Klassifikation und Analyse finanzwirtschaftlicher Zeitreihen mit Hilfe von fraktalen Brownschen Bewegungen

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1 Michael Hafner Klassifikation und Analyse finanzwirtschaftlicher Zeitreihen mit Hilfe von fraktalen Brownschen Bewegungen PETER LANG Europäischer Verlag der Wissenschaften

2 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis :. 23 Verzeichnis der verwendeten Symbole 27 Abkürzungsverzeichnis 32 1 Einführung C Problemstellung Gang der Untersuchung 35 2 Kursverläufe und ihre Auswertung Die technische Kursanalyse Die mathematisch-statistische Aktienanalyse 43 3 Modellieren von Kursverläufen aus Zufallsprozessen Die Brownsche Bewegung Modellansatz 47 V Skalierungseigenschaften Skalierungseigenschaften und fraktale Geometrie Fraktale Abbildungen Affine und selbstaffine Abbildungen Fraktale Dimension Einführung Messung fraktaler Dimensionen Selbstaffine stochastische Prozesse Einleitung Stationarität von stochastischen Prozessen 56

3 3.3 Die fraktale Brownsche Bewegung Mathematische Grundlagen Autokorrelation und Memory Selbstaffinität und Autokorrelationsfunktion Klassifikation von Memory-Eigenschaften Die Graphen der fraktalen Zeitreihe Spektraldichtefunktion des fraktalen Rauschens Spektraldichtefunktion im kontinuierlichen Fall : Spektraldichtefunktion fraktaler Bewegungen Das Periodogramm Erzeugen von fraktalen Zeitreihen.' Die Methode von Davies und Harte 75 4 Modellieren von Aktienkursen Allgemeine Anmerkungen und modellübergreifende Annahmen Das Modellieren von Kurspfaden Zufallsprozeß plus Verzinsungseffekt Die geometrische Brownsche Bewegung Die Driftkorrektur Der Kurspfad als eine Summe aus fraktalen Zeitreihen Motivation Berechnung der fraktalen Zeitreihe nach McLeod und Hipel Autokorrelationen und die Autokorrelationsmatrix Cholesky-Zerlegung der Autokorrelationsmatrix Zeitreihe und Zeitreihenmatrix Aggregate aus fraktalen Zeitreihen Empirische Beschreibung fraktaler Zeitreihen Mittelwert Bestimmen der Autokorrelation 90

4 9 5 Eulersche Drehbewegungen zur Erzeugung der Zeitreihenmatrix Idee und Motivation Die Eulerschen Rotationswinkel Einleitende Anmerkungen Rotationsbewegungen im zwei- und dreidimensionalen Raum Rotationsbewegungen im unendlich dimensionalen Fall"? Generieren der Spaltenvektoren der Zeitreihenmatrix Eulersche Rotationswinkel als generalisierter Koordinatensatz Rotationswinkel und Autokorrelation Autokorrelationen und Eigenwerte Volatilität und Volatilitätssummen > Die Chi-Quadrat-Funktion Auswirkungen des Probenumfangs Volatilitäten fraktaler Bewegungen Hauptachsentransformation einer Autokorrelationsmatrix Basisvektoren der Korrelationsmatrix Das Jacobi-Verfahren Einleitendes über Eigenwerte und-vektoren Diagonalisieren der Matrix Ähnlichkeitstransformierte Zeitreihenmatrizen Die Eigenwerte von fraktalen Bewegungen Freiheitsgrade autokorrelierter Kursänderungen Vorbemerkungen Erwartungswert und Varianz der quadrierten Kursänderungen Anteile an der Summe quadrierter Kursänderungen Vorbemerkungen Summen-Freiheitsgrad 129

5 Anteile an der Varianz der Summe quadrierter Kursänderungen Vorbemerkungen Varianz-Freiheitsgrad Freiheitsgrade fraktaler Bewegungen Die Bewertung von Optionen Optionsbewertung bei unkorrelierten Kursverläufen Einführende Bemerkungen Das Black-Scholes-Modell Voraussetzungen und Annahmen Herleitung der Black-Scholes- Differentialgleichung Lösung der Black-Scholes- Differentialgleichung Die Wärmeleitungsgleichung der Thermodynamik Die Methode der bedingten Erwartungswerte Optionsbewertung bei autokorrelierten Kursverläufen Erweitern der Black-Scholes-Differentialgleichung für fraktale Bewegungen Bedingte Erwartungswerte bei fraktalen Bewegungen Memoryabhängige Verzinsung Auszahlungsprofile 154 Wertpapier-Futures Einführende Bemerkungen Anmerkungen zu den behandelten Aktien-Futures Diskussion von Future-Zeitreihen Vorgehensmethode Autokorrelationen und ihre Folgen Anmerkungen zu den Euler-Winkeln Euler-Winkel und Memory-Eigenschaften Euler-Winkel und Unsicherheit Autokorrelation und Risiko 172

6 Memory und Eigenwert Auswirkungen von Autokorrelationen auf die Eigenwerte Eigenwerte und Freiheitsgrade Vorbemerkungen zur Diskussion der FTSE-Future- Zeitreihen Diskussion der FTSE-100-Futures Allgemeine Anmerkungen Diskussion ausgewählter Abschnitte Diskussion der FTSE-250-Futures Allgemeine Anmerkungen Diskussion ausgewählter Abschnitte Vergleichende und abschließende Bemerkungen Schlußbetrachtung und Ausblick 215 Literaturverzeichnis 222 Anhang 228 A Erzeugung von Zufallszahlen mit der Polar-Methode 228 B Zeitreihenmatrix für beliebige Startpunkte 229 B.l Motivation und Einleitung 229 B.2 Die Rücktransformation 230 B.2.1 Vorbemerkungen 230 B.2.2 Mathematische Durchführung 232 C Die kumulierte Normalverteilung 235 D Die Put-Call-Parität 236 E Zahlungsströme in einem selbstfinanzierenden Portefeuille 237 F Grafiken der FTSE-Futures 238 G Tabellen 270 Danksagung 304