Grundlegendes für das Rechnen in der gewerblich-technischen Berufsschule

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1 Grundlegendes für das Rechnen in der gewerblich-technischen Berufsschule Manuel Wittke

2 Seite 0 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Inhalt Klammerrechnung... 1 Einheiten umrechnen... 2 Bruchrechnung... 3 Gleichungen umstellen... 5 Hinweise zum Taschenrechner... 7 Der Umgang mit dem Tabellenbuch... 8 Leitfaden zur Bearbeitung von (Text-)Aufgaben... 9

3 Seite 1 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Klammerrechnung Mit Zahlen Gleiche Faktoren können ausgeklammert werden 2+ 3=10 (2+3)=10 Um Klammern aufzulösen, müssen die Faktoren vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer mal genommen werden! (2+3)= =10 Achtung: Die Vorzeichen werden immer berücksichtigt! Bsp. (2 3)=2 (+2)+( ) ( 3)=2 Ungleiche Vorzeichen ergeben Minus, gleiche Vorzeichen ergeben Plus! (+2)+( ) ( 3)=2 4+6=2 Mit Formelzeichen Gleiche Faktoren können ausgeklammert werden + = (+)= Um Klammern aufzulösen, müssen die Faktoren vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer mal genommen werden! (+)= + = Achtung: Die Vorzeichen werden immer berücksichtigt! Bsp. ( )= (+)+( ) ( )= Ungleiche Vorzeichen ergeben Minus, gleiche Vorzeichen ergeben Plus! + = Konkrete Zahlen lassen sich mit Formelzeichen nicht ausrechnen! 1

4 Seite 2 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Einheiten umrechnen An dem abgebildeten Zollstock sind ca. 4 cm zu erkennen. Die kleineren Markierungen sind in einem Abstand von 1 mm aufgetragen. Zählt man diese, so kommt man auf 40 mm. Merke: Bei kleiner werdenden Einheiten (cm mm) werden die Zahlen größer! Bei größer werdenden Einheiten (mm cm) werden die Zahlen kleiner! Man kann sich mit diesen Merksätzen beim Umrechnen selbst kontrollieren. Längen, Flächen und Volumen An einem Würfel könnte man den Zollstock zwei mal (rot, grün) an der Seite A anlegen, um die Oberfläche der Seite A zu bestimmen. Oder man misst alle drei Seiten des Würfels und kann so das Volumen errechnen. Ändern sich nun die Einheiten, so geschieht das bei Flächen gleich zwei und bei Volumen drei mal! Ein deutlicher Hinweis ist die jeweilige Hochzahl (z. B. cm³ drei mal der Faktor) Beispiele zur Umrechnung von Einheiten von cm nach mm: 4 cm A 4 cm Seitenlänge 4 cm = 40 mm Faktor 10 Oberfläche 16 cm² = 1600 mm² Faktor = 100 Volumen 64 cm³ = mm³ Faktor = cm Umrechnungsfaktoren Beachte, dass sich bei den Einheiten der Zeit der Faktor nicht als ein Vielfaches von 10, sondern als ein Vielfaches von 12, 30, 24 oder 60 ergibt: Umrechnungsfaktoren für Längen: km m dm cm mm Umrechnungsfaktoren für Zeiten: Jahre Monate Tage h min sek Eine Übersicht von Faktoren zur Umrechnung findest Du im Tabellenbuch unter dem Stichwort Einheiten im Messwesen! 2

