Einführung in die Statistik

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1 Einführung in die Statistik Analyse und Modellierung von Daten Von Prof. Dr. Rainer Schlittgen 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Fachbereich Materialwissenschaft! der Techn. Hochschule Darmstadt Inv.-Nr.: R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis 1 Statistische Daten Erhebungen ; 1 Problemstellung 1 Begriffsbildungen Statistische Variablen 4 Begriffsbildungen 4 Klassifikationen 5 Transformationen \ Die Datenmatrix Aufgaben 11 2 Darstellung univariater Datensätze Häufigkeitsverteilungen diskreter Variablen 13 Problemstellung 13 Häufigkeiten 14 Graphische Darstellungen Häufigkeitsverteilungen stetiger Variablen 17 Problemstellung 17 Geordneter Datensatz 18 Stemleaf-Diagramm 19 Häufigkeitstabelle 22 Das Histogramm Die empirische Verteilungsfunktion 26 Einführendes Beispiel 26 Empirische Verteilungsfunktion ; 26 Klassierte Daten Quantile 31 Problemstellung 31 Bestimmung der Quantile 31 Spezielle Quantile 34 Quantildiagramme 34 5-Zahlen-Zusammenfassung 37 Box-Plots Aufgaben 40 3 Darstellung multivariater Datensätze Diskrete Variablen 44 Einführendes Beispiel 44 Bivariate Kontingenztabellen 45 Bedingte relative Häufigkeiten 46 Mehrdimensionale Kontingenztabellen 47

3 VIII Inhaltsverzeichnis 3.2 Stetige Variablen 48 Streudiagramm 48 Konvexe Hüllen 49 Histogramm 50 Mehrdimensionale Daten Aufgaben 54 4 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente und Ereignisse 57 Zufallsexperimente ; 57 Ereignisse Wahrscheinlichkeiten 64 Chancen von Ereignissen 64 Häufigkeiten von Ereignissen 65 Statistische Wahrscheinlichkeiten 66 Axiome von Kolmogorov 68 Das Gleichmöglichkeitsmodell 71 Zufallsauswahlen aus endlichen Grundgesamtheiten Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 77 Bedingte Wahrscheinlichkeit 77 Unabhängigkeit Aufgaben 82 5 Zufallsvariablen Zufallsvariablen 87 Definition 88 Verteilungsfunktion Diskrete Zufallsvariablen 91 Wahrscheinlichkeitsfunktion 91 Bestimmung eines Verteilungsmodells 92 Verteilungsfunktion Stetige Zufallsvariablen 96 Dichtefunktion 96 Verteilungsfunktion 99 Bestimmung eines Verteilungsmodells, Theoretische Quantile 102 Definition 102 Quantildiagramme Mehrdimensionale Zufallsvariablen 108 Grundlagen 108 Unabhängigkeit Aufgaben Lageparameter Empirische Lageparameter 116 Problemstellung 116 Erfassung des Niveaus 116 Der Mediän 117

4 Inhaltsverzeichnis IX Das arithmetische Mittel 118 Berechnung des arithmetischen Mittels 119 Eigenschaften des arithmetischen Mittels 121 Weitere Lageparameter Theoretische Lageparameter 127 Der Erwartungswert 127 Eigenschaften des Erwartungswertes 129 Der Mediän 131 Der Modus, Aufgaben ; Streuungsparameter Empirische Streuungsparameter 136 Problemstellung 136 Durchschnittliche Abweichung und Standardabweichung 136 Varianz 139 Weitere Streuungsparameter Die theoretische Varianz 144 Definition der Varianz 144 Eigenschaften 146 Die Tschebyschev-Ungleichung Aufgaben Schiefeparameter und Datentransformation Schiefeparameter 154 Einführendes Beispiel 154 Schiefe theoretischer Verteilungen 154 Theoretische Parameter 157 Schiefe empirische Verteilungen Datentransformation 162 Problemstellung 162 Nichtlineare Transformation 162 Auswahl einer Transformation zur Symmetrisierung 164 Stabilisierung der Streuung Aufgaben Parameter multivariater Verteilungen Empirische Verteilungen 172 Problemstellung 172 Die Kovarianz 173 Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson 176 Der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman 179 Der Phi-Koeffizient '.. : Theoretische Verteilungen Aufgaben 185

