Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)

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1 Lineare Abbildungen Teschl/Teschl.3,. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal: Seien V und W Vektorräume über K. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung L : V W, v Lv mit Lv + w = Lv + Lw für alle v, w V und Lcv = clv für alle v V und c K. linabb.pdf, Seite

2 Beispiele L : R R v, v v v Spiegelung an der. Koordinatenachse ist eine lineare Abbildung, denn v Lv + w = + w v = w + v + w und Lc v = cv cv für alle v, w R und c R, v w = Lv + Lw = c = c Lv v v Ist A eine m nmatrix, so deniert L : R n R m, x Ax eine lineare Abbildung vom R n in den R m. Dies folgt aus den Rechenregeln für Matrizen: Für v, w R n und c R gilt Lv + w = Av + w = Av + Av = Lv + Lw und Lc v = Ac v = c Av = c Lv. linabb.pdf, Seite

3 Beispiel Lineare Abbildung Lv = v v Die Linearität führt dazu, dass sich Lv + w aus den Vektoren Lv + Lw zusammensetzen lässt. linabb.pdf, Seite 3

4 Beispiel Nichtlineare Abbildung Lv = v v + Hier wird die Struktur der Bildvektoren links zerstört. linabb.pdf, Seite 4

5 Weiteres Beispiel Sei V = W = {px = ax + bx + c : a, b, c R} der Vektorraum aller Polynome vom Grad. Dann ist L : px p x = ax + b eine lineare Abbildung, denn mit px = ax + bx + c und qx = dx + ex + f gilt p + q x = a + dx + b + e = ax + b + dx + e = p x + q x. Analog rechnet man nach λ p x = λ p x für Skalare λ R. Ebenfalls eine weitere lineare Abbildung ist z. B. L : V R, p p = 4a + b + c, denn es gilt p + q = p + q und λ p = λ p. linabb.pdf, Seite 5

6 Bemerkungen Aus L = L = L = folgt, dass jede lineare Abbildung den Nullvektor von V auf den Nullvektor von W abbilden muss. Die Abbildung f : R n R m, x Ax + b mit b R m ist keine lineare Abbildung, falls b. Solche Abbildungen werden als ane Abbildungen bezeichnet. Es gibt jedoch einen Trick, der es ermöglicht, auch Translationen der Form x x + b als lineare Abbildungen zu beschreiben. Dieser besteht im Hinzufügen einer zusätzlichen Dimension und der Betrachtung homogener Koordinaten. linabb.pdf, Seite 6

7 Anwendungen Geometrische Operationen wie Drehungen um den Koordinatenursprung, Spiegelungen, Streckungen, Projektionen etc. werden durch lineare Abbildungen beschrieben. Zum Beispiel beschreibt x cos α sin α x L α : y sin α cos α in der Ebene eine Linksdrehung um den Winkel α. Lineare Codes L : Z n Z n+k, x,..., x n x,..., x n, y,..., y k mit den Kontrollbits y,..., y k = x,..., x n A, wobei A eine n kmatrix mit Koezienten in Z ist. y linabb.pdf, Seite 7

8 Nachweis einer linearen Abbildung Um zu zeigen, dass eine gegebene Abbildung L : V W linear ist, müssen im allgemeinen Fall die Bedingungen Lv + w = Lv + Lw für v, w V und Lcv = c Lv für v V und c K formal nachgerechnet werden. Beispiel: L : R R 3 v, v v Lv + w = L + w = v + w v v + w w = = = L v v 3v + 3w v w + L w w v v 3v v v + w v + w 3v + w v + w v v 3v v = Lv + Lw + ist linear, denn w w 3w w linabb.pdf, Seite 8

9 Fortsetzung Beispiel und Lcv = L Bemerkung cv = cv cv cv 3cv cv v = c 3v c v = c cv v v 3v v = clv Im vorliegenden Beispiel kann auch mit einer schon vorher durchgeführten Rechnung argumentiert werden: Die Abbildung Lv = Av lässt sich als Multiplikation mit der Matrix A = 3 darstellen und wir wissen bereits, dass Abbildungen der Form v Av linear sind. linabb.pdf, Seite 9

10 Nachweis einer nichtlinearen Abbildung Um zu zeigen, dass eine Abbildung L nicht linear ist, muss nur an einem Beispiel gezeigt werden, dass eine der Bedingungen nicht erfüllt ist. Beispiele Lv = v + ist nicht linear, da z. B. 3 3 L + = L = 3 L + L = + = 3 L : R v R, v + v + ist nicht linear, denn es v ist z. B. = L = L L =. linabb.pdf, Seite

