Ausarbeitung UNENDLICHKEIT DER PRIMZAHLEN

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1 Phls-Uverstät Marburg Isttut für Mathemat SE: Klasssche Probleme Letug: Bejam Schwarz Referet: Ies Davd WS 09/0 Ausarbetug UEDLICHKEIT DER PRIMZAHLE

2 Ihaltsverzechs EILEITUG... BEWEIS VO EUKLID... 3 BEWEIS VO GOLDBACH... 4 BEWEIS VO EULER PAUL ERDÖS FÜRSTEBERG SCHLUSSBEMERKUG LITERATURVERZEICHIS... 9

3 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle Eletug De Prmzahle sd atürlche Zahle we,3,5,7,,3,..., de ur vo sch selbst ud der getelt werde. Jede adere Zahl, de uglech ud ee Prmzahl st, et ma zerlegbar. De Prmzahle sele deser Zerlegug ee elemetare Rolle. ach dem Fudametalsatz der Arthmet lässt sch jede atürlche Zahl größer als auf ee edeutge Wese als Produt aus Prmzahle schrebe. Aus deser Tatsache, de ch a deser Stelle cht verfzere möchte, ergbt sch de Frage: We vele Prmzahle gbt es? De Atwort st vele beat: Es gbt uedlch vele. Jedoch st deses cht mt dem Fudametalsatz gezegt. Ma öte aehme, dass jede sehr große Zahl Prmfatore zerfällt. Jedoch ur auf Grudlage des Beweses der edeutge Zerlegug lässt sch dese Aussage weder bestätge och wderlege. Im Folgede werde ch ver Bewese mt Abwadluge vorstelle. Mache der Bewese deute auf teressate Etwcluge h, adere sd efach ur trcrech ud elemetar. Jeder deser Bewese st mee Auge schö ud hat auf see Wese etwas Besoderes. Ege vo he sd vo beate Mathemater adere vo vergessee. atürlch gbt es och vele wetere Bewese für de Exstez vo uedlch vele Prmzahle, auf de der Lteratur hgewese wrd. Bevor wr zu de Bewese omme, möchte ch ege allgemee Bezechuge festhalte: : {,,3,4,...} : {,3,5,7,...} Bewes vo Euld Euld vo Alexadra lebte vo 360 v. Chr. bs 80 v. Chr. Ud bewes seem Buch Elemete de Uedlchet der Prmzahle. Er gg dabe we folgt vor: Ageomme, es gbt ur edlch vele Prmzahle {,,..., r}. Se P * *...*, das Produt aller Prmzahle. Wr betrachte de Zahl r P ( ). r Daraus ergebe sch zwe Fälle, (a) P+ st ee Prmzahl oder (b) P+ st ee Prmzahl. Im Fall (b) se u ee Prmzahl mt P+, daraus folgt, dass de

4 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle sost würde P *... * r, was e Wdersruch st. Im Fall (a) habe wr auch ee wetere Prmzahl gefude, wel P se a, da P {,,..., r }. Des zegt, dass es uedlch vele Prmzahle gbt. Deser Bewes lefert leder e zuverlässges System Prmzahle zu erzeuge, aber es wrft de Frage auf: Gbt es uedlch vele Prmzahlerodute P, wobe das zugehörge P+ ee Prmzahl st? Das bs jetzt größte gefudee Produt aus Prmzahle edet mt der Prmzahl Zffer (D. Heuer, 09.00). r =393. De so erzeugte Prmzahl P+ besteht da Ee Abwadlug deses Beweses schreb Thomas Jea Steltjes 890. Er gg we Euld vo der Aahme aus, dass begrezt st. Er deferte auch e Produt aus alle Prmzahle P * *...*. Er folgerte, dass ma P auch schrebe a als r e Produt aus zwe Zahle m ud, wobe m oder m {,,3,..., r }. Folglch ergbt sch auf Grud der edeutge Zerlegug Prmfatore, dass m. Es gbt u zwe Fälle, (a) m, was ee Wdersruch ergbt zu userer Aahme, (b) ee Prmzahl mt m. Fall (b) st auch e Wdersruch zu userer j Aahme ud so muss es uedlch vele Prmzahle gebe. j 3 Bewes vo Goldbach Goldbach schreb 730 ee Bref a Leohard Euler. Er hatte de Idee ee mooto stegede uedlche Folge ( a ) vo atürlche Zahle zu fde, de aarwese telerfremd st. Aufgrud der edeutge Zerlegug Prmfatore würde e Prmfator, welcher a telt, e Prmfator welcher a telt usw., alle verschede se. Daraus ergbt sch da de Uedlchet der Prmzahle. Iteressat a desem Bewes st de Tatsache, dass Goldbach über de Prmzahle a sch ee wetere Aahme oder Voraussetzuge beötgt. Mt deser Idee m Hterof betrachtet er de Fermat-Zahle mt der Form F,. Per Iduto über lässt sch zege, dass

