PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER PHYSIK

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1 r. ' " ' ". =... - ' '. - '.. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER PHYSIK VON ARNOLD SOMMERFELD! 6. AUFLAGE,1. -, BEARBEITET UND ERGÄNZT VON FRITZ SAUTER PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT KÖLN MIT47 FIGUREN C V LEIPZIG 1966 AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT GEEST & PORTIG K.-G.

2 Inhaltsverzeichnis Erstes Kapitel. FouRiERS.che Reihen und Integrale 1 1. FouniERSche Reihen 1 2. Beispiel einer unstetigen Funktion. GiBBSsches Phänomen und ungleichmäßige Konvergenz, 6 3. Zur Konvergenz der FouRiER-Reihen Übergang zum FousiERSchen Integral Entwicklung nach Kugelfunktionen Verallgemeinerungen 23 A. Oszillierende und oskulierende Approximation 23 B. Anharmonische FOÜRIER-Analyse 25 r-.-''. * Zweites Kapitel. Allgemeines über partielle Differentialgleichungen Vorkommen der einfachsten partiellen Differentialgleichungen Der elliptische, hyperbolische und parabolische Typus. Charakteristikentheorie Der Charakter der Lösungen von hyperbolischen, elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen 35 A. Hyperbolische Differentialgleichungen 35 B. Elliptische Differentialgleichungen 36 C. Parabolische Differentialgleichungen GREENScher Satz und GREENSche Funktion bei linearen, insbesondere elliptischen Differentialgleichungen 37 A. Definition des adjungierten Differentialausdrucks 37 B. Der GREENSche Satz, insbesondere bei einer elliptischen Differentialgleichung in der Normalform 39 C. Definition der Einheitsquelle und der Hauptlösung 40 D. Der analytische Charakter der Lösung einer elliptischen Differentialgleichung...'. r 41 E. Die Hauptlösung bei behebiger Dimensionszahl 42 F. Definition der GREENSchen Funktion bei selbstadjungierten Differengleichungen RIEMANNS Integration der hyperbolischen Differentialgleichung Der GREENSche Satz in der Wärmeleitung. Die Hauptlösung der Wärmeleitungsgleichung 49 Drittes Kapitel. Randwertaufgaben bei der Wärmeleitung, Der einseitig berandete lineare Wärmeleiter Das Problem der Erdtemperatür 62 ' 15. Das Problem des Ringes, Der beiderseits berandete lineare Wärmeleiter "... 67

3 X Inhalts Verzeichnis 17. Spiegelung in der Ebene und im Räum Eindeutigkeit der Lösung bei beliebig gestaltetem Wärmeleiter 75 Viertes Kapitel. Zylinder- und Kugelprobleme Die BEssELSchen und HANKELSchen Funktionen 77 A. Die BEssELSche Funktion und ihre Integraldarstellung 79 B. Die HANKELSchen Funktionen und ihre Integraldarstellung 81 C. Reihenentwick.ung im Nullpunkt 84 D. Rekursionsformeln, 89 E. Asymptotische Darstellung der HANKELSchen Funktionen Wärmeausgleich in einem Zylinder..93 A. Eindimensionaler Fall f == f(r) 94 B. Zweidimensionaler Fall f = f(r, <p) 96 C.. Dreidimensionaler Fall f = f(r, <p,z) Weiteres über Zylinderfunktionen 99 A. Erzeugende Funktion und Additionstheoreme 99, B. Integraldarstellungen nach BESSEL-Funktionen 101 C. Halbzahlige und drittelzahlige Indizes 103 D. Die Verallgemeinerung der Sattelpunktsmethode nach DEBYE Kugelfunktionen und Potentialtheorie 117 ' A. Die erzeugende Funktion 117 v. B. Differential- und Differenzengleichung 117 C. Die zugeordneten Kugelfunktionen 120 D. Über die zugeordneten Kugelfunktionen mit negativem Index m E. Kugelflächenfunktionen und Darstellung willkürlicher Funktionen F. Integraldarstellung der Kugelfunktionen 123 G. Eine Rekursionsformel für die zugeordneten Kugelfunktionen H. Zur Normierung der zugeordneten Kugelfunktionen 125 I. Das Additionstheorem der Kugelfunktionen Die GitEENSche Funktion der Potentialtheorie für die Kugel. Kugel- und Kreisprobleme bei anderen Differentialgleichungen 127 A. Geometrie der reziproken Radien 127 B. Die Randwertaufgabe der Potentialtheorie für die Kugel; das POISSONsche Integral '...;..,.., C. Allgemeines über die Transformation durch reziproke Radien 131 D. Die sphärische Spiegelung in der Potentialtheorie 132 ' E. Das Versagen der sphärischen Spiegelung bei der Wellengleichung Weiteres über Kugelfunktionen 134 A. Ebene Welle und Kugelwelle im Raum 134 B. Asymptotisches...; 4.y C. Die Kugelfunktionen als elektrische Multipole 140 D. Einiges über die hypergeometrische Funktion 143 E. Kugelfunktionen von unganzem Index 146 F. Kugelfunktionen zweiter Art 148 Fünftes Kapitel. Eigenfunktionen und Eigenwerte Eigenwerte und Eigenfunktionen der schwingenden Membran Allgemeines über die Randwertaufgaben der Akustik und der Wärmeleitung Freie und erzwungene Schwingungen. Die GnsENSche Funktion der Schwingungsgleichung 165