11 Satz Ist {v,..., v n } eine Basis von V, so ist jede lineare Abbildung f : V W durch Lv,..., Lv n eindeutig festgelegt. Beweis Ein beliebiges y V hat die eindeutige Darstellung y = a v a n v n mit a,..., a n K. Durch wiederholtes anwenden von Lv i + v j = Lv i + Lv j und La i v i = a i Lv i folgt Ly = La v a n v n = a Lv a n Lv n, d. h. Ly ist durch Lv,.., Lv n eindeutig bestimmt. linabb.pdf, Seite

12 Beispiel Ist L : R R eine lineare Abbildung mit 3 L = und L =, so folgt z. B. 4 L = L + = L + L 3 = L = x L = L y 3 + L x = x L 3 4 = L 3 = 6 bzw. allgemeiner + y + y L = x + 3y x + 4y + 3 L linabb.pdf, Seite

13 Beispiel Sei L eine lineare Abbildung R R mit L Für x = analog L = L = folgt z. B. L = und = + L = + = = / 3/, = 3/ / linabb.pdf, Seite 3

14 Folgerung Jede lineare Abbildung L : K n K m lässt sich durch eine Matrix darstellen, d. h. es gibt eine m nmatrix A mit Lx = Ax. Beweis Wähle die Matrix A, deren Spalten die Bilder der Standardeinheitsvektoren Le,..., Le n sind. Für beliebiges x = x,.., x n T = x e x n e n ist dann Lx = Lx e x n e n = x Le x n Le n = Ax. Beispiel Aus L = x L = y 3 4 x und L y = = x + 3y x + 4y 3 4 folgt. linabb.pdf, Seite 4

15 Im Beispiel Aus L = / 3/ und L folgt für beliebiges x R x L = x L x + x L = 3/ / = x / 3/ + x 3/ / = 3 3 x x linabb.pdf, Seite 5

16 Zur Berechnung der Abbildungsmatrix Sind die Werte Le,..., Le n der Standardeinheitsvektoren gegeben, so bilden diese die Spalten der Abbildungsmatrix A, für die gilt Lx = Ax. Ist eine beliebige Basis v,..., v n des R n mit Werten y k = Lv k R m für k =,..., n vorgegeben, so kann A mit folgender Überlegung bestimmt werden: Es muss gelten Av k = y k für alle k. Mit der Matrix B, deren Spalten die v k sind und der Matrix C, deren Spalten die y k sind, folgt dann AB = C A = CB. Da die v k eine Basis des R n bilden, ist B eine reguläre n nmatrix und somit invertierbar. Folglich ist die Abbildungsmatrix A durch obige Matrizengleichung eindeutig bestimmt. linabb.pdf, Seite 6

17 Im letzten Beispiel Gesucht ist die Matrix A der linearen Abbildung L : R R mit L = und L = Man erhält die Matrizengleichung A = A = Bemerkung = = 3 3 Die äquivalente Formulierung der Matrizengleichung B T A T = C T liefert ein lineares Gleichungssystem für die Spalten von A T = Zeilen der gesuchten Matrix A. linabb.pdf, Seite 7

18 Als LGS B T A T = C T a a = a a Zur Lösung kann man die erweiterte Koezientenmatrix B T C T durch elementare Zeilenumformungen in I n A T transformieren: A T = 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 A =, 5, 5, 5, 5 T =, 5, 5, 5, 5 linabb.pdf, Seite 8

19 Weiteres Beispiel Gesucht ist die 3Matrix A der linearen Abbildung L : R 3 R mit L =, L = und L Man erhält die Matrizengleichung a a a a a a a a 3 a 3 = = 4 3 =. linabb.pdf, Seite 9

20 Fortsetzung Beispiel 5 4 A = 4 A T = linabb.pdf, Seite

21 Komposition linearer Abbildungen Sind f : V W und g : W Z lineare Abbildungen, so auch g f : V Z, x gf x. Ist f x = Ax und gx = Bx, so folgt g f x = BAx = BAx, d. h. die Komposition linearer Abbildungen entspricht der Multiplikation von Matrizen. Inverse Abbildung Die lineare Abbildung f : V W heiÿt invertierbar, wenn es eine Abbildung f : W V gibt mit f f x = x und f f y = y für alle x V und y W. Ist f x = Ax, so ist f genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. In diesem Fall ist f y = A y. linabb.pdf, Seite

