Optimierung von Problemstellungen aus der diskreten und der Prozess- Industrie unter Verwendung physikalischer Verfahren

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1 Operung von roblesellungen aus der dskreen und der rozess- Indusre uner Verwendung physkalscher Verfahren Dsseraon zur Erlangung des Dokorgrades der Naurwssenschafen (Dr. rer. Na.) der Naurwssenschaflchen Fakulä II - hysk der Unversä Regensburg vorgeleg von Markus ucha aus Regensburg 004

2 Das rooonsgesuch wurde engerech a:. Jun 004 Dese Arbe wurde angelee von rof. Dr. Ingo Morgensern. rüfungsausschuss: Vorszender: rof. Dr. Dear Görz. Guacher: rof. Dr. Ingo Morgensern. Guacher: Dr. Henrch Braun 3. Guacher: rof. Dr. Uwe Krey weerer rüfer: rof. Dr. Uwe Krey Tern des rooonskolloquus: 3. epeber 004

3 Inhalsverzechns Inhalsverzechns Enleung Kapel roblesellung 3. Enleung...3. Maschne Alernave Maschnen Urüsen der Maschnen rodukonsze des Aufrags Zelche Bedngungen Zelche Bedngungen der Maschnen 5.6. Zelche Bedngungen der Aufräge Zelche Bedngungen zwschen Aufrägen 5.7 Mulressourcen Lager ausen Maschnenkosen...6. Losgröße...7. Zelkreren...7 Kapel Operungsverfahren 9. Enleung...9. Exake Verfahren Vollsändge Enueraon 9.. Branch&Bound (B&B) 0.3 Heursken Zufallssuche 0.3. Konsrukonsheursken Local earch.4 Deals zu den verwendeen Verfahren ulaed Annealng (A) 6.4. Threshold Accepng (TA) Erwarungswere für Observablen Abkühlsraege (Coolng chedule) Teperaure Bouncng (TB) A baserend auf der Akzepanzrae (Accepance A) 6

4 Inhalsverzechns Kapel 3 Modelle der rodukonsplanung 7 3. Abbldung auf en pnsyse Enleung Maschne N rodukonsvorgänge M Maschnen N rodukonsvorgänge Zelche Bedngungen zwschen rodukonsvorgängen Modellerung Jobhop Openhop Flowhop Zelche Bedngungen für de Maschnen Zelche Bedngungen für de rodukonsvorgänge Urüsen der Maschnen Maschnenkosen Mulressourcen Lager ausen Konfguraon Nachbarschaf Nachele des pnodells Modell dreker Repräsenaon Enleung Ressourcen rodukonsaufrag Konfguraon Nachbarschaf Aufbau des rodukonsplans (chedule) Operungszele 60 Kapel 4 Verglech der rodukonsplanungsodelle pnglasodellen pnglasodelle Das dredensonale ± J Edward-Anderson-Modell Das ± J herrngon-krkparck-modell Modelle zur ulaon von rodukonsplanungsprobleen pnodell Modell dreker Repräsenaon Zusaenfassung Kapel 5 Das MT0x0 roble roblesellung Modell Ergebnsse Erweerung Weere Jobhop-roblee Zusaenfassung... 9

5 Inhalsverzechns Kapel 6 chedulng under Labour Resource Consrans roblesellung Modell Ergebnsse Ergebnsse verschedener Verfahren aus der Leraur Ergebnsse der Verfahren A und GR Lb Zusaenfassung...04 Kapel 7 roducon Flow lannng wh Machne Assgnen roblesellung Modell Ergebnsse En-Tages-akee Mehr-Tages-akee Zusaenfassung...4 Kapel 8 Das Benchark Bench roblesellung Modell Theoresche Überlegungen zu uneren chranken Ergebnsse Verglech verschedener Nachbarschafen 8.4. Ergebnsse zu verschedenen roräen der Kreren Zusäzlche Akväslnks Modell Fxeres eggng Rehenfolgebezehung zwschen Aufrägen Veränderung der rodukonskapazäen Ergebnsse zur Kosenensparung Ergebnsse zur erweeren rodukonskapazä Hnzufügen erforderlcher Warungspausen Verglech anderen Verfahren Reduzerung der benögen araeer Zusaenfassung...44

6 v Inhalsverzechns Kapel 9 Der Wesenberger-Kallrah-Benchark roblesellung Modell Veränderungen an der Modellerungsfunkonalä Modellerung Ergebnsse Ergebnsse verschedener Verfahren aus der Leraur Ergebnsse des Verfahrens A Gegenübersellung der Ergebnsse der verschedenen Verfahren Verglech der Ergebnsse be fxerer Losgröße Bearbeung ener neuen Aufgabensellung Zusaenfassung... 6 Kapel 0 Das Fleßbandproble roblesellung Modell Konfguraon Kosenfunkon Nachbarschaf pnglasverhalen Bencharknsanzen CLb Heursken Lokale uche An Colony Opzaon (ACO) Ergebnsse Realssche roblesellung Zusaenfassung Zusaenfassung 83 Anhang 87 Anhang A - Flussdagrae Anhang B - uchrau... 9 B. uchrau und Nachbarschaf der Konfguraon 9 B. Ene Maschne 9 B.3 Mehrere unabhängge Maschnen 93 B.4 Mehrere alernave Maschnen 93 B5 Flowhop (onderfall ene Maschne) 94 B6 Flowhop (onderfall ehrere unabhängge Maschnen) 94 B7 Openhop 94 B8 Jobhop 94 Anhang C roducon Flow lannng... 95

7 Inhalsverzechns v Anhang D Bench D. Akväen 97 D. ulaonsdaen 98 D. roblensanzen 00 D.3 Lösungen 0 Anhang E Wesenberger-Kallrah...0 E. Akväen 0 E. Lösungen 07 Danksagung 5 Abbldungsverzechns 7 Tabellenverzechns 5 Leraurverzechns 33

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9 Enleung Enleung De opale Ausnuzung zur Verfügung sehender rodukonskapazäen s für Unernehen unerlässlch u de rodukonskosen zu senken und da de Webewerbsfähgke zu segern. Ene zelorenere durchdache lanung blde herfür de Grundlage. Ihre Aufgabe beseh zunächs enal darn den zu fergenden roduken bese rodukonsvorgänge zuzuordnen. Dese wederu üssen n ene weeren chr auf geegnee Maschnen verel werden wobe bese Zerahen fesgeleg werden. U erfolgrech zu sen s es für ene lanung außerde zwngend erforderlch ene Rehe von Nebenbedngungen zu beachen. o üssen bespelswese enzuhalende rodukonspausen alernav ensezbare Maschnen oder kapazäsbeschränke Lager berückschg werden. En wesenlches Zel dabe sell de Mnerung der Durchlaufze also der benögen rodukonsdauer dar neben der edoch auch de Verrngerung der Rüsze und de Enhalung der Leferfrs von großer Bedeuung snd. Weere Zele snd denkbar bespelswese de Mnerung anfallender Rüskosen de be der Rengung von Maschnen ensehen können. Dese Zele werden es n ener zu nerenden Kosenfunkon zusaengefass. Zur Lösung der roblesellungen soll en auf sasschen Verfahren aus der hysk baserender Operungsalgorhus enwckel werden. Zel deser Arbe s es en öglchs enfaches Verfahren zu fnden Hlfe dessen an n öglchs kurzen Rechenzeen öglchs gue Ergebnsse für realssche roblesellungen erhalen kann. Oder anders ausgedrück: Es wrd nch nach ene koplexen Verfahren gesuch das auf ene sark verenfachen egens konsrueren akadeschen Benchark n belebg langer Rechenze en Opu fnden und de Opalä der gefundenen Lösung bewesen kann. Zusäzlch wrd versuch de für den Algorhus nögen araeer auoasch zu seuern so dass de ulaonen nachde das Modell von ene Experen ersell wurde auch von rodukonsplanern de Operungsprobleen nch verrau snd durchgeführ werden können. En gues Verfahren allen garaner edoch nch den Erfolg. Ebenso wchg s de Darsellung des Operungsprobles n For enes Modells. I Modell werden de für lokale uchverfahren benöge Nachbarschaf und de Abbldung der Nebenbedngungen fesgeleg. Dese üssen auf das Verfahren zugeschnen sen. o s ene günsge Kobnaon aus Modell und darauf arbeende Operungsverfahren erforderlch u erfolgrech Operungsproblee besöglch zu lösen. Das Modell soll dabe de benöge Funkonalä für ene Velzahl an roblesellungen zur Verfügung sellen so dass de erselle ofware n ene breen roblefeld ohne spezelle Anpassungen engesez werden kann. Zu den andardproblesellungen aus de Berech chedulng den Jobhop- und Flowhop-robleen soll vor alle noch de Funkonalä ener varablen Losgröße zur Verfügung gesell werden. Des soll edoch nch zu ener eerlegenden Wolllch-

