Lineare Algebra I. Def. Äquivalenzrelation: Eine Relation mit den Eigenschaften: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

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1 Eileitug Kurze Megelehre (vgl. Aalysis) Lieare Algebra I Def. Relatio: Eie Relatio ist eie Teilmege vo A x A. Mögliche Eigeschafte Def. Äquivalezrelatio: Eie Relatio mit de Eigeschafte: Reflexivität, Symmetrie, Trasitivität Def. Äquivalezklasse Für eie Äquivalezklasse sid die folgede Aussage qäuvalet: (i) [x] [y] (ii) x ~ y (iii) [x] = [y] Beweis: (i) => (ii) Sei a Elemet der Vereiigug Trasitivität folgt ii (ii) => (iii) Beidseitige Iklusio durch beliebiges Elemet der Qauivalezklasse. (iii) => (i) klar Korollar Die Äquivalezklasse bilde eie disjukte (elemetfremde) Zerlegug vo A. Def. Abbildug oder Fuktio Eie Relatio, die jedem Elemet aus A geau ei y aus B zuordet. x~y ud x~z => y=z Def. surjektiv, ijektiv, bijektiv Surjektiv: Jedes Bild besitzt midestes ei Urbild Ijektiv: We jedes Bild höchstes ei Urbild besitzt (Urbilder ugleich => Bilder ugleich, Bilder gleich => Urbilder gleich) Bijektiv: Surjektiv ud Bijektiv Verschiedee Beweistechike (Direkt, Iduktio, Widerspruchsbeweis) Gruppe Eie Gruppe besteht aus eier Mege G ud eier Abbildug G x G G (a,b) a b, mit folgede Eigeschafte: a) Assoziativität ( a b ) c = a ( b c ) für alle a,b,c b) Neutrales Elemet e a = a für alle a c) Iverses Elemet a - a = e für alle a existiert a - Gilt zusätzlich d) Kommutativität a b = b a so et ma G abelsch oder kommutativ. Satz Likseutrale sid Rechtseutral. Es existiert geau ei eutrales Elemet. Rechtsiverse sid Liksivers. Gleichuge ax = b ud ya = b sid jeweils eideutig lösbar. Beweis: Geschicktes Awede der Gruppebediuge. Korollar Es gilt ( a ) = a ( ) ab = b a

2 2 Def. Utergruppe Utergruppekriterium a b - U für a ud b beliebig. Def. Rechts- ud Liksebeklasse Durch g ~ h :<=> Ug = Uh wird eie Äquivalezrelatio auf G defiiert. Lemma Die Äquivalezklasse vo g ist geau die Nebeklasse Ug. Beweis: Beidseitige Iklusio Lemma Für alle Nebeklasse gilt Ug = U Beweis: Die Abbildug U Ug u ug ist bijektiv. Satz vo Lagrage Sei U eie Utergruppe der edliche Gruppe G. Da ist U Teiler der Mächtigkeit vo G. Beweis: Ug ist eie disjukte Vereiug gewisser Rechtsebeklasse. Jede dieser Klasse hat U Elemete => U teilt G. Def. Normalteiler Def.Satz Sei N ei Normalteiler vo G. Auf der Mege der Nebeklasse G/N (Faktorgruppe, Quotietegruppe) vo N i G wird durch (Nx)(Ny) = Nxy ei Produkt defiiert, das G/N zu eier Gruppe mit Neutralem Elemet N macht. Beweis: Zuerst Produkt ist wohldefiiert (uterschiedliche x ud y mit gleiche Nx Ny liefer gleiches Produkt). Da Nachweis der Gruppeeigeschafte. Def. Homomorphismus Das Neutrale Elemet wird auf das Neutrale Elemet der adere Gruppe abgebildet. Außerdem gilt: ϕ( g ) = ϕ( g). Def. Moomorphismus (ijektiv), Epimorphismus (surjektiv), Isomorphismus (bijektiv) Def.Lemma Der Ker (Ker φ) eies Homomorphismus besteht aus de g G mit ( ) H ϕ g = e. Ker φ ist ei Normalteiler vo G. Beweis: Erst Utergruppeeigeschafte. Da für alle g G ud k Ker gilt gkg - Ker. Die mögliche Kere eies Homomorphismus sid die Normalteiler vo G. Satz (Homomorphiersatz) Sei ϕ :G H ei Epimorphismus, da sid die Gruppe G/Kerφ ud H isomorph. Def. Permutatioe, Zykelschreibweise, Traspositio Satz (Jede Permutatio ist ei Produkt vo Traspositioe) Beweis: Jede Permutatio ist Produkt vo Zykel. Nur zu zeige, dass jeder Zykel ei Produkt vo Traspositioe ist: Vollstädige Iduktio Def. Fuktio f Lemma

