Wahrscheinlichkeitstheorie 2 & 3. Prof. Dr. Barbara Gentz mitgeschrieben von Arthur Sinulis 30. Januar 2015

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1 Wahrscheinlichkeitstheorie 2 & 3 Prof. Dr. Barbara Gentz mitgeschrieben von Arthur Sinulis 3. Januar 215

2 Inhaltsverzeichnis. Bedingte Erwartungswerte 4 1. Martingale, Stoppzeiten und Filtrierungen Stochastische Prozesse und Sigma-Algebren Stoppzeiten Martingale in stetiger Zeit A. Konvergenzsätze Doob-Meyer-Zerlegung Stetige, quadratisch integrierbare Martingale Brownsche Bewegung Einführung Erste Konstruktion einer Brownschen Bewegung Levy-Cielsielski-Konstruktion der Brownschen Bewegung Der Raum C[,, schwache Konvergenz und das Wiener-Maß A. Konvergenz endlich dimensionaler Verteilungen B. Das Invarianzprinzip und das Wiener-Maß Markoff-Eigenschaft A. Markoff-Prozesse und Markoffsche Familien B. Äquivalente Formulierungen der Markoff-Eigenschaft Starke Markoff-Prozesse und Markoffsche Familien A. Starke Markoff-Eigenschaft für die Brownsche Bewegung Brownsche Filtrierungen A. Rechtsstetigkeit der augmentierten Filtrierung B. Universelle Filtrierung Berechnungen mittels Durchgangszeiten A. Brownsche Bewegung und das running maximum Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung A. Die Nullstellenmenge der Brownschen Bewegung B. Pfade nirgends differenzierbar C. Gesetz des iterierten Logarithmus Stochastische Integration Konstruktion des stochastischen Integrals Einfache Prozesse und Approximation Konstruktion und einfache Eigenschaften des stoch. Integrals A. Eine Charakterisierung des Integrals B. Integrale bezüglich stetiger lokaler Martingale Substitutionsregel / Itô-Formel A. Itô-Formel B. Martingalcharakterisierung der Brownschen Bewegung C. Bessel-Prozesse

3 3.4.D. Momentenungleichungen für Martingale E. Darstellung eines stetigen Martingals mit Hilfe einer Brownschen Bewegung F. Stetige lokale Martingale als zeitgeshiftete Brownsche Bewegungen Girsanov-Theorem und Cameron-Martin-Formel A. Grundlegendes Resultat B. Brownsche Bewegung mit Drift C. Novikov-Bedingung Stochastische Differentialgleichungen Starke Lösungen A. Definitionen Itô-Theorie A. Vergleichende Ergebnisse und weitere Verbesserungen Schwache Lösung A. Begriff der Eindeutigkeit schwacher Lösungen B. Schwache Lösungen mit Hilfe des Girsanov-Theorems C. Ein Exkurs über reguläre bedingte Wahrscheinlichkeiten D. Ergebnisse von Yamada und Watanabe zu schwachen und starken Lösungen Martingal-Problem nach Stroock und Varadhan A. Fundamentale Martingale B. Schwache Lösung und Martingal-Problem C. Wohlgestelltheit und starke Markoff-Eigenschaft D. Fragen der Existenz E. Fragen der Eindeutigkeit F. Infinitisemaler Generator und die Dynkin-Formel G. Das kombinierte Dirichlet-Poisson Problem H. Das stochastische Poisson-Problem A. Nachträge 184 Literatur 185 3

4 . Bedingte Erwartungswerte Sei Ω, F, P ein W-Raum und A F eine Teil-σ-Algebra d.h. Ω, A, P ist auch ein W-Raum und X L 1 P := L 1 Ω, F, P eine eindimensionale Zufallsvariable ansonsten betrachte komponentenweise. Definition..1: Eine Zufallsvariable Y derart, dass i Y ist messbar bezüglich A kurz: Y A ii A Xd P = A Y d P für alle A A heißt eine Version des bedingten Erwartungswertes EX A. Lemma..2: Erfüllt Y die Eigenschaften i und ii, so ist Y L 1 P. Setze A := {Y > } A, dann gilt nach Eigenschaft 2 sowie Daraus folgt A Y d P = A Xd P A X d P < Y d P = A c Xd P A c X d P <. A c E Y = A Y d P + Y d P A c X d P <. Lemma..3 Eindeutigkeit des bedingten EW: Angenommen Y und Y erfüllen die Eigenschaften i und ii. Dann gilt Y = Y P-f.s. Definiere A ε := {Y Y ε} für ε > beliebig. Dann impliziert i A ε A. Daraus folgt mit ii = X Xd P = Y Y d P ε PA ε A ε A ε für alle ε >. Also gilt PA ε = für alle ε >, d.h. PY Y > = und damit Y Y P-f.s.. Analog gilt dies für Y Y. Bemerkung Satz von Radon-Nikodym: Sind µ, ν σ-endliche Maße auf Ω, F und ν µ. Dann existiert eine F-messbare Funktion f mit νa = A fdµ. Man nennt f =: dν dµ die Radon-Nikodym-Ableitung. 4

5 Lemma..4 Existenz des bedingten EW: Für X L 1 Ω, F, P und A F existiert EX A. 1: Sei X. Definiere µ := P und νa := A Xd P für alle A A. Dann sind µ und ν σ-endlich und ν µ. Also existiert nach dem Satz von Radon-Nikodym dν Xd P = νa = dµ d P A für alle A A. Damit ist dν dµ eine Version von EX A. 2: Zerlege X = X + X. Dann existieren Y 1 := EX + A und Y 2 := EX A nach Teil 1. Nun ist Y := Y 1 Y 2 A-messbar und es gilt Xd P = X + d P X d P = Y 1 d P Y 2 d P = Y d P A A für alle A A. Folglich ist Y eine Version von EX A. A Bemerkung Interpretation des bedingten Erwartungswertes: Seien A die bekannten Informationen. Dann ist EX A die beste Vermutung, welchen Wert X annimmt, wenn wir nur Ereignisse aus A kennen. Beispiel..5: Ist X A-messbar, so gilt EX A = X P-f.s. Ist X unabhängig von A, dann ist EX A = E X P-f.s. Für den Spezialfall A = {, Ω} ist jede Zufallsvariable X von A unabhängig, d.h. es gilt für alle X L 1 EX {, Ω} = E X. Beispiel..6 Bezug zu bed. Wahrscheinlichkeiten und EW aus Stochastik: Angenommen Ω = i I Ω i, wobei die Ω i paarweise disjunkt sind, d.h. Ω hat eine endliche oder abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte Mengen. Angenommen PΩ i > für alle i I. Setze A := σω i i I. Dann gilt EX A = i I 1 PΩ i Ω i Xd P A A A 1 Ωi, d.h. für ω Ω j gilt EX Aω = 1 Xd P =: EX Ω j. PΩ j Ω j i: Ω i A für alle i I, d.h. 1 Ωi A für alle i, d.h. Y A. ii: Jedes A A hat die Form A = j J Ω j für ein J I, wobei die Vereinigungen disjunkt sind. Es genügt daher, A = Ω j zu betrachten für ein beliebiges j. Dort gilt aber Y d P = Ω j Xd P d P = 1 Xd P PΩ j = Xd P PΩ j Ω j PΩ j Ω j Ω j }{{} =Y auf Ω j Ω j 1 A 5

6 Definition..7: Setze EX Y := EX σy für alle Zufallsvariablen X und Y mit X L 1 P. Beispiel..8 Bedingter Erwartungswert im Fall von Dichten: Seien X, Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte fx, y. Angenommen für alle y gilt fx, ydx >. Falls E gx < ist, so gilt EgX Y = hy mit hy := gxfx, ydx fx, ydx. h ist messbar als Funktion von f und g, denn nach Annahme war g messbar. Also ist hy σy. Daher ist hy ein Kandidat für den bedingten Erwartungswert. Sei A σy beliebig. Dann existiert ein B BR mit A = {Y B}. Damit gilt hy d P = 1 {Y B} hy d P = 1 B yhyfx, ydxdy A = 1 B yhy fx, ydx dy = gxfx, ydx dy B = E 1 B Y gx = gxd P. A Beispiel..9: Seien X und Y unabhängig und ϕ : R 2 gx := E ϕx, Y. Dann gilt R so, dass E ϕx, Y <. Definiere E ϕx, Y X = gx. Mit Fubini sehen wir, dass gx σx-messbar ist. Sei also A σx beliebig. Dann existiert ein C BR derart, dass A = {X C}. Somit gilt A ϕx, Y d P = = = Ω C C ϕx, Y 1 C Xd P = ϕx, y1 Cx PX, Y 1 dx, y R 2 }{{} =P X 1 P Y 1 ϕx, y P Y 1 dy P X 1 dx R }{{} =Eϕx,Y =gx gx P X 1 dx = A gxd P. Satz..1 Eigenschaften des bedingten EW: Es gilt 6

