Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen

Transkript

1 Folie 1 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen Marcel Wallraff, Tobias Leicht DLR Braunschweig (AS - C 2 A 2 S 2 E)

2 Motivation Folie 2 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Heutige CFD Löser basieren zum grössten Teil auf Finite Volumen Verfahren zweiter Ordnung. Verfahren höherer Ordnung versprechen höhere Genauigkeit und Effizienz.

3 Motivation Folie 2 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Heutige CFD Löser basieren zum grössten Teil auf Finite Volumen Verfahren zweiter Ordnung. Verfahren höherer Ordnung versprechen höhere Genauigkeit und Effizienz. Discontinuous Galerkin (DG) Verfahren

4 Motivation Folie 2 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Heutige CFD Löser basieren zum grössten Teil auf Finite Volumen Verfahren zweiter Ordnung. Verfahren höherer Ordnung versprechen höhere Genauigkeit und Effizienz. Discontinuous Galerkin (DG) Verfahren Um Verfahren höherer Ordnung in der Praxis anwenden zu können, müssen alle Vorteile, die diese bieten, auch genutzt werden:

5 Motivation Folie 2 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Heutige CFD Löser basieren zum grössten Teil auf Finite Volumen Verfahren zweiter Ordnung. Verfahren höherer Ordnung versprechen höhere Genauigkeit und Effizienz. Discontinuous Galerkin (DG) Verfahren Um Verfahren höherer Ordnung in der Praxis anwenden zu können, müssen alle Vorteile, die diese bieten, auch genutzt werden: Jacobiblöcke sind lokal auf jeder Gitterzelle. Keine besondere Behandlung für unstrukturierte Netze nötig. Einfache h- und p-adaption des Netzes ist möglich. Hängende Knoten im Netz sind zulässig.

6 Mehrgitter Folie 3 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht

7 Folie 4 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht DG Diskretisierung Basisfunktionen nicht parametrische ortho-normale Basisfunktionen formuliert direkt im physikalischen Raum d.h. keine Nutzung von Referenzelementen

8 Folie 4 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht DG Diskretisierung Basisfunktionen nicht parametrische ortho-normale Basisfunktionen formuliert direkt im physikalischen Raum d.h. keine Nutzung von Referenzelementen RANS Gleichungen zweites Schema von Bassi und Rebay (BR2) für die viskosen Terme Roe-Fluss für die konvektiven Terme

9 Folie 4 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht DG Diskretisierung Basisfunktionen nicht parametrische ortho-normale Basisfunktionen formuliert direkt im physikalischen Raum d.h. keine Nutzung von Referenzelementen RANS Gleichungen zweites Schema von Bassi und Rebay (BR2) für die viskosen Terme Roe-Fluss für die konvektiven Terme Turbulenzmodell kω-zweigleichungsmodell Spalart-Allmaras-Eingleichungsmodell (2012)

10 Folie 5 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Nichtlineares Mehrgitter Hierarchie von linearen Funktionenräumen V lmin V lmin +1 V lmax 1 V lmax R n l min R n l min +1 R n lmax 1 R n lmax Transfer-Operatoren: Der Prolongations-Operator ist die natürliche Injektion: Il 1 l : Rn l 1 R n l ( ) Restriktions-Operator: I l 1 := I l l 1 l Das nichtlineare Mehrgitter benötigt ausserdem: Restriktion des nichtlinearen Lösungsvektors: Orthogonale L 2 -Projektion Îl 1 in den Raum V l l 1

11 Folie 6 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Nichtlineares Mehrgitter Sei das nichtlineare Problem auf dem höchsten Level l max definiert als: L lmax (u lmax ) = f lmax. Restriktion der Lösung u l 1 := Îl 1 u l l Berechnung der neuen rechten Seite für das gröbere Level: f l 1 f l 1 + I l 1 (f l l L l (u l )) (f l 1 L l 1 (u 0 l 1 ) ) Galerkin-Transfer für die Jacobimatrix: R l 1 = I l 1 l R l I l l 1

12 Folie 7 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Nichtlineare Glätter / Löser Glätter / Löser Backward-Euler-Verfahren Löse [ (α i t) 1 M + R l ] (ul,i u l,i 1 ) = [ f l L l (u l,i 1 ) ], wobei R l die volle implizite Jacobimatrix, M die Massematrix und u l,j der Lösungsvektor, mit u l,j V l j N, sind. Verwendung eines lokalen Pseudo-Zeitschritts und einer adaptiven CFL-Zahl-Steuerung