10 Enleung sau führen deren Hlfe sälche denkbare roblesellungen besser gelös werden können als auf enzelne Operungsproblee spezalsere Verfahren. Ene Erweerung der Modellerung auf bese roblesellungen kann n Enzelfällen durchaus erforderlch sen. Geese wrd de so erselle Kobnaon aus Modell und darauf arbeende Verfahren an verschedenen realsschen Bencharks aus de Berech der rozessndusre und der dskreen Indusre. Dabe werden roblesellungen verschedener Fren verwende de de Funkonalä ehrerer zu Tel real exserender rodukonsanlagen enander kobneren u den Ensaz verschedenser Verfahren hnschlch hrer Bedürfnsse zu verglechen. De Arbe s n zehn Kapel aufgeel. In Kapel wrd de zugrundelegende roblesellung der rodukonsplanung der benögen Funkonalä erläuer. Kapel gb enen kurzen Ü- berblck über Verfahren de zur Lösung der gesellen Aufgabe verwende werden können und erläuer de n deser Arbe verwendeen Verfahren aus de Berech Local earch. In Kapel 3 werden zwe grundsäzlch unerschedlche Ansäze gezeg deren Hlfe sch rodukonsplanungsproblee abblden lassen. Es handel sch dabe u en Modell baserend auf ener pndarsellung wobe de esen der Nebenbedngungen als rafer n der Kosenfunkon odeller snd und en Modell ener dreken Repräsenaon der benögen Funkonalä be de de esen Nebenbedngungen von eder Lösung beache werden. En Verglech der be ulaed Annealng eperaurabhänggen Observablen wrd n Kapel 4 zwschen verschedenen Modellen enes pnglases und der zwe zuvor beschrebenen Modelle für rodukonsplanungsproblee durchgeführ. In den Kapeln 5 bs 8 wrd das erarbeee Modellerungs- und Operungskonzep auf verschedenen roblesellungen geese. Neben enfachen Jobhop-robleen wobe sch der Begrff enfach her auf de benöge Funkonalä bezeh werden vor alle Bencharks der BAF AG und A AG ausführlcher dskuer. I folgenden Kapel 9 wrd de beres erwähne Funkonalä der varablen Losgrößenplanung de Modell als Funkonalä hnzugefüg und anhand ener koplexen roblesellung von H. Wesenberger und J. Kallrah ([9.]) das n ener Kooperaon der BAF AG und der Bayer AG ensand geese. I zehnen Kapel werden schleßlch verschedene Modellerungen für ene roblesellung aus der dskreen Indusre de Fleßbandproble vorgesell.

11 roblesellung 3 Kapel roblesellung. Enleung Das her berachee rodukonsplanungsproble beseh aus n Aufrägen de auf Maschnen bearbee werden. En rodukonsplan leg de rodukonsnervalle der enzelnen Aufräge auf den Maschnen fes. Der rodukonsplan s gülg falls sch de rodukonsnervalle enes Aufrages und de rodukonsnervalle der Aufräge auf ener Maschne nch überschneden. En Aufrag kann so nch auf ehreren Maschnen glechzeg bearbee werden und ene Maschne kann nur enen Aufrag zu ener besen Ze bearbeen. Zusäzlch uss en gülger rodukonsplan noch weere problespezfsche Resrkonen enhalen. Zu desen Resrkonen gehören zelche Bedngungen sekundäre Ressourcen Lager usw.. Das rodukonsplanungsproble wrd durch de Maschnen Aufräge und Resrkonen bes (sehe dazu auch [.]). De enzelnen benögen Funkonaläen werden Folgenden der Rehe nach engeführ.. Maschne Be ehreren Maschnen unerschede an de roblesellung nach der Rehenfolge n der de Maschnen von den Aufrägen benög werden: Exser ene fese für alle Aufräge gülge Rehenfolge so bezechne an das roble Allgeenen als en Flowhop-roble. Unerscheden sch de Rehenfolgen der enzelnen Aufräge vonenander so handel es sch u en Jobhop-roble. Exser kene fese Rehenfolge so ha an en Openhop-roble zu bearbeen be de neben den rodukonsnervallen noch de Rehenfolge n der de Maschnen benög werden für eden Aufrag feszulegen snd. Neben desen dre andard-roblesellungen exseren be real vorkoenden roblesellungen naürlch noch roblee de aus ener Kobnaon der beschrebenen Bedngungen besehen. Zusäzlch kann es vorkoen dass anche Aufräge nch alle Maschnen benögen we z.b. Wesenberger-Kallrah-roble (vgl. Kapel 9).

12 4 roblesellung.3 Alernave Maschnen a ener enzelnen Maschne kann auch ene Gruppe von Maschnen exseren de alernav zuenander de rodukon durchführen können. olche alernaven Maschnen werden n rodukonssufen zusaengefass. Be den rodukonsprobleen sprch an be alernaven Maschnen dann vo Flexble-Flowhop Flexble-Jobhop oder Flexble-Openhop-roble..4 Urüsen der Maschnen Zwschen der Ausführung der enzelnen Aufräge auf ener Maschne kann ene Rengung oder Urüsung nög sen. Dadurch wrd de Maschne auf de Ausführung enes anderen Aufrags vorberee (z.b. Ausausch enes Werkzeugs an der Maschne). De Dauer des Rüsvorgangs kann dabe von der Maschne und der Rehenfolge der zu fergenden Aufräge abhängen. Telwese snd be der Urüsung noch zelche Bedngungen zu beachen so s z.b. be Wesenberger-Kallrah ene Rengung auf eden Fall durchzuführen falls nach de Ende enes Aufrags nch sofor en anderer Aufrag gesare wrd. Zusäzlch zur Rüsdauer können Kosen be der Urüsung aufreen z.b. Maeral- und Energeverbrauch oder de Ensorgung anfallender Ressoffe. Neben desen unelbaren Ausgaben besehen de Rüskosen noch aus sog. Opporunäskosen. Daruner verseh an de Deckungsberäge de de Unernehen deshalb engehen wel de Anlage während der Rüsze nch produzeren kann. Da de Fergungskapazäen regeläßg knapp snd beseh der überwegende Tel aus Opporunäskosen. De Besung deser Kosen s es probleasch. Be der Operung werden deshalb be den Rüskosen nur de unelbaren Kosen berache..5 rodukonsze enes Aufrags De rodukonsze enes Aufrags s abhängg von den Egenschafen des Aufrags und denen der zur rodukon gewählen Maschnen. Manche Maschnen snd neuerer Bauar und deshalb schneller be Bearbeen des Aufrags..6 Zelche Bedngungen Es exseren zelche Bedngungen für de Maschnen und Aufräge de n der Regel srk enzuhalen snd. Ene Verlezung des Lefererns (vgl. Kapel.6.) kann uner besen Usänden edoch zulässg sen. De Mnerung solcher Verlezungen sell dann en weeres Operungszel dar.