3 3 Sei ei Produkt vo m Traspositioe (m ist icht eideutig). Da gilt m f( ) mod 2. Beweis: Vollstädige Iduktio Def. Sigum-Fuktio Diese ist ei Gruppehomomorphismus. Beweis: Bereche Def. Gerade, Ugerade, Alterierede Gruppe Gerade Permutatioe lasse sich als eie gerade Azahl vo Traspositioe darstelle. Rige Eie Mege R mit zwei zweistellige Verküpfuge + ud ud Elemete 0 ud heißt Rig, we folgedes gilt:. (R,+) ist eie abelsche Gruppe mit eutralem Elemet 0 2. Das Produkt ist assoziativ ud es gilt a = = a für alle a 3. Es gelte die Distributivgesetzte a (b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bc Falls zusätzlich gilt 4. ab = ba für alle a,b heißt R kommutativ. Def. Righomomorphismus Def. Ideal Eie Utergruppe vo R. Bei der außerdem a i J Neutrales ud gazer Rig sid immer Ideale. für alle r aus dem Rig ud i aus dem Ideal. Bemerkug: Kere sid stets Ideale ud Ideale sid stets Kere geeigeter Homomorphisme. Def.Satz Sei J ei Ideal eies kommutative Riges R, ud R/J die Faktorgruppe der Abelsche Gruppe (R,+) ud (J,+), dass wird durch (J + x)(j + y) := J + xy ei Produkt defiiert, das R/J zu eiem Rig macht. Die Abbildug R R/ N r J + r ist ei Righomomorphismus mit Ker J. Beweis: Wohldefiiertheit + Rigaxiome Körper Ei Kommutativer Rig k heißt Körper, we es für alle a K \{0} ei b K mit ab= gibt. Ei Rig ist geau da ei Körper, we (R\{0}) eie abelsche Gruppe ist. Satz Sei p eie Primzahl, da ist K = /Z ei Körper mit p Elemete. Vektorräume Sei K ei Körper ud (V,+) eie abelsche Gruppe. V heißt Vektorraum über K (oder K-Vektorraum) we es eie Abbildug K x V V gibt mit a) Gemischte Assoziativität (a b) v = a ( b v ) b) Gemischte Distributivität (a + b) v = av + bv a (u + v) = au + av c) Normierug v = v Für alle v

4 4 Def. Uterraum V heißt Uterraum, we (U,+) eie Utergruppe vo (V,+) ist, ud a u U ist für alle u. Ist U ei Uterraum vo V, da ist U selber ei K-Vektorraum. 4.4 Satz Schitte beliebig vieler Uterräume vo V sid wieder Uterräume. Beweis: Elemet aus Schitt (ud somit auch aller Uterräume) erfüllt alle Eigeschafte. 4.5 Def. Liearkombiatio 4.6 Satz Die Mege aller Liearkombiatioe <M> ist ei Uterraum vo V. <M> ist der kleiste Uterraum vo V, der M ethält. <M> heißt Erzeugis vo M. Beweis: Relativ klar. 4.7 Def. Summe vo Uterräume U + U 2 Etweder < U U 2 > oder alle Elemete der Form u + u Def. Erzeugissystem 4.0 Def. Lieare Uabhägigkeit 4. Lemma Sei M ei Erzeugedesystem. Da sid äquivalet: (i) M ist miimales Erzeugedesystem (ii) M ist liear uabhägig Beweis: (i) => (ii) Aahme liear abhägig (Liearkombi), da kei miimales Erzeugedesystem (ii) => (i) Liear Uabhäge Mege kleier als M => Widerspruch zu Erzeugedesystem 4.2 Bemerkug Sei M liear uabhägig. Da sid äquivalet (i) v <M> (ii) M {v} liear uabhägig Beweis: (i) => (ii) Idirekt M {v} abhägig v <M> (ii) => (i) Idirekt: Falls v im Erzeugis liear abhägig 4.3 Def. Basis 4.4 Satz Sei V ei Vektorraum, ud B V, da sid äquivalet: (i) B ist miimales Erzeugedesystem vo V (ii) B ist eie Basis (iii) B ist maximal liear uabhägige Teilmege (iv) Jedes Elemet vo v hat eie eideutige Darstellug als Liearkombiatio vo Elemete aus B. Beweis: (i) <=> (ii) Lemma 4. (ii) <=> (iii) Bemerkug 4.2 (ii) => (iv) Falls es zwei gibt, sid diese gleich (iv) => (ii) Falls es kei miimales Erzeugissystem ist, existiere zwei Darstelluge 4.5 Satz Ei edlich erzeugter Vektorraum besitzt eie Basis. Beweis: Ei edliches Erzeugedesystem besitzt eie Teilmege, die ei miimales Erzeugedesystem ist.

