( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) S ( 1;1) a () 1 1. Analysis Ableitungen: x x. Berechnung der Koeffizienten: b = ( ) Gleichung der Tangenten t:

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1 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie von 9 P Anlysis = R, ² k.. p = + b+, b, R Ableiungen: k' ( ) = = p' = + b Berechnung der Koeffizienen: ; p =.. S : () p' () k' () + b + = b= = + b = + = = Gleichung der Tngenen :..3 + b = p = + + b = : y = m+ n S ( ;) : m = p'() = und = + n n = : y = + Gleichung der Normlen n: y = m + n n: n n n : m m = ( ;) n mn = = = m S : = + nn n n = n: y = Schnisellen von p und n: p = n + + = =, = ± Berechnung des Flächeninhles:. 4 A= p n d = + + d = + d = + = + = p = 3 + Berechnung von u:.3 ( ) 3 ( ) (FE) u u 3 u 3 p( ) d ( ) d u u u ( u ) = = 3 + = + = + + h( ) = + b+ c, b, c, R Berechnung von h ( ): S ( ;) : h' () k' () () ( ) c h' = + b + = u = = + b = b = h = + b + c = + b+ c = + + = c u + = + h ( ) = ( + ) + ( + )

2 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie von 9 P Anlyische Geomerie A( ; ; 4) B ( 4;;) C ( 3; 4; ). Koordinengleichung der Ebene E: 4 3 AB AC = 6 = ne = E: + y 3z = d B E: d = = 8 E: + y 3z = 8. E y : z = ne y = Berechnung des Winkels: i ne i n Ey cosα = = = = α = 43,3 ne ne 7 7 y 3.3 Hessesche Normlform von E: + y 3z 8 = 7 Berechnung des Absndes O ( ;;) von E: d = = = 7 (LE) Berechnung des Flächeninhls des Dreiecks ABC: A ABC = AB AC = = = + + = 8 3 (FE). Berechnung von D: OD = OA + AC AB = AD mi R und, d D AC AB = OA+ AC OA AB = OD OA AB = AC 4 3 = = = = und = (enfäll, d ) D ( ; ;) = = 8 3 OD = OA + AC = = 3 4 6

3 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie 3 von 9 P3 Sochsik 3. Whrscheinlichkeisvereilungen von X und Y (Abbildungen und ): i 3 y i 3 P( X i ) Zufllsvrible X : =,3,,, X is binomilvereil mi n = 3 und P( X = ),79 und PY= y i,,37,37, 3 3 p = P( X = ) =,79 6 = PY=,79 Whrscheinlichkeisvereilung von X is nich drgesell Zufllsvrible X : X nimm den Wer 3 nich n Whrscheinlichkeisvereilung von X is nich drgesell Zufllsvrible X 3 : X is binomilvereil mi n = 3 und 3 3 p = P( X = ) = = =,= P( X = 3) P X = =,37 P X = = = = 8 Whrscheinlichkeien simmen mi denen von Y, ber nich mi denen von X überein Whrscheinlichkeisvereilung von X 3 wurde in Abbildung drgesell Berechnung des Erwrungsweres und der Sndrdbweichung von X 3 : 3 3 E( X3 ) = n p = 3 = σ ( X3 ) = n p ( p) = 3 = 3. Vereilungsfunkionen von X und Y (Abbildungen und ): ; ] [ [ ; [ [ ; [ [ ;3 [ [ 3; [ F(),3,8,9 Abbildung 3:, y ] ;[ [ ; [ [ ; [ [ ;3 [ [ 3; [ F(y),,,87 F = F ( ),3 und F, Keine der Zufllsvriblen X und Y pss zu Abbildung 3 Abbildung 4: Were simmen mi denen der Zufllsvriblen X überein, ber nich mi denen von Y Vereilungsfunkion von X is in Abbildung 4 drgesell, Vereilungsfunkion von Y is nich drgesell Whrscheinlichkeisvereilung der Zufllsvriblen Z us Abbildung 3: z 3 i P( Z = z i ),,4,3, P(Z = k),,4,3,, 3 k

4 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie 4 von 9 W Anlysis f = e, R, >,. Ableiungen: f ' = e + e = e = + ( )( ) = ( ) = + ( )( ) = ( + ) f '' e e e f ''' e e 3 e Berechnung der Erem: 3 f '( ) = f e '' = = < f = e = Mimler Durchmesser: d = f( E) = = (cm) e = =, d > E is Mimumselle E = Berechnung des Wendepunks: f ''( ) = f = e = e e = PW ; e = W = Berechnung von : d = 8 f = 4 4 = ln e = 4 e = 4 ln =,83 4. f e =.. Ableiungen: f '( ) = e f ''( ) = e 3 f ''' ( ) = e + Berechnung des Erempunkes: E = = f ''( E) = = < E is Mimumselle f ( ) E = = Berechnung des Wendepunkes: PW ; e P W ; e 3 f ''' = + e = > konkv konve e