7 a Linearität: EaX + by A = a EX A + b EY A für alle a, b R und X, Y L 1. b Isotonie: Aus X Y folgt EX A EY A. c Monotone Konvergenz: Sei X n, X n X mit E X <. Dann gilt EX n A EX A. Die Linearität folgt aus der Linearität des Integrals. Zur Isotonie: Sei A ε := {EX A EY A ε} A für alle ε >. Dann gilt EX Ad P = Xd P Y d P = EY Ad P A ε A ε A ε A ε EX Ad P ε PA ε. A ε Also folgt PA ε = für alle ε > und damit mit der Stetigkeit des Maßes PEX A > EY A =. Zur monotonen Konvergenz: Definiere Y n := X X n, so ist zu zeigen, dass EY n A. Nun ist Z n := EY n A Z, wobei Z eine A-messbare Zufallsgröße ist. Sei A A. Mit Hilfe des Satzes von Lebesgue folgt Z n d P = Y n d P, sodass schließlich gilt A A A Z d P = lim Z n d P =. n A Proposition..11 Jensensche Ungleichung: Sei ϕ konvex, E X < und E ϕx <. Dann gilt ϕex A EϕX A. Satz..12: Die bedingte Erwartung ist eine Kontraktion in L p, p 1, d.h. es gilt EX A L p X L p. Satz..13: Seien F 1 F 2 F σ-algebren. Falls EX F 2 sogar F 1 -messbar ist, so gilt EX F 1 = EX F 2. Satz..14: Seien F 1 F 2 F. Dann gilt EEX F 1 F 2 = EEX F 2 F 1 = EX F 1. 7

8 Satz..15: Sei X A, Y, X Y L 1 Ω, F, P. Dann gilt EX Y A = X EY A. Satz..16 bedingte EW als L 2 -Projektion: Sei X L 2 Ω, F, P. Dann minimiert Y = EX A die Abbildung A Y EX Y 2, d.h. den mittleren quadratischen Fehler. 8

9 1. Martingale, Stoppzeiten und Filtrierungen 1.1. Stochastische Prozesse und Sigma-Algebren Definition Stochastischer Prozess: Ein stochastischer Prozess ist eine Familie X = X t t von R d -wertigen Zufallsvariablen X t : Ω, F, P R d, BR d, P Xt 1 für alle t. Ein stochastischer Prozess heißt messbar, falls die Abbildung messbar ist. X : [, Ω, B[, F R d, BR d t, ω X t ω Definition Vergleich zweier stochastischer Prozesse: Seien X = X t t, Y = Y t t zwei stochastische Prozesse auf dem selben W-Raum Ω, F, P. i X und Y heißen ununterscheidbar, wenn PX t = Y t t = 1. ii Y heißt Modifikation von X, falls PX t = Y t = 1 für alle t. iii X und Y haben die gleichen Randverteilungen, wenn für alle n N und t 1 < t 2 <... < t n < gilt Es gelten die Implikationen i ii iii. PX t1,..., X tn 1 = PY t1,..., Y tn 1. Bemerkung: Wenn Y eine Modifikation von X ist, so sind X und Y im Allgemeinen nicht ununterscheidbar. Sei dazu T eine nichtnegative ZV, die eine Dichtefunktion bezüglich des Lebesguemaßes besitzt. Insbesondere gilt also für alle t PT = t =. Definiere den Prozess X t := für alle t und { t T Y t = 1 t = T, so gilt für alle t PX t = Y t = PT t = 1, aber PX t = Y t t =. Definition Filtrierung: Eine aufsteigende Familie F t t von Teil-σ-Algebren von F heißt Filtrierung von F. Für eine Filtrierung gilt also F s F t F für alle s < t. Definition 1.1.4: Definiere für jedes t die vom Prozess X erzeugte σ-algebra als F X t := σx s s t F. Die Familie F X t t heißt die vom Prozess erzeugte Filtrierung. 9

10 Definition 1.1.5: Sei F t t eine Filtrierung von F. Ein stochastischer Prozess X = X t t heißt F t t - adaptiert, falls für alle t gilt: X t ist F t -messbar. Definition 1.1.6: Sei F t t eine Filtrierung. Dann definieren wir die σ-algebren: F := σ F t t F t + := ε> F t+ε F t := { F t = σ s<t F s t > F t t heißt rechtsstetig, falls F t + = F t für alle t und linksstetig, falls F t = F t für alle t. Definition Progressive Messbarkeit: Ein stochastischer Prozess X heißt progressiv messbar bezüglich F t t, falls für alle t die Abbildung messbar ist. X [,t] Ω : [, t] Ω, B[, t] F t R d, BR d s, ω X s ω Bemerkung: Ist X progressiv messbar bezüglich F t t, so ist X messbar und F t t -adaptiert. Zu einem messbaren, adaptierten Prozess existiert eine progressiv messbare Modifikation. Zu zeigen ist, dass X t F t -messbar ist. Dazu betrachte X t : Ω, F t [, t] Ω, B[, t] F t R d, BR d ω t, ω X t ω. Die erste Abbildung ist messbar und die zweite Abbildung ist messbar, da X progressiv messbar bzgl. F t t ist. Also ist X t als Komposition F t -messbarer Funktion wieder F t -messbar. Proposition 1.1.8: Ist X ein F t t -adaptierter stochastischer Prozess und jeder Pfad t X t ω ist rechtsstetig oder linksstetig, dann ist X progressiv messbar. Sei jeder Pfad t X t ω rechtsstetig. 1

11 i Zeitdiskretisierung: Fixiere t und splitte das Zeitintervall [, t] in 2 n Teilintervalle auf für ein beliebiges n N, d.h. [, t] = und definiere für s [, t] [ ] t t, 2 n 2 n, 2t ] 2 n ] 1t 2 n... 2 n, t X s n ω := X k+1t ω 2 n wobei k so gewählt ist, dass kt 2 n < s k+1t 2 n. ii Nun ist X n : [, t] Ω, B[, t] F t R d, BR d messbar, denn sei O BR d, dann gilt ] kt k + 1t X n 1 O =, 2n 2 n X 1 k+1t O k=,...,2 n 1 2 } n {{} F k+1t F t 2 n wegen der Adaptiertheit von X. iii Nutze die Rechtsstetigkeit der Pfade und bilde den Limes n, dann gilt für alle ω Ω lim ω = X s ω. n Xn s Damit ist X als Limes messbarer Zufallsvariablen wieder messbar. Definition 1.1.9: Eine Zufallszeit ist eine Zufallsvariable T : Ω, F, P [, ], B[, ]. Für einen gegebenen stochastischen Prozess und eine Zufallszeit T definiere X T ω := X T ω ω auf {T < }. Bemerkung: Falls X ω := lim t X t ω für alle ω Ω existiert, kann X T auf ganz Ω definiert werden: { XT X T ω := ω ω ω {T < } X ω ω {T = }. 11

12 1.2. Stoppzeiten Definition 1.2.1: Eine Zufallszeit T heißt Proposition 1.2.2: Es gilt: F t t Stoppzeit {T t} F t für alle t F t t Optionszeit {T < t} F t für alle t. i Ist T eine F t t -Stoppzeit, so auch eine F t t -Optionszeit. ii Ist T eine F t t -Optionszeit und F t t rechtsstetig, so ist T eine F t t -Stoppzeit. Es gilt i {T < t} = n N {T t 1 n } F t, da T eine Stoppzeit ist, d.h. das Ereignis ist in und damit in F t für alle t. F t 1 n ii Da T eine Optionszeit ist, ist {T < t + ε} F t+ε für alle t. Damit gilt {T t} = ε>{t < t + ε} F t + = F t wegen der Rechtsstetigkeit. Korollar 1.2.3: Es gilt T ist F t t Optionszeit T ist F t + t Stoppzeit. Definition Ersteintrittszeiten: Für einen gegebenen F t t -adaptierten stochastischen Prozess X mit rechtsstetigen Pfaden definieren wir für eine Teilmenge Γ BR d die Ersteintrittszeit H Γ als H Γ = inf {t : X t Γ}. Lemma 1.2.5: Ist Γ R d offen, so ist die Ersteintrittszeit H Γ eine F t t -Optionszeit. Ist Γ R d abgeschlossen und X mit stetigen Pfaden, so ist H Γ eine F t t -Stoppzeit. Übung. Lemma 1.2.6: Seien T n n eine Folge von F t t -Stoppzeiten und S eine F t t -Stoppzeit. Dann sind auch T + S, mint, S, maxt, S und sup n 1 T n Stoppzeiten. Ist zusätzlich F t t rechtsstetig, so sind auch lim sup n 1 T n und lim inf n 1 T n Stoppzeiten. 12