5 Austauschsatz vo Steimtz Eie Mege liear uabhägiger Vektore lässt sich durch geeigete Hizuahme vo Vektore eier Basis zu eier Basis ergäze. Beweis: Vollstädige Iduktio --- lag Korollar Je zwei edliche Base eies Vektorraums habe die gleiche Mächtigkeit. 4.8 Def. Dimesio 4.9 Lemma Sei dim V < ud U V ei Uterraum => U besitzt Basis. Beweis: Nach Steimtz ud maximale liear uabhägige Mege Lemma Sei dim V < ud U V ei Vektorraum. Da git dim U dim V, mit dim U = dim V U = V. Beweis: Basis vo U lässt sich zu Basis vo V ergäze. 4.2 Dimesiossatz für Uterräume. Sei U ud W edlichdimesioale Uterräume vo V. Da gilt: dimu + dimw = dimu W + dimu +W Beweis: Ausgehed vo U W Basisergäzuge. Zeige, dass die Gesamtergäzug eie Basis vo U + W ist. Koordiate ud Matrize 5. Def. Homomorphismus (Lieare Abbildug) bei Vektorräume 5.2 Def. Koordiatevektor 5.3 Satz V ist isomorph zu K ud = dim V. Geauer gilt: ϕ : V K, ϕλ ( v+ λ2v λv) = ( λ, λ2,... λ) ist ei Homomorphismus. Beweis: Bijektio wege eideutiger Basisdarstellug Klar. Rest bereche. 5.4 Satz Satz darüber, wie die Base eies Vektorraums zusammehäge. 5.5 Def. (m x )-Matrix m Zeile, Spalte Eiheitsmatrix 5.6 Def. Rag eier Matrix Der Rag ist gleich der maximale Azahl liear uabhägiger Spalte. Der Rag eier Matrix ist gleich der Dimesio der vo de Spalte erzeugte Uterraums. 5.8 Elemetare Spalteformuge 5.9 Rag ädert sich dabei icht Uter dem Zeilerag versteht ma die maximale Azahl liear uabhägiger Zeile. Dies alles (Umformuge) gilt aalog für elemetare Zeileoperatioe. 5. Def. Zeilestufeform 5.2 Satz (Gauß Algorithmus)

6 Satz Die Matrix A sei durch elemetare Zeileumformuge auf Zeilestufeform gebracht worde. Die Azahl der Zeile Nullvektor dieser Matrix ist gleich dem Zeilerag. 5.4 Satz Elemetare Zeileoperatioe äder icht de Spalterag eier Matrix, ud elemetare Spalteoperatioe äder icht de Zeilerag. Beweis: Nachreche, dass Lieare Uabhägigkeit icht verädert wird. 5.5 Satz Durch eie Folge elemetarer Zeile ud Spalteoperatioe lässt sich jede Matrix auf die Form brige Beweis: Gaußalgorithmus auf Zeile ud Spalte 5.6 Satz (Zeilerag = Spalterag) Beweis: Folgt aus Satz 5.5. Matrixmultiplikatio Skalarprodukt der i-te Zeile der erste Matrix mit der k-te Spalte der zweite Matrix Für ei Matrixprodukt gelte folgede Recheregel: (λ A) B = A ( λ B) = λ (AB) A (B+C) = AB + AC (A + B) C = AC + BC A ( B C) = (A B) C (AB) t = B t A t Die ( x ) Matrize über eiem Körper K bilde eie Rig, der für 2 icht kommutativ ist. Das Neutrale Elemet ist die Eiheitsmatrix. Lieare Abbilduge ud Matrize Eie Lieare Abbildug ist scho durch die Werte ϕ ( b) der Basis eideutig gegebe. 7. Satz Seie V ud W Uterräume vo V bzw. W. Da ist ϕ (V ) ei Uterraum vo W ud ϕ (W ) ei Uterraum vo V. Beweis: Basisabbildug 7.2 Def. Bildϕ ud Kerϕ Nach Satz 7. Sid Bildϕ ud Kerϕ Uterräume vo W bzw. V. 7.3 Lemma (Ijektitivität der Abbildug äquivalet zu Ker(ϕ )={0}) Beweis: <= Idirekt: Ker ugleich Null icht ijektiv => Idirekt: Nicht Ijektiv => Ker ugleich Null 7.4 Lemma (Es gilt ϕ( M ) ϕ( M) Beweis: Beidseitige Iklusio < > =< >) 7.5 Dimesiossatz für lieare Abbilduge dimv = dim Ker( ϕ) + dim Bild( ϕ) Beweis: Basisergäzug + Dimesiossatz für Uterräume. 7.6 Korollar Gilt dim V = dim W, da sid äquivalet: ϕ ist ijektiv surjektiv bijektiv

