Physikalisches Grundpraktikum. Mechanische Schwingungen

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1 Fachrichtungen der Physik UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Physikalisches Grundpraktikum WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: Hhttp://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/ Kontaktadressen der Praktikumsleiter: Dr. Manfred Deicher Zimmer: 1.11, Gebäude E.6 Telefon: 681/ Dr. Patrick Huber Zimmer: 3.3, Gebäude E.6 Telefon: 681/3-3944

2 MS 1. Stoffgebiet Mechanik des starren Körpers Harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen Resonanz Trägheitskräfte Physikalisches Pendel Schwebung Allgemeine Schwingungslehre. Literatur D. Meschede, Gerthsen Physik 3. Auflage (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 6) Kap. 4 Version (3/9 MD

3 MS 3 3. Fragen 1. Eine Person der Masse m steht in einem Aufzug auf einer Waage. Der Aufzug wird mit der Beschleunigung b bzw. Verzögerung -b bewegt. Welche Gewichtskraft wird in beiden Fällen von der Waage angezeigt?. Eine Raumkapsel der Masse M taucht in die Erdatmosphäre ein und erfährt dort eine (hier als konstant angenommene) Reibungskraft R. Welche Trägheitskraft wirkt auf einen Insassen der Masse m 3. Geben Sie eine Erklärung dafür, dass sich ein metallischer Stab, der aus einer gewissen Höhe in Längsrichtung fallend auf dem Erdboden aufschlägt, im Moment des Aufschlags am oberen Ende positiv auflädt. 4. Man formuliere für ein mathematisches Pendel die Energiebilanz für einen Zeitpunkt t, der weder mit dem Zeitpunkt des Durchgangs durch die Ruhelage, noch mit dem Zeitpunkt des maximalen Ausschlags zusammenfällt (kleine Skizze mit Bezeichnungen). 5. Man formuliere für ein physikalisches Pendel die Energiebilanz für einen Zeitpunkt t, der weder mit dem Zeitpunkt des Durchgangs durch die Ruhelage, noch mit dem Zeitpunkt des maximalen Ausschlags zusammenfällt (kleine Skizze mit Bezeichnungen). 6. Ein mathematisches Pendel der Länge l und der Masse m hängt an der Decke eines Aufzugs, der sich mit der Beschleunigung b nach oben bewegt. Man stelle die Bewegungsgleichung im Fahrzeug für diesen Fall auf (kleine Skizze). Hinweis: Trägheitsmoment Winkelbeschleunigung = Σ Drehmomente. 7. Ein Schwinger der Eigenfrequenz ω wird mit der Frequenz ω zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Welche Phasendifferenz besteht zwischen erzwungener und erregender Schwingung in folgenden Fällen: a) ω << ω, b) ω = ω, c) ω >> ω? Wie lassen sich die Fälle a) und c) anschaulich deuten? 8. Was versteht man unter einer Schwebung? (Skizze; Beispiel) 9. Lässt man auf einen schwach gedämpften Schwinger der Eigenfrequenz ω eine Erregerkraft der Frequenz ω ω wirken, so sieht man zunächst eine Schwebung, deren Amplitude langsam abnimmt. Erklären Sie diesen Vorgang. 1. An einer Stahlfeder der Federkonstanten k schwingt eine Masse m. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Masse m auf. Durch welchen einfachen Ansatz kann sie gelöst werden, und welche Eigenfrequenz folgt daraus?

