Algebra - Lineare Abbildungen

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1 Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt 8 Hochschule für Technik

2 . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4

3 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen Körper K ist eine Menge V zusmmen mit zwei Opertionen V V V K V V ( v w) v w ( λ v) λv für welche die folgenden Bedingungen gelten: ( u v) w u ( v w) A : u v w V A : u v Vu v v u A : V v V v v v ( v) v v A4 : v V v V v So nennt mn (V*) einen Vektorrum über K. ( b) v ( bv) ( u v) u v ( b) v v bv S : b K v V S : K u v V S : b K v V S 4 : v Vv v Hochschule für Technik 5 Hochschule für Technik 6

4 Beispiel: n-tupel reeller Zhlen n Wir betrchten die Menge V: {(... ): } mit den beiden Opertionen: : (... ) (... ) ( ) v v... n n (... ) ( λ λ λ ) λ... * v λ * n n so ist (V*) ein Vektorrum über (mn sgt uch ein reeller Vektorrum). n i n n Hochschule für Technik 7 Hochschule für Technik 8 4

5 5 Hochschule für Technik 9 Beispiel: reelle Polnome höchstens dritten Grdes Wir betrchten die Menge V: { } V i : : mit den beiden Opertionen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b b b b v v ( ) * * v λ λ λ λ λ λ so ist (V*) ein Vektorrum über (mn sgt uch ein reeller Vektorrum). Hochschule für Technik

6 Vektorrum der Mtrizen n m Stz: Die Menge der Mtrizen mit n Zeilen und m Splten mit reellen Koeffizienten bilden mit den beiden Opertionen Addition und Multipliktion mit einem Sklr einen n*m-dimensionlen Vektorrum. Bemerkung: Dbei ist der Nullvektor des Vektorrums die sogennnte Nullmtri (lle Koeffizienten der Mtri sind gleich Null). Hochschule für Technik Hochschule für Technik 6

7 Linere Hülle Definition: Seien v vr V. Die Menge L v ller Linerkombintionen von v des r-tupels von Vektoren. Beispiel:... ( v ): { λ v... λ v } V ( ) v...v r r v r heisst die linere Hülle.) L( ( )) { t( ): t } {( t t t) : t } Interprettion: Dies ist die Gerde durch den Ursprung mit dem ichtungsvektor r Hochschule für Technik r r Hochschule für Technik 4 7

8 .) (( ) ( )) {( ) ( ) } {( ) } L t s : t s t s : t s Interprettion: -Ebene lso die Lösungsmenge der Gleichung z. (Ebene mit Normlenvektor: n r ).) L( ( ) ( ) ) { t( ) s( ) : t s } ( t s) : t s Interprettion: -Achse. Zustz : Wir definieren : L( { }) Zustz : L ( v... v r ) ist ein Untervektorrum von V. { } Hochschule für Technik 5 Hochschule für Technik 6 8

9 Linere Unbhängigkeit Definition: Sei V ein Vektorrum über K. Ein r-tupel ( v...v r ) von Vektoren in V heisst liner unbhängig wenn eine Linerkombintion von ( v...v r ) nur dnn Null sein knn wenn lle Koeffizienten verschwinden d.h. us λ v... λ v λ r r... λ r Hochschule für Technik 7 Hochschule für Technik 8 9

10 Beispiel: ; v ( ) v ( ) v ( ) ( v v ) v ist liner bhängig d uch v v v gilt. v v v Bemerkung: Ntürlich gilt uch doch neben dieser (trivilen) Lösung eistieren noch unendlich viele weitere Lösungen! λ λ λ L {( λ λ λ) : λ } Hochschule für Technik 9 Hochschule für Technik

11 ; v Beispiel: ( ) v ( ) v ( ) ( v v v ) ist liner unbhängig d ds linere Gleichungssstem λ v nur die Nullösung besitzt! λ v λ λ λ λ λ λ λ λ λ v Hochschule für Technik Hochschule für Technik

12 Linere Unbhängigkeit Stz: ( v ist genu dnn liner unbhängig wenn keiner dieser...v r ) Vektoren Linerkombintion der übrigen ist. Beispiel: v ( ) v ( ) v ( ) ( v v ) ; ist liner bhängig d v v v v Diese Gleichung lässt sich z.b. nch v v v v uflösen: D.h. v ist eine Linerkombintion von v und v! gilt. Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4