22 Orthogonale Transformationen In geometrischen Anwendungen spielen lineare Abbildungen eine besondere Rolle, unter denen Abstände und Winkel unverändert bleiben. Denition: Sind V und W euklidische Vektorräume, so heiÿt eine lineare Abbildung orthogonal, wenn Lx, Ly = x, y für alle x, y V. Folgerung Abstände und Winkel ändern sich nicht unter orthogonalen Transformationen, weil: Lx = Lx, Lx = x, x = x und cos Lx, Ly = Lx, Ly Lx Ly = x, y x y = cos x, y linabb.pdf, Seite

23 Komposition orthogonaler Abbildungen Sind L : V W und L : W Z orthogonal, so auch L L : V Z. Ist L orthogonal und invertierbar, so ist auch L orthogonal. Satz: Orthogonale Abbildungen im R n Die lineare Abbildung L : R n R m, x Ax ist genau dann orthogonal, wenn A eine spaltenorthogonale Matrix ist. Zum Beweis : Ist A spaltenorthogonal, so gilt Ax, Ay = x, y für alle x, y R n siehe Übung. : Die Spalten von A sind die Bilder w k = Le k der Standardeinheitsvektoren. Lässt L Abstände und Winkel unverändert, so haben die w k Norm und stehen senkrecht aufeinander. linabb.pdf, Seite 3

24 Orthogonale Abbildungen R R Für Abbildungen Lx = Qx mit einer orthogonalen Matrix Q gibt zwei Möglichkeiten. Da Q orthogonal ist, gilt det Q = oder det Q =. Im ersten Fall ist Q eine Drehung, im zweiten eine Spiegelung. Fall : Drehungen Ist Q orthogonal mit det Q =, so gibt es einen Winkel ϕ mit cos ϕ sin ϕ Q =. sin ϕ cos ϕ Die Abbildung L beschreibt dann eine Linksdrehung um den Koordinatenursprung um den Winkel ϕ. linabb.pdf, Seite 4

25 Beispiel Q = 3 3 ist orthogonal mit det Q =. Somit beschreibt x Qx eine Drehung um einen Winkel ϕ. Es muss gelten cos ϕ = 3. Es gibt zwei Winkel zwischen und 36 o, die diese Gleichung erfüllen, nämlich ϕ = arccos 3 = 3o = π und 6 ϕ = 36 o ϕ = 33 o = π. 6 Weiter muss gelten sin ϕ = q = <. Daraus folgt, dass ϕ zwischen 8 o und 36 o liegen muss. Also ist ϕ = ϕ = 33 o, d. h. Q beschreibt eine Linksdrehung um 33 o bzw. eine Rechtsdrehung um 3 o. linabb.pdf, Seite 5

26 Fall : Spiegelungen Ist Q orthogonal mit det Q =, so beschreibt x Qx eine Spiegelung an einer Geraden durch. Diese Spiegelachse besteht aus allen x R, für die gilt Qx = x Qx = I x Qx I x = Q I x = Dies deniert ein homogenes lineares Gleichungssystem, dessen allgemeine Lösung die Spiegelachse ist. Bemerkung Vektoren, für die gilt Qx = x, sind Eigenvektoren der Matrix Q zum Eigenwert. linabb.pdf, Seite 6

27 Beispiel, 8, 6 Q = ist orthogonal mit det Q =, 6, 8 und beschreibt somit eine Spiegelung. Zur Bestimmung der Spiegelachse löst man das LGS, 8, 6 x Qx = x =, 6, 8 x,, 6, 6, 8 x = x x = t R beliebig und x = 3x = 3t, 3 d. h. die Spiegelachse besteht aus allen Vektoren der Form 3 x = t mit t R. linabb.pdf, Seite 7

28 Fortsetzung Beispiel Q =, 8, 6, 6, 8 Ist y ein Vektor senkrecht zur Spiegelachse, so ist Qy = y, d. h. y ist Eigenvektor zum Eigenwert. Ist {v, v } eine Orthogonalbasis das R, so dass v in der Spiegelachse liegt, so folgt für beliebiges x = c v + c v R Qx = c Qv + c Qv = c v c v. { Eine solche Basis ist z. B. {v, v } = Für x = erhält man z. B. x = v, x v + v, x v = 4 v + v,, =,, 4 +, 6 Qx =,, 4 3 },. 3 =, 6, 4,. linabb.pdf, Seite 8