4 MS 4 4. Grundlagen 4.1 Allgemeines Die erzwungene Pendelschwingung wird nachstehend mit Hilfe der Gesetze der Relativbewegung behandelt. Deshalb sollen diese Gesetze kurz besprochen werden. Wir unterscheiden zwei Systeme (Abbildung 1): 1. Ein raumfestes Bezugssystem (Koordinatensystem O(x,y), genannt Laborsystem).. Ein gegen das raumfeste System bewegtes Bezugssystem (Koordinatensystem O (ξ,η), genannt Fahrzeug). Abb. 1: Laborsystem und bewegtes Bezugssystem. Das Laborsystem sei ein Inertialsystem bezüglich der hier betrachteten Kräfte, d.h. ein System, in dem die drei Newtonschen Axiome gelten. Die Bewegung eines Massenpunktes m kann auf irgendeines dieser Systeme bezogen werden, je nachdem welchen Standpunkt der Beobachter hat; er kann die Bewegung vom Laborsystem aus studieren, er kann sich aber auch mit dem Fahrzeug bewegen. Wir wollen der Einfachheit halber und im Hinblick auf unser Pendelproblem annehmen, dass das Fahrzeug gegenüber dem Laborsystem keine Drehungen, sondern nur Translationen ausführt. Die zeitliche Änderung des Vektors r ', von O nach P, beschreibt die Bahn des Massenpunktes, die vom mitbewegten Beobachter verfolgt wird. Entsprechend beschreibt die zeitliche Änderung von r die Bahnkurve, die ein ruhender Beobachter sieht (Abbildung1). Wenn sich das Fahrzeug gegenüber dem Laborsystem nicht dreht, gilt: r = s + r (1) (Berücksichtigt man auch Drehungen, so tritt an die Stelle von Gl. (1) die Beziehung r = s + Ωr, wobei Ω die Matrix der Drehung ist. Dann treten zusätzliche Trägheitskräfte, nämlich Zentrifugalkraft und Corioliskraft auf). Die Bewegungsgleichung des Massenpunktes im Laborsystem lautet mit der eingeprägten Kraft K : mr = K, mit r= ( xy, ) und r= ( xy, ) () Ersetzt man nach Gl. (1) r durch s + r', so ergibt sich: mr = K - ms (3)

5 MS 5 d.h. der mitbewegte Beobachter stellt fest, dass auf die Masse m nicht nur die Kraft K (eingeprägte Kraft), sondern auch die Scheinkraft -ms, die man als Trägheitskraft bezeichnet, wirkt. Beispiel: An der Decke eines Wagens sei ein Fadenpendel aufgehängt (Abbildung ). Der Wagen wird gegenüber dem Laborsystem mit der Beschleunigung b beschleunigt. Abb. : Fadenpendel an der Decke eines Wagens. Das entspricht in unserer Darstellung dem Vektor s. Auf die Pendelmasse wirkt die eingeprägte Kraft mg und die Trägheitskraft mb. Diese Kräfte erzeugen die Drehmomente mbl cosφ und mgl sinφ.das Pendel ist im Gleichgewicht, wenn diese Drehmomente betragsmäßig gleich sind, also tan φ = b/ g ist. Natürlich spürt auch der Beobachter die auf ihn wirkende Trägheitskraft Mb. 4. Die erzwungene Pendelschwingung Das für den Versuch verwendete Resonanzpendel ist in Abbildung 3 skizziert. Ein Schlitten Sch wird über eine Pleuelstange (annähernd) sinusförmig hin und her bewegt. Der Schlitten wird durch die Stange St geführt. Das Pendel kann sich um eine fest mit dem Schlitten verbundene Achse A drehen. Die Kurbelscheibe K wird durch einen Elektromotor angetrieben, dessen Frequenz regelbar ist. Außerdem ist das Pendelsystem mit einer variablen Dämpfung versehen, die nach dem Prinzip der Wirbelstromdämpfung arbeitet. Abb. 3: Resonanzpendel.

