i onsanen Koeffizienen, Schwingung

Mehr

Name: Punkte: Note: Ø:

Name: Punkte: Note: Ø: Name: Punke: Noe: Ø: Kernfach Physik Abzüge für Darsellung: Rundung: 4. Klausur in K am 5. 5. 0 Ache auf die Darsellung und vergiss nich Geg., Ges., Formeln, Einheien, Rundung...! Angaben: e =,60 0-9 C

Mehr

13.1 Charakterisierung von Schwingungen

13.1 Charakterisierung von Schwingungen 87 Schwingungen reen in allen Fachgebieen mi rückgekoppelen Prozessen auf. Im Maschinenbau ensehen Schwingungen durch elasische Radaufhängungen, Maschinenfundamene oder Maschineneile, in der Elekroechnik

Mehr

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in

Mehr

Laplacetransformation in der Technik

Laplacetransformation in der Technik Verallgemeinere Funkionen Laplaceransformaion in der echnik Fakulä Grundlagen Februar 26 Fakulä Grundlagen Laplaceransformaion in der echnik Übersich Verallgemeinere Funkionen Verallgemeinere Funkionen

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

Motivation: Sampling. (14) Sampling. Motivation: Sampling. Beispiele. Beispiel Kreisscheibe. Beispiel: Kreisscheibe

Motivation: Sampling. (14) Sampling. Motivation: Sampling. Beispiele. Beispiel Kreisscheibe. Beispiel: Kreisscheibe Moivaion: Sampling (4) Sampling Vorlesung Phoorealisische Compuergraphik S. Müller Ein naiver (und sehr eurer) Ansaz, die Rendering Equaion mi Hilfe eines Rayracing-Ansazes zu lösen, wäre wird eine diffuse

Mehr

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach)

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach) Übungen zur Einführung in ie Physik Nebenfach --- Muserlösung --- Aufgabe: Konensaorenlaung Ein mi Glimmer ε r = 8 gefüller Plaenkonensaor mi er Fläche A=6 cm un einem Plaenabsan = 5 μm enlä sich wegen

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

Struktur und Verhalten I

Struktur und Verhalten I Kapiel 9 Srukur und Verhalen I Ganz allgemein gesag is das Thema dieses Kurses die Ersellung, Simulaion und Unersuchung von Modellen räumlich homogener dynamischer Syseme aus Naur und Technik. Wir haben

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS 015 17.05.015 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla

Mehr

Zwischenwerteigenschaft

Zwischenwerteigenschaft Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universiä München WS 11/1 Insiu für Informaik Prof. Dr. Hans-Joachim Bungarz Michael Lieb, M. Sc. Dipl.-Inf. Chrisoph Riesinger Dipl.-Inf. Marin Schreiber Numerisches Programmieren 4. Programmieraufgabe:

Mehr

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen

Mehr

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z. 18 1 Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als

Mehr

8.2 Die Theorie stetiger Halbgruppen im Banachraum

8.2 Die Theorie stetiger Halbgruppen im Banachraum 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum 3 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum Im weieren sellen wir einige allgemeine Aussagen der Theorie seiger Halbgruppen in Banachräumen zusammen.

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 4

Lösungen zu Übungsblatt 4 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Insiu für Mahemaik Winersemeser 0/3 Universiä Würzburg 0 Februar 03 Prof Dr Jörn Seuding Dr Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Aufgabe : (0 Punke) Zeigen

Mehr

Fourier- und Laplace- Transformation

Fourier- und Laplace- Transformation Skrium zur Vorlesung Mahemaik für Ingenieure Fourier- und Lalace- Transformaion Teil 3: Lalace-Transformaion Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) Fachhochschule

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser ARBEITSBLATT LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Nachdem wir die Lage weier Ebenen unersuch haben, wollen wir uns nun mi der Lage von drei Ebenen beschäfigen. Anders

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi

Mehr

Kapitel 3. x, wobei x, y R + und t R.

Kapitel 3. x, wobei x, y R + und t R. Lineare Geomerie Kapiel Homogene und inhomogene lineare Gleichungssyseme Täglich werden wir mi Gleichungssysemen konfronier Manche scheinen sehr komplizier zu sein und manchmal können sie nur numerisch

Mehr

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 6 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 6 c 2016 A. Kersch Vorkurs Mahemaik-Physik, Teil 6 c 6 A. Kersch Kinemaik In der Kinemaik geh es um die Frage: wie kann ich Bewegungen, also Bahnen von punkförmigen (Kinemaik der Translaion) oder ausgedehnen Körpern (Kinemaik

