Kapitel 2 Lineare Algebra II. 2.1 Lineare Abbildungen

Transkript

1 Kapitel 2 Lineare Algebra II 2 Lineare Abbildungen Die mit der Vektorraumstruktur verträglichen Abbildungen zwischen Vektorräumen werden als linear bezeichnet Genauer definiert man: 2 Definition Eine Abbildung L: V W zwischen zwei reellen Vektorräumen V und W heisst linear, wenn für alle v,w V, λ R, folgendes gilt: L(v +w) = L(v)+L(w) 2 L(λv) = λl(v) 22 Bemerkung Für jede lineare Abbildung L:V W gilt L(0) = 0, das heisst L bildet den Nullvektor aus V auf den Nullvektor aus W ab Beweis Denn sei v V gewählt Dann folgt aus der zweiten Bedingung L(0) = L(0 v) = 0 L(v) = 0 qed 23 Beispiele (a) Sämtliche Drehungen des R 2 um den Nullpunkt um einen beliebigen Winkel α [0,2π] sind linear, sie sind sogar längentreu und bilden Dreiecke auf kongruente Dreiecke ab Entsprechend ist jede räumliche Drehung um eine Achse durch den Nullpunkt eine lineare Selbstabbildung von R 3 (b) Jede Spiegelung des R 2 an einer Gerade durch den Nullpunkt ist linear Aber die Spiegelungen, deren Spiegelachsen nicht durch den Nullpunkt gehen, sind nicht linear, weil sie den Nullpunkt nicht festlassen (c)dieprojektionp:r 3 R 2,(,,z) (,)istlinear,wiemandirektnachrechnet Auch jede andere orthogonale Projektion des Raumes auf eine Ebene, wie sie verwendet werden, um Grundrisse, Aufrisse, Seitenansichten von Gebäuden zu zeichnen, sind linear (d) Ein Zoom, also eine Streckung Einheiten um einen bestimmten Vergrosserungsfaktor ist linear Dasselbe gilt für die Reskalierung von Koordinaten mit unterschiedlichen Faktoren, also im zweidimensionalen zum Beispiel in -Richtung um Faktor 2 und in -Richtung um Faktor 3 (e) Der Ableitungsoperator D:C [a,b] C 0 [a,b], der einer stetig differenzierbaren Funktion f auf [a,b] jeweils ihre Ableitung f zuordnet, ist linear

2 2 Lineare Abbildungen 29 (f) Auch der Integraloperator I:C 0 [a,b] R, definiert durch I(f) := b a f()d für f C 0 [a,b], ist linear, weil Integration mit Summenbildung und Skalarmultiplikation vertauschbar ist Drehungen, Spiegelungen und senkrechte Projektionen haben die Eigenschaft, sämtliche affinen Geraden wieder auf affine Geraden oder Punkte abzubilden Das gilt auch für jede beliebige lineare Abbildung des R 2 und daher der Name Lineare Abbildungen lassen sich durch Matrizen beschreiben Hier ein erstes Beispiel 24 Beispiel Die folgende Abbildung L:R 2 R 3 ist definiert durch die Multiplikation von ebenen Vektoren mit einer festgewählten 3 2-Matri: L := 2 ) ( = Man kann leicht nachrechnen, dass diese Abbildung linear ist Allgemeiner gilt folgendes: 25 Satz Jede Matri A vom Tp m n definiert eine lineare Abbildung L A :R n R m, v A v Umgekehrt gibt eszujeder linearenabbildung L:R n R m einem n-matriamit L = L A An den Spalten von A können wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren e j R n unter L ablesen Beweis Man kann direkt nachrechnen, dass die Multiplikation von Spaltenvektoren mit einer festen Matri eine lineare Abbildung liefert Sei jetzt umgekehrt eine lineare Abbildung L:R n R m vorgegeben Um die entsprechende Matri zu finden, schreiben wir zunächst die Bilder der kanonischen Basisvektoren e,,e n des R n als Spaltenvektoren in R m auf: a L(e ) =,,L(e n ) = a m Aus diesen n Spaltenvektoren bilden wir eine Matri a a n A := a m a mn a n a mn Diese Matri leistet das Gewünschte, denn es gilt: L = L( e + + n e n ) = L(e )+ + n L(e n ) = A n n für alle,, n R qed