13 Beispielweise gilt für T + S denn es gilt { < T < t, T + S > t} t, S > } F t, {T + S > t} = {T }{{ = }, } S {{ > } t} F F t {T > t, S = } {T }{{} F t { < T < t, T + S > t} = r Q +,<r<t { } < r < {{ T < } t, S > t r} F }{{} t. ={T >r} {T <t} F t F t r Definition σ-algebra der T -Vergangenheit: Für eine gegebene F t t -Stoppzeit T setze F T := {A F A {T t} F t t }. Lemma 1.2.8: F T ist eine σ-algebra und T ist F T -messbar. Im Spezialfall einer konstanten Stoppzeit T t gilt F T = F t. Übung. Lemma 1.2.9: Für zwei F t t -Stoppzeiten T und S gilt A F S A {S T } F T. Insbesondere gilt also, falls S T auf Ω, F S F T. Sei A F S und t beliebig. Dann gilt A {S T } {T t} = A {S t} {T t} {S T } denn S t und T t sind F t -messbar. Lemma 1.2.1: Für zwei F t t -Stoppzeiten T und S gilt = A {S t} {T t} {S t T t} }{{}}{{}}{{} F t F t F t F T S = F T F S. Dabei beinhaltet F T S unter anderem die Mengen {T < S}, {T S}, {S < T }, {S T } und {T = S}. 13

14 Verwende vorheriges Lemma. Proposition : Sei X ein bezüglich F t t progressiv messbarer stochastischer Prozess und T eine F t t - Stoppzeit. Dann ist die auf {T < } definierte Zufallsvariable X T ω := X T ω ω F T -messbar und der gestoppte Prozess X T t t ist bezüglich F t t progressiv messbar. Definiere Y := X T s s : [, Ω, B[, F R d, BR d Nun ist Y progressiv messbar, denn s, ω X T s ω := X T ω s ω. [, t] Ω, B[, t] F t [, t] Ω, B[, t] F t R d, BR d s, ω T ω s, ω X T ω s ω ist messbar, da T eine Stoppzeit ist und X progressiv messbar ist, d.h. Y ist als Komposition auch messbar. Es bleibt zu zeigen, dass X T F T -messbar ist, d.h. für alle B BR d ist {X T B} F T, was nach Definition äquivalent ist zu {X T B} {T t} F t für alle t. Nun gilt wegen der progressiven Messbarkeit von X T t für alle t. {X T B} {T t} = {X T t B} {T t} }{{}}{{} F t wegen F t da T Stoppzeit F t Definition Martingal: Ein F n n -adaptierter stochastischer Prozess X n n mit E X n < für alle n N heißt Martingal bezüglich F n n, falls für alle n m gilt EX n F m = X m. Für ein Martingal X n n gilt EX n = EX m für alle n, m N. Lemma : Ein F n n -adaptierter stochastischer Prozess X n n mit E X n < für alle n N ist genau dann ein Martingal, wenn der Erwartungswert konstant im starken Sinne ist, d.h. für alle beschränkten Stoppzeiten τ gilt EX = EX τ. 14

15 : Sei τ n eine beschränkte Stoppzeit. Dann gilt n n EX τ = E 1 {τ=k} X k = E1 {τ=k} X k = = k= k= n E1 {τ=k} X n = EX n = EX k= n k= E1 {τ=k} }{{} F k EX n F k : Seien n m beliebig. Für A F m definiert τ := m 1 A c + n 1 A eine beschränkte F n n -Stoppzeit, denn k m 1 {τ k} = A c F m F k m k n 1 F k Ω n k für alle k N. Nun gilt nach Voraussetzung EX m 1 A c + X m 1 A = EX m = EX = EX τ = EX m 1 A c + X n 1 A d.h. EX n X m 1 A = für alle A F m. Damit gilt EX n F m = EX m + X n X m F m = X m + EX n X m F m = X m }{{} = woraus die Behauptung folgt. Sei nun X = X n n ein zeitdiskreter, reellwertiger stochastischer Prozess auf Ω, F, P und F n n eine Filtrierung von F. Definition Smartingale: X heißt Submartingal bezüglich F n n, wenn für alle n m gilt EX n F m X m. X heißt Supermartingal bezüglich F n n, falls für alle n m gilt EX n F m X m. X ist genau dann ein Supermartingal, wenn X ein Submartingal ist. Bemerkung: Die Charakterisierung der Martingale aus Definition kann verallgemeinert werden. Ein F n n -adaptierter, integrierbarer Prozess X n n heißt Submartingal bzgl. F n n Martingal bzgl. F n n EX τ = EX τmax Supermartingal bzgl. F n n für alle beschränkten Stoppzeiten τ, wobei τ max := max{τω : ω Ω}. 15

16 Bemerkung: Für Submartingale gilt EX n EX m für alle n m. Für Supermartingale gilt EX n EX m für alle n m. Satz Doobs optionaler Stoppsatz: Falls X n n ein F n n -Martingal ist, so gilt für alle F n n -Stoppzeiten σ τ M < EX τ F σ = X σ. i X τ und X σ sind integrierbar, denn M M X τ = X k 1 {τ=k} X k L 1 F k= k= und da alle X k nach Voraussetzung integrierbar sind. ii X σ ist F σ -messbar. Dazu ist zu zeigen, dass für alle C BR {X σ C} F σ {X σ C} {σ n} F n für alle n N. Da X σ = M k= X k 1 {σ=k} gilt {X σ C} {σ n} = = M {X k C} {σ = k} {σ n} k= M n k= {X k C} }{{} F k F n {σ = k} F n. iii Sei A F σ, so ist E1 A X σ = E1 A X τ zu zeigen. Definiere R := 1 A σ + 1 A c τ, so ist dies ebenfalls eine beschränkte Stoppzeit, denn {R k} = A {σ k} A c {τ k} F k für alle k N. Da X n n ein F n n -Martingal ist, folgt nach der alternativen Charakterisierung EX τ = EX für alle beschränkten Stoppzeiten τ. Damit gilt auch EX = EX R = E1 A X σ + 1 A cx τ EX = EX τ = E1 A X τ + 1 A cx τ d.h. E1 A X σ X τ = für alle A F σ. Satz Doobsche Martingalzerlegung: Sei X n n ein F n n -Submartingal, so existiert eine P-f.s. eindeutige Zerlegung X n = X + M n + A n, wobei M = A =, M n n ein Martingal und A n n wachsend und F n 1 n -adaptiert, d.h. vorhersehbar, ist. 16

17 Definiere F 1 := {, Ω}. 1 Existenz: Definiere A n n durch A := und A n+1 := n+1 k=1 EX k X k 1 F k 1 A n P -f.s. und A n+1 ist nach Definition F n -messbar. Noch zu zeigen: M n := X n X A n ist ein Martingal. M n ist F n -messbar und integrierbar, also bleibt nur die Martingaleigenschaft zu zeigen. Dazu gilt wegen A n = A n 1 +E X n X n 1 F n 1 Iteration liefert dies für alle n m. EM n F n 1 = EX n F n 1 X A n = X n 1 X A n 1 = M n 1 2 Eindeutigkeit: Angenommen es gelte X n = X + M n + A n = X + L n + C n, wobei M, L Martingale und A, C wachsende, F n 1 n adaptierte Prozesse sind. Dann gilt M n L n = C n A n = EM n L n F n 1 = M n 1 L n 1 = = M L = P f.s. woraus M n = L n und C n = A n P-f.s. für alle n N folgt. Lemma : Ist X n n ein F n n -adaptierter, integrierbarer und wachsender Prozess, so ist X n n ein Submartingal. Sei n m, so gilt X n X m P-f.s., also wegen der Monotonie des bedingten EW EX n F m EX m F m = X m. Proposition : Ist M n n ein Martingal, ϕ : R R konvex, messbar und ϕm n integrierbar für alle n N, so ist ϕm n n ein Submartingal. Adaptiertheit und Integrierbarkeit folgen unmittelbar aus den Voraussetzungen an ϕ. Für die Submartingaleigenschaft nutze die Jensensche Ungleichung für bedingte Erwartungswerte, so gilt mit Hilfe der Martingaleigenschaft von M EϕM n F m ϕem n F m = ϕm m. 17