29 Weiteres Beispiel Welche Matrix beschreibt die Spiegelung an der Geraden durch und? Da der Vektor auf senkrecht ist, muss für die gesuchte lineare Abbildung Lx = Ax gelten L A = A A = = = = 5 und L A = = 5 = A, 6, 8 =, 8, 6 Inverse mit der Cramerschen Regel berechnet = linabb.pdf, Seite 9

30 Beispiel: Komposition Welche geometrische Operation entsteht, wenn erst an der Geraden durch und 3 und dann an der Geraden durch und gespiegelt wird? Betrachtet wird die Komposition L = L L mit, 8, 6 x L x = Q x = und, 6, 8 x, 6, 8 x L x = Q x =. Es ist, 8, 6 x Lx = Qx = Q Q x = x x Wegen det Q = + handelt es sich um eine Drehung, der Drehwinkel nach links ist arccos = 9 o. linabb.pdf, Seite 3

31 Orthogonale Abbildungen L : R 3 R 3 Ist A eine orthogonale 3 3Matrix mit Determinante +, so beschreibt L : x Ax eine Drehung. Die Drehachse erhält man als allgemeine Lösung des LGS Ax = x A I 3 x =, welche immer einen freien Parameter enthält. Der Drehwinkel ergibt als Winkel zwischen y und Ay, wenn y ein zur Drehachse senkrechter Vektor ist alternativ kann der Drehwinkel mit Hilfe der komplexen Eigenwerte von A bestimmt werden. Ist det A =, so ist x Ax eine Drehspiegelung Kombination aus Drehung und Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse. Diese Achse ist allgemeine Lösung des LGS Ax = x A + I 3 x =. Ist A orthogonal und symmetrisch, so beschreibt x Ax eine Spiegelung. Dies gilt auch für n nmatrizen A mit n 3. linabb.pdf, Seite 3

32 Drehungen um die Koordinatenachsen mit den Winkeln α, β bzw. γ werden beschrieben durch die Drehmatrizen cos α sin α Drehung um die x Achse, sin α cos α cos β sin β Drehung um die x Achse und sin β cos β cos γ sin γ sin γ cos γ Drehung um die x 3 Achse. Beliebige Drehungen können durch Produkte dieser Matrizen dargestellt werden. Drehspiegelungen ergeben sich, wenn die durch ersetzt wird. linabb.pdf, Seite 3

33 Beispiel einer Drehung Q = 3 ist orthogonal mit det Q = +. Somit ist L : R 3 R 3, x Qx eine Drehung. Zur Bestimmung der Drehachse betrachtet man das LGS Q I 3 x = mit der allgemeinen Lösung x = t,, T, t R. Damit beschreibt Q eine Drehung um die Achse x = x = x 3. Der Drehwinkel berechnet sich z. B. als Winkel zwischen y =,, T und Qy =,, T und ist α = 6 o. linabb.pdf, Seite 33

34 Beispiel einer Spiegelung Q = 3 ist orthogonal Q T Q = I 3 und symmetrisch Q T = Q. Es folgt Q = Q Q = Q T Q = I 3. Der Unterraum, an dem gespiegelt wird, ist die allgemeine Lösung des LGS Qx = x Q I 3 x = x = s t s t = s + t mit s, t R. Somit ist Lx = Qx eine Spiegelung an der { Ebene bzw. dem } zweidimensionalen Unterraum mit der Basis,. linabb.pdf, Seite 34

35 Weiteres Beispiel Gesucht ist die 3 3Matrix Q, die die Spiegelung Lx = Qx an der Ebene durch, x = und y = beschreibt. Mit z = x y = Qz = z, also Q Q = = 6 3 = muss gelten Qx = x, Qy = y und =, 6, 8, 8, 6 linabb.pdf, Seite 35

36 Weitere spezielle lineare Abbildungen a Ist A = eine diagonale d. h. alle Koezienten b auÿerhalb der Hauptdiagonale sin Null Matrix, so beschreibt die lineare Abbildung a x Lx = Ax = b x eine Streckung in x Richtung um den Faktor a und in x Richtung um den Faktor b. Ist a < bzw. b <, so wird die Streckung kombiniert mit einer Spiegelung. Der Flächeninhalt von geometrischen Objekten wird unter der Anwendung von L mit dem Faktor a b = det A multipliziert. Ist speziell b =, so beschreibt L eine Verzerrung, die a Flächeninhalte unverändert lässt. Im Fall a = b hat man eine in alle Richtungen gleichmäÿige Streckung. Analoge Aussagen gelten für diagonale n nmatrizen. linabb.pdf, Seite 36