5 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie von 9 Grph der Funkion: G Berechnung der Smmfunkion: f d = e d Prielle Inegrion: u = u ' = v = e d = e e d = e + e d = e e + c= ( + ) e + c c R e v ' = Smmfunkion: = + Inhl der Schnifläche:.. F e e 6 e e e e A= f d = + e = + e= 87, 7 (cm²) 3, 73 3 N h = h + h + h h R, h e Berechnung der prozenulen Abweichung: N = 6,37 (ml) N V 6, 37 9 = 3, 6% V 9 Berechnung von h: N( h ) = = 9,, 73h + 3h + h= 9,,73h + 3h + h 9, = Newonsches Näherungsverfhren 3 K( h) =, 73h + 3h + h 9, = K '( h) =,9h + 6h+ K ( h) h = n h + n K ' h 6,7,8346 h = h =, 744 h3,744,734 76, 78, () ( ) S S e k = in Minuen, k R S '( ) () S = ln,63 Berechnung von k: () k S' = S ke () () ( ) k S' S ke = = k = ln,63 k S S e ln,63 ln,63 S() = S( ) e = S( )( e ) = S( ) (, 63) Berechnung der Zei: S = S ln (,) ln (, 63),,63 = ln, =, 73 (min) ln, 63

6 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie 6 von 9 W Anlyische Geomerie A ( 4;;) B ( 4; 4;) C ( ; 4;) D ( ;;) E ( 3;; 6) F ( 3;3; 6) G ( ; 3; 6) H ( ;; 6). Koordinen der fehlenden Eckpunke: Die z-koordinen bergen, weil ds Modell dm hoch is. Die - und y-koordinen simmen mi den - und y-koordinen von A, B, C, D überein, weil IJKL durch eine Spiegelung n der Ebene EFGH enseh. 4; ; 4; 4; ; 4; L ;; I J K Drsellung des Modells: Nchweis Pyrmidensumpf: ABCD is ein Qudr: z-koordinen lle gleich A, B, C, D liegen in einer Ebene 4 AB = 4 = 4 BC = = 4 CD = 4 = 4 4 DA = = 4 4 ABiAD = 4 i = Alle Seien sind gleich lng und AB AD. EFGH is ein Qudr: z-koordinen lle gleich 6 E, F, G, H liegen in einer Ebene EF = = FG = = GH = = HE = = EFiEH = i = Alle Seien sind gleich lng und EF EH. Grundfläche und Deckfläche sind prllel: 4 AB AD = 4 = EF EH = = AB AD = 4 EF EH 6 4 Gerder Pyrmidensumpf Seienknen gleich lng (Nchweis der Prlleliä knn demnch enfllen): AE = = 38 BF = = 38 CG = = 38 DH = =

7 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie 7 von 9 Berechnung des Winkels: 4 4 n = AB AE = 4 = n = BC BF = = i 4 n i n cosα = = = = α 88,4 n n Volumen des Quders: V = 4 4 = 9 (dm³) Q Volumen des Modells: = AB = 4 A = EF = AG D ( G G D D) h = z z = 6 = 6 V = h A + A A + A = = 6 = (dm³) 3 3 Prozenuler Aneil des Abflls m Volumen des Quders: VQ V 9 8 = = = 4,7% V Q Berechnung des Winkels: Die Bohrung wird vom Digonlenschnipunk S prllel zur Grundfläche so durchgeführ, dss die Bohrerspize die Kne AE durchsöß, d hier der in der Aufgbensellung beschriebene Winkel miml wird. D der qudrische Pyrmidensumpf gerde is, lieg S symmerisch bzgl. der Seienknen BF und CG. Die -Koordinen von S und vom Mielpunk M BC der Srecke BC simmen lso überein. Die Bohrrichung simm lso mi M BC A überein. Der mimle Winkel simm lso mi dem Winkel BM BC A überein. B + C yb + yc zb + zc MBC ; ; = MBC ( ; 4;) i 4 M BC AiMBC B 4 cos β M = = = = M BC A MBC B 4 β M 63, 43 E Alerniv knn mn ers den Digonlenschnipunk S berechnen. Dnn besimm mn die Gleichungen für die Gerden g AE und g BF. Uner Ausnuzung, dss die Bohrung prllel zur Grundfläche erfolg, lso die z-koordinen der Schnipunke der beiden von S usgehenden Gerden mi den Knen die z-koordine von S sein muss, errechne mn dnn den Schnipunk P der Bohrspize mi der Kne AE und den Schnipunk Q der Gerden durch S prllel zu BC mi der Kne BF. Zum Schluss berechne mn den Winkel zwischen SP und SQ. A Zwischenergebnisse: S ; ; 4 3 P ; ;4 3 3 Q ; ;