13 .6 Zelche Bedngungen 5.6. Zelche Bedngungen der Maschnen Be der lanung snd frühes öglche Zepunke ab denen de Maschnen für de rodukon ensezbar werden zu beachen. Folgende Usände können desen Zepunk beenflussen: Aufgrund vorhergehender lanung kann es sen dass ene Maschne bs zu ene besen Zepunk beres ausgelase also nch verfügbar s (rollerende lanung). Be der Neuanschaffung ener Maschne seh dese ers nach hrer Akverung zur Verfügung. Durch de Warung ener Maschne kann es zu längeren Ausfallzeen koen..6. Zelche Bedngung der Aufräge Be den Aufrägen kann neben de frühesen arzepunk auch das lezöglche Ende der rodukon vorgegeben sen. I Unersched zu frühesen arzepunk (release dae) der er enzuhalen s unerschede an be de lezen rodukonszepunk de Leferzepunk zwschen ener deadlne de be der rodukon ebenfalls ene hare chranke darsell und ene due dae ener wechen chranke de nch unbedng engehalen werden uss deren Enhalung aber wünschenswer s. Je nachde we wchg de Enhalung der wechen Leferfrs (due dae) s lassen sch verschedene roräen defneren. De zelchen Bedngungen können von folgenden Gegebenheen beenfluss werden: Benöge Maeralen/Rohsoffe sehen noch nch zur Verfügung und werden ers zu ene besen Zepunk gelefer. Des verzöger woöglch de Ausführung der Aufräge und erhöh evl. deren frühes öglchen arzepunk (release dae). Ene Nchenhalung der fesen Leferfrs (deadlne) führ zu Usazverlusen da der Kunde senen Aufrag zurückzeh (los sales). Ene Überschreung der wechen Leferfrs (due dae) bedng ene Konvenonalsrafe bzw. Verzugskosen. Zusäzlch s en Iageverlus de Folge der de Hnwendung des Kunden zu ener konkurrerenden Fra wahrschenlch ach (goodwll Verlus)..6.3 Zelche Bedngung zwschen Aufrägen Falls Maeral zwschen verschedenen Aufrägen ausgeausch wrd ko es zu zelchen Bedngungen zwschen den Aufrägen. En Aufrag kann z.b. ers dann saren wenn en anderer der Rohsoffe lefer beres elwese oder vollsändg abgearbee s. Neben deser Mnalabsandsbedngung be der en naler Absand zwschen Zepunken der Aufräge (z.b. den arzepunken) fesgeleg wrd exseren noch Maxalabsände. Nög können solche Maxalabsände öglcherwese aufgrund von Verfallszeen (shelf lve e) von Maeralen werden. En solcher Maxalabsand kann dazu führen dass zwe Aufräge drek nachenander auszuführen snd falls z.b. Maeralen nch gelager werden können.

14 6 roblesellung.7 Mulressourcen Neben den beres engeführen Maschnen de nur ewels enen Aufrag glechzeg ausführen können bedarf es öglcherwese zusäzlch noch weerer Ressourcen. Dabe kann es sch z.b. u Arbeskräfe oder erforderlches Werkzeug handeln de evenuell glechzeg von ehreren Maschnen benög werden. Jede deser Mulressourcen besz ene zeabhängge Kapazä. De für ene Aufrag benöge Kapazä kann ebenfalls zeabhängg sen. ehen alernave Mulressourcen zur Verfügung so kann es sen dass de Wahl der Mulressource de rodukonsze beenfluss z.b. durch Experen-Arbeer de enen Arbesvorgang schneller durchführen können als de noralen Arbeskräfe..8 Lager Lager denen zur Aufbewahrung anfallender Zwschen- und Endproduke und können enen axalen Füllsand und/oder enen Mndesfüllsand aufwesen. Es gb Lager n denen nur en Maeral gelager werden kann (z.b. los) oder solche n denen verschedene Maeralen glechzeg gelager werden können (z.b. Kühlhäuser; her werden de Maeralen verpack auf aleen gelager). De bshergen Funkonaläen. bs.8 werden Allgeenen auch als MRC (Mul- Mode Resource Consraned roec chedulng roble) bezechne..9 ausen ausen reen auf wenn es zu rodukonsunerbrechungen ko. Des kann n Magspausen nch vorhandenen Nachschchen oder a Wochenende der Fall sen. Manche der ausen sorgen für ene hare rodukonsunerbrechung be der kener der Aufräge unerbrochen werden darf d.h. wrd en Aufrag vor ener solchen ause begonnen so uss er auch vor der ause beende werden. Andere ausen erlauben ene auserung be der rodukon d.h. Aufräge dürfen vor der ause begonnen werden und können nach der ause weerbearbee werden. De rodukonsze des Aufrags wrd dabe u de ausendauer erhöh. Allerdngs gb es Aufräge de neals durch ausen unerbrochen werden dürfen z.b. wel Reakonen fes vorgegebener Reakonsze safnden..0 Maschnenkosen Be der Benuzung enzelner Maschnen Mulressourcen oder Lager kann es zu Kosen koen. Ene Maschne älerer Bauar benög öglcherwese ehr Energe be der rodukon oder erzeug höhere Warungskosen.

15 . Losgröße 7. Losgröße Uner ener Losgröße enes Aufrags verseh an de Menge der durch den Aufrag hergesellen roduke. De Losgröße enes Aufrags kann be der lanung fesgeleg sen (fxere Losgröße) o- der ers durch dese bes werden (varable Losgröße) wobe de Losgröße nnerhalb beser Grenzen fre gewähl werden kann ohne dabe de rodukonsdauer des Aufrags zu verändern. Dese Grenzen snd n der cheschen Indusre z.b. vorgegeben durch de axale Kapazä oder de Mndesfüllenge enes Reakonsgefäßes.. Zelkreren Be der Operung n der rodukonsplanung sollen de Kosen der rodukon gesenk werden. Da dese Kosen n der Regel nch drek erelbar snd sreb an de Operung zebezogener Zele an. Neben der Durchlaufze der andard-roblee exseren be den esen realen robleen verschedene andere Zele unerschedlchen roräen de be der Operung zu beachen snd. a) Durchlaufze (akespan): Uner der Durchlaufze soll weeren Verlauf der Arbe de Zespanne zwschen de Begnn der rodukon und der Fergsellung aller Aufräge also de gesae rodukonsdauer versanden werden. De Mnerung der Durchlaufze sell en wesenlches Zel der lanung dar. Ene Verkürzung der Durchlaufze führ zu ener besseren Auslasung der Maschnen und da zu ener erhöhen Effzenz. De relaven rodukonskosen der Aufräge snken. b) Verspäung (laeness): Ene Verspäung sell ene Verlezung der wechen Leferfrs (due dae) enes Aufrags dar. Her unerschede an zwschen: der ue der gewcheen Verspäungen der axalen Verspäung und der Anzahl der Verspäungen. Man s besreb de vorgegebenen Fergsellungserne enzuhalen da be ener Überschreung derselben Kosen zu rechnen s (vgl. Kapel.6.). Ene Operung erfolg Hlfe enes oder ehrerer der angesprochenen Zele. c) Rüszeen (seup e) De Reduzerung der Rüszeen (vgl. Kapel.4) soll ene Reduzerung der Opporunäskosen zur Folge haben da be knappen Fergungskapazäen ener egerung der rodukvä der Anlage be reduzeren Rüszeen gerechne werden kann.