18 Proposition : Ist X n n ein Submartingal, ϕ : R R konvex, messbar und monoton wachsend und ϕx n integrierbar für alle n, so ist ϕx n n ein Submartingal. Wie im Beweis zuvor, verwende in die Monotonie von ϕ: EϕX n F m ϕex n F m ϕx m P f.s.. }{{} X m Beispiel: Ist M n n ein Martingal, so sind Mn 2 n, M n n und Mn n mit Mn Submartingale. Proposition 1.2.2: Ist X n n ein Submartingal, τ eine Stoppzeit, so ist X n τ n ein Submartingal. Die Submartingaleigenschaft folgt aus EX n+1 τ F n = E Iteration liefert die Behauptung. X }{{} τ 1 {τ<n+1} }{{} F n auf {τ n} F n +X n+1 1 {τ n+1} F n }{{} ={τ n} c F n = X τ 1 {τ n} +1 {τ>n} EX n+1 F n X n τ. }{{}}{{} =X n τ X n := sup k n M k Korollar : Ist X n n ein Submartingal, σ τ N beschränkte Stoppzeiten, dann gilt EX σ EX τ. Nach obiger Proposition ist Y n n := X n τ n ein Submartingal, d.h. es gilt EX σ = EX σ τ = EY σ EY N = EX N τ = EX τ. Proposition Doobsche Martingalungleichung: Ist M n n ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal, so gilt für alle h > P sup M k h k n 1 h E M n. 18

19 i Ist M n n ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal, so gilt, dass X n n = M n n ein Submartingal ist. ii Sei h beliebig. Definiere σ := min{k N X k h} N { }. Dies ist eine F n n -Stoppzeit, denn {σ n} = {X k h für ein k n} = {X k < h} c F n. }{{} k n F k F n Definiere τ := σ n, so ist τ eine beschränkte Stoppzeit mit τ max n. iii Also gilt, da X n n ein Submartingal ist, E M τ = EX τ EX n = E M n. iv Folglich gilt unter Beachtung, dass σ = τ auf {σ n} P sup M k h = Pσ n E 1 {σ n} M σ k n h = E 1 {σ n} M τ 1 h h E M τ iii 1 h E M n. Proposition Doobsche Martingalungleichung: Ist M n n ein Martingal oder positives Submartingal, M n := sup k n M k und M n L p für ein p > 1, so gilt EM n p c p E M n p für ein geeignetes c p. i Wie in der vorherigen Proposition ist M n n ein Submartingal. Sei n N fix und h > beliebig. Dann ist Y n := M n 1 { Mn h 2 } L1 F n und X n k mit k X k := EY n F k ein Martingal für jedes feste n N. ii Es gilt Mn X n sup k n k + h 2, denn für alle k n gilt M k EM n F k = E Y n + M n 1 { Mn < h 2 } F X n k k + h 2, sodass die Behauptung nach der Bildung des Supremums folgt. 19

20 iii Mit Hilfe der 1. Doobschen Martingal-Ungleichung in gilt und wegen EY n F n = Y n PMn h P sup X n k h 2 X 2 h E n n = 2 h E Y n. k n iv Mit Hilfe des Satzes von Fubini in folgt zusammen E M n p = pλ p 1 PMn λ dλ 2p }{{} = 2p E M n = 2p E M n 2 λ E Yn 2 Mn = p p 1 2p E M n p woraus die Behauptung folgt. λ p 2 1 {λ 2 Mn }dλ λ p 2 dλ X n n = λ p 2 E Mn 1 { Mn λ 2 } dλ Satz Doobsche Submartingalungleichung: Ist X n n ein Submartingal, so gilt für alle h > P sup X k h k n 1 h EX+ n. Da X n n ein Submartingal und ϕx = x + konvex und monoton wachsend ist, folgt, dass M n n := X n + n ein positives Submartingal ist. Damit folgt für h > mit der 1. Doobschen Martingalungleichung P sup X k h k n = P sup X k + h = P k n = 1 h EX+ n. sup X k + k n h 1 X h E + n Proposition Doobsches Upcrossing-Lemma: Sei X n n ein Submartingal, a < b und N N. Definiere U N := max{k N τ k N} als die Upcrossings bis zur Zeit N, wobei die Stoppzeiten definiert sind als τ :=, σ j+1 = min{k > τ j X k a}, τ j+1 := min{k > σ j+1 : X k b}. Dann gilt EU N 1 b a E X N a + 1 EX N + b a + a. 2

21 1 Da X n n ein Submartingal ist und ϕx := x a + konvex und monoton wachsend ist, folgt, dass Y n = X n a + ein Submartingal definiert. Ferner gilt Y τk b a und Y σk = für alle k N, d.h. Y τk Y σk b a. 2 Es gilt N U N N D := Y τk N Y σk N = Y τk N Y σk N + Y τk N Y σk N }{{}}{{}}{{} k=1 k=1 k=u =Y τk Y N +1 σk =Y N {,Y N } U N k=1 3 Es gilt σ N+1 > N und damit Y τk N Y σk N U N b a. woraus Y N Y σ1 N = Y σn+1 N Y σ1 N = = N k=1 N k=1 Y σk+1 N Y τk N + Y σk+1 N Y σk N N Y τk N Y σk N, k=1 } {{ } =D folgt. D = Y N Y σ1 N 4 Zusammen ergibt sich N k=1 Y σk+1 N Y τk N Y N EU N ED 1 b a b a EY N 1 b a 1 b a EY N N k=1 Y σk+1 N Y τk N N EY σk+1 N Y τk N }{{} k=1 wobei τ := τ k N σ k+1 N =: σ Stoppzeiten sind, d.h. EY σ EY τ gilt. Damit folgt die Behauptung, da Y N = X N a +. Satz Submartingal-Konvergenzsatz: Sei X n n ein Submartingal mit c := sup n N EX + n <. Dann konvergiert X n P-f.s. gegen eine Zufallsvariable X L 1 F. 21

22 Für die Konvergenz genügt es zu zeigen, dass P-f.s. gilt. 1 Definiere lim sup X n lim inf X n n n Λ := {lim sup X n > lim inf X n } = n n a<b,a,b Q wobei Λ a,b := {lim sup n X n b} {lim inf n X n a} = {ω Ω : Ua, b = }, d.h. die Pfade mit unendlich vielen upcrossings von a und b, wobei Ua, b := lim N U N a, b die Anzahl der a, b-upcrossings für den gesamten Pfad bezeichnet beachte: dies ist eine aufsteigende Folge. 2 Seien a, b Q, a < b beliebig. Mit monotoner Konvergenz und dem Doobschen Upcrossing-Lemma gilt Λ a,b EUa, b = lim EU N 1 N b a lim sup EX N + + a < N }{{} c < woraus Ua, b < P-f.s. und damit PΛ a,b = folgt. Als abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist Λ eine Nullmenge. 3 Es bleibt zu zeigen, dass X := lim n X n L 1 F. Dazu gilt mit dem Lemma von Fatou E X = Elim X n = Elim inf X n lim inf E X n n n n lim inf 2 EX + n n EX n 2c EX <. }{{} EX Definition : Eine Menge von Zufallsvariablen H L 1 F heißt gleichgradig integrierbar, falls Proposition : Es gelten L sup E X 1 X L. X H i Gilt sup X H E X p < für ein 1 < p <, so ist H gleichgradig integrierbar. ii Gilt X Y für alle X H für ein festes Y mit Y L 1, so ist H gleichgradig integrierbar. 22