5 Seite 3 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Bruchrechnung Mit Zahlen Was im Folgenden für Plus gezeigt wird, gilt ebenso für Minus! 2 +3 =? Im ersten Schritt muss der Hauptnenner gesucht werden. Also eine Zahl, die die 3 und die 4 als Faktor enthält! Denn sonst passen die Teilungen nicht. Wie viel Viertel ist ein Drittel? Deswegen braucht man den Hauptnenner! = = Für z. B. 2 und 4 wäre der Hauptnenner einfach 4, da die 2 in der 4 als Faktor vorkommt! Der Hauptnenner ist nun 12. Wenn wir die Brüche mit 3 bzw. mit 4 erweitern, erhalten wir gleichnamige Brüche: =? Mit Formelzeichen Was im Folgenden für Plus gezeigt wird, gilt ebenso für Minus! a $ + c & =? Im ersten Schritt muss der Hauptnenner gesucht werden. Also eine Zahl, die das b und das d als Faktor enthält! =' (=) Der Hauptnenner ist nun e. Wenn wir die Brüche mit b bzw. mit d erweitern, erhalten wir gleichnamige Brüche: a & ( + ' ' =? a & ) + ' ) =a &+ ' ) = 8+9 = 17 Experten erweitern ohne die Hauptnennersuche, indem sie einfach den Nenner des gegenüberliegenden Bruchs nutzen, um zu erweitern. Man könnte den Bruch nun noch mit ganzen aufschreiben, da die 12 einmal in die 17 hinein passt: 17 =1 5 Das Gegenteil von Erweitern ist das Kürzen! Wir können den Nenner und den Zähler durch die gleiche Zahl teilen. Das ist erlaubt und zeigt uns, dass wir nichts an den Brüchen durch das Erweitern geändert haben! Das Kürzen ist in vielen Aufgaben wichtig, um die Zahlen zu vereinfachen! Bsp.1) = =3 Bsp.2) Folgendes geht nicht:!" =! Richtig! Falsch! Niemals aus der Summe kürzen!!! Merksatz: Aus der Summe kürzt der Dumme. Das Gegenteil von Erweitern ist das Kürzen! Wir können den Nenner und den Zähler durch die gleiche Zahl und auch gleiche Einheiten teilen. Das ist erlaubt und zeigt uns, dass wir nichts an den Brüchen durch das Erweitern geändert haben! Das Kürzen ist in vielen Aufgaben auch deshalb wichtig, um die richtige Einheit zu erhalten! Bsp.1) *+,-./äh2 = = ! 1088! = : ;;² ;; = = 600N 3

6 Seite 4 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Fortsetzung von Bruchrechnen Mit Zahlen Die Multiplikation ist relativ einfach. Man multipliziert die Nenner und Zähler = =12 10 Wer aufgepasst hat, dem ist aufgefallen, dass man kürzen kann, indem man den Nenner und Zähler durch 2 teilt! 2? =! >! > > 1 Kürzt man oben die! auf die gleiche Art, A kommt heraus! Also je eher man > kürzt, umso einfacher wird die Aufgabe. Bei der Division muss man zunächst den Kehrwert des Bruchs bilden, mit dem geteilt wird! Danach wird multipliziert! Der Doppelbruchstrich meint nicht anderes wie ein geteilt durch. Mit Formelzeichen Die Multiplikation ist relativ einfach. Man multipliziert die Nenner und Zähler. = Bei der Division muss man zunächst den Kehrwert des Bruchs bilden, mit dem geteilt wird! Danach wird multipliziert! Der Doppelbruchstrich meint nicht anderes wie ein geteilt durch. B C D = = > :! = >! > F G H I = J K : L M = J K M L 4