8 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie 8 von 9 W3 Anlysis und Sochsik 3 v( ) = + R, > k( ) = v( ) +. 3 k( ) = + +. R, > 3. Berechnung der Wrenmenge: Der Ansieg von k soll miniml werden, lso is die Minimumselle der Funkion k' ( ) zu besimmen. k'' ( ) muss lso Null gesez werden. Die 3. Ableiung von k wird zum Nchweis des Minimums benöig. k' ( ) = + k'' ( ) = k''' ( ) = > k'' ( ) = = E = (ME) k''' ( E ) = > Minimumselle 3. u = R, > 3 3 g( ) = u( ) k( ) = + +.= +. R, > 3.. Berechnung des mimlen Gewinns: 3 g '( ) = + g'' ( ) = + 3 g' ( ) = + = 3 + = 3 E = enfäll, d > und + = E = g ''( ) = + = < Minimumselle 3 g ( ) = +. = , (EUR) 3.. Begründung: g ( 363, 6) =,663 (EUR) g ( 46, 6) =,366 (EUR) Bei den reliv großen Wrenmengen, von über 3 ME bzw. über 4 ME wird ein Gewinn von,6 bzw.,4 erwirschfe. Bezogen uf die großen Wrenmengen sind die Gewinne vernchlässigbr klein. Berechnung des mileren Gewinns: 3 g = g ( ) d =. d + ( 46, 6 363, 6) 46,6 3 g = +.d 46, 6 363, 6 363,6 46,6 4 3 = , ,88 (EUR) ( )

9 Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik Seie 9 von X Anzhl der Personen, die die Wren kennen X is binomilvereil mi n = und p =, Berechnung der Whrscheinlichkeien der Ereignisse: Drei Vierel von :,7 = 37 P A = P X < 37 = P X 374 = F 374 =,476 = 47,6% 3.3. ;,7 % von :, = Höchsens kennen die Wren nich Mindesens 4 kennen die Wren P B = P X 4 = P X 399 = F 399 =,99 =,49 =,49% ;,7 = ( 38 4) = ( 4) ( 379) = ( 4) ( 379) P C P X P X P X F F =, 9964, 676 =, 399 = 3, 99% ;,7 ;,7 Linksseiiger Signifiknzes: Die Firm geh dvon us, dss der Beknnheisgrd bei 7% lieg. Flls dies nich zuriff, lso weniger ls 7% der Personen die Wren kennen, will sie eine Werbekmpgne sren. Die Firm benöig eine Enscheidungsregel zur Ablehnung der Nullhypohese, die zum Sr der Werbekmpgne führ. H : p =,7 H : p <,7 H whr X is binomilvereil mi n = und p =,7 Ablehnungsbereich: A = { ;; ;...; kl} Signifiknzniveu: α =, P( X kl ) α P( X k l ), F;,7 ( k), F ;,7 ( 38) =,46 F ;,7 ( 39) =,6 k l = 38 Ablehnungsbereich: A = { ;; ;...;38} Wenn weniger ls 39 Personen die Wren kennen, wird die Nullhypohese signifikn bgelehn und die Werbekmpgne wird gesre. Annhmebereich: A = { 39;36;36;...;} Flls mindesens 39 Personen die Wren kennen, knn die Nullhypohese, dss der Beknnheisgrd bei 7% lieg, nich signifikn bgelehn werden. Aus Mngel n Beweisen wird die Werbekmpgne nich gesre. Linksseiiger Signifiknzes: Zu berechnen is die Whrscheinlichkei, dss die Werbekmpgne gesre wird, obwohl der Beknnheisgrd 77% beräg. Es is lso die Whrscheinlichkei zu berechnen, dss die Nullhypohese bgelehn wird, obwohl sie whr is. Gesuch is lso die die Whrscheinlichkei α für den. Ar. H : p =,77 H : p <,77 H whr X is binomilvereil mi n = und p =,77 Ablehnungsbereich: A = { ;; ;...;38} P( X k l ) ( 38) ( 38) α P X α F;,77 α, 9 α Ds Risiko. Ar beräg,9%. Beräg der Beknnheisgrd 77% und wird die Werbekmpgne gesre, wenn weniger ls 39 Personen die Wren kennen, dnn irr sich die Firm mi einer Whrscheinlichkei von,9%. Die Werbekmpgne wird lso fälschlicherweise mi einer Whrscheinlichkei von,9% gesre.

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