37 Volumenänderung unter linearen Abbildungen Ist L : R n R n, x Ax eine lineare Abbildung mit der n nmatrix A, so wird durch L das ndimensionale Volumen im Fall n = die Fläche, im Fall n = 3 der Rauminhalt geometrischer Objekte mit dem Faktor det A multipliziert. Spezialfall det A = ± In diesem Fall bleiben Volumina unter der Abbildung Lx = Ax unverändert. Längen und Winkel können sich ändern, sofern A keine orthoginale Matrix ist. linabb.pdf, Seite 37

38 Beispiel Dreieck mit Eckpunkten a =, b = und c = 4 3 der ächenerhaltenden Abbildung Lx = 3 x x unter linabb.pdf, Seite 38

39 Scherungen sind eine spezielle Klasse volumenerhaltender linearer Abbildungen. Im R werden dabei alle Punkte entlang paralleler Geraden verschoben. Sind diese Geraden parallel zur x Achse, so wird die Scherung durch die Matrix a A = mit a R beschrieben. linabb.pdf, Seite 39

40 Scherungen im R 3 erhält man z. B. mit Matrizen der Form a b c mit Konstanten a, b, c R. Dabei werden alle Punkte parallel zur x, x Ebene verschoben. Vorzeichen der Determinante L : R n R n, x Ax ist orientierungstreu, wenn det A >. Jede orientierungstreue lineare Abbildung lässt sich als Komposition von Drehungen, Streckungen und Scherungen darstellen. Bei Abbildungen mit det A < wird zusätzlich eine Spiegelung benötigt. Ist det A =, so wird der gesamte R n auf einen Unterraum abgebildet, der die lineare Hülle der Spaltenvektoren von A ist. linabb.pdf, Seite 4

41 Translationen der Form T : R n R n, x x + b sind keine linearen Abbildungen und lassen sich daher nicht durch Multiplikation mit einer n nmatrix beschreiben. Es gibt jedoch einen Ansatz, den Matrizenformalismus auch auf solche Abbildungen anzuwenden: Homogene Koordinaten im R n bestehen aus n + Komponenten x, x,..., x n, x n+ T. Einem Punkt x = x,..., x n T R n werden dabei die Koordianten ˆx = x,..., x n, T R n+ bzw. allgemeiner c x, c x,..., c x n, c mit einer beliebigen Konstante c R zugeordnet, d. h. die Koordinaten werden um eine an der n + ten Stelle ergänzt. linabb.pdf, Seite 4

42 Lineare Abbildungen in homogenen Koordinaten Ist Lx = Ax eine lineare Abbildung mit einen n nmatrix A, so betrachtet man die n + n + Matrix  bestehend aus der Matrix A erweitert um eine Zeile und eine Spalte mit den Koezienten a n+,n+ = und a n+,i = a i,n+ = für i =,..., n. Ist Ax = y, so ist dann ˆx = y,..., y n, T = ŷ, d. h. die Matrix  stellt die lineare Abbildung L in homogenen Koordinaten dar. Beispiel Eine Spiegelung an der Gerade durch und 3 hat in homogegen Koordinaten die Darstellung Lˆx = ˆx = mit y =, 8, 6 y, 6, 8, 8, 6, 6, 8 x x x x = y y linabb.pdf, Seite 4

43 Translationen Die Translation x x + b hat in homogenen Koordinaten die Darstellung T ˆx = b b x x = x + b x + b Der Nutzen der homogenen Koordinaten liegt nun darin, dass Kompositionen aus linearen Abbildungen und Translationen durch Produkte von Matrizen dargestellt werden können. linabb.pdf, Seite 43

44 Beispiel Eine Spiegelung Sx an der Geraden durch und 3 und anschlieÿende Translation T x um wird durch die Matrix, 8, 6, 8, 6, 6, 8 =, 6, 8 beschrieben. Wird erst verschoben und dann gespielgelt, so erhält man die Matrix, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 4 =, 6, 8, Es folgt durch Betrachtung der ersten beiden Zeilen, 8 x S T x = +, 6 x +, 4, 6 x, 8 x +, linabb.pdf, Seite 44

