Lineare Algebra Vordiplom Kurs

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1 Lineare Algebra Vordiplom Kurs Gabriel Puebla-Hellmann 19. Juli 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe Lineare Gleichungssysteme Vektorräume Lineare Abbildungen Matrizen Räume mit Skalarprodukt Euklidische Räume Gram-Schmidt sches Orthogonalisierungsverfahren Orthogonale (unitäre) Abbildungen Adjungierte Abbildungen QR-Zerlegung Determinanten Eigenschaften Eigenwerte und Eigenvektoren Allgemein Diagonalisieren Simultanes Diagonalisieren Bilineare Räume Allgemein Quadratische Formen Jordan Normalform 12 7 Dualität und Tensorprodukte Faktorräume Tensorprodukt Wedgeprodukt Der multilineare Fall Tensoralgebra, Äussere Algebra Lie Algebren Lie Algebren Die Exponentialabbildung Lie Algebren

2 9 Spezielle Gruppen 16 2

3 1 Grundbegriffe 1.1 Lineare Gleichungssysteme Sei H ein homogenes, B ein inhomogenes Gleichungssystem mit jeweils n Gleichungen und g Unbekannten. Seien L(H) und L(B) die Lösungsräume der Gleichungssysteme. Betrachtet man ein Homogenes Gleichungssystem so gilt: g > n : Es existiert eine Lösung 0 Betrachtet man ein beliebiges B so gilt: a) H B hat nur 0-Lösung = B hat genau eine Lösung. b) H B hat Lösung 0 = B hat keine oder viele Lösungen. 1.2 Vektorräume Vektorräume Definition 1.1 (G, ) heisst Gruppe, falls eine Verknüpfung auf G ist mit: 1) assoziativ 2) Neutralelement e 3) Jedes x G hat ein inverses. Definition 1.2 Ein Ring ist eine Menge R versehen mit zwei Verküpfungen und so dass gilt: 1) (R, ) ist kommutative Gruppe,Neutralelement =: 0. 2) ist assoziativ. 3) Distributivgesetz: x (x z) = (x y) (x z) x, y, z R. Definition 1.3 Ein Körper K ist eine Menge versehen mit zwei Verknüpfungen und so dass gilt: 1) (K, ) ist kommutative Gruppe, Neutralelement =: 0. 2) (K, ) ist kommutative Gruppe, Neutralelement =: 1; K := K {0}. 3) Distributivgesetz x (x z) = (x y) (x z) x, y, z K. Definition 1.4 Ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine kommutative Gruppe (V, +), in der zusätzlich eine äussere Verknüpfung K V V, (k, v) kv, definiert ist, die wie folgt mit der Gruppenstruktur verträglich ist: 1) λ(µv) = (λµ)v 2) (λ + µ)v = (λv) + (µv) 3) λ(v + w) = (λv) + (λw) 4) 1v = v 3

4 Definition 1.5 Eine Teilmenge X eines VR V heisst affiner Unterraum, falls es ein v V und ein Unterraum W V gibt, so dass: X = v + W := {u V w W mit u = v + w} Sei X = v + W V ein affiner Unterraum. Dann gilt: Für ein beliebiges v X ist X = v +W. Ist v V und W V ein Untervektorraum mit v+w = v +W so folgt W = W und v v W Dimension, Basis Definition 1.6 (Lineare Abhängigkeit) Die Vektoren v 1,..., v n V heissen linear abhängig, fall es Skalare λ 1,..., λ n K gibt, die nicht alle 0 sind, mit n i=1 λ i v i = 0. Sind v 1,..., v n nicht linear abhängig, so heissen sie linear unabhängig. Jedes System von Vektoren, dass 0 enthält ist linear abhängig; speziell { 0} ist eine linear abhängige Menge. Definition 1.7 Eine Teilmenge S V heisst linear unabhängig, falls je endlich viele paarweise verschiedene Vektoren s 1,..., s k S linear unabhängig sind. Definition 1.8 Der Rang eines Systems von Vektoren a 1,..., a n, Rg{ a 1,..., a n } ist die grösste Zahl j derart, dass sich ein Teilsystem von j Vektoren { a i1,..., a ij } { a 1,..., a n } in linearer Unabhängigkeit befindet. Definition 1.9 Die Dimension eines Vektorraumes V ist dim V := sup{r r = Rg{endliches System von V ektoren aus V }} N { }. Manchmal schreibt man auch dim K V, da der Skalarkörper K ist. Sei dim V = n. Dann gilt: 1) jedes System von n+1 Vektoren ist linear abhängig. 2) es existiert ein linear unabhängiges System von n Vektoren in V Definition 1.10 Eine Teilmenge S V heisst Erzeugendensystem, falls [S] = V ist. Ist die Teilmenge linear unabhängig so ist S eine Basis. Jeder Vektorraum V besitzt eine Basis. Ist dim V = n, so besteht jede Basis von V aus n Vektoren. Sei S V linear unabhängig und t V [S]. Dann ist S {t} V linear unabhängig. Hieraus folgt: Sei dim V = n, S V Erzeugendensystem und t 1,..., t k V linear unabhängig. Dann existieren s 1,... n k S derart, dass {t 1,..., t k, s 1,... n k } Hieraus folgt der Ausstauschsatz von Steinitz: Ist ( a 1,..., a n ) eine Basis von V und sind b 1,..., b k V, k n linear unabhängig, so ist k n und es gibt k n Vektoren a i1,..., a in k { a 1,..., a n }, so dass ( b 1,..., b k, a i1,..., a in k ) eine Basis von V ist. 4