3 30 Kapitel 2 Lineare Algebra II 26 Beispiele (a) Die Matri zur Drehung des R 2 um den Nullpunkt um den Winkel α lautet: cosα sinα sinα cosα Das bedeutet, ist v =, so ist cosα sinα D α (v) = sinα cosα = cosα sinα sinα+cosα (b) Die Spiegelung des R 2 an der Winkelhalbierenden wird durch folgende Matri beschrieben: (c) Die durch Multiplikation mit der Matri definierte lineare Abbildung 2 hat folgende Wirkung auf das markierte Einheitsquadrat: L(e 2 ) L(v) e 2 e v L(e ) L(e ) (d) Die Projektion p:r 3 R 2, (,,z) (,) wird durch die folgende Matri induziert:

4 2 Lineare Abbildungen 3 27 Bemerkung Die Komposition (oder Hintereinanderausführung) von zwei linearen Abbildungen L :K n K s und L 2 :K s K m ist definiert durch L 2 L (v) = L 2 (L (v)) für alle v K n Ist L durch die Multiplikation mit der Matri B gegeben und L 2 durch die Multiplikation mit der Matri A, so entspricht L 2 L der Multiplikation mit der Produktmatri C = AB Denn L 2 (L (v)) = A(Bv) = (AB)v = Cv für alle v K n 28 Beispiel Schauen wir uns an, welchen Effekt es hat, wenn wir die Koordinatenebene R 2 zunächst um den Winkel α drehen, dann an der -Achse spiegeln und schliesslich um den Winkel α zurückdrehen Das Produkt der entsprechenden Matrizen lautet: C := ( cosα sinα sinα cosα ) 0 cosα sinα cos(2α) sin(2α) = 0 sinα cosα sin(2α) cos(2α) Durch die Multiplikation mit der Produktmatri C wird eine Spiegelung an derjenigen Geraden beschrieben, die mit der -Achse den Winkel α bildet Allgemeiner kann man jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen durch eine Matri beschreiben Dazu muss man aber zunächst Basen und damit Koordinatenssteme für die Vektorräume wählen Ist A = (v,,v n ) eine Basis von V, lässt sich jeder Vektor v V in eindeutiger Weise als Linearkombination der v j schreiben: v = v + + n v n v 2 v 2 v v 2 v

5 32 Kapitel 2 Lineare Algebra II Die Zahlen,, n sind die Koordinaten von v bezogen auf die Basis A Den Spaltenvektor, gebildet aus den Koordinaten oder den Koeffizienten j, bezeichnen wir als den Koeffizientenvektor von v bezüglich der Basis A: Koeff A (v) := n 29 Satz Sei V ein Vektorraum mit Basis A = (v,,v n ) und W ein Vektorraum mit Basis B = (w,,w m ) Jede Matri A vom Tp m n definiert eine lineare Abbildung L:V W, die dadurch bestimmt ist, dass Koeff B (L(v)) = A Koeff A (v) Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung L:V W eine m n-matri BM A (L), die L induziert Die Spalten dieser Matri geben die Koeffizienten der Bildvektoren L(v j ) bezüglich der Basis B von W an Ist V = W, verwendet man üblicherweise dieselbe Basis für Ausgangs- und Bildraum Beweis Sei zunächst A eine vorgegebene m n-matri und sei v = v + + n v n V Aus den Koeffizienten,, n bilden wir den Spaltenvektor Koeff A (v), multiplizieren diesen Vektor mit der Matri A und erhalten einen Spaltenvektor mit Einträgen,, m, weil A aus m Zeilen besteht Diese Einträge verwenden wir nun als Koeffizienten für L(v), das heisst wir setzen fest: L(v) := w + + m w m Auf diese Weise wird eine lineare Abbildung erklärt Denn jeder einzelne Schritt ist mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich Überprüfen wir hier eemplarisch die Verträglichkeit mit Skalarmultiplikation Für λ R gilt: λv = (λ )v + + (λ n )v n Das heisst Koeff A (λv) = λkoeff A (v) Daraus folgt A Koeff A (λv) = λa Koeff A (v) und daher schliesslich L(λv) = λl(v) Sei jetzt umgekehrt L: V W vorgegeben Dann schreiben wir die Bildvektoren L(v ),,L(v n ) als Linearkombinationen der Basis B in der Form L(v j ) = m i= a ijw i Die Koeffizientenvektoren lauten also: a a n Koeff B (L(v )) =,,Koeff B (L(v n )) = a m a mn Aus diesen Spaltenvektoren bilden wir die Matri B M A (L) = A = (a ij ) Es ist eine Matri vom Tp m n Die von der Matri induzierte Abbildung stimmt mit der Abbildung L überein, denn L(v) = L( v + + n v n ) = L(v )+ + n L(v n ) und daher m m n m m n L(v) = a i w i + + n a in w i = j a ij w i = ( a ij j )w i i= i= j= i= i= j=