5 X Inhaltsverzeichnis 10 Diskrete Verteilungsmodelle Die Binomialverteilung 189 Einführendes Beispiel 189 Herleitung der Verteilung 190 Eigenschaften 193 Anpassung an empirische Verteilungen 194 \ Die hypergeometrische Verteilung Die Poisson-Verteilung 196 ; Problemstellung Ableitung und Eigenschaften 197 Anpassung an empirische Verteilungen Die geometrische Verteilung 200 Einführendes Beispiel 200 Ableitung und Eigenschaften Die negative Binomialverteilung 203 Ableitung und Eigenschaften 203 Anpassung an empirische Verteilungen Zur Auswahl eines diskreten Verteilungsmodells 207 Einführendes Beispiel 207 Das Auswahldiagramm : Aufgaben Stetige Verteilungsmodelle Stetige Gleichverteilung Die Pareto-Verteilung 215 Definition 215 Anpassung an empirische Verteilungen Die Exponentialverteilung 218 Ableitung und Eigenschaften 218 Anpassung an empirische Verteilungen Die Gamma-Verteilung 224 Ableitung und Eigenschaften Aufgaben Die Normalverteilung Grundlagen 228 Problemstellung 228 Definition und Bedeutung der Parameter 229 Eigenschaften 230 Anpassung an empirische Verteilungen Approximation von Verteilungen 237 Problemstellung 237 Der zentrale Grenzwertsatz 238 Approximation der Binomialverteilung 239 Approximation der Poisson-Verteilung 242

6 Inhaltsverzeichnis XI 12.3 Die logarithmische Normalverteilung 243 Problemstellung 243 Definition und Eigenschaften 244 Anpassung an empirische Verteilungen Die bivariate Normalverteilung 247 Problemstellung 247 Ableitung und Eigenschaften 248 Anpassung an empirische Verteilungen Aufgaben Stichprobenfunktionen Grundlagen 257 Einführendes Beispiel 257 Definition Spezielle Stichprobenfunktionen 260 Das arithmetische Mittel 260 Die relative Häufigkeit 262 Die empirische Verteilungsfunktion 264 Monte-Carlo-Simulation Aufgaben Schätzen von Parametern Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften 268 Problemstellung 268 Schätzfunktionen 270 Mittlerer quadratischer Fehler 270 Erwartungstreue 273 Konsistenz Anwendungsorientierte Aspekte 277 Problemstellung 277 Robustheit 278 Sensivitätskurve und Bruchpunkt 279 Datenvalidierung mit der Sensitivitätskurve X 280 Standardfehler Schätzmethoden '. 286 Problemstellung '. 286 Momentenmethode 286 Maximum-Likelihood-Methode 287 Bestimmung des Maximus von L(0) 291 Mehrere Parameter Übersicht Aufgaben KonfidenzintervaUe Konfidenzintervall für den Mediän 297 Problemstellung 297 Ableitung des Konfidenzintervalles 298 Das Konfidenzintervall 299