6 MS 6 Zur Behandlung des Problems wählen wir ein starr mit dem Laborsystem verbundenes Koordinatensystem und ein fest mit dem Schlitten Sch verbundenes System als Fahrzeug (Abbildung 4). Abb. 4: Laborsystem und Fahrzeugsystem des Resonanzpendels. Im Fahrzeug ist die Lage des Schwerpunktes S des Pendels (Pendelstange und Pendelmasse m) durch den Schwerpunktabstand s und den Winkel φ festgelegt (ebene Polarkoordinaten). Im Fahrzeug beobachtet man eine reine Pendelschwingung, während die Bewegung, vom Laborsystem aus beurteilt, sich aus einer Translations- und einer Schwingungsbewegung zusammensetzt, also komplizierter ist. Deshalb ist es vorteilhaft, die Bewegung im Fahrzeug zu studieren. In S wirkt als eingeprägte Kraft die Komponente mg sinφ der Schwerkraft mg. Sie erzeugt ein Drehmoment Ds = s mg mit dem Betrag Ds = mgs sin φ, das negativ zu rechnen ist, da es nach Abbildung 4 den Winkel φ zu verkleinern sucht. Zusätzlich wirkt in S die Trägheitskraft mz, die ein Drehmoment vom Betrag DT = mzs cos φ erzeugt. Die Dämpfung erzeugt ebenfalls ein dämpfendes Drehmoment, das bei Wirbelstromdämpfung proportional zur Winkelgeschwindigkeit gesetzt werden kann, sodass man für dessen Betrag erhält: D d = ρφ. Die Bewegungsgleichung für Drehbewegungen lautet: Trägheitsmoment Winkelgeschwindigkeit = Σ(Drehmomente). Da alle Drehmomente in dieselbe Richtung weisen, können wir ihre Beträge addieren und erhalten: Θ φ = mzs cosφ mgs sinι ρφ oder φ + mgs sin φ / Θ+ ρφ / Θ= msz cos φ / Θ (4) Der Ausschlag φ sei so klein, dass annähernd sinφ φ und cosφ 1 gilt. Dann lautet Gl. (4), wenn man noch mgs / Θ ω und ρ/ Θ γ setzt, wobei ω die Eigenfrequenz des Pendels und γ ein Maß für den Einfluss der Dämpfung ist:

7 MS 7 φ+ ωφ+ γφ = ω g (5) z/ Gl. (5) ist die typische Bewegungsgleichung für eine erzwungene Schwingung (inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung). Auf der rechten Seite steht der antreibende Term (Inhomogenität), der hier von einer Trägheitskraft herrührt. Ruht das Fahrzeug im Laborsystem, so ist z =, und Gl. (5) stellt die Bewegungsgleichung für die freie gedämpfte Schwingung des Pendels dar (homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung). Ihre Lösung ist für hinreichend kleine Dämpfung ( ω > γ ): γ t 4 φ( t) = φ e sin( ω t) mit ω = ω γ 4 (6) Sie stellt eine Sinusschwingung der Frequenz ω dar, deren Amplitude exponentiell mit der Zeit abklingt (Abbildung 5). Abb. 5: Freie gedämpfte Schwingung des Pendels. φ 1 und φ seien zwei Auslenkungen, die den zeitlichen Abstand T = π/ω haben: φ ( t ) = φ e sin( ω t ) γ t γ ( t1 + T) 1 φ ( t ) = φ e sin( ω ( t + T) T Wegen sin( ω t1) = sin( ω ( t1+ T)) folgt φ1 φ = e γ. Das logarithmische Dekrement ist definiert als δ φ 1 = ln = φ Ist also die Dämpfung proportional zur Winkelgeschwindigkeit φ, so ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Maximalauslenkungen (gleicher Phase, vgl. Abbildung 5) konstant. Umgekehrt kann man prüfen, ob die Dämpfung proportional zu φ ist, denn dann sind die Verhältnisse aufeinanderfolgender Maximalauslenkungen konstant. Wird der Aufhängepunkt A harmonisch hin und her bewegt, also z = z sin(ωt), so lautet Gl. (5): γ T + ω φ γφ + ωφ = zω sin( ω t) (7) g