23 i Ist X H, so gilt mit c := sup X H E X p E X 1 { X L} E X X p 1 L p 1 1 { X L} 1 L p 1 E X p L }{{} c uniform in X H. ii Für jedes X H gilt X Y, d.h. X 1 { X L} Y 1 { X L} Y 1 { Y L}, was wegen Y L 1 für L gegen P-f.s. konvergiert. Mit Hilfe von majorisierter Konvergenz gilt sup E X 1 { X L} EY 1 { Y L} L. X H Satz Martingal-Konvergenzsatz: Sei M n n ein Martingal und {M n : n N} gleichgradig integrierbar. Dann gilt i M n M P-f.s. für ein M L 1 F. ii E M n M für n, d.h. M n L 1 M. iii M n = EM F n für alle n N. Ist Y L 1 F und definiere M n := EY F n, so ist {M n n N} gleichgradig integrierbar. i Für den ersten Teil genügt es zu zeigen, dass c := sup n N EM + n <. Dann folgt die Behauptung aus dem Submartingal-Konvergenzsatz. Da {M n n N} gleichgradig integrierbar ist, gibt es für alle ε > ein L > mit sup n N E M n 1 { Mn L} < ε. Daraus ergibt sich die Abschätzung EM n + E M n = E M n 1 { Mn L} + E M n 1 { Mn <L} < ε + L }{{}}{{} <ε <L unabhängig von n. ii Für L > beliebig definiere die cutoff Funktion L f L x := x L x > L L x L x < L 23

24 welche stetig und beschränkt ist. Zerlege nun E M n M = E M n f L M n + f L M n f L M + f L M M Nun gilt für α n E M n f L M n + E f L M n f L M + E f L M M. }{{}}{{}}{{} α n β n γ n E M n f L M n = E M n L 1 }{{} {Mn< L} + E M n L 1 }{{} {Mn>L} M n+l 2 M n 2 M n 2 E M n 1 { Mn L} ε 3 wegen der gleichgradigen Integrierbarkeit für ein L L ε, uniform in n. Analog gilt für γ n, da M integrierbar ist, E f L M M 2 E M 1 { M >L} < ε 3 für ein L L ε. Also gilt für alle L L ε := maxl ε, L ε für alle n N α n +γ n < 2 3 ε. Nach Teil i gilt M n M P-f.s., d.h. wegen der Stetigkeit von f L gilt auch f L M n f L M P-f.s. Wegen f L M n L L 1 folgt mit Hilfe der majorisierten Konvergenz auch Ef L M n Ef L M, d.h. es existiert ein N ε N, sodass für alle n N ε gilt Also gilt die Behauptung für L ε und N ε. E f L M n f L M ε 3. iii Fasse M n als Kandidaten für die bedingte Wahrscheinlichkeit EM F n auf. Da M n F n -messbar ist, bleibt nur zu zeigen, dass für alle A F n EM n 1 A = EM 1 A gilt. Für alle N n gilt wegen der Martingaleigenschaft von M in EM n M 1 A EM n M N 1 A + EM N M 1 A }{{} = E M N M N woraus die Behauptung folgt, da die linke Seite unabhängig von N ist. Zum Zusatz: Für alle n N, L > gilt E M n 1 { Mn L} = E EY F n 1 { Mn L} E Y 1 { Mn L}. Für alle K > gilt also E M n 1 { Mn L} E Y 1 { Mn L}1 { Y K} + E Y 1 { Mn L}1 { Y <K} E Y 1 { Y K} + K E1 { Mn L} }{{} 1 L E Mn 24

25 wegen der Markoff-Ungleichung. Zusätzlich gilt E M n = EY F n E Y F n und damit ist E M n 1 { Mn L} E Y 1 { Y K} + K E Y L eine gleichmäßige obere Schranke. Für K und L groß genug gilt daher E M n 1 { Mn L} < ε und damit die Behauptung. Definition 1.2.3: Definiere die σ-algebra F := σ n N F n. Korollar : Für alle Y L 1 F gilt M n := EY F n n EY F P-f.s. Falls Y sogar F - n messbar ist, folgt M n Y P-f.s. Da M n = EY F n, folgt nach dem zweiten Teil des MKS, dass {M n n N} gleichgradig integrierbar ist. Also folgt aus dem MKS M n M P-f.s. für eine integrierbare Zufallsvariable M. Zu zeigen ist nur, dass M = EY F. Jedes M n ist F n F - messbar, d.h. auch M als P-f.s. Limes. Nach dem Martingalkonvergenzsatz gilt EY F n = M n = EM F n P f.s. für alle n, d.h. nach der Definition der bedingten Erwartung gilt EY 1 A = EM 1 A A F n n und weil A n N F n ein schnittstabiler Erzeuger von F ist, gilt auch EY 1 A = EM 1 A A F. 25

26 1.3. Martingale in stetiger Zeit Sei Ω, F, P ein W-Raum und X = X t t ein reellwertiger Prozess auf Ω, F, P mit X t L 1 für alle t. Sei eine Filtrierung F t t gegeben und X sei F t t -adaptiert. Definition Übliche Bedingungen: Eine Filtrierung F t t von F erfüllt die üblichen Bedingungen, wenn F t t ist rechtsstetig. F t t enthält alle N F mit PN = für alle t. Dabei genügt zu zeigen, dass N F für alle P-Nullmengen aus F. Proposition 1.3.1: Sei X F t t -adaptiert und RCLL und F t t erfülle die üblichen Bedingungen. Dann existiert eine Folge von Stoppzeiten τ n n bzgl. F t t, die die Sprünge von X ausschöpft im Sinne von {t, ω, Ω : X t ω X t ω} {t, ω [, Ω : τ n ω = t} Bemerkung: Sei Z eine reellwertige Zufallsvariable und c. Dann sind die Aussagen äquivalent: i PZ λ 1 λ c λ >. ii PZ > λ 1 λ c λ >. i ii: Wähle zu λ > eine fallende Folge λ m λ. Dann gilt {Z λ m } {Z > λ}, d.h. m N {Z λ m } = {Z > λ}. Daraus folgt mit der Maßstetigkeit von unten n N PZ > λ = lim m PZ λ m lim m 1 λ m c = 1 λ c. ii i: Wähle zu λ > eine aufsteigende Folge λ m λ, so gilt {Z > λ m } {Z λ}, d.h. m N {Z > λ m } = {Z λ}. Also folgt mit der Maßstetigkeit von oben PZ λ = lim m PZ > λ m lim m 1 λ m c = 1 λ c. Satz Doobsche Submartingal-Ungleichung: Sei X t t ein F t t -Submartingal, wobei die Pfade von X t t rechtsstetig sind. Dann gilt für alle t > und λ > P sup X s λ s t 1 λ EX+ t. 26

27 i Sei n N und t > beliebig. Definiere einen zeitdiskreten stochastischen Prozess Y k k durch Y k := X k t 2 n und eine zeitdiskrete Filtrierung durch F k := F Y k, dann ist Y k k ein F k k -Submartingal. Für jedes λ > gilt wegen der Doobschen Submartingal-Ungleichung in diskreter Zeit für N := 2 n P sup X kt > λ = P sup Y k > λ 1 k N 2 n k N λ EY N + = 1 λ EX+ t für alle n N. Definiere F n := {, t 2 n,..., t} und F = n N F n, dann liegt F dicht in [, t]. Wegen F n F gilt auch { sup X s > λ} {sup X s > λ} = { sup X s > λ} s F n s F s [,t] wobei im letzten Schritt die rechtsstetigen Pfade eingehen. Denn für jedes s [, t] existiert eine Folge s l l F mit s l s, sodass mit der Rechtsstetigkeit folgt X s ω = lim X s l l ω sup X s ω s F woraus nach Bildung des Supremums sup s [,t] X s ω sup s F X s ω folgt. Die andere Ungleichung ist klar. Mit der Maßstetigkeit von unten folgt nun Psup s F n X s > λ Psup s [,t] X s > λ, d.h. es gilt P sup X s > λ 1 s [,t] λ EX+ t λ > Bem. P sup X s λ 1 s [,t] λ EX+ t λ >. Proposition 1.3.3: Sei X ein Martingal Submartingal und ϕ : R R konvex und monoton wachsend mit ϕx t L 1 für alle t. Dann ist ϕx t t ein F t t -Submartingal. Wie im diskreten Fall. Definition Aufsteigende Überquerungen eines Intervalles: Sei Y = Y t t ein reellwertiger stochastischer Prozess, α < β R und F [, eine endliche Teilmenge der Zeitachse. Dazu sei U F α, β, Y ω die Anzahl der upcrossings des Intervalls [α, β] durch Y t t F, d.h. definiere τ 1 := min{t F : X t α} σ j := min{t F : t τ j, X t β} τ j+1 := min{t F : t σ j, X t α} 27