13 Folie 8 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Linearer Glätter / Löser Krylov-Verfahren als linearer Löser (GMRES Methode) Linien-Jacobi-Verfahren als Vorkonditionierer / Glätter im linearen Mehrgitter Sei L l,k (u l,k ) = f l,k das lineare Problem auf Linie k, Löse δu l,k,i := u l,k,i u l,k,i 1 = R 1 l,k (f l,k L l,k u l,k,i 1 ) u l,k,i := u l,k,i 1 + δu l,k,i, wobei R 1 l,k die Inverse der Jacobimatrix auf Linie k ist.

14 Folie 9 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Jacobi-/ System-Matrix Struktur Element-Diagonale Linien-Nachbar Nicht-Linien-Nachbar Matrix-Blöcke

15 Folie 10 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Lösungsverfahren Mögliche Löservarianten Ein-Level Backward-Euler-Verfahren Netz- oder Ordnungs-Sequenzierung zur Verbesserung der Startlösung auf dem höchsten Level Lineares MG als Vorkonditionierer Nichtlineares MG zur Beschleunigung des Lösers in der Pseudo-Zeit Nichtlineares MG mit einem linearen MG auf jedem Level

16 Folie 11 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Wahl der Parameter für das nichtlineare Problem Nichtlineares Mehrgitter V-Zyklus je ein Vor- und Nach-Glätterschritt auf jedem Level ein Glätterschritt auf dem niedrigsten Level Backward-Euler-Verfahren als Glätter SER-Zeitschritt-Steuerung für das Backward-Euler-Verfahren Galerkin-Transfer, um die Jacobimatrix auf den unteren Leveln zu erhalten

17 Folie 12 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Wahl der Parameter für das lineare Problem Parameter für das Lösen der linearen Probleme, welche aus dem Backward-Euler-Verfahren auf jedem Level resultieren: GMRES-Verfahren mit fester Anzahl an (maximalen) Schritten Lineares Mehrgitter als Vorkonditionierer für das GMRES-Verfahren Vier Glätterschritte auf jedem Level Linien-Jacobi-Verfahren als Glätter Galerkin-Transfer, um die Matrizen auf den unteren Leveln zu erhalten

18 Folie 13 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht MDA 30P-30N - 2D Hochauftriebsprofil Mach: 0.2 Reynolds-Zahl: 9,000,000 α = 16 Testfall des 2nd International Workshop on High-Order CFD Methods (2013)

19 Folie 14 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht MDA 30P-30N Lösung der RANS-kω Gleichungen. Dichte Residuum h-single grid h-lmg h-nmg h-nmg + LMG normalisierte CPU Zeit

20 Folie 15 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht MDA 30P-30N Lösung der RANS-kω Gleichungen. Dichte Residuum h-nmg + LMG (1e-12) h-nmg + LMG (1e-6) normalisierte CPU Zeit

21 Folie 16 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht MDA 30P-30N Lösung der RANS-SA Gleichungen. Dichte Residuum h-single grid h-lmg h-nmg h-nmg + LMG h-nmg + LMG (kω) normalisierte CPU Zeit

22 Folie 17 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht MDA 30P-30N Lösung der RANS-SA Gleichungen. Dichte Residuum h-single grid h-lmg h-nmg h-nmg + LMG h-nmg + LMG (kω) normalisierte CPU Zeit

23 Folie 18 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht MDA 30P-30N Lösung der RANS-SA Gleichungen. Dichte Residuum p-single grid p-lmg p-nmg p-nmg + LMG normalisierte CPU Zeit

24 Folie 19 > STAB Workshop, > Marcel Wallraff, Tobias Leicht Zusammenfassung Gezeigte Algorithmen wurden entwickelt zur Lösung der RANS-kω Gleichungen. Diese Algorithmen liefern auch gut Ergebnisse für die RANS-SA Gleichungen. Anpassung der Optimalen Start-CFL-Zahl für gleiche Performanz. Das Lineares Mehrgitter scheint die besten Ergebnisse zu liefern für diesen Testfall in Kombination mit den RANS-SA Gleichungen. Untersuchungen zur Robustheit des Lösers im RANS-SA Fall werden folgen.