16 8 roblesellung d) Rüskosen (seup cos) De Mnerung der ue der anfallenden Rüskosen (vgl. Kapel.4) sell en weeres Operungszel dar. e) Maschnenkosen Werden besen Maschnen vruelle Kosen zugeordne so kann nach ener ulaon de Operungszel der Mnerung der Maschnenkosen (vgl. Kapel.0) fesgesell werden ob dese Maschnen für de rodukon benög werden.

17 Operungsverfahren 9 Kapel Operungsverfahren. Enleung Be den Folgenden dargesellen chedulng robleen wrd nach ener Lösung gesuch deren Kosen nal snd. De Darsellung des Operungsprobles erfolg els ener Konfguraon. De Menge aller Konfguraonen wrd als Konfguraonsrau K bezechne. Is K endlch oder abzählbar unendlch so sprch an von ene kobnaorschen Operungsproble. Durch ene Zelfunkon f z : K R werden eder Konfguraon Kosen zugeordne. Ene Konfguraon k K s en globales Opu falls hre Kosen nal snd ( f ( k ) f ( ) K ).. Exake Verfahren.. Vollsändge Enueraon De konzepuell enfachse Mehode alle global opalen Lösungen zu fnden beseh darn den gesaen Konfguraonsrau abzusuchen. De exake Enueraon s be realsschen robleen es nch öglch da beres be klenen roblesellungen K sehr groß s. Angenoen an ha en Operungsproble n bnären Enschedungsvarablen und de benöge Rechenze für de Berechnung der Zelfunkon beräg 0-0 ekunden so würde an de n Tabelle. angegebene Gesarechenze für ene vollsändge Enueraon benögen. n ekunden 3 unden. 0 Jahre Jahre Tabelle.: Benöge Rechenze () für de vollsändge Enueraon be ener roblesellung n bnären Enschedungsvarablen (z.b. Isng-pns) falls de Berechnung ener Lösung 0-0 ekunden benög. Insgesa gesehen s es beres be leren roblesellungen zwschen 50 und 75 bnären Enschedungsvarablen unöglch deses roble zu lösen. Auch be kleneren roblesellungen kann deses Verfahren be begrenzer Rechenze nch durchgeführ werden.

18 0 Operungsverfahren.. Branch&Bound (B&B) En globales Opu läss sch öglcherwese auch fnden ohne alle Konfguraonen zu beweren. Be dese Verfahren werden de beden folgenden Koponenen benög: Branchng De Konfguraonen blden de pzen der Äse ener Bausrukur. Jede Verzwegung/Knoen sell bese yseegenschafen dar de alle Konfguraonen beszen de von dese Knoen aus errech werden können. Boundng Es exser en Verfahren das für eden Knoen ene unere chranke für de Lösungsqualä angeben kann de für alle von dese Knoen errechbaren Konfguraonen gl. Ene obere chranke für de Lösungsqualä ergb sch aus der besen bsher gefundenen Konfguraon. Is nun de unere chranke enes Knoens größer als de obere chranke so kann der Telbau uner dese As abgeschnen werden. De errechbaren Konfguraonen üssen nch ehr beache werden da hre Lösungsqualä schlecher s als de der besen bsher gefundenen. Durch geegnee Wahl des branchng und des boundng kann so de Anzahl der zu bewerenden Konfguraonen engeschränk werden und da de roblesellung n verrebarer Rechenze gelös werden. Allerdngs s her nch schergesell dass ede auf ener Insanz der roblesellung erfolgreche Wahl auf anderen Insanzen der glechen roblesellung ebenso erfolgrech s. Uner erfolgrech wrd her ene öglchs kurze Rechenze versanden..3 Heursken.3. Zufallssuche De enfachse wenn auch nch unbedng erfolgrechse Heursk s de Zufallssuche. Be deser werden aus K zufällg Lösungen gewähl und de bese gespecher. Allerdngs kann an dabe nch scher sen en globales Opu gefunden zu haben. Mes s de auf dese Wese erreche Lösungsqualä nch besonders überzeugend..3. Konsrukonsheursken Dese Heursken versuchen schrwese ene Lösung aufzubauen. Ähnlch der Vorgehenswese enes Menschen wrd dabe ede neue Koponene öglchs opal n de beres besehende Tellösung negrer. o wrd be BesInseron ([.]) en Or n ene T (ravellng salesperson proble) an der elle n ene noch unvollsändge Tour ensez an der er de gesae Wegsrecke a wengsen vergrößer. Be equenzprobleen n der Auooblndusre versuch an de nächse zu planende oson ene Fahrzeug zu belegen das de wengsen (gewcheen) Resrkonen verlez (sehe dazu z.b. [.]).

19 .3 Heursken Be chedulng-robleen we se n deser Arbe dskuer werden werden bese zu planende Operaonen nach hren Egenschafen prorser und dann nachenander akv oder seakv (vgl. Kapel ) n den beres besehenden lan engefüg. Dabe gb es de verschedensen Vorgehenswesen (vgl. z.b. [.3] [.4]) de davon abhängg snd welche Funkonaläen vorhanden snd. De enzelnen Vorgehenswesen unerscheden sch bespelswese dadurch vonenander dass zunächs Operaonen kürzeser rodukonsdauer längser rodukonsdauer klense Leferzepunk der gerngsen Zespanne zwschen frühese und späese arzepunk (z.b. gegeben durch Leferzepunk) längser Reslaufze gegeben durch de rodukonsdauern der Nachfolger größe Ressourcenverbrauch oder den esen dreken Nachfolgern geplan werden. Exseren verschedene Möglchkeen ene Operaon auszuführen so kann an deenge kürzeser rodukonsdauer nale Verhälns von Ressourcenbedarf zu Ressourcenkapazä oder nale Verhälns von Ressourcenauslasung zu Ressourcenkapazä wählen. I Folgenden werden Verbesserungsheursken vorgesell de ausgehend von ener vollsändgen Lösung durch Veränderungen ene weere erzeugen und so versuchen schrwese de Lösungsqualä zu verbessern..3.3 Local earch (L) L sare ener belebgen gülgen Lösung und versuch dese schrwese zu verbessern. Dazu werden Veränderungen an der akuellen Lösung vorgenoen und els enes Auswahlkrerus enscheden welche davon bebehalen werden sollen. De erlauben Veränderungen defneren de Nachbarschaf N Konfguraonsrau. Jede Konfguraon aus der Menge N( k ) K s dabe en Nachbar der Konfguraon k. Verknüpf an den Konfguraonsrau der Nachbarschafssrukur so erhäl an den uchrau. De Bewerung aller Konfguraonen uchrau hrer Zelfunkon ergb de Energelandschaf. Be L beweg an sch nun schrwese durch k' N k. desen uchrau Hlfe der Moves de aus ener Konfguraon k k erzeugen wobe ( ) Ene Konfguraon k s en lokales Opu falls ( f ( k) f ( ) N( k) ). De Menge der lokalen Opa häng so Unersched zu den globalen Opa sehr sark von der gewählen Nachbarschaf ab. Uner ener Ebene oder ene laeau soll Folgenden ene Konfguraon k f k = f N k. versanden werden de bzgl. hrer Nachbarn de gleche Energe besz ( ( ) ( ) ( )) Nach der obgen Defnon sell ene solche Konfguraon (Ebene/laeau) en lokales Opu

