Finite Elemente. Klaus Knothe Heribert Wessels. Eine Einführung für Ingenieure. Springer

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1 Klaus Knothe Heribert Wessels Finite Elemente Eine Einführung für Ingenieure Dritte, überarbeitete und erweiterte Auflage mit 344 Abbildungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Beispiele aus Konstruktionsberechnung und Mechanik Einordnung einer Finite-Elemente-Rechnung in den Prozeß der Konstruktionsberechnung Finite-Elemente-Verfahren für allgemeine Feldprobleme Die Finite-Elemente-Methode und andere Diskretisierungsverfahren Zur historischen Entwicklung der Finite-Elemente-Methode Gliederung des Buches 17 2 Differentialgleichungsformulierungen für Probleme der Strukturmechanik Tragwerkstypen Grundgleichungen und Randbedingungen für Scheibe und Stab Zustandsgrößen für Scheibe und Stab Gleichgewichtsbedingungen Materialgesetz (Elastizitätsgesetz) Kinematische Aussagen Verschiebungsdifferentialgleichungen Randbedingungen Zusammenfassung und Erweiterung auf dreidimensionale Kontinua Zustandsgrößen von Balken und Platten Grundgleichungen für Balken und Platten Übungsaufgaben 41 3 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie > Was ist das Prinzip der virtuellen Verrückungen und wie setzt man es ein? Ableitung des Prinzips der virtuellen Verrückungen aus den Gleichgewichtsbedingungen Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie (Dirichletsches Variationsprinzip) Zulässige Verschiebungszustände ' Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für einzelne Kontinua 65

3 Inhaltsverzeichnis K Das Prinzip für dreidimensionale Kontinua, Scheiben und Dehnstäbe Das Prinzip für Balken und Platten Übertragung des Prinzips der virtuellen Venückungen auf die Wärmeleitungsaufgabe Grundgleichungen der Wärmeleitung Das Prinzip der virtuellen Temperatur Analogie zwischen den Grundgleichungen der Wärmeleitung und den Grundgleichungen der Strukturmechanik Übungsaufgaben 76 4 Finite-Elemente-Verfahren für Scheibentragwerke und Fachwerke Ein Verfahren der finiten Elemente für Scheibentragwerke Vorbemerkung: Globale oder lokal begrenzte Ansätze Verschiebungsansatz für ein Rechteckelement Stetigkeit des Verschiebungsansatzes Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen durch Einführung des Verschiebungsansatzes Ermittlung der Steifigkeitsmatrix und der Lastvektoren für Rechteckelemente Aufbau und Lösen des Gleichungssystems Berechnung der Schnittkräfte und der Formänderungsenergie Anschauliche Interpretation Zusammenfassung : Einfache Beispielrechnung Verbesserte Schnittkraftberechnung Mechanisch begründete Anforderungen an ein Finite-Elemente-Verfahren Stetigkeit des Verschiebungsansatzes Darstellbarkeit von Starrkörperverschiebungszuständen Darstellbarkeit konstanter Verzerrungszustände Symmetrie der Steifigkeitsmatrix Positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix Kriterien für die Wahl von Ansatzfunktionen Überprüfung der Matrizen des 4-Knoten-Rechteckelementes Ein Verfahren der finiten Elemente für Fachwerke Elementierung Das Prinzip der virtuellen Verrückungen Schritt: Festlegung des Elementtyps Schritt: Differentiation des Verschiebungsansatzes Schritt: Auswertung der Elementintegrale Schritt: Aufbau der Systemmatrizen Schritt: Lösen des Gleichungssystems Schritt: Berechnung der Schnirfkräfte Ermittlung des exakten Verschiebungsansatzes 154

4 X Inhaltsverzeichnis Beispielrechnung Erweiterung auf räumliche Fachwerke Übungsaufgaben Umsetzung des Verfahrens zu einem Finite-Elemente-Programm Dateneingabe und Ergebnisausgabe Einbau der Elementmatrizen in die Systemmatrix Einbau der Verschiebungsrandbedingungen in die Systemmatrizen Direkter Aufbau der Matrizen des gefesselten Systems Lösen des Gleichungssystems Übungsaufgaben Zur Klassifikation von Elementen und Ansatzfunktionen Finite Elemente in der Deformationsmethode Problemtypen beim Kraftgrößenverfahren Übungsaufgaben Ansatzfunktionen für Elemente vom Scheibentyp Einleitung Ansatzfunktionen für Rechteckelemente durch Produktbildung Ansatzfunktionen für Randpunkt- und Übergangselemente Formfunktionen für Randpunktelemente Entwicklung der Steifigkeitsmatrix von Randpunktelementen Formfunktionen für Übergangselemente Schiefwinklige und krummlinig berandete Elemente " Einleitung Abbildungsvorschriften zur Approximation der Elementgeometrie Einführung des Verschiebungsansatzes Transformation des Differentialoperators und des Bereichsdifferentials Aufbau von Elementmatrizen und -vektoren Anmerkungen zur numerischen Integration und zur programmtechnischen Umsetzung Ansatzfunktionen für Dreieckelemente Dreieckskoordinaten ; Formfunktionen für gradlinig berandete Dreieckelemente Transformation des Differentialoperators und des Flächendifferentials Integration Krummlinig berandete Dreieckelemente Anmerkungen zu inkompatiblen Ansätzen Übungsaufgaben, 248