28 für j 1 und bezeichne mit U F α, β, Y ω das größte j mit σ j ω <. Für nichtendliche Zeitmengen I [, definiere U I α, β, Y ω := sup{u F α, β, Y ω : F I endlich}. Satz Doobsche Submartingal-Ungleichungen: Sei X ein Submartingal mit rechtsstetigen Pfaden, [s, t ] [, ein Zeitintervall, α < β und λ > beliebig. Dann gelten i Die Doobsche Submartingal-Ungleichung, 1. Form: P sup X t λ s t t ii Die Doobsche Submartingal-Ungleichung, 2. Form: P inf X t λ s t t 1 λ iii Die Upcrossing / Downcrossing-Ungleichung 1 λ EX+ t. EX + t E X s. E U [s,t ]α, β, X EX+ t + α β α E D [s,t ]α, β, X E X t α +. β α iv Die Doobsche Maximalungleichung: Falls X t P-f.s. für alle t und X p t L 1 : für alle p > 1. v Regularität der Pfade: E sup s t t X t p p p EX p t p 1 P-f.a. Pfade weisen keine Unstetigkeitsstellen zweiter Art auf, d.h. die linksseitigen Limiten existieren überall auf,. Falls die Filtrierung die üblichen Bedingungen erfüllt, so existiert eine Folge von Stoppzeiten, die die Sprünge ausschöpft. i Wurde bereits bewiesen. ii Siehe Übungen. 28

29 iii U [s,t ]α, β, X ist messbar als Supremum messbarer Abbildungen. Für eine beliebige diskrete Menge F = {t 1,..., t N } mit t i < t i+1 gilt E U F α, β, X 1 EX t + β α N + α EU F α, β, X EU F {t }α, β, X 1 EX t + β α + α. Sei F n eine Folge endlicher Mengen mit F n [s, t ] Q {s, t }, so folgt wegen }{{} =:Q der Monotonie EU Q α, β, X 1 EX t + β α + α. Mit der Dichtheit von Q in [s, t ] und der Rechtsstetigkeit folgt die Behauptung. iv Für diskretes F [s, t ] gilt hier erneut p E sup s t t X t p p EX p t p 1. Mit der selben approximierenden Folge, der Dichtheit und der Rechtsstetigkeit folgt die Behauptung aus p p p E sup X t EX p t t Q p 1. v Wir zeigen die Beschränktheit auf jedem Kompaktum. Dazu sei das Kompaktum OE [, n] für ein n N. Es gilt P sup X t = t n = P sup X t K K t n 1 lim K K EX+ n =. = lim K P sup X t K t n Die Existenz der linksseitigen Limiten für P-f.a. Pfade: Dazu sei für n 1 A n [α,β] = {ω Ω : U [,n]α, β, Xω = }. Dann gilt P A n [α,β], = denn E U [,n] α, β, X < = U [,n] α, β, X < P f.s.. }{{} Damit gilt auch PA n = für A n = α<β,α,β Q An [α,β]. Nun gilt die Inklusion { t [, n] : lim inf s t X s ω < lim sup X s ω} A n. s t 29

30 Daraus folgt, dass X t ω := lim s t X s ω für jedes t [, n] und alle ω Ω\A n existiert. Da n beliebig war, gilt, dass für P-f.a. Pfade ω die linksseitigen Limiten für alle t existieren. Proposition 1.3.6: Sei X ein Submartingal. Dann gelten: i Es existiert eine Menge Ω F mit PΩ = 1, sodass X Q t + ω := X Q t ω := lim X sω s t,s Q lim X sω s t,s Q für alle t bzw. t > und alle w Ω existiert. ii Für die Limiten aus i gilt EX Q t + F t X t EX t F t X Q t P f.s. P f.s. für alle t. iii X Q t + t ist ein F t t -Submartingal mit RCLL Pfaden. Ohne Beweis. Satz 1.3.7: Sei X ein Submartingal und F t t erfülle die üblichen Bedingungen. Dann gilt i X hat eine rechtsstetige Modifikation genau dann, wenn [, t E X t rechtsstetig ist. ii Wenn eine rechtsstetige Modifikation existiert, so kann diese RCLL gewählt werden, sodass die Modifikation F t t -adaptiert ist. Die Modifikation kann als Submartingal bezüglich F t t gewählt werden. i : Sei t E X t rechtsstetig. Per Annahme gilt F t + = F t. Wähle X Q t + t aus Proposition und zeige, dass dieser Prozess eine Modifikation mit den gewünschten Eigenschaften ist. Zunächst ist X Q t + t per Definition rechtsstetig und F t + t -adaptiert. Also bleibt nur zu zeigen, dass X Q t + t eine Modifikation von X t t ist. Wähle eine Folge q n n Q mit q n t. Dann gilt lim n X qn = X Q t + P-f.s. nach 3

31 Proposition 1.3.6i. Ferner gilt wegen der gleichgradigen Integrierbarkeit in und der Rechtsstetigkeit von t E X t in E X Q t + = lim n E X qn = E X t und Proposition 1.3.6ii liefert X Q t + = EX Q t + F t X t P-f.s. Zusammen folgt also wegen E X Q t + X t = und X Q t + X t X Q t + = X t P-f.s. : Sei X t t eine rechtsstetige Modifikation. Sei t n t eine Folge, so gilt PX t = X t, X tn = X tn n = 1 und wegen der Rechtsstetigkeit lim n Xtn = X t P-f.s. Also gilt lim n X tn = X t P-f.s. und wegen der gleichgradigen Integrierbarkeit auch E X t = lim n E X tn, sodass t E X t rechtsstetig ist. ii Folgt mit iii aus Proposition

32 1.3.A. Konvergenzsätze Satz Konvergenzsatz für Submartingale: Sei X ein rechtsstetiges Submartingal bezüglich F t t und c := sup t E X t + existiert ein X := lim t X t P-f.s. und X L 1. <. Dann Für alle n 1 und α < β beliebig gilt E U [,n] α, β, X 1 E X n + + α 1 β α β α d.h. wegen der monotonen Konvergenz auch E U [, α, β, X 1 c + α. β α c + α Sei A [α,β] = {U [, α, β, X = }. Dann gilt wegen EU [, α, β, X < auch PA [α,β] =. Also gilt für A := α<β,α,β Q A [α,β] auch PA =. Außerdem gilt {lim sup t X t ω > lim inf t X t ω} A, woraus für ω Ω\A lim t X t ω existiert, d.h. wegen PΩ\A = 1 P-f.s. Es bleibt zu zeigen, dass X := lim t X t L 1. Mit dem Lemma von Fatou folgt allerdings E X = Elim inf t X t lim inf t E X t <. }{{} sup t E X t Bemerkung: Für ein Sub-Martingal X gilt sup t E X + t < sup t E X t <, denn E X t = 2 EX + t EX t 2 E X + t E X. Also gilt E X t 2C EX <. Die andere Richtung ist trivial. Satz 1.3.9: Sei X ein rechtsstetiges, nichtnegatives Supermartingal. Dann existiert X := lim t X t P-f.s., X ist in L 1 und X t t [, ] ist ein F t t [, ] -Super-MG. Y t := X t ist ein Submartingal mit E Y t + = E X t + = für alle t. Daher folgen die P-f.s. Konvergenz und X L 1 aus Satz Es bleibt noch zu zeigen, dass EX F t X t P-f.s. gilt. Mit dem Satz von Fatou für bedingte Erwartungswerte und der Supermartingal-Eigenschaft von X folgt EX F t lim inf s EX s F t X t P f.s.. 32