45 Beispiel Eine Spiegelung an der Geraden durch und durch drei Teilschritte beschrieben werden: 3 kann Verschiebung um, so dass die Gerade durch geht, anschlieÿend Spiegelung an der verschobenen Geraden und im letzten Schritt Rückverschiebung um. In homogenen Koordinaten erhält man die Matrix, 8, 6, 6, 8 = =, 8, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 8, 8 linabb.pdf, Seite 45

46 Projektionen Gegeben sei ein Vektorraum V und zwei Unterräume U, W V. Die Lineare Abbildung P : V V ist eine Projektion auf den Unterraum U entlang des Unterraums W, wenn folgendes gilt Jeder Vektor x V hat eine Darstellung x = u + w mit u U und w W in diesem Fall sagt man V = U + W Für alle u U gilt Pu = u Für alle w W gilt Pw = Für x = u + w folgt dann Px = Pu + w = Pu + Pw = u. Der Unterraum W heiÿt Kern von P, U heiÿt Bild von P. Der Rang rgp = dim U von P ist deniert als die Dimension des Bildes. linabb.pdf, Seite 46

47 Beispiel graphisch Projektion Px = x x linabb.pdf, Seite 47

48 Beispiel rechnerisch Sei v =, v =, U = Lv = {t v : t R} der von v erzeugte Unterraum sowie W = Lv = {t v : t R} der von v erzeugte Unterraum des R. Dann ist Px = x = x x + x die Projektion auf U entlang W, denn es gilt: Da {v, v } Basis des R ist, hat jedes x R eine eindeutige Darstellung x = s v + t v mit u = s v U und w = t v W. Für u = s v U ist Pu = s Pv = s Für w = t v W ist Pw = t Pv = t Der Rang von P ist = dim U. = u. =. linabb.pdf, Seite 48

49 Orthogonale Projektionen Ist V ein euklidischer Vektorraum und gilt U W d. h. u, w = für alle u U und w W, so ist die Projektion auf U entlang W eine orthogonale Projektion. Beispiele x x x P = ist die orthogonale Projektion auf { } { } U = x : x R entlang W = : x x R. Px = x ist die orthogonale Projektion x { } { } auf U = t : t R entlang W = t : t R, denn mit v = und v = ist {v, v } Basis des R mit v, v =, Pv = v und Pv =. linabb.pdf, Seite 49

50 Satz Die lineare Abbildung L : V V ist genau dann eine Projektion, wenn gilt L = L L = L. Im Fall V = R n und Lx = Ax ist L genau dann eine Projektion, wenn A = A ist. Der Kern von L ist dann die allgemeine Lösung des homogenen LGS Ax =, das Bild von L der von den Spalten von A erzeugte Unterraum. Daraus folgt, dass der Rang der Projektion gleich dem Rang der Matrix A ist. Lx = Ax ist genau dann eine orthogonale Projektion, wenn A = A und die Matrix A symmetrisch ist. linabb.pdf, Seite 5

51 Beispiel Mit A = ist A = A. Es folgt, dass Lx = Ax eine Projektion ist. Da A nicht symmetrisch ist, handelt es sich um keine orthogonale Projektion. Das Bild von L ist { der von den Spalten von A erzeugte } Unterraum U = t : t R, der Kern W die Lösungsmenge des LGS, 5 Ax = x = t 3 mit t R. Somit projiziert L alle Punkte der Ebene parallel zur Gerade W durch und 3 auf die Gerade U durch und, der Rang von L ist. linabb.pdf, Seite 5

52 Weiteres Beispiel Die Matrix A = 3 ist symmetrisch mit A = A. Es folgt, dass Lx = Ax eine orthogonale Projektion ist. Das Bild ist der von den Spalten erzeugte eindimensionale da rga = rgl = Unterraum U = {x, x, x 3 T R 3 : x = x = x 3 }. Der Kern W von L besteht aus allen auf U senkrechten Vektoren und ist die allgemeine Lösung des LGS Ax =, d. h. W = {x, x, x 3 T R 3 : x + x + x 3 = }. Es ist dim W =, d. h. der Kern ist eine Ebene. linabb.pdf, Seite 5