Mehr

Leistungselektronik Grundlagen und Standardanwendungen. Übung 3: Kommutierung

Leistungselektronik Grundlagen und Standardanwendungen. Übung 3: Kommutierung Lehrsuhl für Elekrische Anriebssyseme und Leisungselekronik Technische Universiä München Arcissraße 1 D 8333 München Email: eal@ei.um.de Inerne: hp://www.eal.ei.um.de Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.:

Mehr

Berechnungen am Wankelmotor

Berechnungen am Wankelmotor HTL Saalfelen Wankelmoor Seie von 7 Schmihuber Heinrich heinrich_schmihuber@homail.com Berechnungen am Wankelmoor Link zur Beispielsübersich Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Linieninegral,

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwere un Eigenvekoren Vorbemerkung: Is ie n n Marix inverierbar, so ha as lineare Gleichungssysem A x b für jees b genau eine Lösung, nämlich x A b. Grun: i A x A A b b, ii Is y eine weiere Lösung,

Mehr

15 Erzwungene Schwingungen

15 Erzwungene Schwingungen 11 Unwuchen in elasischen Rooren oder Fahrbahnunebenheien bei Fahrzeugen führen auf erzwungene Schwingungen. Berache werden soll im Folgenden der Fall der Schwingungserregung durch eingepräge Kräfe. Bei

Mehr

ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM

ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM Schule Bundesgymnasiu um für Berufsäige Salzburg Modul Thema Mahemai 8 Arbeisbla A 8-6 Kreis ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM KREIS Bisher onnen wir lediglich die Fläche, den Umfang oder den Radius eines Kreises

Mehr

Medikamentendosierung A. M.

Medikamentendosierung A. M. Medikamenendosierung A M Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 2 2 Ar der Einnahme 3 3 Tropfenweise Einnahme 4 31 Differenialgleichung 4 32 Exake Lösung 5 33 Näherungsweise Lösung 5 4 Periodische Einnahme 7 41

Mehr

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft.

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft. Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Die Lge einer Ebene E im Rum is durch drei Größen eindeuig fesgeleg: X. Einen Punk A, durch den die Ebene verläuf..

Mehr

Näherung einer Wechselspannung

Näherung einer Wechselspannung HL Seyr Wechselsromparabel Seie 1 von 1 Nieros Bernhard bernhard.nieros@hl-seyr.ac.a Näherung einer Wechselspannung Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Polynomfunkion, allgemeine Sinusschwingung,

Mehr

Zu jedem Typ gibt es eine Menge von möglichen Denotationen der Ausdrücke dieses Typs. Diese Menge wird Domäne des betreffenden Typs genannt.

Zu jedem Typ gibt es eine Menge von möglichen Denotationen der Ausdrücke dieses Typs. Diese Menge wird Domäne des betreffenden Typs genannt. 2 Theorie der semanischen Typen 2.2.2 Semanik von TL Menge der omänen Zu jedem Typ gib es eine Menge von möglichen enoaionen der Ausdrücke dieses Typs. iese Menge wird omäne des bereffenden Typs genann.

Mehr

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse:

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse: Masse, Kraf und Beschleunigung Masse: Sei 1889 is die Einhei der Masse wie folg fesgeleg: Das Kilogramm is die Einhei der Masse; es is gleich der Masse des Inernaionalen Kilogrammprooyps. Einzige Einhei

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und

Mehr

Demo-Text für Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel.

Demo-Text für  Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Funkionen und Kurven Differenialgeomerie Tex Nummer: 5 Sand: 9. März 6 Demo-Tex für www.mahe-cd.de INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de 5 Differenialgeomerie Vorwor Das Thema Kurven is

Mehr

Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch):

Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch): Leseprobe Ines Renner, Bernhard Bundschuh Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie ISBN (Buch): 978-3-446-43327-4 ISBN (E-Book): 978-3-446-43328- Weiere Informaionen oder Besellungen uner hp://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43327-4

Mehr

Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f 1. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f 1 an der Stelle 2.

Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f 1. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f 1 an der Stelle 2. Miniserium für Schule und Berufsbildung 05 Bei der Bearbeiung der Aufgabe dürfen alle Funkionen des Taschenrechners genuz werden. Aufgabe : Analysis Gegeben is eine Funkionenschar durch f () = e mi R;

Mehr

Diskrete Integratoren und Ihre Eigenschaften

Diskrete Integratoren und Ihre Eigenschaften Diskree Inegraoren und Ihre Eigenschafen Whie Paper von Dipl.-Ing. Ingo Völlmecke Indusrielle eglersrukuren werden im Allgemeinen mi Hilfe von Inegraoren aufgebau. Aufgrund des analogen Schalungsaufbaus

Mehr

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2 Fachhochschule Nordwesschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Insiu für Geises- und Naurwissenschaf Dozen: Roger Burkhard Klasse: Sudiengang ST Lösungen Tes Büro: 4.613 Semeser: Modul: MDS Daum: FS1 Bemerkungen:

Mehr

Kapitel : Exponentielles Wachstum

Kapitel : Exponentielles Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine

Mehr

Fouerierreihen - eine Einführung

Fouerierreihen - eine Einführung HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 1 von 19 Roland Pichler roland.pichler@hl-kapfenberg.ac.a Fouerierreihen - eine Einführung Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Inegralrechnung,

Mehr

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten.