20 Operungsverfahren dar. Es soll nun noch en srkes lokales Opu k defner werden durch ( f ( k' ) < f ( ) N ( k' )). Deses exser edoch nch unbedng. De folgenden Verfahren können de Berech L zugeordne werden. e unerscheden sch es n der Akzepanzwahrschenlchke der vorgenoenen Veränderungen. Zur verefenden Leküre der folgenden Verfahren been sch u.a. folgende Werke an: [.5] [.6] Rando walk Be der uche wrd ede Lösung akzeper. De bese wrd dabe gespecher. Dese lokale uche s es den folgenden Versonen unerlegen. Nur be schwergen roblesellungen be denen de Nachbarschaf de uche nch unersüz z.b. be golf-hole-robleen schneden de folgenden Verfahren ähnlch schlech ab. Golf-hole-roblee snd solche be denen de guen Konfguraonen verenzel uchrau legen und zu all hren Nachbarn hohe Kosendfferenzen aufwesen. Der rando walk ensprch ener Zufallssuche (vgl. Kapel.3.) Greedy (GR) Be GR-Verfahren werden be der uche grundsäzlch nur Veränderungen akzeper de Verbesserungen herbeführen. Man unerschede dabe zwschen den frs proveen raegen be denen de erse Lösung aus der Nachbarschaf N(k) akzeper wrd de besser s als k und den bes proveen raegen be denen de bese Lösung aus N(k) akzeper wrd wenn se besser als k s. Be beden raegen wrd de uche späesens abgebrochen sobald en lokales Opu gefunden s. Ene enfache Möglchke lokalen Opa zu enkoen de laeaus darsellen beseh darn neben den verbessernden Veränderungen auch solche zu akzeperen de de Lösungsqualä nch verschlechern. Her wrd de uche dann nch ehr nowendgerwese n ene lokalen Opu beende sondern nur noch n srken lokalen Opa. Es kann nun vorkoen dass zu Ende der uche ene Menge an Lösungen K endlos durchsuch wrd für de gl: ( f ( k ) = f ( ) k K' ). o solle noch en weeres Kreru zu Beenden der uche fesgeleg werden z.b. de axale Anzahl an erzeugen Lösungen. Dese Varane des frs proveen konne be Ensaz be chedulng robleen Verbesserungen gegenüber der anfangs defneren GR-raege erzelen ([.7]). I Verglech zu anderen Verfahren (z.b. ulaed Annealng (A)) konne sch GR edoch nch als egensändges Operungsverfahren behaupen. Nur be solchen robleen de wenge Täler uchrau beszen arbee deses Verfahren wrklch erfolgrech. Mes wrd GR n Kobnaon anderen Verfahren engesez u en lokales Opu n der Nachbarschaf ener gegebenen Lösung zu fnden z.b. a Ende der ulaon A ulaed Annealng (A) und Threshold Accepng (TA) M den GR raegen s es nch öglch aus (srken) lokalen Opa zu enkoen. De beden raegen A und TA versuchen desen Nachel auszuglechen nde auch schlechere Lösungen akzeper werden. En Konrollparaeer seuer we sark de Verschlecherung sen darf. Grundsäzlch werden a Anfang größere Verschlecherungen akzeper als gegen Ende der ulaon. Dese Heursken werden n Kapel.4 ausführlcher dskuer.

21 .3 Heursken Grea Deluge Algorh (GDA) Her wrd das bblsche zenaro ener nflu suler wobe Noah desal ohne sene Arche versuch den höchsen Gpfel rockenen Fußes zu errechen. Be der Operung such an den efsen unk n der Energelandschaf ähnlch ene Fsch n ene ausrocknenden Tüpel d.h. der Wassersand begnn be ene hohen Wer und snk schleßlch bs das yse n ene lokalen Opu gefangen s. Be dese nflualgorhus ([.8] [.9] [.0]) werden be der lokalen uche alle Lösungen akzeper deren Zelfunkonswer unerhalb der gegebenen chwelle leg unabhängg von der Qualä der vorhergehenden Lösung. Deses Verfahren ha den Nachel be efe chwellwer n lokalen Opa enzufreren. Der Absenkung der chwelle uss deshalb besondere Beachung geschenk werden. Ene Inselbldung be hohe chwellwer kann durch de Wahl ener geegneen Nachbarschaf verhnder werden. I Verglech zu A konne GDA leder nch erfolgrech auf rodukonsplanungsproblee angewende werden ([.7]). GDA konverger allgeenen langsaer als A Tabu earch (T) Falls Unersched zu GR noch Lösungen akzeper werden de kene Verbesserung ergeben u aus lokalen Opa zu enkoen r nun das roble auf dass beres beweree Lösungen evl. nochals bewere werden. I schlsen Fall ensehen dadurch Zyklen be der uche. U des zu verhndern soll daher en Gedächns defner werden das zusäzlch zur besen Lösung der akuellen Lösung und deren Nachbarschaf weere Inforaonen über de bsherge Lösungssuche specher. Be der weeren uche werden dese Inforaonen ewels genuz u de Nachbarschaf der akuellen Lösung zu verklenern. De Nachbarschaf s deshalb abhängg von der bshergen uche weshalb an deses Verfahren auch der Gruppe der dynac neghborhood search echnques zuordnen kann. Ene deallerere Erklärung zu T s z.b. n [.] zu fnden. De folgenden Koponenen werden benög: Tabu Lse In deser Lse werden Lösungen gespecher de nächsen chr nch akzeper werden. Dese Lse wrd be ede chr akualser s dabe aber nch nowendgerwese er von der glechen Länge. Is das pechern ganzer Lösungen zu aufwendg kann de Lse auch Nachbarschafsoperaoren geblde werden de nächsen Zug nch ausgeführ werden. Dadurch werden edoch öglcherwese auch Lösungen verboen de noch nch bewere wurden. Es exser deshalb en Kreru (aspraon level condon) solche Lösungen dennoch zu akzeperen. Aspraon level condon Deses Kreru sorg dafür dass Lösungen akzeper werden de durch de Tabu Lse egenlch verboen snd. De enfachse Bedngung erlaub Lösungen de besser snd als de bese bsher gefundene. Akzepanzkreru Deses Kreru seuer welche der Lösungen aus der verrngeren Nachbarschaf akzeper werden. Ähnlch zu A werden auch Lösungen akzeper de ene Verschlecherung zur akuellen Lösung darsellen.

22 4 Operungsverfahren Inensfcaon - dversfcaon Bsher wurde das Gedächns verwende u ene Rückkehr zu beres bewereen Lösungen zu verhndern. Nun wrd das Gedächns darüber hnaus noch engesez u bese Regonen abzusuchen. Durch enen zusäzlchen Ter n der Zelfunkon werden Lösungen bevorzug de nahe ener besen Lösung legen (nensfcaon) oder solche de weng geensa haben ener besen Lösung (dversfcaon). o kann an abwechselnd zuers n der Nähe ener besen Lösung ene nensve uche durchführen u dann weder n enen anderen Tel des uchraus zu sprngen Genescher Algorhus (GA) und Evoluonssraegen (E) Dese Verfahren snd angelehn an de geneschen Algorhen von Holland [.] und de Evoluonssraegen von Rechenberg [.3]. e nuzen Konzepe aus der Genek und der Evoluonsheore u de Fness ener opulaon aus Indvduen els Kobnaon und Muaon hrer Gene zu operen. Es exseren vele verschedene Ansäze dese Ideen auf kobnaorsche Operungsproblee anzuwenden z.b. [.4] [.5]. Grundsäzlch wrd be desen Verfahren ener Menge an Lösungen den Indvduen gearbee de als opulaon bezechne wrd. En Operungsschr auch Generaon genann beseh dann darn aus der gegebenen opulaon Indvduen auszuwählen (elekon) und Nachkoen Hlfe von Nachbarschafsoperaoren zu erzeugen. Es wrd dabe enweder en Indvduu uer (uaon) oder de Inforaon von ehreren kobner an de Nachkoen übergeben (crossover). Welche der Indvduen Elern und/oder Nachkoen n de opulaon der nächsen Generaon übergeben werden bzw. überleben seuer en elekonsechansus (survval of he fes). De uche wrd erner falls en beses Kreru erfüll s z.b. de axale Anzahl der Generaonen Ieraed Local earch (IL) Uner IL verseh an de erave Anwendung von L. Ansa sch we be L Konfguraonsrau zu bewegen beseh de Nachbarschaf nun aus lokal opalen Lösungen de durch en Verfahren baserend auf L Folgenden rounel genann ersell werden. Man kann dese uche nun ähnlch de L seuern und erhoff sch dabe Verbesserungen gegenüber ener Zufallsuche (rando resar). Insgesa gesehen handel es sch also u en L Verfahren Rau der lokal opalen Lösungen. IL wurde beres n verschedenen Operungsberechen engesez. Ene Anwendung des Verfahrens auf rodukonsplanungsproblee kann an z.b. n [.6] nachlesen. Es werden de folgenden ver Koponenen benög ([.7] [.8]): Inallösung Des s de erse Lösung Konfguraonsrau auf de rounel angewende wrd. I enfachsen Fall handel es sch u ene zufällge Lösung. e kann aber auch von anderen Verfahren erzeug werden. Mes s es von Vorel ener guen Lösung zu saren edoch solle an de dafür aufgewendee Rechenze nch außer ach lassen.