53 Berechnung der Abbildungsmatrix Gegeben seien Unterräume U und W des R n. Damit die Projektion auf U entlang W existiert, muss gelten U W = {} und dim U + dim W = n. Man wählt eine Basis {v,..., v r } von U mit r = dim U und eine Basis {v r+,..., v n } von W mit n r = dim W. Dann ist {v,..., v r, v r+,..., v n } Basis des R n. Die Abbildungsmatrix erhält man nun durch die Gleichungen Lv k = v k für k =,..., r und Lv k = für k = r +,..., n. linabb.pdf, Seite 53

54 Beispiel Gesucht ist die Abildungsmatrix A der Projektion auf die Gerade durch und in Richtung des Vektors. Mit v = und v = erhält man die Matrizengleichung A = Bemerkung = A = = Die Abbildungsmatrix einer orthogonalen Projektion auf den Unterraum U des R n ist der orthogonale Projektor P = QQ T, wobei die Spalten von Q eine Orthogonalbasis von U bilden. linabb.pdf, Seite 54

55 Kern und Bild allgemeiner linearer Abbildungen Der Kern einer linearen Abbildung L : V W ist deniert als KernL = {v V : Lv = } V. KernL ist ein Unterraum von V. Das Bild von L ist deniert als BildL = {w W : Es gibt ein v V mit Lv = w} W. BildL ist ein Unterraum von W. Der Rang der linearen Abbildung L ist die Dimension von BildL. Kern, Bild und Rang einer Projektion sind Spezielfälle der vorstehenden allgemeineren Denition. linabb.pdf, Seite 55

56 Beispiele Mit A = und L : R R 3, x Ax ist { } KernL = t : t R die allgemeine Lösung des homogenen { LGS Ax = }. BildL = t : t R ist der von den Spalten von A erzeugte Unterraum des R 3. Es folgt rgl =. Sei V Vektorraum der Polynome vom Grad und L : V V, px = ax + bx + c p x = ax + b Dann ist der Kern von L die Menge aller konstanten Polynome px = c und das Bild die Menge aller Polynome vom Grad. Der Rang von L ist. linabb.pdf, Seite 56

57 Fall L : R n R m, x Ax Der Kern von L ist die Menge aller Lösungen des homogenen LGS Ax = und somit ein Unterraum des R n. Das Bild von L ist die Menge aller b R m, für die das LGS Ax = b lösbar ist und gleich dem von den Spalten von A erzeugten Unteraum des R m. Der Rang von L ist gleich dem Rang der Matrix A. linabb.pdf, Seite 57

58 Beispiel L : R 3 R 3, x Ax mit A = Zur Bestimmung von KernL löst man das LGS Ax = x = x x x 3 = t mit t R beliebig. 3 Der Kern von L besteht also aus allen skalaren Vielfachen des Vektors ; ; T und hat die Dimension. Der Rang von L ist rga =. Da sich die 3. Spalte von A als Linearkombination der linear unabhängigen beiden ersten Spalten darstellen lässt, bilden diese eine Basis des Bildes von L, das somit die Dimension = rgl = rga hat. linabb.pdf, Seite 58

59 Bemerkungen Gegeben sei die lineare Abbildung L : V W. Für x, y V gilt Lx = Ly x y KernL. L : V W ist genau dann injektiv, wenn KernL = {}. Ist W endlichdimensional, so ist L genau dann surjektiv, wenn rgl = dim W. Ist V endlichdimensional, so gilt die Rangformel dim V = rgl + dim KernL. Vergleich Rangformel LGS Ax = : dim V = Zahl der Unbekannten, rgl = rga = Zahl der Unbekannten, deren Wert durch das LGS bestimmt wird, dim KernL = dim{x R n : Ax = } = Zahl der frei wählbaren Parameter. linabb.pdf, Seite 59

60 Bild und Urbild von Unterräumen Gegeben sei die lineare Abbildung L : V W. Das Bild LU eines Unterraums U V ist ein Unterraum von W mit dim LU = dim U dimu KernL. Das Urbild L U = {x V : Lx U} eines Unterraums U W ist ein Unterraum von V mit dim L U = dimu BildL + dim KernL. linabb.pdf, Seite 6

61 Geraden und Ebenen unter linearen Abbildungen Das Bild einer Gerade g unter einer linearen Abbildung L ist ein Punkt, falls der Richtungsvektor von g im Kern von L liegt, ansonsten eine Gerade. Das Bild einer Gerade unter L ist eindeutig bestimmt durch Lx und Ly, wenn x y zwei beliebige Punkte auf der Geraden sind. Ebenfalls eindeutig bestimmt ist es durch das Bild eines Punktes und eines Richtungsvektors. linabb.pdf, Seite 6