6 2 Lineare Abbildungen 33 Also folgt a + +a n n Koeff B (L(v)) = = A Koeff A (v) a m + +a mn n für alle v V qed 20 Beispiel Sei V die Ebene durch 0, erzeugt von zwei linear unabhängigen Vektoren u,v in R 3 Die Abbildung L:V V sei festgelegt durch L(u) = 2u und L(v) = u+v Dann wählen( wir ) als Basis A = (u,v) und lesen ab Koeff A (L(u)) = 2 und Koeff 0 A (L(v)) = Also wird L bezogen auf die Basis A hier durch die 2 Matri beschrieben Denn L(u+v) = (2u)+(u+v) = (2+)u+v 0 Wichtige Spezialfälle: Sind V = R n, W = R m und A und B die kanonischen Basen, erhalten wir die in Satz 24 gegebene Beschreibung wieder zurück Ist V = W, wählt man üblicherweise A = B Die linearen Selbstabbildungen werden auch als Endomorphismen bezeichnet und entsprechen quadratischen Matrizen 2 Beispiele (a) Sei V der Raum der Polnome von Höchstgrad 3 mit der Basis A = (,, 2, 3 ) und W der Raum der Polnome von Höchstgrad 2 mit Basis B = (,, 2 ) Die lineare Abbildung L:V W sei definiert durch die Ableitung L(p) := p für p V Offenbar ist dann L() = 0, L() =, L( 2 ) = 2, L( 3 ) = 3 2 Daraus können wir die Matri von L ablesen Sie lautet: BM A (L) = (b) Sei V = W = R 3 und L eine Drehung um die Achse g durch den Nullpunkt und um den Winkel α Wir wählen für V eine Basis A = (v,v 2,v 3 ), so dass v in Richtung der Drehachse g zeigt, v 2,v 3 in der zu g senkrechten Ebene einen Winkel von 90 Grad bilden und beide dieselbe Länge haben Bezogen auf dieses Koordinatensstem lautet die Matri von L: M A (L) = cosα sinα 0 sinα cosα

7 34 Kapitel 2 Lineare Algebra II 4 (c) Sei V = W = R 2 und L die Spiegelung an der Geraden g = {λ λ R} 4 Wir wählen A = B = (v,v 2 ), wobei v = und v 2 = Da v 4 g, gilt L(v ) = v Ausserdem ist L(v 2 ) = v 2, da v 2 v Wir lesen daraus ab: 0 M A (L) = 0 Das bedeutet, dass ein Vektor der Form v = αv +βv 2 auf den Vektor L(v) = αv βv 2 abgebildet wird Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare Abbildung Dann gilt: Das Bild(L) := {L(v) v V} ist ein linearer Unterraum von W 2 Der Kern(L) := {v V L(v) = 0} ist ein linearer Unterraum von V 3 L ist genau dann injektiv, wenn Kern(L) = {0} Beweis Zu Das Bild von L ist nichtleer, denn wegen L(0) = 0, enthält es zumindest den Nullvektor von W Nehmen wir jetzt an w,w 2 Bild(L) Dann gibt es Vektoren v,v 2 V mit L(v ) = w und L(v 2 ) = w 2 Aus der Linearität von L folgt L(v +v 2 ) = L(v ) +L(v 2 ) = w + w 2 Also ist auch w + w 2 im Bild von L enthalten Schliesslich gilt für alle λ R: L(λv ) = λl(v ) = λw Bild(L) zu 2 Diesen Beweisteil lassen wir als Übung zu 3 Ist L injektiv, so ist L(v) = 0 nur für v = 0 möglich Das heisst Kern(L) = {0} Sei jetzt umgekehrt Kern(L) = {0} und nehmen wir an, es sei L(v ) = L(v 2 ) für v,v 2 V Dann folgt L(v v 2 ) = L(v ) L(v 2 ) = 0 und daher v v 2 Kern(L) Also muss v = v 2 sein qed 23 Beispiele Sei L:R 3 R 3 die orthogonale Projektion des Raumes auf eine Ebene E in R 3 durch den Nullpunkt Dann ist das Bild von L hier die Ebene E, und der Kernbesteht aus allenvektoren, dieauf E senkrecht stehen 2 Sei A = Das Bild der Abbildung L A :R 2 R 3, definiert durch 3 2 Multiplikation mit der Matri A, ist diejenige Ebene in R 3, die von den beiden Spalten von A erzeugt wird Der Kern besteht hier nur aus dem Nullvektor 2 6 Sei A = Hier definiert die Multiplikation mit A eine Abbildung L A :R 3 R 2 Das Bild ist ganz R 2 und der Kern besteht aus 3 allen Vektoren in R 3 der Form 3α α 0 (α R)