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten. T1 I. Theorieeil a) Zur Zei wird ein Pake der Masse dm mi der Geschwindigkei aus der Rakee ausgesoÿen. Newon's zweies Gesez läss sich schreiben als dp d = F p( + ) p() = F d = Av2 d Der Impuls des Sysems

Mehr

1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale

1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale Abasung, Quanisierung und Codierung analoger Signale Analoge Signale werden in den meisen nachrichenechnischen Geräen heuzuage digial verarbeie. Um diese digiale Verarbeiung zu ermöglichen, wird das analoge

Mehr

Hauptachsentransformation

Hauptachsentransformation Haupachsenransformaion Erinnerung: A M n is genau ann nich inverierbar, wenn es ein x R n, x gib, mi A x. Definiion. Sei A M n eine Marix. Ein Vekor v R n, v heiß Eigenvekor von A zum Eigenwer λ R, wenn

Mehr

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen Differenzieren von Funkionen zwischen Banachräumen Ingmar Gezner In dieser Seminararbei wollen wir das Differenzieren auf Funkionen zwischen Banachräume verallgemeinern. In unendlichdimensionalen Räumen

Mehr

HTL Kapfenberg pc_reifeprüfungsaufgaben_ma_11_bsp.31.mcd Seite 1 von 7

HTL Kapfenberg pc_reifeprüfungsaufgaben_ma_11_bsp.31.mcd Seite 1 von 7 HTL Kapfenberg p_reifeprüfungsaufgaben_ma Bsp.3.m Seie von 7 Angaben zu Aufgabe 3: Ein shwingfähiges mehanishes Sysem is mi einem geshwinigeisproporionalem Dämpfer ausgesae. Folgene in iesem Zusammenhang

Mehr

P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in "Einführung in die ökonometrische Datenanalyse" Duisburg

P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in Einführung in die ökonometrische Datenanalyse Duisburg P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in "Einführung in die ökonomerische Daenanalyse" Duisburg a) Klausur SS 0 Klausuren SS 0 bis SS 03 akualisier 9. Augus 03. Sehr viele Teilnehmer rechnen einfach

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla 3 7.. Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor

Mehr

Motivation der Dierenzial- und Integralrechnung

Motivation der Dierenzial- und Integralrechnung Moivaion der Dierenzial- und Inegralrechnung Fakulä Grundlagen Hochschule Esslingen SS 2010 4 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 Fakulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS 2010 1 / 9 Übersich 1 Vorberachungen Ableiungsbegri

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 310 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen Mahemaik I Übungsaufgaben 8 Lösungsorschläge on T. Meyer Era-Mahemaik-Übung: 005--06 Aufgabe Berechnen Sie die Ableiung der Funkion f an einer beliebigen Selle 0 ohne Verwendung irgendwelcher Vorkennnisse

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

Multiple Regression: Übung 1

Multiple Regression: Übung 1 4. Muliple Regression Ökonomerie I - Peer Salder 1 Muliple Regression: Übung 1 Schäzung einer erweieren Konsumfunkion für die Schweiz Wir unersuchen die Abhängigkei der Konsumausgaben der Schweizer Haushale

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2 Fachrichung Physik Physikalisches Grundprakikum Ersell: Bearbeie: Versuch: L. Jahn SR M. Kreller J. Kelling F. Lemke S. Majewsky i. A. Dr. Escher Akualisier: am 29. 03. 2010 Srömung im Rohr Inhalsverzeichnis

Mehr

Reglerdimensionierung nach Ziegler-Nichols

Reglerdimensionierung nach Ziegler-Nichols HTL, Innsbruck Seie von 8 Rober Salvador salvador@hlinn.ac.a Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Regelungsechnik, Laplaceransformaion, Umgang mi komplexen Zahlen, Kurvendiskussion, Differenzialgleichungen

Mehr

Prüfung zum Fach Regelungstechnik für Studierende Lehramt an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor)

Prüfung zum Fach Regelungstechnik für Studierende Lehramt an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor) Technische Universiä München Lehrsuhl für Regelungsechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann Prüfung zum Fach Regelungsechnik 7.9. für Sudierende Lehram an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor) Name: Vorname: Mar.-Nr.