8 MS 8 Die stationäre (d.h. für den eingeschwungenen Zustand gültige) Lösung lautet (Lösungsmethode z.b. Variation der Konstanten): zω ω φ( t) = sin( ωt α) = φ( ω)sin( ωt α) g ( ω ω) + γω (8) mit ωγ tan α = (9) ω ω α ist die Phasendifferenz zwischen erzwungener und erregender Schwingung. Die Funktion φ = ( ) φ ω stellt eine typische Resonanzkurve dar (Abbildung 6). Abb. 6 (links): Resonanzzkurve, Abb. 7 (rechts): Resonanzzkurve nach Gl. (11). Die Resonanzfrequenz ist dabei gegeben durch: ω max = ω ω + γ (1) Achtung: In den Lehrbüchern der Physik wird für die normale erzwungene Schwingung der Erregerterm auf der rechten Seite von Gleichung (8) als const sin(ωt-α) geschrieben, während er sich bei unserer experimentellen Anordnung zu const ω sin(ωt-α) ergibt. Das bedeutet keinen prinzipiellen Unterschied im Resonanzverhalten, aber die Lösungen des Problems sehen etwas anders aus; so ist bei unserer Lösung noch ein zusätzliches ω im Zähler, was zu einer Asymmetrie der Resonanzkurve führt. Auch die Ausdrücke für ω max unterscheiden sich. Zeichnet man das Quadrat des durch die Amplitude der erregenden Kraft K = ωzω g dividierten Amplitudenwertes φ( ω) 1 = K ( ω ω) + γω (11) so erhält man den in Abbildung 7 skizzierten symmetrischen Verlauf.

9 MS 9 Eine wichtige Größe ist der sogenannte Q-Faktor (Qualitätsfaktor) eines schwingenden gedämpften Systems: Als Q-Faktor bezeichnet man das mit π multiplizierte Verhältnis der Gesamtenergie zum mittleren Energieverlust während einer Schwingungsperiode T. Für unseren Fall ergibt sich der Q-Faktor zu Q = ω γ (1) Wenn γ / ω ist, dann wird ω max ω. Die Breite der Resonanzkurve an derjenigen Stelle, an der die Amplitude auf den Wert φ / max gefallen ist, soll Halbwertsbreite ω genannt werden. Mit der Näherung ω max ω ergibt sich nach einer kleinen Rechnung: ω = γ (13) Demzufolge lässt sich γ außer aus dem logarithmischen Dekrement auch aus der Halbwertsbreite ω bestimmen. Anmerkung: Der Ausdruck Gl. (8) ist nicht die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (7). Die Theorie der linearen Differentialgleichung lehrt, dass die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung (inhomogen heißt: rechte Seite ) sich als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (homogen heißt: rechte Seite = ) und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammensetzt. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung beschreibt aber gedämpfte Schwingungen, die zeitlich exponentiell abklingen. Solche Schwingungen treten bei dem Einschwingvorgang auf. Im Experiment lässt sich das gut beobachten. Es dauert eine gewisse Zeit, bis der Einschwingvorgang beendet ist und sich die Amplitude, die der Lösung (8) entspricht, eingestellt hat. Je größer die Dämpfung, umso schneller ist der Einschwingvorgang abgeklungen. Deshalb lässt man ihn meist unberücksichtigt und betrachtet nur den eingeschwungenen Zustand.

10 MS 1 5.Versuchdurchführung Aufgabe 1 Zunächst wird die Frequenz ω des ungedämpften Pendels bestimmt. Dann bestimme man für eine eingestellte Dämpfung die Eigenfrequenz des Pendels. Dazu messe man die Zeit für 1 Schwingungen. Aufgabe Man prüfe, ob die Dämpfung annähernd geschwindigkeitsproportional ist, indem man das Verhältnis aufeinanderfolgender Maximalauslenkungen (natürlich auf derselben Seite der Skala ablesen) misst. Der Versuch ist mehrmals durchzuführen, und die erhaltenen Maximalauslenkungen sind zu mitteln. Aus dem Mittelwert wird die Dämpfungskonstante γ bestimmt. Aufgabe 3 Man nehme eine Resonanzkurve auf, indem man, bei niedrigen Erregerfrequenzen beginnend, die Frequenz des den Schlitten treibenden Motors langsam erhöht und die sich nach der Einschwingzeit einstellenden Amplituden φ ( ) ω auf der Winkelskala abliest. (Vorsicht im Resonanzgebiet: dort verursachen geringe Frequenzänderungen große Amplitudenänderungen!) Aufgabe 4 Aus der Halbwertsbreite der Resonanzkurve bestimme man die Dämpfungskonstante und vergleiche sie mit der in Aufgabe bestimmten. Geben Sie den Q-Faktor an. Die Aufgaben 1 bis 4 sind für zwei verschiedene Dämpfungen durchzuführen.