62 Geraden und Ebenen unter linearen Abbildungen Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, eine Gerade oder ein Punkt. Im R 3 ist das Urbild eines Punktes, einer Gerade oder einer Ebene ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder der gesamte Raum. Das Bild einer Ebene E unter L ist eindeutig bestimmt durch Lx, Ly und Lz mit drei Punkten x, y, z E, die nicht auf einer Geraden liegen. Ebenfalls eindeutig bestimmt ist das Bild einer Ebene durch das Bild eines Punktes und zweier linear unabhängiger Richtungsvektoren. Bemerkung / Warnung Da sich Winkel unter linearen Abbildungen ändern können, kann das Bild einer Ebene nicht mit Hilfe des Bildes eines auf der Ebene senkrechten Vektors bestimmt werden. linabb.pdf, Seite 6

63 Beispiel 3 Sei g die Gerade durch P = und P = und g die 4 x Gerade durch P und P 3 = sowie Lx = x Das Bild von g unter L ist dann die Gerade g 3 durch LP = und LP =. 8 Mit dem Richtungsvektor v = P P = von g ist Lv = LP LP = Richtungsvektor von g 3. Wegen LP 3 = abgebildet = LP wird g auf einen Punkt Mit dem Richtungsvektor w = P 3 P = Lw = LP 3 LP = w KernL. von g ist linabb.pdf, Seite 63

64 Fortsetzung Beispiel Gesucht ist eine lineare Abbildung ˆL, die g auf g abbildet. Dazu nimmt man sich jeweils zwei beliebige Punkte x, x g und y, y g aus beiden Geraden und konstruiert die Abbildungsmatrix A von ˆL so, dass Ax = y und Ax = y. 3 Z. B. mit x = y = P =, x = P = und y = P 3 = erhält man die Matrizengleichung A 3 3 = = 3 3 A = = Bemerkung Die Matrix ist durch die Bedingung, dass g auf g abgebildet werden soll, nicht eindeutig bestimmt, sondern hängt von der Wahl von x, x, y und y ab. linabb.pdf, Seite 64

65 Beispiel: Lineare Codes als lineare Abbildungen Bei der Übertragung von n Bits x,..., x n Z sollen zusätzlich k Kontrollbits y,..., y k übertragen werden. Die Berechnung der y i erfolgt durch Multplikation des Vektors x = x,..., x n Z n mit einer n kmatrix A mit Koezienten aus Z, die hier von rechts an den Zeilenvektor x multipliziert wird. Dann ist y = y,..., y k = xa ein kdimensionaler Zeilenvektor. Zusammengefasst erhält man die lineare Abbildung L : Z n Z n+k, x,..., x n x,..., x n, y,..., y k = x, xa bei der Schreibweise rechts sind jeweils n bzw. k Koordinaten zu einer Komponente zusammengefasst Der Vektor x, y = x,..., x n, y,..., y k liegt genau dann im Bild von L ist also ein zulässiges Codewort, wenn y = xa. linabb.pdf, Seite 65

66 Fortsetzung Beispiel lineare Codes Wenn der Empfänger des Vektors x, y Z n+k also prüfen möchte, ob das empfangene Codewort zulässing ist was ein Hinweis darauf ist, dass kein Übertragungsfehler vorliegt, so muss er prüfen, ob y = xa y xa = xa + y = wegen + = in Z. Damit sind die zulässigen Codewörter gerade der Kern der linearen Abbildung ˆL : Z n+k Z k, x,..., x n, y,..., y k x,..., x n A+y,..., y k. linabb.pdf, Seite 66

67 Konkretes Beispiel Die Übertragung von 3 Bits x, x, x 3 plus einem Kontrollbit y = x + x + x 3 mod = x, x, x 3 wird beschrieben durch Lx, x, x 3 = x, x, x 3, x +x +x 3 = x, x, x 3 Die Kontrolle erfolgt durch ˆLx, x, x 3, y = x + x + x 3 + y = x, x, x 3, y. Ist ˆLx, y, so liegt ein Übertragungsfehler vor. Umgekehrt folgt aus ˆLx, y = jedoch noch nicht, dass die Übertragung korrekt war. linabb.pdf, Seite 67