Goldener Schnitt Fibonacci-Zahlen Nachträge

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1 Goldener Schnitt Fibonacci-Zahlen Nachträge

2 4. Zusammenhang Goldener Schnitt - Fibonacci-Zahlen An der Mathematik irritiert mich, dass der goldene Schnitt und die Fibonacci-Zahlen sich zueinander so verhalten, als sei der ganze Kosmos schlampig gearbeitet. (JaMiRi, Karikatur-Zeichner der Deutschen Mathematiker Vereinigung)

3 x =69

4 x =69 x = 6 4

5 Auflösung Differenz Gelbes Dreieck Ae=0, = 6, Grünes Dreieck Ar=0, = Gesamtes Dreieck As=0, 4 = 7 AR=As - (Ae + Ar) = 7 - (6, + ) = 6, Folgerung Keiner der beiden Werte, 69 noch 6, ist richtig oder die durchgeführte Rechnung passt nicht zum Problem.

6 Auflösung Der wirkliche Grund Die schrägen Kanten der beiden Teildreiecke bilden keine gerade Linie. Hier ist ein Knick! Steigung beim grünen Dreieck: 0,64 Steigung beim gelben Dreieck: 0,690 steiler als im grünen Dreieck In der dargestellten Anordnung ist der Knick nach innen (unten flacher als oben). Vertauscht man die Dreiecke ist die Steigung unten steiler als oben, der Knick also nach außen. 6

7 Auflösung Dieser Trick funktioniert auch mit anderen, geschickt gewählten Zahlen.!! Mit den Fibonacci-Zahlen (hier,, ) funktioniert das immer, da der Quotient aufeinander folgender Zahlen ungefähr gleich ist. das Produkt von einer Zahl und der übernächsten sich vom Quadrat der mittleren immer um unterscheidet. Fibon.Zahl Produkt Quadrat 7

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9 9

10 Zwei Experimentierdateien 0

11 Das Goldene Dreieck Ein gleichschenkliges Dreieck ist durch eine Gerade durch einen Eckpunkt in zwei gleichschenklige Dreiecke zu zerteilen. C Das Dreieck ADC ist gleichschenklig mit AD = DC D Das Dreieck ABD ist gleichschenklig mit a) AB = AD oder b) AB = BD A B Experimentierdateien

12 Das Goldene Dreieck Fall a) Das Dreieck ABD ist gleichschenklig mit AB = AD α +0 β = 0 α = β α + α = β α = α = β α + β = 0 β = 0 β = 7, α = α = 6

13 Das Goldene Dreieck Der Punkt D teilt die Kante BC im Goldenen Schnitt mit dem Major CD. Die Dreiecke ABC und ABD sind ähnlich. x = x x x = x Das ist die Euklid-Bedingung für den Goldenen Schnitt. x = ϕ = 0,6

14 Das Goldene Dreieck als Teildreieck im regelmäßigen Zehneck Goldener Schnitt für BM und AD 4

15 Die zweite Lösung Fall b) Das Dreieck ABD ist gleichschenklig mit AB = BD Nebenwinkel zu α bei D 0 α = 0 α α = α Winkelsumme im Dreieck ABC ( ) = 0 α + α + α α + α = 0 7α = 0 α = 0 7,7 α = α = 60 7,4 β = α + α 77,

16 Der Vitruvianische Mann Vitruv Marcus(?) Vitruvius Pollio(?) Architekt und Bauingenieur 0-70 v.chr. bis ca. v.chr. Hat ein zehnbändiges Werk zur Baukunst herausgegeben. Das Werk ist im Mittelalter überraschend oft kopiert worden, obwohl es auf die romanischen und gotischen Bauten keinen Einfluss hatte. Es wurde zur Renaissance wiederentdeckt und beachtet. Er behandelt sowohl die Technik als auch die Ästhetik von Bauten. 6

17 Der Vitruvianische Mann Am Anfang des Bands beschreibt er die Proportionen eines Menschen als Vorbild dafür, dass auch bei Gebäuden gewisse Proportionen eingehalten werden müssen. 7

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19 Übersetzung Dr. Franz Reber, 6