Mehr

Probeklausur 2: Internationale Währungstheorie WS 2008/09. Klausur zur Vorlesung: Internationale Währungstheorie im Wintersemester 2008/09

Probeklausur 2: Internationale Währungstheorie WS 2008/09. Klausur zur Vorlesung: Internationale Währungstheorie im Wintersemester 2008/09 Probeklausur 2: Inernaionale Währungsheorie WS 2008/09 Klausur zur Vorlesung: Inernaionale Währungsheorie im Winersemeser 2008/09 Dozen: Bearbeiungszei: Maximale Punkzahl: 120 Minuen 120 Punke Zugelassene

Mehr

V 321 Kondensator, Spule und Widerstand Zeit- u. Frequenzverhalten

V 321 Kondensator, Spule und Widerstand Zeit- u. Frequenzverhalten V 32 Kondensaor, Spule und Widersand Zei- u. Frequenzverhalen.Aufgaben:. Besimmen Sie das Zei- und Frequenzverhalen der Kombinaionen von Kondensaor und Widersand bzw. Spule und Widersand..2 Ermieln Sie

Mehr

Herleitung: Effektivwerte

Herleitung: Effektivwerte Herleing: Effekivwere elekre.gihb.io December 16, 1 1 Definiion Der Effekivwer is die Spannng einer Wechselgröße im zeilichen Miel, drch die mi einer Gleichqelle die selbe Leisng an einem Verbracher abfallen

Mehr

10 Gleichspannungs-Schaltvorgänge RL-Reihenschaltung

10 Gleichspannungs-Schaltvorgänge RL-Reihenschaltung GleichspannungsSchalvorgänge eihenschalung Seie von 6 222 Prof. Dr.Ing. T. Harriehausen Wolfenbüel.9.2. Beziehung zwischen en lemmengrößen einer konsanen Inukiviä Die Abhängigkei zwischen en lemmengrößen

Mehr

Semantik. Semantik. Die Sprache der Typtheorie sieht für jeden Typ eine Menge nichtlogischer

Semantik. Semantik. Die Sprache der Typtheorie sieht für jeden Typ eine Menge nichtlogischer Universiy of Bielefeld Beispiele: Prädikaskonsanen (Suden, verheirae, arbeie): Typ ; sie nehmen einen Eigennamen/ein Referenzobjek und liefern einen Saz/einen Wahrheiswer ab. Zweisellige Relaionskonsanen

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander

Mehr

Regelungstechnik. Steuerung. Regelung. Beim Steuern bewirkt eine Eingangsgröße eine gewünschte Ausgangsgröße (Die nicht auf den Eingang zurückwirkt.

Regelungstechnik. Steuerung. Regelung. Beim Steuern bewirkt eine Eingangsgröße eine gewünschte Ausgangsgröße (Die nicht auf den Eingang zurückwirkt. Regelungsechnik Seuerung Beim Seuern bewirk eine Eingangsgröße eine gewünsche Ausgangsgröße (Die nich auf den Eingang zurückwirk. Seuern is eine Wirkungskee Seuerkee (Eingahnsraße) Bsp. Boiler Regelung

Mehr

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2)

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2) Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 In iesem Teil er Reihe wollen wir anhan eines Zahlenbeispiels en Deomaionsgraienen als zenrale Größe zur Beschreibung er Deormaion in er Kinemaik

Mehr

gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft

gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft KA LK M2 13 18. 11. 05 I. ANALYSIS Leisungsfachanforderungen Für jedes > 0 is eine Funkion f gegeben durch f (x) = x + 1 e x ; x IR. Der Graph von f sei G. a) Unersuche G auf Asympoen, Nullsellen, Exrem-

Mehr

Wiederholung Exponentialfunktion

Wiederholung Exponentialfunktion SEITE 1 VON 9 Wiederholung Eponenialfunkion VON HEINZ BÖER 1. Regeln und Beispiele Der Funkionserm Eponenialfunkionen haben die Form f() = b a. Die y-achse wird bei b geschnien, denn f(0) = 0 b a = b 1

Mehr

Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Physikdeparmen E13 WS 211/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peer Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körsgens, David Magerl, Markus Schindler, Moriz v. Sivers Vorlesung 1.11.211,

Mehr

Übungsserie: Single-Supply, Gleichrichter Dioden Anwendungen

Übungsserie: Single-Supply, Gleichrichter Dioden Anwendungen 1. Mai 216 Elekronik 1 Marin Weisenhorn Übungsserie: Single-Supply, Gleichricher Dioden Anwendungen Aufgabe 1. Gleichricher In dieser Gleichricherschalung für die USA sei f = 6 Hz. Der Effekivwer der Ausgangspannung

Mehr