7 Def. Darstellugsmatrix 7.8 Def. Koordiateabbildug 7.8 Satz Es gilt M ( AC, ) = M ( BC, ) M ( AB, ) βα α β Beweis: Nachreche 7.9 Satz Für eie edlich dimesioale Vektorraum ist die Lieare Abbildug α: V W geau da ei Isomorphismus, we eie (ud damit alle) darstellede Matrize vo α ivertierbar sid. Isbesodere gilt für Base A, B vo V bzw. W M ( AB, ) = M ( BA, ) α α Beweis: => Darstellugsmatrix der Idetität ist die Eiheitsmatrix. Matrixe ivertierbar <=??? 7.0 Korrollar Basistrasformatioe sid ivertierbar ud jede Ivertierbare Matrix beschreib eie Basistrasformatio. Die iverse Basistrasformatio wird durch die iverse Matrix beschriebe. 7. Satz Seie V, W Vektorräume mit Base A, A vo V ud B, B vo W. Seie P ud q die Basistrasformatiosmatrixe vo A ach A ud B ach B. Da gilt Mα( A', B') = Q Mα( A, B) P Beweis: Direkt ach Satz 7.8 Für V = W ud A = B ud A = B folgt Mα( A', B') = T Mα( A, B) T 7.3 Satz Sei A die darstellede Matrix vo K K m defiiert durch ( v) Da gilt Rag A = dim Bild(ϕ ). ( ) ( Beweis: ϕ e = a i te Spalte), Defiitio vo Rag Beh. i i ϕ = Av. 7.4 Satz Es gibt Base B vo V ud C vo W, so dass gilt E 0 (, ) r Mα B C = mit r = dim Bild( α) 0 0 Beweis: Basis vo Bild(α) + Basis vo Ker(α) = B. 7.5 Folgerug mx mxm x Sei A K ud r =Rag A, da gibt es Ivertierbare Matrixe S K udt K so dass gilt E r 0 S A T = Korollar ) rag A = rag A T A K mx 2) rag A mi {m,} 3) rag AB mi{rag A, rag B} mxm x 4) Für ivertierbare Matrixe P K ud Q K gilt: rag (A) = rag (Q A P)

8 Satz mx Für A K gilt rag A = A ist ivertierbar. Beweis: => Folgt aus Satz 7.5 mit B = T S - B A = E <= Nach 7.9 ist Die Stadardabbildug ei Isomorphismus also bijektiv. Somit folgt Rag A =, da das Bild(α) vo de Spalte vo A erzeugt wird. 7.8 Def. äquivalet, ählich 7.9 Satz Äquivalez ist eie Äquivalezrelatio. Jede Äquivalezklasse hat eie Repräsetate der Form E r 0. A,B sid äquivalet rag A = rag B 0 0 Lieare Gleichugssysteme Def. Lieare Gleichugssysteme / homoge I Matrixschreibweise: Ax = b 8.2. Satz Ax = b ist geau da lösbar, we rag A = rag (A b). Isbesodere ist Ax = b im Fall vo rag A = m stets lösbar. Beweis: => hat ur eie Lösug, falls b Liearkombi der Adere ist <= Spalte erzeuge Gleiche Uterraum 8.3 Satz Die Lösugsmege des homogee Gleichugssystems Ax = 0 ist ei Uterraum vo K der Dimesio: rag A Beweis: Lösugsmege ist Kerϕ. Das Bild(ϕ ) ist das Erzeugis der Spalte vo A. Dimesiosformel. Bemerkug: ist m <, d.h. die Azahl der Gleichuge ist kleier als die Azahl der Ubekate, da hat das System Ax = 0 icht ur die triviale Lösug. 8.4 Satz Hat das System Ax = b eie Lösug x 0 da ist die Lösugsmege vo Ax=b gleich x 0 + L = {x 0 + v v Lösugsmege des homogee Gleichugssystems} Beweis: Ausreche A(x 0 + v) =... Vorsicht: Die Lösugsmege vo Ax = b ist i.a. kei Uterraum. Auch für m< muss das System Ax=b keie Lösug habe. 8.5 Satz Sei: m =. A eie quadratische Matrix. Da sid äquivalet: i) Ax = 0 hat ur die triviale Lösug ii) Ax = b ist für alle b K lösbar iii) rag A = iv) A ist ivertierbar Beweis: (i) <=> (iii) ach Satz 8.3 (iii) <=> (iv) ach Satz 7.7 (iv) <=> (ii) Da A ivertierbar gilt AB =. Setzte x=b b (ii) <=> (i) Determiate Def. Multiliearform / Biliearform