13 Bsis Definition: Sei V ein Vektorrum über K. Ein n-tupel( v...v n ) von Vektoren in V heisst eine Bsis von V wenn es liner unbhängig ist und ( v v ) V erfüllt. L... n Beispiel: ; e ( ) e ( ) e ( ) L z ( e e e ) ( e e e ) Es gilt z und ds Tripel z ist liner unbhängig drus folgt nun dss ds Tripel ( e eine e ez ) Bsis des ist (knonische Bsis). Hochschule für Technik 5 Hochschule für Technik 6

14 Beispiel: ; v ( ) v ( ) v ( ) ( v v v ) L d mit v z folgendes gilt: λ v λ v λ v λ λ λ λ λ ( z) z λ λ z λ z λ Zudem ist ds Tripel liner unbhängig d folgendes gilt: z λ λ λ lso ist dieses Tripel eine Bsis! ( ) Hochschule für Technik 7 Hochschule für Technik 8 4

15 Eindeutige Zerlegung Stz: Ist ( v...v n ) eine Bsis von V dnn gibt es zu jedem v Vgenu n ein ( λ...λ ) mit v λv... λ n. v n n Beispiel: ; e ( ) e ( ) ez ( ) Es gilt: v ( ) v e e ez Finde uch die eindeutige Zerlegung von v mit der Bsis des vorigen Beispiels. Hochschule für Technik 9 Hochschule für Technik 5

16 Bsisergänzungsstz Stz: Sei V ein Vektorrum über K und v... vr w... ws Vektoren in V. Ist ( v...v r ) liner unbhängig und L ( v... vr w... w s ) dnn knn mn ( v...v r ) durch eventuelle hinzunhme von Vektoren us ( w...w s ) zu einer Bsis von V ergänzen. ; v v w e w e w e Beispiel: ( ) ( ) z ( ) Sicher gilt dss L v v w w w gilt. Nun wollen wir die beiden liner unbhängigen Vektoren v und v mit geeigneten Vektoren us ( w w w ) zu einer Bsis des ergänzen.. Versuch: Hinzunhme von w. Ds Tripel ( v v w ) ist sowohl liner bhängig w v und zudem erzeugt es den nicht. ( ) v Hochschule für Technik Hochschule für Technik 6

17 Bsisergänzungsstz Beispiel: (Fortsetzung). Versuch: Hinzunhme von w. Ds Tripel ( v v w ) ist sowohl liner unbhängig und erzeugt uch den d.h. ( v v w ) ist eine Bsis des.. Versuch: Hinzunhme von w. Ds Tripel ( v ist sowohl liner unbhängig und erzeugt uch den v w ) d.h. ( v v w ) ist eine Bsis des. Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 7

18 Austuschlemm Stz: Sind ( v...v n ) und ( w Bsen von V so gibt es zu jedem...w m ) ein w j so dss us ( v wieder eine Bsis entsteht wenn...v n ) mn durch ersetzt. Beispiel: ( e e e ); w ( ) w ( ) w ( ) e v i w j ; z knn mit w ersetzt werden d e w e knn mit w ersetzt werden d e w e e z knn mit w ersetzt werden d ez w e e. Folgerung: Sind ( v...v n ) und ( w...w m ) Bsen von V so ist nm. Hochschule für Technik 5 v i Hochschule für Technik 6 8

19 Dimension Definition: Besitzt der Vektorrum über K eine Bsis die Dimension von V bgekürzt dimv. ( ) v...v n so heisst n Beispiel: dim ; dim n. Definition: Besitzt V für kein n n eine Bsis ( v so heisst V...v n ) ein unendlich dimensionler Vektorrum und mn schreibt dimv. Beispiel: Die Menge ller Polnome mit reellen Koeffizienten. Hochschule für Technik 7 Hochschule für Technik 8 9

20 . Linere Abbildungen Hochschule für Technik 9 Hochschule für Technik 4

21 Linere Abbildung Definition: Seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung fv : W heisst liner (oder ein Homomorphismus) wenn für lle vw V λ Kgilt: ( v w) f ( v) f ( w) f ( λ v) λf ( v) f Bemerkung: Die Verkettung linerer Abbildungen ist wieder eine linere Abbildung. Hochschule für Technik 4 Hochschule für Technik 4