5 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle 0 F F, für Für = st F0 3 ud F 3. Im Idutosschluss ergbt sch 0 0 F ( F ) F ( F ) F ( )( ) ( ) * F. Se m e Teler vo F ud F,. So folgt aus der Reurso m F ud daraus ergbt sch, dass m auch de Dfferez vo F ud F telt ud damt de. Das bedeutet aber, dass ur m= oder m= se a. Der Fall m= st aber cht möglch, da alle Fermat-Zahle ugerade sd. Somt ergbt sch de aarwese Telerfremdhet für de Fermat-Zahle ud somt auch de Uedlchet der Prmzahle. We ma de Fermat-Zahle betrachtet, öte ma we Fermat de Vermutug astelle, dass dese alle Prmzahle see. Für de erste Füf bs F stmmt dese Aahme auch. Be der ächste Zahl F 5 wurde es scho schwerger, de dese st 0-stellg. Um de Prmaltät zu überrüfe brauchte ma ee Tabelle mt alle Prmzahle bs 00000, welche es zu der Zet cht gab, oder ma fad e Krterum für de Ereug vo Prmzahle. Deses fad Fermat leder cht, soder erst Pe m Jahre 877. Iteressat st zu bemere, dass scho Euler 00 Jahre vorher de Zerlegug vo F 5 herausfad. Er stellte fest, dass jeder Fator vo F de Form habe muss. So etdecte er de Zerlegug F 5 64* I de folgede Jahrzehte bs heute beschäftgte sch mmer mehr Mathemater mt desem Phäome. Bs heute st F 4 de größte beate Fermat-Prmzahl, de Zahle bs F sd vollstädg fatorsert, für de Zahle bs F 4 st beat, dass se zerlegbar sd ud de leste Zahl mt ubeate Status st F 33. Der Asatz vo Goldbach wurde vo ege Mathemater überomme ud so stellte beselswese Bellma m Jahre 947 ee Methode vor, mt der ma Folge vo aarwese telerfremde Zahle erzeuge a. 3

6 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle 4 Bewes vo Euler Leohard Euler hat um 748 zwe verschedee Bewese für de Uedlchet der Prmzahle aufgestellt. I seem erste eher drete Bewes zegt er, dass e Ausdruc bestehed aus Prmzahle dvergert: I seem zwete Bewes greft er auf dese Erets zurüc ud verwedet ee ählche Trc. Er geht davo aus, dass de Prmzahle ee aufstegede Folge vo Zahle sd, wobe dese be... begt. 3 Se ( x) #{ x :, x } de Azahl der Prmzahle leer eer feste reelle Zahl x. Wr betrachte log(x) de atürlche Logarthmus ud defere dese als x log( x) : dt. Als ächstes verglecht er de Fläche uter dem Grahe vo t f ( t) t mt eer obere Treefuto. Für x,, glt log( x) wobe de Rehe alle m m, de ur Prmteler Obere Treefuto für f ( t) t x bestzt, aufsummert. Da m we jede atürlche Zahl sch edeutg als Produt aus Velfache der Prm- teler darstelle lässt, ergbt sch ( ) m x, 0. De ere Summe 0 st ee geometrsche Rehe ud hat somt de Grezwert. Daraus ergbt sch de Uglechug 4

7 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle ( x) log x ( ) ( ) x, 0 x, x, Für folgt deshalb We ma u () ud () zusammefügt, ergbt sch ( ) x 0 log( x) ( x).. (). () Wr wsse, dass log(x) ubeschrät st ud somt auch ( x) ubeschrät se muss. Als wetere Erets aus desem Bewes öe wr log(x) als ee utere Greze für de Azahl der Prmzahle leer eer reelle Zahl festhalte. 5 Paul Erdös Paul Erdös greft 938 ee Idee vo Euler auf, dem er de Rehe der verse Prmzahle betrachtet. Er mmt a, dass overgert. Des Wetere defert er de Prmzahle als ee aufstegede Kette beged be....deshalb exstert e mt. See,..., lee Prmzahle ud,... große Prmzahle. Für belebge Se u se glt G de Azahl der, 0, mt l, l, für mdestes e l. Ud K de Azahl der m, 0 m, mt j m, j {,,..., }, ud l m l..() Se Zel war es erzeuge. ud abzuschätze um ee Wdersruch für zu G K G K 5