7 Seite 5 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Gleichungen umstellen Gleichungen müssen wie Waagen immer im Gleichgewicht bleiben. Alles was ich auf der einen Seite wegnehme oder hinzu füge, muss ich auf der anderen Seite ebenfalls tun!!! Mit Zahlen Die Darstellung oben würde man in Zahlen so ausdrücken. 3+2=5 Man kann nun mit +, -, und : die Gleichung verändern und dies an der Seite mit einem andeuten. Jeder Schritt wird mit (meint soviel wie: Diese Umformung kann rückgängig gemacht werden )begonnen. Z. B. 3+2=5 Die Eins wird auf jeder Seite einmal abgezogen. 3+2 =5 3+1=4 : Jeder Summand wird geteilt oder mal genommen! 3 +1 = 4 Mit Formelzeichen Hier nur einige Beispiele aus der Technik: Hebelgesetz. / =.! /! Als Beispiel ist /,.!,` /! gegeben. Gesucht wird F 1. Daher stellen wir nach F 1 um! Es wird immer nach dem gesuchten Formelzeichen umgestellt! Man teilt auf beiden Seiten durch l 1, damit man es links wegkürzen kann. Es fällt auf, dass man das Gegenteil von dem rechnet, womit l 1 mit dem F 1 verbunden ist.. / =.! /! :l 1. =.! /! / Man hat den Eindruck, dass l 1 nach unten wandert. 4 = 4 Druck a =. 7 Nun läßt sich beides anwenden, um Gleichungen nach der gesuchten Größe umzustellen. Bsp. 39+2= =5 :3 9 = 5 3 So geht s: 1. Man sortiert mit + oder alles, was nicht gesucht ist auf eine Seite. 2. Danach teilt man oder nimmt so mal, dass man die Zahl vor dem X wegkürzen kann (siehe Bruchrechnung) Es soll nun A gesucht sein. Daher stellen wir nach A um, indem wir mit A multiplizieren. So können wir es rechts wegkürzen und links taucht es oben auf! a = b c A a 7=. Nun stört das P, also teilen wir durch P. a 7 =. :P 7= ȧ Man hat den Eindruck, dass durch das Teilen das Formelzeichen nach unten und durch Malnehmen das Formelzeichen nach oben rutscht. Achtung: Steht links oder rechts noch ein Plus oder Minus, muss alles mit einer Klammer vorher geschützt werden! 5

8 Seite 6 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Fortsetzung von Gleichungen Dreieck-Trick für Gleichungen ohne + und Das F steht oben a =. 7 Schreibe alle Formelzeichen in ein Dreieck. b d c Wenn man nun die Gleichung z. B. nach F umstellen möchte, schreibt man das F vor das Gleichzeichen und ergänzt dahinter den Rest aus dem Dreieck.. =a 7 Nach A löst man diese Gleichung wie folgt mit dem Dreieck-Trick.. a 7 Nun schreibt man wieder das Gesuchte vor das Gleichzeichen und den Rest dahinter. 7= ȧ Zwei etwas anspruchsvollere Beispiele zum Umstellen von Gleichungen Tabellenbuch Seite 24 Restlänge gesucht: z / e =/ f (/ g +h) / / e / = f (/ g +h) :(/ g +h) / e / = f :( 1) (/ g +h) / e / (/ g +h) =f Tabellenbuch Seite 24 Teilung gesucht: n + oder kann man hier zunächst nicht anwenden, da die Summanden mit einem Bruchstrich verbunden sind. 6 = / (+) ` 1 (` 1) 6 =/ (+) :6 ` 1= / (+) 6 (` 1) +1 ` = / (+)

9 Seite 7 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Hinweise zum Taschenrechner Es kommt oft vor, dass Aufgaben durch Eingabefehler nicht richtig gelöst werden. Diese Fehler treten besonders häufig bei der Eingabe von Brüchen wie diesen auf: 9 = Der gesamte Zähler muss durch den gesamten Nenner geteilt werden! Daher kann man z. B. zuerst den Zähler ausrechnen und danach den Nenner. Anschließend Nenner durch Zähler teilen. Eine andere Möglichkeit ist, beim Eintippen eine Klammer um Zähler und Nenner setzen. ABER Folgendes wird beim Eintippen oft falsch gemacht: =32 3 =11 3 Falsch! Da der Taschenrechner immer Punkt vor Strich rechnet, kommt hier ein völlig anderes Ergebnis raus! Richtig wäre (2+4)/(3 2 1)= 6 5 Richtig! Taschenrechner mit einem natural Display (im Laden nachfragen) machen es Dir möglich die Brüche und mathematischen Ausdrücke so einzutippen, wie sie in der Aufgabe notiert sind. Sie vermeiden daher von selbst Eingabefehler. 7