7 XII Inhaltsverzeichnis 15.2 Allgemeine Definition eines Konfidenzintervalles Konfidenzintervalle für den Erwartungswert 303 Normalverteilung mit bekanntem a Normalverteilung mit unbekanntem a Approximative Konfidenzintervalle für n Konfidenzintervalle für Streuungsparameter 309 \ Konfidenzintervall für a 2 bei Normalverteilung 309 ^ Konfidenzintervalle für zwei Quartile Konfidenzintervalle für Wahrscheinlichkeiten und Anteile 313 i Problemstellung 313 Approximatives Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit 314 's Approximatives Konfidenzintervall für einen Anteil 315 Länge der Konfidenzintervalle für p Aufgaben Testen von Hypothesen Reine Signifikanztests. 321 Problemstellung, 321 Tests auf der Basis von Konfidenzintervallen 321 Tests auf der Basis von Prüfgrößen 323 Das empirische Signifikanzniveau Die Elemente der klassischen Testtheorie 327 Problemstellung 327 Formen und Hypothesen 327 Fehlerarten 329 Gütefunktion Aufgaben Spezielle Parametertests Einstichprobentests 335 Tests auf fi bei Normalverteilung 335 Approximative Tests auf fi 336 Test auf fi bei symmetrischen Verteilungen 337 Test auf fi bei beliebigen Verteilungen 340 Tests auf a 2 bei Normalverteilung 342 Test auf eine Wahrscheinlichkeit p Parametervergleich bei unabhängigen Stichproben 343 Testen von Lageunterschieden 343 Vergleich von n x und ^Y bei Normalverteilung: a\ und a\ bekannt. 344 Vergleich von ^x und /z Y : Stichproben groß 344 Vergleich von fi x und jt Y bei Normal Verteilung: a\ und c\ unbekannt, Stichproben klein 346 Vergleich von fi x und fi Y 347 Vergleich zweier Streuungen 349 Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Übersichten über die Parametertests 352 Übersicht Einstichprobentests 352

8 Inhaltsverzeichnis XIII Übersicht Zweistichprobentests Aufgaben Varianzanalyse Einfache Varianzanalyse [ 358 Einführendes Beispiel 358 Das Modell 359 Der Test bei Normalverteilung 360 Multiple Vergleiche bei Normalverteilung 364 Ungleiche Steuerungen 366 Nicht-normalverteilte Variablen Zweifache Varianzanalyse 371 Einführendes Beispiel 371 Modell mit Wechselwirkungen 371 Test bei Normalverteilung 372 Eine Beobachtung pro Zelle 376 Ungleiche Varianzen 377 Nicht-normalverteilte Störungen Aufgaben Überprüfung der Anpassungsgüte von Verteilungen und der Unabhängigkeit ' Anpassungstests 384 Problemstellung 384 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest für vollständig spezifizierte Verteilungen 385 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest für Verteilungen mit unbekannten Parametern 387 Das Chigramm 390 Der Kolmogorov-Smirnov-Test 391 Anpassungstest vom Korrelationstyp Unabhängigkeitstests 400 Problemstellung 400 Der Chi-Quadrat-Test 401 Tests auf Korrelation Aufgaben Regressionsanalyse Die empirische Regressionsgerade 412 Problemstellung 412 Kriterien für die Anpassung einer Geraden 413 Bestimmung der Regressionsgeraden 415 Das Bestimmtheitsmaß Das lineare Regressionsmodell 419 Einführendes Beispiel 419 Entwicklung des Modells 420

9 XIV Inhaltsverzeichnis 20.3 Schätzen und Testen im linearen Regressionsmodell 422 Problemstellung 422 Die Kleinst-Quadrate-Schätzfunktion 423 Eigenschaften des KQ-Schätzers 424 Konfidenzintervalle 426 Tests Residuenanalyse 431? Systematische Änderung des Mittels 433 Inhomogenität der Varianz 435 Ausreißer 437 Verletzung der Normalverteilungsannahme Linearisierung eines Zusammenhanges 443 Problemstellung 443 Transformationen 444 Auswahl der Transformationen Aufgaben 446 Anhang Tabellen 453 A: Binomialverteilung 454 B: Poissonverteilung 460 C: Normalverteilung 462 D: t-verteilung 464 E: Chi-Quadrat-Verteilung 466 F: Kritische Werte des F-Tests für <x = G: Kritische Werte der Korrelationstests 470 H: Quantile der Wilcoxon-Vorzeichen-Rangteststatistik 472 I: Quantile der Wilcoxon-Rangsummenstatistik 474 Anhang: Lösungen der Aufgaben 478 Index 514

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