33 Satz 1.3.1: Sei X ein rechtsstetiges Submartingal. Dann gilt a b c in a {X t : t } ist gleichgradig integrierbar. b X t t konvergiert in L 1. c X t t konvergiert P-f.s. gegen X L 1 und X t t [, ] ist ein F t -Submartingal. Gilt darüber hinaus X t für alle t, so gilt c a. a b: Aus der gleichgradigen Integrierbarkeit folgt sup t E X t < sup t EX + t <. Satz zeigt die P-f.s. Konvergenz und aus der P-f.s. Konvergenz und der gleichgradigen Integrierbarkeit folgt L 1 -Konvergenz. b c: Aus der L 1 -Konvergenz folgt sup t E X t <, also die P-f.s. Konvergenz nach Satz Ferner gilt mit dem Lemma von Fatou EX F t lim sup EX s F t X t. s c a: Für X t für alle t folgt, dass X t EX F t gleichgradig integrierbar ist. Satz : Sei X ein rechtsstetiges Martingal. Es sind äquivalent: a X ist gleichgradig integrierbar. b X konvergiert P-f.s. und in L 1 gegen X. c Das Martingal ist abschließbar, d.h. es existiert ein Z L 1 mit X t = EZ F t P-f.s. für alle t. a b: Mit dem vorigen Satz. b c: Setze Z := X L 1. Zu zeigen ist X s = EX F s P-f.s. Sei dazu t s, so gilt X s EX F s L 1 = EX t X F s L 1 E X t X = X t X L 1 t. Noch zu zeigen: EX F t X t P-f.s. Dazu wende wieder das Lemma von Fatou für bedingte Erwartungswerte und die Supermartingal-Eigenschaft an: EX F t lim inf s EX s F t X t P f.s.. 33

34 Satz Optionaler Stoppsatz: Sei X t t [, ] ein rechtsstetiges Submartingal bezüglich F t t und σ τ Optionszeiten bezüglich F t t. Dann gelten a Es gilt EX τ F σ + X σ P f.s. wobei F σ + := {A F : A {σ t} F t + t }. b Falls σ eine Stoppzeit bezüglich F t t ist, so gilt EX τ F σ X σ P f.s.. c Daraus folgt E X τ E X σ E X. d Ist X t t [, ] ein Martingal, so gilt in a bis c Gleichheit. a b: Sei σ eine Stoppzeit und sei A F σ. Dann gilt A {σ t} F t F t +, d.h. A F σ +. Aus a folgt A X τ d P a X σ d P A F σ F σ +, A d.h. es gilt EX τ F σ X σ P-f.s. a: Wir zeigen dies nur für den Martingalfall. Der Fall des Submartingals ist eine Übung. i Reduktion auf diskrete Zeit: Definiere dafür σ n := und analog für τ n. Beachte: { k 2 {ω : k 1 n 2 σω < k n 2 } auf k 2 2n n sonst σ n und τ n sind für festes n beschränkte Stoppzeiten abgesehen von +. σ n und τ n sind ebenfalls Stoppzeiten. Sei dazu t > beliebig. Dann existiert ein k N mit k 2 t < k+1 n 2. Es gilt σ n n t σ < k 2 für ein k 2 2n, d.h. es n gilt { {σ < k {σ n t} = 2 } falls k 2 2n F n k für k 2 2n {σ < 2 n 2 } sonst n F t F 2 n sonst σ n und τ n nehmen nur endlich viele Werte an: { k 2 n : k 2 2n } { }. σ n τ n wegen σ τ. σ n σ und τ n τ. 34

35 σ n σ n+1. Sei n bis auf weiteres fest. X k ist ein F 2 n k -Martingal. Doobs optionaler Stoppsatz zeigt 2 n k EX τn F σn = X σn. Es gilt also für alle A F σn X τn d P = A A X σn d P. Dies gilt insbesondere für alle A k N F σk. Nun gilt A k F σk A {σ k t} F t t k A {σ k t} F t + t A F σ +. k Verwende nur noch für A F σ +. ii Ziel: Limes n in für A F σ +. Dazu benötigen wir die Konvergenz von X τn und X σn in L 1. Es gilt die P-f.s. Konvergenz, d.h. X τ = lim n X τn und X σ = lim n X σn P-f.s. weil σ n σ und τ n τ sowie der Rechtsstetigkeit von X t t. Zeige also die gleichgradige Integrierbarkeit, dann folgt die Behauptung. Nun ist X σn n ein F σn n -Rückwärtsmartingal, da es integrierbar und adaptiert ist und es gilt EX σn F σn+1 = X σn+1 P-f.s. OST in diskreter Zeit. Ferner ist E := lim n E X σn = E X > und damit folgt aus der Übung die gleichgradige Integrierbarkeit. Beispiel Poisson-Prozess: Sei T i i N eine Folge von i.i.d. ZV, wobei T i expλ für λ >. Setze S = und S n = n i=1 T i für n 1 Ankunftszeiten. Definiere N t := max{n : S n t} für alle t [, als die Ankünfte bis zur Zeit t. Dann ist N t t ein N -RCLL stochastischer Prozess. Definiere F N t := σn s : s t. Im letzten Semester wurde gezeigt: N t t hat unabhängige Zuwächse. Daher ist N t N s unabhängig von F s für alle s. N t N s ist Poisson-verteilt mit Erwartungswert λt s. Zeige noch, dass N t t ein Submartingal ist. Dafür sei t > s. Dann gilt EN t F s = EN s + N t N s F s = N s + EN t N s = N s + λt s N s. Definition kompensierter Poisson-Prozess: Definiere M t = N t λt für alle t. Beachte, dass F N t = F M t für alle t gilt. Dann ist M t t ein Martingal. 35

36 Bemerkung: Es gilt N t = M t + λt, d.h. ist die Summe von einem Martingal und einem wachsenden, vorhersagbaren Prozess. Vergleiche auch die Doobsche Martingalzerlegung. 36

37 1.4. Doob-Meyer-Zerlegung Definition Aufsteigende Zufallsfolge: Sei Ω, F, P ein W-Raum, F n n eine Filtrierung von F und A n n eine Folge von Zufallsvariablen und A n sei F n -messbar für alle n N. Dann heißt A n n eine aufsteigende zufällige Folge, wenn = A A 1... P-f.s. und E A n = EA n < für alle n N. Eine aufsteigende zufällige Folge A n n heißt integrierbar, wenn EA < für A = lim n A n. Eine beliebige Folge von Zufallsvariablen ξ n n heißt vorhersagbar predictable bezüglich F n n, wenn ξ n F n 1 für alle n N. Bemerkung Martingaltransformation: Sei ξ n n eine vorhersagbare Folge mit E ξ n < für alle n und M n n ein beschränktes Martingal. Dann ist mit auch Y n n ein Martingal. Y := und Y n := n ξ k M k M k 1 n 1 k=1 Die Integrierbarkeit ist klar, da jeder Summand die Form ξ k M k M k 1 hat mit ξ k L 1 und beschränkt. Es gilt wegen der Vorhersagbarkeit von ξ in EY n+1 F n = EY n + ξ n+1 M n+1 M n F n = Y n + ξ n+1 EM n+1 M n F n = Y n + ξ n+1 = Y n. Definition 1.4.2: Sei A n n eine aufsteigende zufällige Folge bezüglich F n n. Dann heißt A n n natürlich, wenn für alle n 1 n EM n A n = E M k 1 A k A k 1 k=1 für alle beschränkten Martingale M n n gilt. Bemerkung: A n n ist genau dann natürlich, wenn für die Martingaltransformation Y = Y n n von A n n durch jedes beschränkte Martingal E Y n = für n 1 erfüllt. Bezeichne mit M b die Menge der beschränkten Martingale. Dann gilt A n n natürlich n EM k A k = k= n EM k 1 A k n M M b k=1 37

38 sowie beachte, dass A = n n E Y n = n EA k M k = EA k M k 1 n M M b. k= k=1 Proposition 1.4.3: Sei A n n eine aufsteigende zufällige Folge. Dann gilt : Es gilt A n n vorhersehbar A n n natürlich. EM k A k = EEM k A k F k 1 = EA k EM k F k 1 = EA k M k 1 und die Summation über k liefert die Behauptung. : Sei M n n ein beliebiges beschränktes Martingal. Dann gilt denn EM n [A n EA n F n 1 ] = EM n M n 1 A n + EM n 1 [A n EA n F n 1 ] EM n M n 1 EA n F n 1 = EM n M n 1 A n = EY n EY n 1 = mit Y aus der Martingaltransformation und weil A n n natürlich ist, sind alle Erwartungswerte. Zweitens ist EA n EA n F n 1 = und damit verschwindet der zweite Term bedinge vorher auf F n 1 und nutze die Eigenschaften der bedingten Erwartung. Weil M ein Martingal ist, gilt EM n M n 1 EA n F n 1 = E EM n M n 1 F n 1 EA n F n 1. }{{} = Sei n fest. Definiere M n k k durch M n k := { Z n k n EZ n F k mit Z n := sgn A n EA n F n 1 F n. Es gilt 1, also ist M n k beschränkt. M n k EM n k F k 1 = M n k = n folgt dies wegen k k 1 k < n für alle k, denn für k < n folgt dies per Definition. Für EZ n F k 1 = M n k 1 ebenfalls nach Definition. Für k > n gilt EZ n F k = Z n, da Z n F n. 38

