Teil I Grundlegende Konzepte und Lösungstechniken 1

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Chantal Stieber
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1 V Inhaltsverzeichnis Vorwort zur zweiten englischen Auflage XI Formeln und Abkürzungen XV Teil I Grundlegende Konzepte und Lösungstechniken 1 1 Einleitung Ein einfaches Beispiel für nichtlineares Verhalten Wiederholung: Grundlagen der Linearen Algebra Vektoren und Tensoren Spannungs- und Dehnungstensor Elastizität Die PyFEM-Finite-Elemente-Bibliothek 27 2 Nichtlineare Finite-Elemente-Analyse Gleichgewicht und virtuelle Arbeit Räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen PyFEM-Programme für Ansatzfunktionen Inkrementell-iterative Analyse Lastkontrolle contra Verschiebungskontrolle PyFEM: ein linearer Finite-Elemente-Code mit Verschiebungskontrolle 57 3 Geometrische Nichtlinearität Trägerelemente Total-Lagrange-Formulierung Updated-Lagrange-Formulierung Korotierende Formulierung PyFEM: der flache Träger Spannungs- und Dehnungsmaße in Kontinua Geometrisch nichtlineare Formulierung für Kontinuumselemente 97

2 VI Inhaltsverzeichnis Total- und Updated-Lagrange-Formulierung Korotierende Formulierung Lineare Knickanalyse PyFEM: geometrisch nichtlineares Kontinuumselement Lösungstechniken für quasistatische Analysen Line-Search-Verfahren Bogenlängenverfahren PyFEM: Implementierung des Riks-Bogenlängen-Solvers Stabilität und Eindeutigkeit in diskretisierten Systemen Stabilität eines diskreten Systems Eindeutigkeit und Bifurkation in einem diskreten System Branch-Switching Lastschrittweite und Konvergenzkriterien Quasi-Newton-Methoden Lösungsverfahren für die nichtlineare Dynamik Semidiskrete Gleichungen Explizite Zeitintegration PyFEM: ein Solver mit expliziter Zeitintegration Implizite Zeitintegration Die Newmark-Familie Die HHT-α-Methode Alternative implizite Methoden Stabilität und Genauigkeit bei Nichtlinearitäten Algorithmen mit Energieerhaltung Zeitschrittkontrolle und Element-Technologie 174 Teil II Material-Nichtlinearitäten Schädigungsmechanik Das Konzept der Schädigung Isotrope elastische Schädigung PyFEM: Ebene-Dehnung-Schädigungsmodell Stabilität, Elliptizität und Gittersensitivität Stabilität und Elliptizität Gittersensitivität Kohäsionszonenmodelle Element-Technologie: Eingebettete Unstetigkeiten Komplexe Schädigungsmodelle Anisotrope Schädigungsmodelle Mikroebenenmodelle Rissmodelle für Beton und andere quasispröde Materialien Elastizitätsbasierte verschmierte Rissmodelle 214

3 Inhaltsverzeichnis VII Bewehrung und Zugversteifung Regularisierte Schädigungsmodelle Nichtlokale Schädigungsmodelle Gradienten-Schädigungsmodelle Plastizität Ein einfaches Gleitmodell Fließtheorie der Plastizität Die Fließfunktion Fließregeln Verfestigungsverhalten Integration der Spannungs-Dehnungs-Relation Tangenten-Steifigkeitsoperatoren Multi-Fließflächen-Plastizität Die Koiter sche Verallgemeinerung Rankine-Plastizität für Beton Tresca- und Mohr-Coulomb-Plastizität Bodenplastizität: Cam-Clay-Modell Gekoppelte Schädigungs-Plastizitäts-Modelle Element-Technologie: volumetrisches Locking Zeitabhängige Stoffmodelle Lineare Viskoelastizität Eindimensionale lineare Viskoelastizität Dreidimensionale Viskoelastizität Algorithmische Aspekte Kriechmodelle Viskoplastizität Eindimensionale Viskoplastizität Integration der Ratengleichungen Perzyna-Viskoplastizität Duvaut-Lions-Viskoplastizität Konsistenzmodell Propagierende oder dynamische Instabilitäten 316 Teil III Elementare Bauteile Balken und Bögen Ein flacher Bogen Kirchhoff-Formulierung Scherdeformation: der Timoshenko-Balken PyFEM: ein Kirchhoff-Balkenelement Korotierende Elemente Kirchhoff-Modell 341

4 VIII Inhaltsverzeichnis Timoshenko-Balken-Modell Isoparametrisches entartetes Kontinuums-Balkenelement in zwei Dimensionen Isoparametrisches entartetes Kontinuums-Balkenelement in drei Dimensionen Platten und Schalen Flache-Schale-Formulierungen Isoparametrisches entartetes Kontinuums-Schalenelement Festkörperartige Schalenelemente Plastizität bei Schalen: das Ilyushin-Kriterium 378 Teil IV Große Dehnungen Hyperelastizität Mehr Kontinuumsmechanik Impulsbilanz und Spannungstensoren Objektive Spannungsraten Hauptstreckungen und Invarianten Dehnungsenergiefunktionen Inkompressibilität und Fastinkompressibilität Dehnungsenergie als Funktion der Streckungsinvarianten Dehnungsenergie als Funktion der Hauptstreckungen Logarithmische Erweiterung der linearen Elastizität: das Hencky-Modell Element-Technologie u/p-formulierung Enhanced-assumed-Strain-Elemente F-Ansatz Korotierender Zugang Elastoplastizität großer Dehnungen Euler-Formulierungen Multiplikative Elastoplastizität Multiplikative Elastoplastizität und Ratenformulierungen Integration der Ratengleichungen Exponentielle Return-Mapping-Algorithmen 442 Teil V Fortgeschrittene Diskretisierungskonzepte Grenzflächen und Unstetigkeiten Grenzflächenelemente Unstetige Galerkin-Methoden 460

5 Inhaltsverzeichnis IX 14 Gitterfreie Methoden und die Zerlegung der Eins Gitterfreie Methoden Die elementfreie Galerkin-Methode Anwendung auf Bruchprozesse Schädigungsmechanik höherer Ordnung Volumetrisches Locking Ansätze mit einer Zerlegung der Eins Anwendung auf Bruchprozesse Erweiterung auf große Deformationen Bruchdynamik Schwache Unstetigkeiten Isogeometrische Finite-Elemente-Analyse Basisfunktionen in der geometrischen Modellierung Univariate B-Splines Univariate NURBS Multivariate B-Splines und NURBS-Patches T-Splines Isogeometrische finite Elemente Bézier-Element-Darstellung Bézier-Extraktion PyFEM: Ansatzfunktionen für die isogeometrische Analyse Isogeometrische Analyse in der nichtlinearen Festkörpermechanik Design-through-Analysis für Schalenstrukturen Schädigungsmodelle höherer Ordnung Kohäsionszonenmodelle 531 Literatur 539 Stichwortverzeichnis 559

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