20 px Bauchnabel - Füße px 0, px 0 px 70 px 7 px 9 Experimentierdatei

21 Vitruv hat seine Bücher nicht illustriert. Verschiedene Maler haben die Beschreibung in ein Bild umgesetzt. Kritik: (Auch Leonardo) Menschen haben nicht die gleichen Proportionen, lassen sich nicht in den gleichen Maßstab pressen. (eigene Erfahrung beim Kleiderkauf) 0

22 Der Modulor (Le Corbusier) Seit 940 arbeitete Corbusier an einem Maßsystem für Gebäude und Möbel, das sich am menschlichen Körper orientierte. Dieses System wurde im Buch Le Modulor 94 veröffentlicht, 9 erschien Le Modulor mit einem leicht veränderten System ,67 0, ,6 0,66 4 0,6 0,60 0,609 0, , ,64 9 0,6 6 0, , ,70 Bei beiden Größenfolgen erkennt man das Fibonacci-System mn+ = mn + mn-.

23 Der Modulor (Le Corbusier) ,6 0,64 0,69 0,67 0,64 0,69 Das Maßsystem aus Modulor

24 Ein Möbelstück nach den Maßen des Modulors

25 heutige Küchenplanung form follows function 4

26 Rückblick Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen (Corbusier) Der Grenzwert z n z n+ ϕ 0,6 hängt nur vom Bildungsgesetz ab nicht von den Startwerten. z n+ = z n + z n Experimentierdatei

27 Fibonacci-Wörter n b A Ab AbA AbAAb AbAAbAbA AbAAbAbAAbAAb AbAAbAbAAbAAbAbAAbAbA. Bildungsgesetz. Bildungsgesetz w = b A b A b A w = A w n+ = w n & w n Die Länge des n-ten Wortes ist gerade die n-te Fibonacci-Zahl 6

28 Fibonacci-Wörter n f n w n Beobachtung: b A Ab AbA AbAAb AbAAbAbA AbAAbAbAAbAAb AbAAbAbAAbAAbAbAAbAbA Am Ende steht immer abwechselnd A und b. Das ist immer so wegen Folgerung: Ist die Platznummer für ein Symbol eine Fibonacci-Zahl, so finde heraus, die wievielte (Index n). Ist n gerade, so ist das Symbol A ist n ungerade, ist es ein b. Beispiel Position 44: 44 ist f. Da n = gerade ist, steht an Position 44 ein A. 7

29 Fibonacci-Wörter n f n w n Problem: Die Platznummer ist b A Ab AbA AbAAb AbAAbAbA AbAAbAbAAbAAb AbAAbAbAAbAAbAbAAbAbA 4 7 keine Fibonacci-Zahl Beispiel: Platz 7 Der Übergang von 7 auf 4 geschieht aber gerade durch 7 - = 4, wobei die größte Fibonacci- Zahl ist, die man von 7 abziehen kann. Weiter mit 4 - =, wobei wiederum die größte Fibonacci-Zahl ist, die man von 4 abziehen kann.

30 Fibonacci-Wörter Index Fibon.Zahl Allgemeines Vorgehen bei nicht-fibonacci-zahlen ( ) Ziehe von der Platznummer die größtmögliche Fibonacci-Zahl ab. Ist das Ergebnis - keine Fibonacci-Zahl, so wiederhole ( ) - eine Fibonacci-Zahl, so höre auf. Die letzte Fibonacci-Zahl entscheidet über ihren Index n das Symbol. Ist der Index n - ungerade, so ist das Zeichen ein b. - gerade, so ist das Symbol ein A. Beispiel: Platz = keine F-Zahl - = F-Zahl, Index ist 4, 4 ist gerade. Also steht an Platz 00 ein A. Platz = 47 keine F-Zahl 47-4 = F-Zahl, Index ist 7, 7 ist ungerade. Also steht an Platz 9 ein b. 9

31 A b A A b A b A A b A A b A b A A b A b A A b A A b A b A A b A A b A b A A b A b A A b A A b A b A A b A b A A b A A b A b A Fibonacci-Wörter 0