8 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle Be der Betrachtug vo G fällt auf, dass de Azahl der wedergbt, de vo für getelt werde. Mt () ud deser Erets erhält ma Somt habe wr ee Abschätzug für G G gefude..() Jede Zahl, de ur lee Prmteler hat, schrebe wr der Form m m, m a b m wobe a m der quadratfree Tel st. Daraus ergbt sch, dass m a als Produt verschedeer leer Prmzahle geschrebe werde a. Isgesamt überstegt de de Azahl der quadratfree Tele cht, da es lee Prmzahle gbt. Für de Quadrattele a ma folgede Abschätzug betrachte bm m. Daraus ergbt sch K * u habe wr für suche wr e, welches G ud K ee Abschätzug. Da () für jedes belebge glt, * oder aders geschrebe. Wr betrachte de Zahl. Daraus ergbt sch für de Glechug ( ) * * * was ee Wdersruch darlegt. Somt st de Aahme falsch ud es wurde gezegt, dass overgert., G K Ee Folgerug deses Beweses st de Tatsache, dass de Prmzahle dchter zusamme lege als beselswese de Zahle der Form Quadrate overgert mt, da de Rehe der verse 6. 6

9 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle 6 Fürsteberg Als letzte Bewes möchte ch de vo Hllel Fürsteberg vorstelle, de er 955 als Studet veröffetlchte. Se Bewes wecht vo adere Bewese star ab, de er gbt ee re toologsche Bewes für e zahletheoretsches Problem. Bs urz vor Ede des Beweses fragt ma sch, was deser mt der de Prmzahle ud dere Uedlchet zu tu hat. Er defert auf folgede Toologe: Se a, b, b 0 ud a, b { a b : } Jede Mege a, b st bede Rchtuge ee uedlche arthmetsche Folge. Ma a sch dese als Pute eem zwedmesoale Gtter vorstelle, welche ach ud gehe. Zum achwes eer Toologe auf müsse folgede Axome erfüllt se: () De leere Mege {} ud sd offe. () Der Durchschtt edlch veler offeer Mege st weder offe. (3) De Veregug uedlch veler offeer Mege st weder offe Ee Mege M heßt offe, we M leer st oder we es zu jedem a M e b 0 exstert mt, M. Daraus ergbt sch offeschtlch de Erfüllug a b des drtte sowe des erste Axoms. Für das zwete Axom betrachte wr zwe Mege M ud M bede offe ud se a M M mt M ud a, b M. Es a, b folgt, dass erfüllt. a M M st. Damt sd de Axome für ee Toologe auf a, bb ach der obge Defto st jede cht leere offee Mege uedlch. () Des Wetere st jede Mege a, b abgeschlosse. () Das ergbt sch aus b a, b \ a, b, da a, b e Komlemet eer offee Mege st. 7

10 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle A deser Stelle omme erst de Prmzahle s Sel. Wr wsse, dass jede Zahl \{, } mdestes ee Prmteler bestzt ud so 0,,. Daraus folgt: \ {, } 0,. We wr aehme, dass edlch st, folgt daraus, das 0, ach () abgeschlosse st. Das hat aber zur Folge, dass {-,} offe st, was ee Wdersruch zu () darstellt. Somt war de Aahme falsch ud es wurde gezegt, dass uedlch st. 7 Schlussbemerug Es gbt, we berets erwäht, vele wetere Bewese, de auf telwese sehr ählche aber auch gaz adere Idee basere. Vele Bewese habe wetere Frage aufgeworfe. ebe der Frage we vele Prmzahle es gbt, wurde uter aderem folgede Asete hterfragt: () We a ma Prmzahle eree? () We sd de Prmzahle vertelt? (3) Welche besoder Arte vo Prmzahle gbt es? Zu () wurde uterschedlche Aahme getroffe, beged bem Seb des Eratosthees über de Charaterserug der Prmzahle vo Wlso, bs h zu Prmzahletest, welcher jedoch ee Fatorserug agebe a. Be der Frage () ommt de us beate ( x) zum Trage, welche der Lteratur uter dem Begrff Prmzahlefuto gefude werde a. Als Weteres wurde arthmetsche Folge utersucht, de aus Prmzahle bestehe, we beselswese de Fermat-Zahle. Zu de besodere Arte vo Prmzahle gehöre zum Besel de Prmzahlzwllge, wobe ud + Prmzahle sd, Prmzahlmehrlge oder auch de Mersee-Prmzahle. De bsher größte gefudee Prmzahl st ee solche Mersee-Prmzahl. 8

11 Ies Davd: Uedlchet der Prmzahle 8 Lteraturverzechs RIBEBOIM, P.:Mee Zahle, mee Freude. Srger Berl Hedelberg (009), S.65-8 RIBEBOIM, P.: De Welt der Prmzahle. Srger Berl Hedelberg (006), S. -3 BEHREDS, GRITZMA, ZIEGLER: & Co. Srger Berl Hedelberg (008), S.5-54 htt:// htt:// 9

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