22 Beispiele linerer Abbildungen P Beispiel: {Polnome höchstens dritten Grdes} Wir betrchten ls Abbildung den Vorgng von einem gegebenen Polnom seine Ableitung zu bestimmen (dies ist ntürlich wieder ein Polnom). Also mit: f P ( ) f Beweis dss diese Abbildung liner ist: : P ( p ( ) p ( ) ) ( p ( ) p ( ) )' p '( ) p ( ) f ( p ( ) ) f ( p ( ) ) f ' f ( λ p( ) ) ( λp( ) )' λp' ( ) λf ( p( ) ) Hochschule für Technik 4 Hochschule für Technik 44

23 Hochschule für Technik 45 Beispiele linerer Abbildungen Beispiel: (Projektion) ( ) ( ) z f f ; : Beweis dss diese Abbildung liner ist: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z f z f z z f z z f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z f z f z f λ λ λ λ λ λ λ λ Hochschule für Technik 46

24 Beispiele linerer Abbildungen Beispiel: f : ; f ( ) ( cos( α ) sin( α ) sin( α ) cos( α ) ) Hier könnt ihr selbst überprüfen dss dies eine linere Abbildung ist. Interessnt ist uch die Frge ws diese linere Abbildung bewirkt. Eins ist klr Punkte des zweidimensionlen ums werden uf Punkte des zweidimensionlen ums bgebildet. Vervollständigt die untenstehende Tbelle (mit ) : p f(p) p f(p) () (-) () (-) () (--) α o Hochschule für Technik 47 Hochschule für Technik 48 4

25 Kern und Bild einer lineren Abbildung Definition: Sei fv : Weine linere Abbildung. Dnn ist Bild f : f ( V ) ein Untervektorrum von W und Kern f : { v V : f ( v) } ein Untervektorrum von V. Hochschule für Technik 49 Hochschule für Technik 5 5

26 Eigenschften linerer Abbildungen Bemerkung : Der Nullvektor von V wird durch eine linere Abbildung uf den Nullvektor von W bgebildet. Bemerkung : Ein Untervektorrum von V wird durch eine linere Abbildung uf einen Untervektorrum von W bgebildet. Bemerkung : Kennt mn die Bilder der Bsis dnn lässt sich für jedes Element von V sein Bildelement in W berechnen. D.h. die Bilder der Bsisvektoren chrkterisieren die linere Abbildung vollständig. Bemerkung 4: Sei fv : Weine linere Abbildung. Es gilt: dim( Kern f ) dim( Bild f ) dim( V ) Hochschule für Technik 5 Hochschule für Technik 5 6

27 Weitere Beispiele Beispiel: Eine linere Abbildung sei gegeben durch: f f: ( ) ( ) und f ( ) ( ) Wir suchen ds Bild von ()! Es gilt: ( ); ( ) sind eine Bsis des zweidimensionlen ums. Dher lässt sich jedes Element in eindeutigerweise ls Linerkombintion der Bsisvektoren schreiben. Wir finden: Und nun gilt: f ( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f (( ) ( ) ( )( ) ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) Hochschule für Technik 5 Hochschule für Technik 54 7

28 Weitere Beispiele Beispiel: Eine linere Abbildung sei gegeben durch: f f: ( ) ( ) Wir suchen ds Bild und den Kern dieser lineren Abbildung! Wir bestimmen zuerst den Kern d.h. wir suchen die Elemente die uf den Nullvektor bgebildet werden: Kern ( ) ( ) f {( ) : } Hochschule für Technik 55 Hochschule für Technik 56 8

29 Weitere Beispiele (Fortsetzung): Nun suchen wir ds Bild dieser Abbildung d.h. lle Elemente die ls Bild der Abbildung vorkommen: Bild ( ) ( u v) u u v f v {( u v) : u v} Überprüfen wir doch gerde noch unsere Dimensionsformel: dim ( Kern f ) dim ( Bild f ) dim ( ) Hochschule für Technik 57 Hochschule für Technik 58 9

30 Weitere Beispiele (Fortsetzung): Hier ds gnze noch grphisch drgestellt: O L N K A H B * B Hochschule für Technik 59 Hochschule für Technik 6

31 Weitere Beispiele (Fortsetzung): Es werden lle Punkte der linken Ebene uf die Gerde in der rechten Ebene bgebildet. Alle Punkte uf der Gerden in der linken Ebene werden in den Ursprung der rechten Ebene bgebildet. Die Punkte in der rechten Ebene die nicht uf der Gerden liegen werden durch diese linere Abbildung nicht getroffen. Hochschule für Technik 6 Hochschule für Technik 6

