Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner

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Maike Lenz
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2 Zufallsexperiment in Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen usgang ungewiss ist das beliebig oft wiederholt werden kann dessen Wiederholungen sich nicht beeinflussen Beispiele: Würfelwurf, Münzwurf rgebnisraum (Grundmenge) : Menge aller möglichen reignisse Beispiel Würfelwurf ={1,2,3,4,5,6} reignis : usgang eines Zufallsexperiments Beispiel: Würfelwurf : gerade Zahl ={2,4,6} lementarereignisse : inelementige reignisse Beispiel Würfelwurf ={4} Gegenereignis : Tritt ein wenn nicht eintritt Beispiel Würfelwurf ={2,4,6} ={1,3,5} = \

3 Wahrscheinlichkeit bsolute Häufigkeit: Relative Häufigkeit: a n () = k h n () = a n () n Wahrscheinlichkeit: P() := h n () Regeln: P() 0 Unmögliches reignis: P( ) = 0 Sicheres reignis: P( ) = 1 Summenregel: = {e 1, e 2,, e k } P() = P(e 1 ) + P(e 2 ) + + P(e k ) Gegenwahrscheinlichkeit: P() + P() = 1

4 Wahrscheinlichkeit dditionssatz: Unvereinbare reignisse ( 1 2 = ): P( 1 2 ) = P( 1 ) + P( 2 ) 1 2 P( 1 ) + P( 2 ) + + P( n ) = 1 Beispiel: P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) = Vereinbare reignisse ( 1 2 ): 1 P( 1 2 ) = P( 1 ) + P( 2 ) - P( 1 2 ) 2

5 Laplace-xperimente Voraussetzung: Jedes lementarereignis besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit rgebnisraum: = {e 1, e 2,, e m } reignis: = {e 1, e 2,, e k } Mächtigkeit: Mächtigkeit: = m = k P( ) = nzahl der für günstigen rgebnisse nzahl aller möglichen rgebnisse P( ) = = k m

6 Kombinatorik Bezeichnung igenschaften Formel Beispiel k-variation ohne Wiederholung mit nordnung: k < n V (ow) = n! n k! Parkplatzbelegung: 20 utos, 8 Plätze n = 20, k = 8 k-variation mit Wiederholung mit nordnung: k,n beliebig V (mw) = n k Fußballtoto: n = 3, k = 11 Permutation ohne Wiederholung mit nordnung: jedes lement wird benutzt k = n P (ow) = n! Startaufstellung: 8 Läufer auf 8 Bahnen n = k = 8 Permutation mit Wiederholung mit nordnung: jedes lement wird benutzt n > p n = n 1 + n 2 + n p P (mw) = n! n 1! n 2! n p! nagramm: Mississippi n = 11, p = 4 n i =4, n s =4, n p =2, n M =1 k-kombination ohne Wiederholung ohne nordnung: k < n K (ow) = n k = n! k! n k! Zahlenlotto: 6 aus 49 n = 49, k = 6 k-kombination mit Wiederholung (LK) ohne nordnung: k,n beliebig K (mw) = n+k 1 k Flaschenträger: 12 Flaschen aus 3 Sorten n = 3, k = 12

7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Stochastisch unabhängig: P ( ) = P ( ) bzw. P ( ) = P ( ) Stochastisch abhängig: P ( ) P ( ) bzw. P ( ) P ( ) Multiplikationssatz für unabhängige reignisse: P ( ) = P ( ) P ( ) Multiplikationssatz für abhängige reignisse: P ( ) = P ( ) P ( ) Start Start P() P() P() P() P () P () P () P () P () P () P () P () P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( )

8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit : P ( ) = P ( ) P ( ) + P ( ) P ( ) Start Start P() P() P() P() P () P () P () P () P () P () P () P () P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( )

9 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Satz von Bayes P ( ) P ( ) = P ( ) P ( ) P ( ) = P P ( ) P [ P ( ) P ( ) + P ( ) P ( ) ] P ( ) = P ( ) P ( ) nwendung Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: P P ( ) P ( ) = P P + P P Start Start P() P() P() P() P () P () P () P () P () P () P () P () P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( )

10 Vierfeldertafeln P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) Summe P( ) P( ) 1 Start Start P() P() P() P() P () P () P () P () P () P () P () P () P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( )

11 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsgröße: Zuordnung, die jedem rgebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet X: Beispiel: Gewinn/Verlust pro Spiel Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Zuordnung eines jeden möglichen Werts x i zu einer intrittswahrscheinlichkeit P(X = x i ) rwartungswert der Zufallsgröße X: m ( X ) = x i P(X = x i ) i=1 Varianz der Zufallsgröße X: n V( X ) = ( x i - ( X ) )² P(X = x i ) i=1 Standardabweichung der Zufallsgröße X: σ = V( X )

12 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Rechenregeln für rwartungswert: ( X + Y ) = ( X ) + ( Y ) ( X Y ) = ( X ) ( Y ) wenn X und Y unabhängig ( X + a ) = ( X ) + a a ϵ ( a X ) = a ( X ) a ϵ Rechenregeln für Varianz: V( X + Y ) = V( X ) + V( Y ) wenn X und Y unabhängig V( X + a ) = V( X ) a ϵ V( a X ) = a² V( X ) a ϵ