5 Inhaltsverzeichnis XI 8 Numerische Probleme Hinweise für den Einsatz krummlinig berandeter Elemente Lage der Knoten Ordnung der numerischen Integration Kontrollalgorithmen für Element- und Systemmatrizen Genauigkeit und Konvergenzverhalten Definition von Begriffen Schrankencharakter von Energiegrößen Fehlerquellen Ein einfacher Konvergenzbeweis Richardson-Extrapolation Beispielrechnungen Scheibenstreifen unter periodischer, treppenförmiger Randschubbelastung Kragscheibe unter Rand- und Flächenlasten Einige praktische Schlußfolgerungen aus den Untersuchungen zum Genauigkeits- und Konvergenzverhalten Übungsaufgaben 296 / 9 Finite Elemente für Balken und Platten Vorbemerkung Forderungen an Balken- und Plattenelemente Elemente für schubstarre Balken und Platten Hermite-Ansätze für Balkenelemente ; Ein kompatibles Plattenrechteckelement Zwei Plattenrechteckelemente mit 12 Freiheitsgraden Einige Bemerkungen zu isoparametrischen Viereckelementen für schubstarre Platten Dreieckelemente für schubstarre Platten Schlußfolgerungen Elemente für schubweiche Balken und Platten Elemente für schubweiche Balken Elemente für schubweiche Balken auf der Grundlage eines modifizierten Variationsprinzips Viereckelemente für schubweiche Platten Gemischt-hybride Verfahren zur Entwicklung von Steifigkeitstnatrizen für Flächentragwerken Verwendung von isoparametrischen Scheiben- und Volumenelementen für Balken- und Plattenstrukturen Zusammenfassender Vergleich der Elemente für die Behandlung von Biegestrukturen, Übungsaufgaben 351

6 Xu Inhaltsverzeichnis 10 Theorie 2. Ordnung, Stabilität, Schwingungen Vorbemerkung Das Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Theorie 2. Ordnung für Balken Nichtlineare Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen Lineare Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen Das Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Theorie 2. Ordnung für Platten Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für dynamische Probleme Berücksichtigung von Dämpfung im Stoffgesetz Einige numerische Ergebnisse zum Beulen und Schwingen von Platten Plattenbeulen Plattenschwingungen Ausnutzung der Symmetrie bei Rechnungen nach Theorie 2. Ordnung Übungsaufgaben Ein Verfahren der finiten Elemente für ebene Rahmentragwerke Elementierung Das Prinzip der virtuellen Verrückuhgen für statische Probleme nach Theorie 1. und 2. Ordnung Matrizen des schubweichen Stabelementes Aufbau der Systemmatrizen Berechnung der Verschiebungen und der Schnittkräfte an den Elementenden Zustandsgrößen im Element Zustandsgrößen bei einer statischen Rechnung nach Theorie 1. Ordnung Zustandsgrößen bei einer statischen Rechnung nach Theorie 2. Ordnung Beispielrechnungen Übungsaufgaben Ein kombiniertes Verfahren für rotationssymmetrische Flächentragwerke Problemdefinition l Voraussetzungen und Grundgedanken des Verfahrens Differentialgleichungsformulierung und Prinzipformulierung Ausnutzung der Rotationssymmetrie Numerische Integration des homogenen Differentialgleichungssystems im statischen Fall Teilinversion zur Steifigkeitsmatrix und Ermittlung von Einheitsverschiebungszuständen 417

7 Inhaltsverzeichnis XHI 12:7 Ermittlung der Massenmatrix und des Belastungsvektors mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen Aufbau des Gleichungssystems Einige Ergebnisse Einsätzgrenzen des Verfahrens Schlußfolgerungen Kopplung von Finite-Elemente- und Mehrkörpersystem-Modellen Übungsaufgaben Anhang Einige Bemerkungen zu den Integralsätzen Greensche Formel Integralsatz für die Membran Integralsatz für die Scheibe 435 L Integralsatz für die schubstarre Platte J137 \ 13.2 Grundlagen und Grundbegriffe der Variationsrechnung Fundamentalsatz der Variationsrechnung Variationsprinzip, Funktional, Nebenbedingungen, wesentliche Randbedingungen Durchführung der Variation Eulersche Differentialgleichung Einbau von Nebenbedingungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren Kanonisches Variationsprinzip Übergang zum Castiglianoschen Funktional Einbau von Übergangsbedingungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren: Das Funktional von Pian Einbau von Randbedingungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren in das diskretisierte Dirichletsche Funktional Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Struktursymmetrie Symmetrische und antimetrische Belastung Behandlung einer Teilstruktur Mehrfachsymmetrie Zyklische Rotationssymmetrie Übungsaufgaben ' Lösungen der Übungsaufgaben Vorbemerkungen Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel 4.' Lösungen zu Kapitel 5 496

8 XTV Inhaltsverzeichnis 14.6 Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Symbole und Bezeichnungen 547 Literatur 556 Sachverzeichnis 572\