8 2 Lineare Abbildungen 35 Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen den Dimensionen von Kern und Bild: 24 Satz (Dimensionsformel ) Sei L:V W linear und dimv = n Dann gilt: dimkern(l)+dimbild(l) = n Wir wollen diese Aussage zunächst für Matrizen interpretieren Sei also A eine m n-matri und L A :R n R m die durch Multiplikation mit A definierte lineare Abbildung Dann gilt Kern(L A ) = {v V A v = 0} Der Kern von L A stimmt also mit der Lösungsmenge L des durch A beschriebenen homogenen Gleichungssstems überein Weiter kann man zeigen, dass folgendes gilt: Bild(L A ) = lin(l A (e ),,L A (e n )) Das Bild von L A ist also gerade derjenige Unterraum von R m, der von den Spaltenvektoren von A erzeugt wird Die Dimension dieses Unterraums stimmt überein mit der maimalen Anzahl linear unabhängiger Spalten von A, man nennt diese Zahl auch den Spaltenrang Rang(A) Die Dimensionsformel liefert jetzt folgende Beziehung: diml = n Rang(A) Bereits im ersten Paragraphen hatten wir im Zusammenhang mit dem Gaussschen Eliminationsverfahren eine ähnliche Beziehung für die Dimension des Lösungsraumes gefunden, nämlich diml = n r, wobei r der Rang der durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform transformierten Matri A war Der Rang einer Matri in Zeilenstufenform gibt die Anzahl der Nichtnullzeilen an und stimmt überein mit der maimalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen, also dem Zeilenrang von A Nun bleibt der Zeilenrang einer Matri bei elementaren Zeilenumformungen aber unverändert Wir erhalten also folgendes Ergebnis: 25 Folgerung Der Zeilen- und der Spaltenrang einer Matri stimmen miteinander überein Man spricht deshalb kurz vom Rang einer Matri Der Rang gibt sowohl die Anzahl linear unabhängiger Spalten als auch die Anzahl linear unabhängiger Zeilen der Matri an Beweis der Dimensionsformel Weil der Kern von L ein Unterraum von V ist, gilt sicher k := dim(kern(l)) n Ausserdem können wir eine Basis (v,,v k ) von Kern(L) wählen und zu einer Basis (v,,v k,v k+,,v n ) von V ergänzen Es reicht jetzt, folgende Behauptung zu beweisen: (L(v k+ ),,L(v n )) ist eine Basis für das Bild von L Dazu zeigen wir zunächst, dass die Menge ein Erzeugendensstem für das Bild ist Sei also w Bild(L) Dann gibt es ein v V mit L(v) = w Wir schreiben v als Linearkombination der Basiselemente in der Form v = n i= α iv i (α i R) Dann folgt w = L(v) = n i= α il(v i ) = n k+ α il(v i ), weil L(v i ) = 0 für alle i k Also liegt w in der linearen Hülle von (L(v k+ ),,L(v n ))