39 Mit dieser Wahl gilt = E M n n [ An EA n F n 1 ] = E A n EA n F n 1 }{{} =Z n woraus A n = EA n F n 1 P-f.s. folgt. Also ist A n n vorhersehbar. Definition aufsteigend: A t t heißt aufsteigend, wenn 1 A t t ist F t t -adaptiert 2 A = P-f.s. 3 t A t ω ist monoton wachsend und rechtsstetig P-f.s. 4 E A t < für alle t. Gilt außerdem E A < für A = lim t A t, so heißt A t t integrierbar. Definition natürlich: Sei A t t ein aufsteigender Prozess. Dann heißt A t t natürlich, wenn E M s da s = E M s da s [,t] [,t] für alle t und alle beschränkten, rechtsstetigen Martingale M s s. Bemerkung 1.4.6: i Die Integrale sind wohldefiniert, falls A t t aufsteigend ist und X = X t t ein messbarer stochastischer Prozess. Dann ist für festes ω Ω I t ± ω = X s ± ωda s ω [,t] wohldefiniert als Lebesgue-Stieltjes-Integral d.h. A s ω s induziert ein äußeres Maß. Sofern I t ± ω endlich sind und wohldefiniert, so definiert I t := I t + It einen stochastischen Prozess. In unserem Fall ist X t t = M t t adaptiert und rechtsstetig. Also definiert I t t einen rechtsstetigen, progressiv messbaren stochastischen Prozess. ii Ist A t t aufsteigend und stetig, dann A t t ist natürlich. Beweis von ii: Gemäß Satz 1.3.5v hat M s ω s höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. Also gilt für P-f.a. ω M s ω M s ω da s ω = für alle t >. [,t] 39

40 Lemma 1.4.7: Sei A t t aufsteigend und M t t beschränktes, rechtsstetiges Martingal. Dann gilt EM t A t = E M s da s. [,t] Insbesondere gilt aus Definition genau dann, wenn E [,t] M s da s = EM t A t. Für eine Partition Π = {t,..., t n } von [, t] mit t t 1... t n = t definiere M Π s = n M tk 1 tk 1,t k ]s. Nutze die Martingaleigenschaft in, so gilt n E Ms Π da s = E M tk A tk A tk 1 [,t] k=1 n n 1 = E M tk A tk M tk+1 A tk }{{} k=1 k=1 = M tk k=1 = EM t A t. Für max 1 k n t k t k 1 gilt Ms Π M s. Da Ms Π s beschränkt ist durch die Schranke an M s s für jede Wahl von Π folgt die Behauptung aus dem Satz von Lebesgue. Definition 1.4.8: Definiere Sei X t t rechtsstetig und adaptiert. S := {τ : τ Stoppzeit bzgl. F t t, Pτ < = 1} S a := {τ : τ Stoppzeit bzgl. F t t, Pτ a = 1}. i X t t heißt von der Klasse D, wenn {X τ : τ S} gleichgradig integrierbar ist. ii X t t heißt von der Klasse DL, wenn {X τ : τ S a } gleichgradig integrierbar ist für jedes a >. Aufgabe 1.4.9: Sei X t t ein rechtsstetiges Submartingal mit X t oder X t = M t + A t für jedes t, wobei M ein Martingal und A ein aufsteigender Prozess. Dann ist X t t von der Klasse DL. Ist X t t ein gleichgradig integrierbares, rechtsstetiges Martingal, dann ist X t t von der Klasse D. 4

41 Satz Doob-Meyer-Zerlegung: Sei X t t ein rechtsstetiges Submartingal, X t t von der Klasse DL und F t t erfülle die Standard-Bedingungen. Dann gelten a Es existiert ein rechtsstetiges Martingal M t t und ein aufsteigender Prozess A t t mit X t = M t + A t für alle t. b A t t kann natürlich gewählt werden. c Wenn wir verlangen, dass A t t natürlich ist, dann ist die Zerlegung eindeutig im Sinne der Ununterscheidbarkeit. d Ist X t t von der Klasse D, dann ist M t t gleichgradig integrierbar und A t t integrierbar. Eindeutigkeit: Sei X t = M t + A t = M t + A t für alle t, wobei M t t, M t t rechtsstetige Martingale und A t t, A t t natürliche, aufsteigende Prozesse. Dann ist Z t := A t A t = M t M t wobei A t A t die Differenz zweier monotoner Funktionen, also von beschränkter Variation für festes ω ist. Sei ξ t t ein beschränktes, rechtsstetiges Martingal. Nutze in, dass A t und A t natürlich sind, so gilt Eξ t A t A Lemma t = E ξ s da s ξ s da s,t],t] = E ξ s dz s,t] Lebesgue = lim E m n ξ n n t j 1 Z m t j Z m t j 1 j=1 für eine Folge von Partitionen {t n t,..., tn n m n } mit max 1 j mn j t n j 1 und geschachtelt. Da ξ n t j 1 F n t und Z n j 1 t Z n j t ein Martingal ist, gilt j 1 E ξ n Zt n t Z n j 1 j t = j 1 sodass Eξ t A t A t = für alle t folgt. Wähle ξ t t durch ξ t := Eξ F t für alle t und für eine beschränkte Zufallsvariable ξ. Satz unter üblichen Bedingungen zeigt, dass ξ t t als rechtsstetige Modifikation gewählt werden kann unter Erhalt der Martingal-Eigenschaft. Also gilt = EEξ F t A t A t = Eξ t A t A t. 41

42 Da ξ beliebig war gilt A t = A t P-f.s. Da A t t, A t t rechtsstetig sind, folgt also PA t = A t t = 1. Existenz: Schritt 1: Schränke zunächst auf [, a] ein. Es genügt, dies zu betrachten: verwende dazu die Eindeutigkeit der Fortsetzung auf jedes [, T ]. Schritt 2: Sei also a > fest. Führe eine Zeitdiskretisierung durch: Definiere Y t := X t EX a F t für alle t [, a]. Dabei ist X t ein Submartingal und EX a F t ein Martingal. Daher ist Y t t ein Submartingal mit Y t P-f.s. für alle t. Betrachte die Partition Π n := {t n,..., tn 2n } von [, a] mit tn,..., 2 n. Nutze die Doobsche Martingalzerlegung in diskreter Zeit: Setze Y n t j j := j für j =,..., 2 n, wobei A vorhersagbar und aufsteigend ist. Es gilt A n j 1 = EY n t n t k+1 Y n t k F tk. j k= Ferner gilt Y a = X a EX a F a =, d.h. M n a Y n t j = M n t j + A n t j Schritt 3: Zeige, dass A n a = A n t j Sei dazu λ > beliebig und τ λ = τ n λ τ λ t j 1 A n t j Somit ist τ λ eine Stoppzeit aus S a. EA n a F tj. n gleichgradig integrierbar ist. = A n a. 2 n a für j = = M n t n j +A n t n j := min{a, min{t n j 1 : An t j > λ}}, d.h. es gilt > λ. Insbesondere gilt {τ λ t j 1 } F tj 1, da A n vorhersehbar ist. Es gilt τ λ < a A n a > λ. Auf {τ λ = t j } gilt EA n a j {τ λ = t j } Auflösen nach EA n a führt auf Y τj = A n τ λ {A a n >λ} F tj = EA n a F τλ. Daher gilt auf {τ λ < a} = EA n a F τλ λ EA n a F τλ F τλ und Integration über {A n a A n a d P λ Pτ λ < a Y τλ d P. {τ λ <a} > λ} = {τ λ < a} F τλ Analog für λ 2 statt λ unter Verkleinerung des Integrationsbereiches in führt zu Y τλ/2 d P = A n a A τλ/2 d P {τ λ/2 <a} {τ λ/2 <a} {τ λ <a} λ λ 2 d P = λ 2 Pτ λ < a. 42