4 Inhaltsverzeichnis XI 28. Unendliches Gebiet und kontinuierliches Spektrum der Eigenwerte. Die Ausstrahlungsbedingung ) Das Eigenwertspektrum der Wellenmechanik. Der BALMERSche Term Die GnEENSche Funktion des wellenmechanischen Streuproblems. J)ie i RutHERFORDSche Formel der Kernphysik 188 Anhang I. Normierung der Eigenfunktionen im unendlich ausgedehnten Gebiet Anhang II. Ein neues Verfahren zur Lösung des äußeren Randwertproblems der Wellengleichung, dargelegt am Beispiel der Kugel' 197 A. Aufstellung der GREENSchen Funktion 197 B. Reguläre und singulare Eigenfunktionen 202 C. Die WATSON-Transformation '" 203 D. Die Rückstrahlung 206 Anhang III. Ebene Welle und Kugelwelle im unbegrenzten Raum beliebiger - Dimensionenzahl 208 A. Koordinatensystem und Bezeichnungen 208 B. Die Eigenfunktionen des unbegrenzten polydimensionalen-raumes C. Kugelwelle und GREENSche Funktion im polydimension'alen Raum D. Übergang von der Kugelwelle zur ebenen Welle 215 Sechstes Kapitel. Probleme der drahtlosen Telegraphie Der ÜERTzsche Dipol im homogenen Medium und über vollkommen lei- «tender Erde 218 A. Einführung des HERTzschen Dipols 218 B. Integraldarstellung der primären Erregung 220 C. Vertikal- und Horizontalantenne über einem unendlich gut leitenden Erdboden, 223 D. Symmetriecharakter der Felder von elektrischen und magnetischen Antennen Die Vertikalantenne über beliebiger Erde Eie Horizontalantenne über beliebiger Erde Mißweisung beim Anpeilen einer elektrischen Horizontalantenne Die magnetische oder Rahmenantenne Strahlungsenergie und Erdabsorption, 248 Anhang. Drahtlose Telegraphie auf der kugelförmigen Erde 256 Übungsaufgaben zu Kapitel I, Die Lage der Maxima und Minima in speziellen FouRiER-Näherungen Summation gewisser Reihen 260 I. 3. Entwicklung von sin x in eine Kosinusreihe 260 I. 4. Spektrale Zerlegung von gewissen einfachen Zeitabläufen 260 f I. 5. Beispiele zur Methode der komplexen Integration 260 I. 6. Man berechne die ersten HsRMiTESchen und LAGUERRESchen Polynome zu Kapitel II..261 IL 1. Elastischer Stab, offene und gedeckte Pfeife 261 II. 2. Zweite Form des GREENSchen Satzes 261 II. 3. Eindimensionale Potentialtheorie 261 II. 4. Anwehdung der für die Wärmeleitung entwickelten GREENSchen Methode auf die laminare Plattenströmung einer inkompressiblen reibenden Flüssigkeit 261

5 XII Inhaltsverzeichnis zu Kapitel III : 262 III. 1. Linearer Leiter mit äußerer Wärmeleitung nach FOURIER 262 III. 2. Die Normierungsbedingung bei der anharmonischen Analyse 263 III. 3. Experimentelle Bestimmung des Verhältnisses von äußerem und innerem Wärmeleitüngsvermögen X 263 III. 4. Bestimmung des Verhältnisses Wärmeleitfähigkeit x zu elektrischer Leiti fähigkeit a.' 263 zu Kapitel IV 263 IV.l. Potenzreihenentwicklung von J n {q) ( 263 IV. 2. Die sogenannten Umlaufrelationen für H^ und H%, 263 IV. 3. Die logarithmische Singularität von ZfJ(o) und Hjj(g) 263 IV. 4. Elementares Verfahren für die asymptotische Annäherung von H^(g) IV. 5. Entwicklung einer Funktion f(ö, <p) auf der Kugel 264 IV. 6. Abbildung der Keilanordnung von Fig. 16 in Kreismenisken IV. 7. a) Abbildung der planparallelen Platte in zwei sich berührende Kugeln, b) zweier konzentrischer Kugelnineine Ebene und eine Kugel 264 IV. 8. Berechnung zweier Aggregate von Zylinderfunktionen 265 IV. 9. Die asymptotische Formel für I (Q) im Grenzfall n > g > zu Kapitel V V. 1. Normierungsfragen., 265 V. 2. Der Gxusssche Satz vom arithmetischen Mittel in der Potentialtheorie V. 3. Summationsformeln, erstreckt über die Wurzeln von Zylinderfunktionen zu Kapitel VI. 265 VI. 1. Vertikal- und Horizontalantenne in der Höhe h über einem unendlich gut leitenden Boden 265 VI. 2. Verlauf der elektrischen KraftUnien bei einer ZENNECK-Welle in der Nähe der Erdoberfläche 266 VI. 3. Vereinfachte Berechnung der bei der Vertikal- und der Horizontalantenne zuzuführenden Leistung ; 266 Anleitung zur Lösung der Übungsaufgaben 267 Namen- und Sachregister, 296