Brownsche Bewegung. Satz von Donsker. Bernd Barth Universität Ulm

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1 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Bernd Barth Universität Ulm

2 Page 2 Brownsche Bewegung Inhalt Einführung Straffheit Konvergenz Konstruktion einer zufälligen Funktion Brownsche Bewegung Satz von Donsker

3 Page 3 Brownsche Bewegung Einführung Historische Entstehung Robert Brown entdeckte 1827 eine wärmeabhängige Bewegung von Teilchen in Flüssigkeiten. Er beobachtete wie Pollen in einem Wassertropfen unregelmäßige zuckende Bewegungen machten.

4 Page 4 Brownsche Bewegung Einführung Zufällige Funktion Definition Sei C = C[0, 1] die Menge der stetigen Funktionen auf [0, 1]. Dann heißt die messbare Abbildung X : Ω C mit Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, B, P) zufällige Funktion. Folgerung X(ω) C, ω Ω Für feste t ist X(t) die reelle Funktion auf Ω mit Wert X(t, ω) in ω. {X(t) : 0 t 1} heißt stochastischer Prozess.

5 Page 5 Brownsche Bewegung Einführung Endlich-dimensionale Verteilungen Sei {X(t) : 0 t 1} ein stochastischer Prozess. Definition Für jedes n N und für jedes n-tupel t 1, t 2,... [0, 1] von Indizes wird die Mengenfunktion P t1,...,t n : B(C n ) [0, 1] mit P t1,...,t n (B 1... B n ) = P(X t1 B 1,..., X tn B n ), B 1,..., B n B(R) endlich-dimensionale Verteilung von {X t } genannt.

6 Page 6 Brownsche Bewegung Straffheit Straffheit Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (C, C) und K eine kompakte Menge. Definition P ist straff, falls P(K ) > 1 ɛ. ɛ > 0 K, so dass gilt

7 Page 7 Brownsche Bewegung Straffheit Straffheit Sei w(x, δ) = sup s t δ X(s) X(t), 0 < δ 1. Satz {X n } ist straff, genau dann wenn 0 < η 1 a: P{ X n (0) > a} η, n 1 ɛ > 0 und 0 < η 1 a, 0 < δ < 1 und n 0 N: P{w(X n (t), δ) ɛ} η, n n 0, t (0, 1].

8 Page 8 Brownsche Bewegung Konvergenz Schwache Konvergenz Seien P n, P Warscheinlichkeitsmaße auf (C, C). Satz Falls die endlich-dimensionalen Verteilungen von P n schwach gegen die von P konvergieren und {P n } straff ist, dann gilt P n = P.

9 Page 9 Brownsche Bewegung Konvergenz Konvergenz in Verteilung Seien X n und X zufällige Funktionen, wobei P n die Verteilung von X n und P die von X ist. Definition (Konvergenz in Verteilung) X n konvergiert in Verteilung gegen X: falls P n = P. X n D X,

10 Page 10 Brownsche Bewegung Konstruktion einer zufälligen Funktion Konstruktion einer zufälligen Funktion Seien ξ 1, ξ 2,... iid Zufallsvariablen auf (Ω, B, P). S 0 = 0, S n = ξ ξ n Wir setzen X n ( i n, ω) = 1 σ n S i(ω), i n [0, 1], ω Ω Lineare Interpolation X n (t, ω) = i n t 1 n X n ( i 1 n i 1 t ) + n 1 n X n ( i n ), t [ i 1 n, i n ], ω Ω

11 Page 11 Brownsche Bewegung Konstruktion einer zufälligen Funktion Beispiel Gaußscher Random Walk Zufallsvariablen ξ 1, ξ 2,..., ξ n mit ξ i N(0, 1) i = 1,..., n

12 Page 12 Brownsche Bewegung Konstruktion einer zufälligen Funktion Straffheit Satz {X n } ist straff, falls ɛ > 0, λ > 1 und n 0 N: P{max i n S i λσ n} ɛ λ 2, n n 0

13 Page 13 Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Das Wiener Maß W Sei X : Ω C[0, 1]. Definition W ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (C, C), so dass gilt α W {X(t) α} = 1 2πt e u2 /2t du, t (0, 1] W {X(0) = 0} = 1 Für den Stochastischen Prozess {X(t) : 0 t 1} gilt: Falls 0 t 0 t 1... t k 1 dann sind X(t 1 ) X(t 0 ), X(t 2 ) X(t 1 ),..., X(t k ) X(t k 1 ) unabhängig.

14 Page 14 Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Sei X(t) eine Koordinate der Position eines sich bewegenden Teilchens im Wasser zur Zeit t, 0 t 1. Das Wiener Maß weist dieser Koordinate eine Verteilung zu, die die Brownsche Bewegung passend beschreibt.

15 Page 15 Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Die Existenz des Wiener Maßes Satz Auf (C, C) existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß W, so dass gilt α W {X(t) α} = 1 2πt e u2 /2t du, t (0, 1] W {X(0) = 0} = 1 Für den Stochastischen Prozess {X(t) : 0 t 1} gilt: Falls 0 t 0 t 1... t k 1 dann sind X(t 1 ) X(t 0 ), X(t 2 ) X(t 1 ),..., X(t k ) X(t k 1 ) unabhängig.

16 Page 16 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Satz von Donsker Wiederholung ξ 1, ξ 2,... iid S n = ξ ξ n X n (t, ω) = 1 σ S n nt (ω) + (nt nt ) 1 σ ξ n nt +1(ω), t [0, 1], ω Ω

17 Page 17 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Satz von Donsker Der Satz Falls E {ξ n } = 0 und Var{ξ n } = σ 2, 0 < σ 2 <. Dann gilt X n D W.

18 Page 18 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Satz von Donsker - Beweis Lemma Seien ξ 1, ξ 2,..., ξ n unabhängige Zufallsvariablen mit E {ξ i } = 0 und Var{ξ i } = σi 2, 0 < σi 2 <. Wir setzen S i = ξ 1 + ξ ξ i und s 2 i = σ σ σ2 i. Dann gilt P{max i n S i λs n } 2 P{ S n (λ 2)s n }.

19 Page 19 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Beispiel 1 Gaußscher Random Walk Zufallsvariablen ξ 1, ξ 2,..., ξ n mit ξ i N(0, 1) i = 1,..., n

20 Page 20 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Beispiel 2 Einfacher Random Walk Zufallsvariablen ξ 1, ξ 2,..., ξ n mit P(ξ i = 1) = P(ξ i = 1) = 1 2 i = 1,..., n

21 Page 21 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Anwendung Bestimmung der Verteilung von max i n S i.

22 Page 22 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Anwendung Verteilung von max i n S i α P{ 1 σ max n i n S i α} 2 2π e u2 /2 du 0

23 Page 23 Brownsche Bewegung Satz von Donsker Quellen Convergenz of Probability Measures, Patrick Billingsley