9 36 Kapitel 2 Lineare Algebra II Im zweiten Schritt zeigen wir jetzt, dass die Menge linear unabhängig ist Angenommen n n 0 = α i L(v i ) = L( α i v i ) i=k+ i=k+ Das bedeutet, der Vektor u := n i=k+ α iv i liegt im Kern der Abbildung L, lässt sich also in der Basis (v,,v k ) schreiben Das heisst, es gibt Zahlen β,,β k mit u = k n β i v i = α i v i i= i=k+ Daraus folgt die Relation β v + +β k v k α k+ v k+ α n v n = 0 Da (v,,v n ) linear unabhängig gewählt waren, folgt β = = β k = α k+ = = α n = 0 qed 26 Folgerung Seien V, W endlichdimensionale Vektorräume und L: V W linear Dann gilt: L ist genau dann bijektiv, wenn dimv = dimw und Kern(L) = {0} In diesem Fall ist auch die Umkehrabbildung von L linear und man bezeichnet L als Vektorraumisomorphismus 27 Beispiel Sei V ein Vektorraum der Dimension n und A eine Basis für V Dann ist die Zuordnung V R n, v Koeff A (v) ein Vektorraumisomorphismus Das bedeutet, jeder endlichdimensionale Vektorraum ist zu einem der Räume R n (n N 0 ) isomorph 28 Beispiel Eine quadratische Matri A definiert genau dann eine bijektive lineare Abbildung L A :K n K n, wenn A invertierbar ist, wenn also deta 0 ist Ist dies der Fall, wird die Umkehrabbildung durch die Multiplikation mit der inversen Matri A beschrieben Die Matri, die eine lineare Abbildung beschreibt, hängt wesentlich von der Wahl der Basen also der Koordinatenssteme ab! Hierzu ein einfaches Beispiel Sei L die Spiegelung des R 2 an der Winkelhalbierenden Wie schon früher erwähnt, lautet die Matri von L bezüglich der kanonischen Basis (weil L(e ) = e 2 und L(e 2 ) = e ist): 0 M (e,e 2 )(L) = 0 ( Wählt man dagegen die Basis aus v = und v 2 = und L(v 2 ) = v 2 und daher lautet die zugehörige Matri: 0 M (v,v 2 )(L) = 0 ), dann ist L(v ) = v

10 2 Lineare Abbildungen 37 Man kann durch Wahl einer günstigen Basis versuchen, die Abbildung durch eine möglichst einfache Matri zu beschreiben, an der sich wichtige Eigenschaften möglichst direkt ablesen lassen Dazu sei hier noch beschrieben, wie sich die Matri eines Endomorphismus bei einem Basiswechsel ändert 29 Satz Sei L: V V ein Endomorphismus des Vektorraums V Seien weiter A, B Basen von V und seien A := M A (L) und B := M B (L) die zugehörigen Matrizen Dann gilt: B = T AT, wobei die Transformationsmatri T den Basiswechsel von B nach A beschreibt, das heisst, die Spalten von T sind die Koeffizientenvektoren der Vektoren aus B, ausgedrückt in der Basis A Ist speziell V = K n und A die kanonische Basis, erhält man T einfach, indem man die Elemente von B als Spalten zu einer Matri zusammenfügt Beweis Nach Wahl der Transformationsmatri gilt für jedes v V: T Koeff B (v) = Koeff A (v) Daraus folgt AT Koeff B (v) = Koeff A (Lv), und das liefert, wie behauptet qed T AT Koeff B (v) = Koeff B (Lv) 220 Beispiel Sei V = R 2, A = (e,e 2 ), L die Spiegelung ( an) der Winkelhalbierenden und sei B die Basis, gebildet aus den Vektoren u = und w = 0 Dann ist A = und T = Wegen T 0 =, erhalten 2 wir: 0 B = T AT = 0 Hier ist noch ein weiteres Beispiel: 22 Beispiel Sei wiederum V = R 2, A = (e,e 2 ), und sei L die lineare ( Abbildung, ) 4 festgelegt durch L(e ) = e +2e 2 und L(e 2 ) = 4e +3e 2 Dann ist A = Sei ( 2 ) 3 2 weiter B die Basis, gebildet aus den Vektoren u = und w = Also ist hier T = und T = = det(t) Die Matri von L 3 bezogen auf die Basis B lautet daher: 5 0 B = T AT = 0 Das bedeutet, wenn wir einen Vektor durch die Basis B ausdrücken in der Form v = u+ỹw, dann ist L(v) = 5 u ỹw

11 38 Kapitel 2 Lineare Algebra II L(u) 4 L(v) ỹ v 2 w u L(w) 7