23 .3 Heursken 5 rounel Her können de verschedensen Verfahren engesez werden de Konfguraonsrau ausgehend von ener Inallösung en lokales Opu fnden. Neben enfachen GR-Heursken können der LnKernghan (z.b. für das T [.9]) oder auch ausgefelere Heursken we z.b. A oder T engesez werden. Her gl Grunde das Gleche we be der Inallösung; es s besser en gues Verfahren enzusezen edoch solle de dazu verwendee Rechenze beache werden. Es kann sen dass es sch als Vorel erwes ene schnelle Heursk öfers anwenden zu können als ene gue aber langsae. Veränderung (erurbaon) e den dazu aus den lokalen Opa zu enkoen nde se ene Lösung Konfguraonsrau erzeug. De Größe der Veränderung s dabe ene wchge Egenschaf. Is de Veränderung zu klen so lande de anschleßende rounel glechen lokalen Opu. Is se zu groß wrd de nächse rounel von ener fas zufällgen Lösung aus saren. Es handel sch dann u ene nch gewünsche Zufallssuche. Akzepanzkreru Ähnlch zur L wrd nun noch en Auswahlkreru benög das enschede ob ene neue lokal opale Lösung akzeper wrd oder ob de uche be der zulez gefundenen erneu gesare wrd. Her kann en Greedy-Kreru ausrechend sen. I Gegensaz dazu kann auch ede Lösung akzeper werden. Des führ dann zu ener Zufallssuche Rau lokal opaler Lösungen. De Auswahl des Akzepanzkrerus enschede ob de uche eher nensfcaon o- der dversfcaon bewrk. Mes s es von Vorel en Kreru zu wählen das zwschen den beden Exrea leg Run&Recreae (R&R) De IL ähnlch s der Ansaz des R&R. Begnnend ener Inallösung wrd n ede chr en Tel der akuellen Lösung zersör (Veränderung) und dann neu aufgebau (rounel). Ob de so erzeuge neue Lösung akzeper wrd enschede en Akzepanzkreru. Dabe werden de folgenden Koponenen benög: Inallösung Es solle her nch ener zufällgen Lösung begonnen werden. Zu epfehlen s es ene Lösung de de Recreae verwendeen Ansaz erzeug wrd. Run Es werden bese Tele aus ener vollsändgen Lösung enfern. Anhand des T werden n [.0] verschedene Vorgehenswesen vorgesell. Neben de zufällgen Enfernen von Oren aus der Rundour können auch solche der Tour ennoen werden de benachbar snd. De Anzahl der ennoenen Tele aus der Lösung ensprch her ene araeer. Es epfehl sch nch ehr als 50% der Lösung zu verändern. Recreae De aus der Lösung enfernen Tele werden n dese Tel weder n de Lösung negrer. Be T gescheh des n [.0] nde an enen Or zufällg aus der Menge der ennoenen Ore auswähl und hn an der elle n de Tour enfüg an der er se a wengsen verlänger.

24 6 Operungsverfahren De rchge Kobnaon aus Run und Recreae s be dese Verfahren kene rvale Aufgabe. Nch ede Kobnaon aus ene günsgen Run ene guen Recreae s erfolgrech. Be ener Zersörung der Lösung u 50% be Run kann egenlch nch davon gesprochen werden dass es sch her u en lokales Verfahren (IL) handel sondern velehr u de erave Anwendung konsrukver Verfahren auf ene beres elwese erselle Ausgangssuaon. Neben de T wurde das Verfahren beres auf andere roblesellungen überragen z.b. auf VR (vehcle resource plannng) und Nezwerkproblee ([.])..4 Deals zu den verwendeen Verfahren.4. ulaed Annealng (A) A s en n der hysk of verwendeer Ansaz u Zusände nedrger Energe für koplexe roblee zu fnden de analysch nch lösbar snd. We der Nae erwaren läss handel es sch u en Verfahren zur ulaon enes Abkühlvorganges [.]. Man versuch dabe das Verhalen enes sark erhzen gescholzenen Feskörpers be langsae Abkühlen zu suleren der schleßlch n ene Grundzusand naler Energe ersarr. Das Verfahren baser dabe auf ene Mone-Carlo-rozess [.3]. Meropols führe den Gedanken en be der uche enen Markov-rozess ener geegneen Übergangswahrschenlchke zu verwenden. Be ene Markov-rozess werden schrwese aufenanderfolgende Zusände {k } Hlfe enes Moves erzeug wobe de Wahrschenlchke enen Zusand k + zu erhalen nur von k und nch k wobe < abhäng. De Übergangswahrschenlchke p( k k ) + solle so gewähl werden dass de Verelungsfunkon der Zusände de durch desen Markov-rozess erzeug werden Les Glechgewchsverelung (Bolzann-Verelung) eq ( k ) E = exp Z k ( k ) B T gegen de gewünsche kanonsche konverger. Dabe s E de zugrundelegende Energefunkon T de Teperaur de Bolzann-Konsane und E Z = exp k L k ( k ) B T de Zusandssue. En saonäres Glechgewch sell sch en falls de Maser-Glechung erfüll s: eq ( k ) p( k k ) = eq ( k ) p( k k ) k k k k B (.) (.). (.3)

25 .4 Deals zu den verwendeen Verfahren 7 Ene hnrechende Bedngung dafür erhäl an durch das rnzp der dealed balance: eq ( k ) p( k k ) = ( k ) p( k k ). (.4) eq Das Verhälns der Übergangswahrschenlchkeen für enen Move k k k häng also nur von der Energeänderung E = E( k ) E( ) ab: k k und den nversen Move p p ( k k ) E ( ) = k k k B T exp. (.5) Durch (.5) s p ( k k sog. Meropols-Kreru [.4]: ) nch endeug bes ([.3]). Ene häufg verwendee Wahl s das p ( k k ) E E exp > falls E 0 = n exp = k T. (.6) B k B T sons Des führ dazu dass bessere Zusände er angenoen werden schlechere nur ener besen Wahrschenlchke. De Teperaur T s en Konrollparaeer der während der ulaon von ene arwer bs auf 0 gesenk wrd. Er wrd be der üblchen Wahl von k B = be der Operung n Enheen von E gesez. I Laufe der ulaon wrd also de Wahrschenlchke enen schlecheren Zusand anzunehen er gernger. Das Meropols-Kreru erfüll de Bedngung der dealed balance. A erfüll ferner de Bedngung der Ergodzä. Nach Ehrenfes (9) wrd en yse als ergodsch bezechne wenn de hasenrau an ene Hyperfläche E=cons. gebundene hasenrauraekore Laufe der Ze ede unk belebg nahe ko. Für den Fall dass der hasenrau aus dskreen unken beseh uss de hasenrauraekore eden unk errechen können. e sener Enführung durch Krkparck ([.] [.5]) s A en anerkannes Verfahren n der kobnaorschen Operung. enk an de Teperaur be A ausrechend langsa ab so konverger de Verelung der Zusände gegen ene Verelung be der nch-opale Zusände de Wahrschenlchke 0 beszen ([.6]). En geegnees Teperaurschea s durch a T = (.7) b + log () gegeben wobe a und b posve Konsanen snd de von de gesellen Operungsproble abhängen und de vergangene Rechenze darsell.