32 Mtrizen und linere Abbildungen Stz: Sei A K m n. Dnn ist die Abbildung n m K K A n m liner und umgekehrt f: K K eine linere Abbildung dnn gibt es genu eine Mtri A K m n mit f ( ) A für lle K. n Zustz: Die Splten der Mtri A K m n sind die Bilder der Bsisvektoren unter der lineren Abbildung f K n m : K. Hochschule für Technik 6 Hochschule für Technik 64

33 Mtrizen und linere Abbildungen Beispiel: Wir betrchten die linere Abbildung f f: mit ( ) ( cos( α ) sin( α ) sin( α ) cos( α ) ) und wollen nun diese linere Abbildung durch eine Mtri beschreiben. Nch dem Zustz findet mn diese Mtri indem mn die Bilder der Bsisvektoren bildet. Also: f ( e ) ( cos( α )sin( α )) f e ( sin α cos α ) ( ) ( ) ( ) Dies sind nun die Splten der gesuchten Mtri lso finden wir: cos( α ) sin( α ) ( ) ( ) A sin α cos α Hochschule für Technik 65 Hochschule für Technik 66

34 Mtrizen und linere Abbildungen Definition: Sei fv : W eine linere Abbildung zwischen Vektorräumen über K und seien ( v...v n ) und ( w Bsen...w m ) für V bzw. W. Dnn heisst die durch ds folgende Digrmm Φ A V ( v v ) ( w w )... n... n A n m K K m n bestimmte Mtri die zu f bezüglich der beiden gewählten Bsen gehörige Mtri (Die linere Abbildung Φ nennt mn den knonischen Bsisisomorphismus). f Φ W K ( v...v n ) Hochschule für Technik 67 Hochschule für Technik 68 4

35 Mtrizen und linere Abbildungen P Beispiel: Sei die Menge der Polnome höchstens dritten Grdes. Wir wählen die Bsis ( ). Der knonische Bsisisomorphismus lutet nun: 4 P ( λ λ λ λ4 ) λ * λ * λ * λ4 * Nun betrchten wir die linere Abbildung f: P P welche die Ableitung eines Polnoms berechnet. Die dzugehörige Mtri lutet: A Hochschule für Technik 69 Hochschule für Technik 7 5

36 Mtrizen und linere Abbildungen (Fortsetzung): Wie kommt mn uf diese Mtri? Es ist sicher einfch die Ableitungen der Bsisvektoren zu berechnen: ( )' ( ) ' ' ' Die gesuchte Mtri bildet nun vom vierdimensionlen in den vierdimensionlen um b. Mit dem Bsisisomorphismus heisst dies nun: f () () ' A( ) ( ) f ( ) ( )' A ( ) ( ) f f ( ) ( ) ( ) ( )' A( ) ( ) ( ) ( )' A( ) ( ) Hochschule für Technik 7 Hochschule für Technik 7 6

37 Mtrizen und linere Abbildungen (Fortsetzung): Nun wollen wir dieses esultt noch interpretieren! Dzu betrchten wir zuerst ds folgende Digrmm: Wollen wir nun mittels dieser Mtri die Ableitung des Polnoms p : berechnen so verwenden wir eigentlich den folgenden Zusmmenhng: f P 4 f A P Φ Φ ( ( ) ( p ) Φ A Φ ( p ) 4 Hochschule für Technik 7 Hochschule für Technik 74 7

38 8 Hochschule für Technik 75 Mtrizen und linere Abbildungen (Fortsetzung): Also nun Schritt für Schritt: Inverses des knonischen Bsisisomprphismus: Multipliktion mit der Mtri: Bild mit knonischem Bsisisomorphismus berechnen: ( ) Φ ( ) ( ) p Φ Hochschule für Technik 76

39 Geometrie linerer Opertionen im Wir betrchten eine linere Abbildung A c b d T : T A c beschrieben durch die Mtri: b b d c d Diese Abbildungen können wir einerseits ls Abbildung interpretieren die einen Vektor uf einen neuen Vektor bbildet oder uch einen Punkt uf einen neuen Punkt bbildet: b T c d ( b c d ) T bildet Vektoren uf Vektoren b ( ) T bildet Punkte uf Punkte b Hochschule für Technik 77 Hochschule für Technik 78 9