9 9 Vorsicht: Multiliearforme sid i.a. keie lieare Abbilduge. 9.2 Def. Alterierede Multiliearform / Ausgeartete Multiliearform Alteriered: φ = 0 für alle liear abhäige Tupel 9.3 Lemma Es sid äquivalet: (i) φ ist alteriered (ii) ϕ ( v, v2,..., v ) = 0, falls i j mit v i = v j Beweis: (ii) => (i) v ist Liearkombi der Adere eisetzte ud ausreche 9.4 Lemma Es gilt ϕ( vπ(), vπ(2),... vπ( ) ) = sigπ ϕ( v, v2,... v). Beweis: Es gilt für jede Traspositio. 9.5 Lemma Sei v, v2,... v ei Basis ud u, da gilt i = aij j ϕ( u, u,... u ) = ϕ( v, v,... v ) sigπ a a... a j= Beweis: Eisetze ud Nachreche. v 2 2 π() 2 π(2) π( ) π S 9.6 Lemma Für eie icht ausgeartete alterierede -Liearform sid äquivalet (dim V = ): (i) ϕ ( v, v2,..., v ) = 0 (ii) v, v2,..., v sid liear abhägig Beweis: (i) => (ii) Idirekt: Liear Uabhägig Basis Nach Lemma 9.5 wäre es da ausgeartet. 9.7 Satz Die Abbildug ϕ( u, u,... u ) = sigπ a a... a mit u ist eie icht ausgeartete 2 π() 2 π(2) π( ) π S = a v i ij j j= alterierede -Liearform. Beweis: Alles Nachreche Bem: Ist φ eie icht ausgeartete alterierede Multiliearform, da gilt das auch für a φ. 9.8 Satz Sid ϕ udψ icht ausgeartete -Liearforme. Da gilt ϕ = a ψ. Beweis: Folgt fast aus Lemma 9.6 ud Def Determiate ϕ( α( v ),..., α( v ) detα = φ icht ausgeartete alterierede -Liearform, v i Basis ϕ( v,..., v ) 9.0 Satz (Die Defiitio der Determiate hägt icht vo der Basis ud icht vo φ ab) 9. Determiatemultiplikatiossatz Sei dim V <, da gilt:. det αβ = det α det β 2. det α 0 <=> α ivertierbar 3. α ivertierbar => det (α - ) = (det α) - Beweis: 2. det α 0 liear uabhägig ivertierbar. Geschickte Erweiterug der Defiitio 3. Folgt aus. mit det = 9.2 Determiate vo Matrize

10 0 Regel vo Sarrus 9.3 Satz (det A T = det A) Beweis: Folgt direkt aus Satz 9.7 mit sig(π - ) = sig(π). 9.4 Satz Sei A eie Matrix ud α ei Edomorphismus, defiiert durch α(v) = A v. Da gilt: det α = det A. 9.5 Satz a) det A = sig π det A π : Permutatio der Zeile (oder Spalte) b) Addiert ma zu eier Spalte oder Zeile ei Vielfaches eier adere hizu, so ädert sich die Determiate icht. c) Multipliziert mei eie Zeile oder Spalte mit c, so multipliziert sich die Determiate mit c d) det A = 0 rag A < e) det =, det ca = c det A f) det (AB) = det A det B g) Sei A ivertierbar, da gilt det A - = (det A) - h) Sid A ud B ählich => det A = det B Beweis: a) Lemma 9.6, b) c) achreche, d) Lemma 9.6, e) aus Defiitio ud c, f) folgt aus Determiatemultiplikatiossatz, g) folgt aus f, h) Awedug vo f auf det A = det T - AT 9.6 Satz Sei A eie obere Dreiecksmatrix, da gilt: det A = a a 22 a. Beweis: Aus Defiitio. Summade ur für π = id ugleich Satz B C Die Matrix A habe die Form 0. Da gilt det A = det B det C D Beweis: Zeileumformuge auf B ud D Satz Def. Adjugierte Matrix