26 8 Operungsverfahren.4. Threshold Accepng (TA) Deses Verfahren ([.7]) s vo rnzp her verwand A. De Übergangswahrschenlchke s be TA edoch gegeben durch de Heavsde-ufenfunkon: p = Θ ( h E) = 0 falls E h. (.8) sons De chwelle (engl. hreshold) h wrk als seudoeperaur de von ene anfänglch hohen Wer gegen 0 gesenk wrd. Des führ ähnlch we be A dazu dass während der ulaon er wenger Verschlecherungen angenoen werden. Allerdngs verlez TA Gegensaz zu A de Bedngung der dealed balance. Des wrd deulch be ene yse aus dre Zusänden k k k be ene hreshold h folgenden Egenschafen: E ( k ) < E( k ) E( k ) ( k ) E( k ) h E < E < k E E ( k ) E( k ) h < ( k ) E( k ) h > k k h k Abbldung.: De Bedngung der dealed balance s nch erfüll! Des führ zu folgenden Übergangswahrschenlchkeen: p ( k k ) = p ( k k ) = p ( k k ) = ( k k ) = ( k k ) = 0 p p k k =. p (.9) ( ) Uner der Annahe dass das rnzp der dealed balance erfüll s ergb sch: ( k k ) ( k ) = p( k k ) ( k ) ( k ) = 0 p π ( k k ) ( k ) = p( k k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k k ) π ( k ) = p( k k ) ( k ) ( k ) ( k ). p π = (.0) p =

27 .4 Deals zu den verwendeen Verfahren 9 De Besezungswahrschenlchke (k ) für Zusand k verschwnde und da auch de Besezungswahrschenlchkeen der anderen Zusände. De Bedngung der dealed balance s so nch erfüll da de ue aus den Besezungswahrschenlchkeen ergeben uss. Auch verlez TA de Bedngung der Ergodzä. En Zusand k der Nachbarschaf N(k ) für den gl: E( k ) E( k ) > h k N( k ) kann von ene belebgen anderen Zusand aus nch ehr errech werden (vgl. Abbldung.). Es kann sch ken hersches Glechgewch ensellen. E k h k Abbldung.: De Bedngung der Ergodzä s nch erfüll! k bezechne an auch als Zuckerhu. E E h k k Abbldung.3: Golf hole k. k k Abbldung.4: Is das yse golf hole be k gefangen so werden andere evl. bessere Zusände nch ehr errech. De Verlezung der Bedngung der Ergodzä wrk sch sehr sark be roblesellungen aus be denen vele Zusände k exseren de zu all hren Nachbarn Energedfferenzen E aufwesen de E = E k E k > Th k N( k ) (vgl. Abbldung größer als der gegebene hreshold h snd: ( ) ( ).3). Befnde sch das yse n solch enen Zusand (golf hole) so s es gefangen d.h. es werden kene anderen evl. bessere Zusände ehr errech (vgl. Abbldung.4). Neben desen golf holes exseren woöglch auch Inseln I de de Egenschaf beszen dass alle Zusände außerhalb der Insel de Nachbarn der Zusände der Insel snd von desen aus nch ehr errech werden können: E ( k ) E( k ) > h ( k k k I k I k N( k )). En golf hole s nach deser Defnon ebenfalls ene Insel. Ene Inselbldung fnde be Absenken des hresholds er sa. Exseren

28 0 Operungsverfahren a Anfang der uche beres vele solcher Inseln so s de Lösungssuche sark abhängg von der anfänglch gewählen Lösung. Ene frühe Inselbldung läss sch durch Erweerung der Nachbarschaf eder Lösung verhndern. Jedoch wrd das yse be klene hreshold er auf solch ener Insel (n ene Tal der Energelandschaf) gefangen sen wodurch es evl. von Vorel s de vorhandene Rechenze aufzuelen und vele schnelle ulaonen durchzuführen. TA kann an als enfache Näherung von A berachen wobe das exponenelle Verhalen der Übergangswahrschenlchke durch ene ufenfunkon ersez wurde. p h E Abbldung.5: Näherung des exponenellen Verhalens der Übergangswahrschenlchke von A durch ene ufenfunkon be TA. Der Übergangshreshold und de Übergangseperaur von ene ungeordneen energerechen zu ene geordneen energearen yse sollen n ewa deselbe Größenordnung haben. Zur Verenfachung wrd Folgenden auch be TA von ener Teperaur und nch ehr vo hreshold gesprochen. Wrd der hreshold auf 0 gesez so handel es sch u en frs proveen GR-Verfahren..4.3 Erwarungswere für Observablen Für de folgenden Berechnungen se vorausgesez dass sch das yse ergodsch s und sch herschen Glechgewch befnde. reng genoen s des allerdngs nur für A erfüll. Trozde werden aber de erhalenen Ergebnsse auch be TA angewende. Der Erwarungswer ener Observablen A bezüglch der Bolzann-Verelung s defner als A = k L ( ) ( k ) A k eq = k L ( ) exp( β E( k )) A k k L exp ( β E( k )) = Z k L ( ) exp( β E( k ) wobe E de de yse zugrundelegende Halonfunkon s β = und k B T Z = exp ( β E( k )) de Zusandssue. k L A k ) (.) Der Erwarungswer der Energe s gegeben durch E = E( k ) exp( β E( k )). (.) Z k L

29 .4 Deals zu den verwendeen Verfahren Er läss sch foral aber auch als Ableung der Zusandssue ausdrücken: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E k E k E Z k E Z Z L k L k = = = β β β β exp exp ln. (.3) Der Erwarungswer der spezfschen Wäre s defner als: T E C =. (.4) M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = L k B L k L k B k E k E T k k E k E Z k E k E T k Z Z T E β β β exp exp exp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = exp exp L k L k B k E k E Z k E k E Z T k T E β β ergb sch dadurch { } ( ) E Var T k E E T k T E C B B = = =. (.5) Of snd neben der Energe und Wärekapazä des yses auch noch andere Observablen wchg z.b. Ordnungsparaeer. De Halonfunkon s be den unersuchen robleen gegeben durch: + K + = E E E. (.6) Der Enfachhe halber wrd Folgenden nur M E E = λ berache wobe λ en veränderbarer Konrollparaeer und M ene Observable s. Be ene agneschen yse s M de Magneserung und λ en Magnefeld. Der Erwarungswer von M kann geschreben werden als ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = L k L k L k k E k M Z k M k E k M k E k M M β λ β λ β exp exp exp ). (.7)