13 Binomialverteilung Bernoulli-xperiment: xperiment mit nur zwei usgängen (Treffer, Niete) Bernoulli-Kette: Bernoulli-xperiment, bei dem p über alle Durchführungen gleich bleibt (Ziehen mit Zurücklegen) Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Bernoulli-xperiment P( X = k ) := B( n;p;k ) = Kumulierte Binomialverteilung: P( X k ) := F( n;p;k ) = k i=0 n k p k ( 1 - p ) n-k n i p i ( 1 - p ) n-i 1 Start p 1-p 0 rwartungswert: ( X ) = n p Varianz: V( X ) = n p (1 - p) Standardabweichung: σ( X ) = n p (1 p) p 1-p p 1-p

Normalverteilung Problem: n zu groß keine Tabelle für kumulierte Binomialverteilung Lösung => Normalverteilung Binomialverteilte Zufallsgrößen sind für großes n annähernd normalverteilt!

14 Normalverteilung Problem: n zu groß keine Tabelle für kumulierte Binomialverteilung Lösung => Normalverteilung Binomialverteilte Zufallsgrößen sind für großes n annähernd normalverteilt! Standardisierte Normalverteilung (x) := Gauß sche Integralfunktion (x) := (t) dt x Laplace-Bedingung: σ( X ) = n p (1 p) > 3 Näherungsformel von Laplace und de Moivre P( X = k ) 1 k ( X ) σ ( σ ) (x) (x) P( X k ) ( ( -x ) = 1 - ( x ) k ( X )+0,5 σ ) X

15 Beispiel für (1,64) = 0,9495 Normalverteilung

16 Hypothesentests Häufig modelliert durch Bernoulli-Ketten Nullhypothese H 0 sagt häufig aus, dass kein ffekt vorliegt / kein Zusammenhang besteht H 0 : p = p 0 lternativhypothese (Gegenhypothese) H 1 ist die Negation von H 0 H 1 : p = p 1 (lternativtest) H 1 : p p 0 (Signifikanztest) Kritischer Wert k unterteilt Menge aller X-Werte in den nnahmebereich 0 und den blehnungsbereich 1. (blehnungsbereich von H 0 entspricht nnahmebereich von H 1 ) ntscheidungsregel besagt wie k gewählt werden soll. H 0 ist gültig bedeutet nicht H 0 ist richtig!!!

17 Hypothesentests Fehlentscheidungen Realität nnahmebereich von H 0 => 0 blehnungsbereich von H 0 => 1 H 0 ist richtig (p=p 0 ) richtige ntscheidung Fehler 1.rt ( -Fehler) H 1 ist richtig (p=p 1 ) Fehler 2.rt ( -Fehler) richtige ntscheidung -Fehler: H 0 abgelehnt ( X ϵ 1 ), obwohl H 0 wahr ( p = p 0 ) n := B ( X ϵ 1 ) p 0 Bedeutung: eine wahre Hypothese wird zu Unrecht verworfen -Fehler: H 0 angenommen ( X ϵ 0 ), obwohl H 0 falsch ( p = p 1 ) n := B ( X ϵ 0 ) p 1 Bedeutung: eine falsche Hypothese wird zu Unrecht beibehalten in Hypothesentest ist tauglich wenn der -Fehler klein ist.

18 Hypothesentests ( -Fehler) p 0 p linksseitig p 0 0 rechtsseitig beidseitig 1 1

19 P(X=k) Hypothesentests p Fehler 0,14 0,12 0,10 p 1 0,08 0 0,06 0,04 0,02 -Fehler blehnungsbereich von H 1 1 nnahmebereich von H 1 0, a a+1 k

20 P(X=k) Hypothesentests 0,1400 0,1200 0,1000 p 0 p 1 0,0800 0, ,0400 0,0200 0, a a+1 k

P(X=k) Hypothesentests Verteilungsfunktion für n=100, p=0,1 k p=0,1 0,14 0 0 1 0,0003 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 nnahmebereich 58,3 % blehnungsbereich Fehler 1.

21 P(X=k) Hypothesentests Verteilungsfunktion für n=100, p=0,1 k p=0,1 0, ,0003 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 nnahmebereich 58,3 % blehnungsbereich Fehler 1.rt 41,7 % 2 0, , , , , , , ,1304 0,5832 0, , , k 12 0, , , , , , ,0054 0, , , , , ,

22 P(X=k) σ-umgebung 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 p m σ k + m σ Laplace-Bedingung σ( X ) = n p (1 p) > 3 Wahrscheinlichkeiten P( - m σ X + m σ) m P 0,8 0,576 1,0 0,683 1,2 0,770 1,4 0,838 1,6 0,890 1,64 0,900 1,8 0,928 1,96 0,950 2,0 0,954 2,2 0,972 2,4 0,984 2,58 0,990 2,6 0,991 2,8 0,995 3,0 0,997 σ = 1 P = 90 % P = 95 % σ = 2 P = 99 % σ = 3

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