10 Seite 8 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Der Umgang mit dem Tabellenbuch Das Tabellenbuch hat drei Verzeichnisse! 1) Das Inhaltsverzeichnis a. Es gibt Dir eine Übersicht, die das Tabellenbuch thematisch sortiert. Man braucht es eher selten. Dort werden auch die Seitenzahlen der anderen Verzeichnisse angegeben. 2) Das Normenverzeichnis a. Wenn Du in einer Aufgabe Informationen brauchst, die mit einer DIN, EN oder ISO- Norm zu finden sind (z. B. Schrauben, Zusatzstoffe etc. ), dann kannst Du über dieses Verzeichnis schnell zugreifen. 3) Das Sachwortverzeichnis a. Sobald Du bei Deiner Suche einen thematischen Oberbegriff weißt (z. B. Stähle, Druck, Profil, ), kannst über das Sachwortverzeichnis am schnellsten die richtigen Seiten im Tabellenbuch finden. Achte beim Betrachten der Seiten auf die Hauptüberschrift (blau) und auf die Unterüberschriften (gelb), damit Du die richtige Formel oder Tabelle anwendest. Die Formelzeichen der Einheiten werden alle erläutert und oft auch in einer Skizze dargestellt. Tabellen sind in Spalten und Zeilen geordnet. Suche Dir jeweils die passenden Zahlen heraus und bilde einen Schnittpunkt. Beachte bei der Auswahl von Werten unbedingt die Einheiten! Oftmals werden unterhalb der Tabelle oder am Fuß der Seite Beipiele oder Normen als Ablesehilfe angeboten. 8

11 Seite 9 Grundlegendes für das Rechnen in der Berufsschule Leitfaden zur Bearbeitung von (Text-)Aufgaben 1) Mache Dir die Fragestellung klar! Lies Dir dazu den Text und die Informationen sorgfältig mehrmals durch und kläre dann unbekannte oder unverständliche Textstellen. 2) Wenn man die Problemstellung in einer Skizze darstellen kann, dann erstelle eine Skizze, um Dir die Besonderheiten und Zusammenhänge besser vorstellen zu können. 3) Notiere alle wichtigen Fakten und Zahlen! Trage diese gegebenenfalls in die Skizze ein. 4) Um was geht es? Welches Thema wird angesprochen? (Volumen, Druck, Längen, ) 5) Wandle alle zusammengehörigen Einheiten (Längen, Gewichte, Kräfte, ) so um, dass sie gleich sind. Erst dann lassen sich Einheiten später beim Kürzen miteinander verrechnen. Beispiel eins: Eine Strecke ist 2 km lang und wird um 10 m gekürzt. Wie lang ist die Strecke jetzt? 2 km 2000 m 2000m-10m=1990 m Beispiel zwei: Der Druck beträgt 10 : L; = und wird um 2 Pa erhöht. 10 : =10 : L; = k = = : ; = Dllll ² = a a+2a = a 6) Schau genau nach, was laut Aufgabenstellung gesucht wird oder wonach gefragt wird und notiere es. 7) Überlege Dir, mit welcher Rechenvorschrift (Prozentrechnung, 3-Satz, Hebelgesetz, ) man vorgehen kann und welche Formeln man evtl. braucht. Wenn Du die Formel oder einzelne Werte nicht kennst, überlege, wo man sie nachschlagen könnte (siehe Tabellenbuch!). 8) Erst jetzt beginnst Du zu rechnen. So wird die Lösung samt Weg notiert! Gegeben: Alles aus Schritt 1-5 Gesucht: Schritt 6 Lösung: Schritt 7-8 Sehr wichtig: Man braucht viel Übung und Geduld, damit das funktioniert. Das ist am Anfang frustrierend. Aber so haben wir alle mal angefangen!!! 9