30 Operungsverfahren Der Erwarungswer der uszepblä s defner als M χ =. λ (.8) Des läss sch uforen M λ = λ Z k L M ( k ) exp( β ( E ( k ) λ M ( k ))) M = Z β M exp λ Z k L k L ( k ) exp( β E( k )) β M ( k ) ( β E( k )) zu { M M } = Var( M ) M χ = = β β λ. (.9) Be den esen robleen s es edoch nch öglch über alle Konfguraonen k zu sueren. Es werden nur Messungen durchgeführ. Be A wrd we beres angesprochen ken randowalk durchgeführ und dann der Melwer geblde was als ple aplng bezechne wrd. a dessen wrd els enes Auswahlkrerus (Meropols-Kreru) enscheden welcher Move akzeper wrd wodurch sch ene Wahrschenlchkesverelung eq für de Zusände k ensell. Dadurch erhäl an haupsächlch wchge Zusände also solche de be der Teperaur T ene hohe Wahrschenlchke beszen. Man nenn deses Verfahren Iporance aplng. Forel (.) A = ( ) exp( β E( k )) ( k ) A k = exp ( β E( k )) ( k ) eq eq (.0) verenfach sch dadurch ( k ) = exp( β E( k )) eq Z zu A = ( ) A k. (.) Durch de Wahl des Meropols-Krerus wrd de exponenelle Gewchung aufgehoben.

31 .4 Deals zu den verwendeen Verfahren Abkühlsraege (Coolng chedule) Für das Abkühlschea aus Kapel.4. (.7) benög an leder unendlch vel Rechenze. Deshalb gb an sch auch Lösungen zufreden de nahe a globalen Opu legen. Verwende werden dazu ren eprsche Abkühlscheaa de schneller gegen 0 konvergeren. a) Lneares Abkühlschea Es folg der enfachen Regel T = T 0 T d.h. de Abkühlung erfolg auf ener lnearen Teperaurskala n äqudsanen chren. (.) b) Logarhsches oder exponenelles Abkühlschea Her wrd de neue Teperaur durch Mulplkaon der alen ene Fakor α berechne: T = α T 0. Bewähr ha sch de Wahl von α Berech [ ]. De Teperaurschre snd ez auf ener logarhschen kala äqudsan. (.3) Welches der beden cheaa an verwende häng vo zu operenden yse ab. De Wärekapazä solle auf der ensprechenden kala n ewa syersch zur Teperaur des Maxus legen. Be den folgenden rodukonsplanungsprobleen ha sch das logarhsche chea α=0.98 bewähr. Enschedend für de Güe der Lösung enes Operungsprobles snd noch de Wahl der areperaur T 0 und der Endeperaur T E be der der rograablauf abgebrochen wrd (vgl. dazu auch ([.0]). c) areperaur: De areperaur solle so gewähl werden dass de Akzepanzrae edes enzelnen Moves be ndesens 75% leg. Dazu führ an zuers ehrere rando-chre Lösungsrau durch und prookoller den axalen Energeunersched E ax. Für A erhäl an dann de Anfangseperaur aus der Fausforel T 0 Eax =. log ( 0.75) (.4) De Moves sollen edoch wenn öglch so gewähl werden dass de zugehörgen E ax nch zu sark vonenander abwechen. Ene andere Möglchke de areperaur zu ereln beseh darn de Wärekapazä zu berachen das Maxu τ und de Bree des eaks τ zu besen. Für de areperaur ergb sch dann T 0 = τ+ τ.

32 4 Operungsverfahren d) Endeperaur: Be Errechen der Endeperaur T E solle de Akzepanzrae der enzelnen Moves bs auf 0% zurückgehen. Trvale Moves ( E = 0) werden dabe nch beache. Mes bezeh an de Enfrereperaur auf den klensen Energeunersched E n >0 zwschen benachbaren Lösungen. De Wärekapazä könne her ebenfalls weder enen Hnwes geben. Verschwnde se über ehrere Teperaurschre so s de Endeperaur errech. Ene exree Varane für en Abkühlschea beseh darn auf das Abkühlen ganz zu verzchen und de ulaon be konsaner Teperaur durchzuführen (sehe z.b. [.8]). Jedoch s de Wahl deser konsanen Teperaur enschedend. Ene zu hohe Teperaur führ zu ene rando walk uchrau. Is de Teperaur zu nedrg verhäl sch de uche we en frs proveen GR. Be den zuvor genannen saschen Abkühlscheaa beseh das roble dass krsche Teperaurbereche n denen große yseuordnungen geschehen nch angeessen vel Rechenze erhalen. Adapve oder dynasche Abkühlschea versuchen desen Nachel auszuglechen. Be EnsebleBased-A/TA EBA/EBTA ([.0] [.9]) wrd de Teperaur abhängg vo E- nergeelwer ener Menge an Lösungen gesenk. De Lösungssuche der N Lösungen s abgesehen von der glechen Teperaur vonenander unabhängg und kann parallel ausgeführ werden. De Teperaur wrd gesenk falls der Melwer der Energe be ener neuen Ieraon u ehr als enen besen Berag ε seg: ( ) ε. ~ Var H + H + H + ε. Ε s dabe abhängg von der Varanz z.b. Es exseren auch Verfahren de de Teperaur ensprechend der vorangegangenen uche ensellen. o wrd z.b. n [.30] de Teperaur abhängg von der lezen Akzepanzwahrschenlchke und Annahe des Moves veränder. De Teperaur kann dabe erhz oder abgekühl werden. Ene Verson ener lokalen uche be der de Teperaur zu besen Zepunken gezel erhz wrd das Teperaure Bouncng wrd n Kapel.4.5 erläuer. Be der Operung führ an a Ende des Abkühlvorgangs es noch en paar frs proveen GR chre durch u dann cherhe en lokales Opu zu errechen.

33 .4 Deals zu den verwendeen Verfahren Teperaure Bouncng (TB) Es wurde beres n Kapel.4. erwähn dass TA Unersched zu A kene Möglchke ha be klener Teperaur aus ene lokalen Opu zu enkoen. Ene enfache Möglchke en lokales Opu weder zu verlassen beseh darn de Teperaur zu erhöhen da schlechere Lösungen kurzfrsg akzeper werden können. Anschleßend wrd de Teperaur weder gesenk. Wrd dese Vorgehenswese wederhol angewende (eperaure bouncng [.3]) beweg an sch von ene lokalen Opu zu nächsen durch den uchrau. De Wahl des zu TA zusäzlchen araeers der bouncng Teperaur T B ha enen sarken Enfluss auf de uche. Wrd T B zu groß gewähl so wrd zuvel der vorhandenen Lösung zersör und de neue uche begnn be ener nahezu zufällgen Lösung (rando resar). Be ene zu klenen T B bleb de uche n de zulez gefundenen lokalen Opu gefangen. Be der rchgen Wahl von T B wrd de erneue lokale uche Unersched zu rando resar von ener relav guen arlösung begonnen. Neben T B s als neuer araeer noch de Anzahl der bouncng chre feszulegen wobe eder be ener anderen Teperaur T B () begonnen werden kann. In Abbldung.6 snd Bespele für verschedene Teperaurverläufe zu sehen TA 0000 TB 0000 TB T 00 T 00 T chr chr chr Abbldung.6: Teperaurverlauf des enfachen TA und zweer bouncng Varanen be konsane T B () und be logarhsch gesenke: T B () = α* T B (-) α=08. Auf der Menge der durch de bouncng chre erzeugen lokalen Opa kann nun edes der bsher beschrebenen Verfahren arbeen. In [.7] wurde TB beres erfolgrech auf chedulng roblee angewende wobe be der uche edes lokale Opu akzeper wurde. Arbee an hngegen er der besen bekannen Lösung als Inallösung für den nächsen bouncng chr so kann de uche n deren näheren Ugebung nensver werden.