40 Geometrie linerer Opertionen im Im weiteren interpretieren wir die Abbildung ls Opertionen uf Punkten des zweidimensionlen umes. Wir untersuchen in einem ersten Schritt einige einfche Trnsformtionen. Nulltrnsformtion Sei A die Nullmtri so werden lle Punkte des zweidimensionlen umes durch die Trnsformtion uf den Nullpunkt (Ursprung) bgebildet! A T A Spiegelungen Hier untersuchen wir vier grundlegende Spiegelungen (n den Koordintenchsen und n den Winkelhlbierenden der Koordintenchsen). Möchten wir z.b. lle Punkte des zweidimensionlen umes n der -Achse spiegeln so erhlten die trnsformierten Punkte die gleiche -Koordinte und in der neuen -Koordinte ein umgekehrtes Vorzeichen. Also: Hochschule für Technik 79 Hochschule für Technik 8 4

41 Geometrie linerer Opertionen im Es gilt: T A Spiegelung n der -Achse A ( ) Spiegelung n der -Achse ( ) A ( ) Spiegelung n der Gerden ( ) A ( ) Spiegelung n der Gerden - ( ) A ( ) ( ) Hochschule für Technik 8 Hochschule für Technik 8 4

42 Geometrie linerer Opertionen im Projektionen Hier untersuchen wir die Projektionen uf die Koordintenchsen und uf eine Gerde durch den Ursprung: Projektion uf die -Achse A ( ) Projektion uf die -Achse ( ) A ( ) Projektion uf die Gerden m* cos () α sin() α cos() α ( ) () () () A sin α cos α sin α ( ) α rctn() m ( cos () α sin() α cos() α sin() α cos() α sin () α ) Hochschule für Technik 8 Hochschule für Technik 84 4

43 Geometrie linerer Opertionen im ottionen (um den Ursprung) Als nächstes führen wir ottionen (im gegenuhrzeigersinn) um den Ursprung us. Um die Abbildungsmtri zu erhlten betrchten wir die Bilder der Bsisvektoren: ( sin ( α ) cos ( α ) ( ) ( cos ( α ) sin ( α )) ( ) cos A sin () α sin() α () α cos() α Hochschule für Technik 85 Hochschule für Technik 86 4

44 Geometrie linerer Opertionen im Streckung (Epnsion) / Stuchung (Dilettion) Bei der folgenden Opertion betrchten wir die Auswirkung der Opertion uf die Punkte eines echteck. Die Opertion bewirkt dss die ursprünglichen Koordinten mit einem Sklr multipliziert werden. Dbei knn in ichtung der beiden Koordintenchsen mit unterschiedlichen Fktoren skliert werden. Streckung / Stuchung k A k ( k k ) k A k ( ) ( ) ( k ) k Hochschule für Technik 87 Hochschule für Technik 88 44

45 Geometrie linerer Opertionen im Scherrung Auch hier betrchten wir die Auswirkung der Opertion uf die Punkte eines echtecks. Die Opertion bewirkt dss die Seiten des echtecks gegenüber den Koordintenchsen gedreht werden. Dbei knn die Scherrung in beiden ichtungen oder in eine einzelne ichtung ngewndt werden. Scherrung α ( ) ( tn() α ) () tn α A A tn ( tnα () ) ( ) α () α Hochschule für Technik 89 Hochschule für Technik 9 45

46 46 Hochschule für Technik 9 Geometrie linerer Opertionen im Komposition (Verschchtelungen) A T v u T : v u A v u T t s T : A A T T T t s T : Werden mehrere Opertionen ncheinnder usgeführt so knn diese Verschchtelung von lineren Abbildungen durch eine einzelne linere Abbildung beschrieben werden. Dbei gilt (die Mtrizen beschreiben die einzelnen lineren Abbildungen: A A A T T T Hochschule für Technik 9

47 47 Hochschule für Technik 9 Geometrie linerer Opertionen im Umkehrung Linere Abbildungen können durch Mtrizen beschrieben werden. Ist die Abbildungsmtri regulär so eistiert zu der gegebenen Mtri eine inverse Mtri. D ds Produkt einer Mtri mit ihrer Inversen die Einheitsmtri ergibt und die Einheitsmtri die identische Abbildung beschreibt (lle Punkte der Ebene werden durch die identische Abbildung uf sich selbst bgebildet) beschreibt die inverse Mtri die Umkehrbbildung: A T v u T : v u A v u T T : Hochschule für Technik 94

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