Musterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I

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1 Musterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche 0 Punkte Eine Begründung ist nicht erforderlich wahr falsch Die Relation auf R \ {0} x y : x y > 0 x, y R \ {0} X ist eine Äquivalenzrelation Gl3, R ist eine kommutative Gruppe X Es gibt keine Gruppe mit genau 13 Elementen X Es gibt einen Körper mit nur einem Element X Jede Basis des C-Vektorraums C 3 besteht aus genau 3 Vektoren X Die Abbildung N N, n n + 1 n ist bijektiv X Die Abbildung R 2 R, x, y max{x, y} ist R-linear X 1 0 Die Vektoren 2, 0 sind linear unabhängig im X 3 0 Q-Vektorraum Q 3 Seien f, g : R 3 R 3 R-lineare Abbildungen mit f g id X Dann gilt auch g f id Es gibt Matrizen M, M R 2 2 mit detm M detm M X

2 Aufgabe 2 5 Punkte: Geben Sie das richtige Ergebnis an Eine Begründung ist nicht erforderlich a Berechnen Sie die Determinante folgender reeller Matrix det b Bestimmen Sie die Matrix von f : R 2 R 2, x, y 2x y, 3y bezüglich folgender Basis von R X, A f,x,x 3 1 c Bestimmen Sie die inverse Matrix in R d Geben Sie einen Vektor v R 3 mit folgender Eigenschaft an 1 3 2, 5 v R v 0 0 Korrekte Lösungen sind die Vektoren v 1, v 2, v 3 mit v 1 + v 2 + v 3 0 e Schreiben Sie die komplexe Zahl in der Form a + bi mit a, b R 1 + i 1 i i f Sei V ein R-Vektorraum der Dimension 5 Geben Sie die Dimension des Dualraums an dim R V 5

3 Aufgabe 3 4 Punkte: Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und f : V V eine R-lineare Abbildung a Zeigen Sie: Kernf Kernf f, Bildf f Bildf b Beweisen Sie: dim R Kernf f dim R Kernf dim R Bildf dim R Bildf f c Geben Sie mit Begründung eine R-lineare Abbildung g : R 2 R 2 an, für die dim R Kerng g dim R Kerng 0 gilt d Bestimmen Sie dim R Kernh h dim R Kernh für die R-lineare Abbildung h: R 2 R 2, x, y 3x 9y, x 3y Lösung: a v Kernf fv 0 ffv 0 v Kernf f Sei v Bildf f Dann existiert w V mit f fw v Wegen ffw v gilt v Bildf b Laut Dimensionsformel gilt dim R Bildf + dim R Kernf dim R V und dim R Bildf f + dim R Kernf f dim R V dim R Bildf f + dim R Kernf f dim R Bildf + dim R Kernf dim R Kernf f dim R Kernf dim R Bildf dim R Bildf f c Sei g : id: R 2 R 2 die Identität dh gx x für alle x R 2 Diese Abbildung ist bekanntlich R-linear Wir erhalten dim R Kerng g dim R Kerng dim R Kernid id dim R Kernid dim R Kernid dim R Kernid 0 Es gibt viele Abbildungen mit den geforderten Eigenschaften d h hx, y h3x 9y, x 3y 33x 9y 9x 3y, 3x 9y 3x 3y 0, 0 Somit gilt Kernh h R 2 und dim R Kernh h 2 Kernh { x, y R 2 3x 9y, x 3y 0, 0 } { x, y R 2 x 3y } { 3y, y R 2 y R } Basis für Kernh: 3, 1 Somit gilt dim R Kernh 1 Wir erhalten dim R Kernh h dim R Kernh 2 1 1

4 Aufgabe 4 2 Punkte: Sei K ein Körper Beweisen Sie: a b a Sei M K mit M M c d Dann gilt a d und c 0 a b b Sei M K mit M M c d Dann gilt a d und b 0 } { c {M K 2 2 M M M M für alle M K 2 2 a 0 } a K Lösung: a 0 c a c b d a c b d c d 0 0 b c 0 und a d b b b 0 0 d 0 c d c d a b b 0 und d a a b c : Sei M K 2 2 mit M M M M für alle M K 2 2 c d Dann folgt aus den Aufgabenteilen a und b a d, c 0 und b 0, dh a 0 M : Für alle a K und alle M m 11 m 12 K 2 2 gilt m 21 m 22 a 0 M am 11 am 12 M a 0 am 21 am 22

5 Aufgabe 5 3 Punkte: f 1, f 2 : V W seien R-lineare Abbildungen zwischen R-Vektorräumen V und W Wir definieren U f1,f 2 : {v V f 1 v f 2 v} a Zeigen Sie, dass U f1,f 2 ein R-Untervektorraum von V ist 1,5 P b Beweisen Sie: U f1,f 2 U f2,f 3 U f1,f 3 c Geben Sie mit Begründung R-lineare Abbildungen g 1, g 2, g 3 : R R mit U g1,g 2 U g2,g 3 U g1,g 3 an Lösung: a Wegen f f 2 0 gilt 0 U f1,f 2 und somit U f1,f 2 Für v, w U f1,f 2 gilt f 1 v f 2 v und f 1 w f 2 w Es folgt f 1 v + w f 1 v + f 1 w f 2 v + f 2 w f 2 v + w und somit v + w U f1,f 2 Für r R und v U f1,f 2 gilt f 1 rv rf 1 v rf 2 v f 2 rv und daher rv U f1,f 2 b Sei v U f1,f 2 U f2,f 3 Wegen v U f1,f 2 gilt f 1 v f 2 v Wegen v U f2,f 3 gilt f 2 v f 3 v Wir erhalten f 1 v f 2 v f 3 v und somit v U f1,f 3 c Seien g 1 und g 3 die Nullabbildung dh g 1 x g 3 x 0 für alle x R Sei g 2 die Identität dh g 2 x x für alle x R Diese Abbildungen sind bekanntlich R-linear Wir erhalten U g1,g 2 U g2,g 3 {0} {0} {0} R U g1,g 3 R-lineare Abbildungen g 1, g 2, g 3 : R R erfüllen genau dann U g1,g 2 U g2,g 3 U g1,g 3, wenn g 1 g 3 g 2 gilt

6 Benotung der Klausur: Die Klausur ist bestanden, falls insgesamt mindestens 7,5 Punkte und bei den Aufgaben 3 bis 5 zusammen mindestens 3 Punkte erreicht wurden Bei bestandener Klausur wird die Note gemäß folgender Tabelle festgelegt: Punkte Note 18,5-19 1,0 sehr gut 17,5-18 1,3 sehr gut 16,5-17 1,7 gut + 15,5-16 2,0 gut 14,5-15 2,3 gut 13,5-14 2,7 befriedigend + 12,5-13 3,0 befriedigend 11,5-12 3,3 befriedigend 10,5-11 3,7 ausreichend + 7,5-10 4,usreichend Die Klausur ist nicht bestanden, falls insgesamt weniger als 7,5 Punkte oder bei den Aufgaben 3 bis 5 zusammen weniger als 3 Punkte erreicht wurden In diesem Fall wird die Klausur mit 5,0 nicht ausreichend benotet