5 Definition 1.11 Die Unterräume U, V W heissen komplementär, falls U + V = W und U V = { 0} ist. Man schreibt dann W = U ˆ V. Ist dim V < und W V ein Unterraum, so existiert ein zu W komplementärer Unterraum U V. 1.3 Lineare Abbildungen Definition 1.12 Eine Abbildung x X y Y heisst linear wenn gilt: 1) f( x + y) = f( x) + f( y) x, y V 2) f(λ x) = λf( x) x V, λ K Hom(V, W ) := VR der linearen Abbildungen von V W. Seien f Hom(V, W ), g Hom(W, V ). g heisst invers zu f wenn gilt: f g = 1 W, g f = 1 V f Hom(V, W ) heisst Isomorphismus, wenn es eine inverse Abbildung g Hom(W, V ) gibt. V und W heissen dann isomorph zueinander (V = W ) Es ist f( 0) = 0. Ein Isomorphismus führt linear unabhängige Vektoren in linear unabhängige Vektoren über. Es gilt dim V = n V = K n. Definition 1.13 Sei f Hom(V, W ). Dann ist Bild(f) = {f( v) W v V } Kern(f) = { v V f( v) = 0} Ist f : V W ein Homomorphismus, so sind Bild(f) W und Kern(f) V Unterräume.f injektiv Kern(f) = { 0}. f bijektiv (f Isomorphismus) genau dann, wenn Kern(f) = 0 und Bild(f)= W. 1.4 Matrizen Allgemein Lineare Abbildungen werden bezüglich einer gewählten Basis durch Matrizen beschrieben. Sei A Hom(V m, W n ) und ( e 1,..., e m ) resp. ( d 1,..., d n ) eine Basis von V m resp. W n. A wird bestimmt durch seine Werte auf die Basisvektoren: ( e j ) = n i=1 a ijd i. A wird vollständig beschrieben durch die (n m)-matrix A = (a ij ). In einer anderen Darstellung, mit A( e j ) Vektor in W n : A = (A( e 1 ),..., A( e m )) Definition 1.14 A M n (K) regulär homogenes Gleichungssystem H(A) besitzt nur 0-Lösung A invertierbar. Definition 1.15 Gl(n, K) = {A M n (K) A invertierbar} ist die sogenannte lineare Gruppe. A regulär A Aut(K n ). A M n (R) symmetrisch A = A T ; A M n (C) hermitesch A = A T 5

6 Basistransformationen Gegeben V n mit Basis ( e 1,..., e n ). Betrachte neue Basis ( e 1,..., e n ) e i [ e 1,..., e n ] e i = t ji e j T = (t ji ) heisst die zur Basistransformation ( e 1,..., e n ) ( e 1,..., e m ) gehörige Matrix. T drückt die alten Basisvektoren durch die neuen aus. T ist regulär. Äquivalente und ähnliche Matrizen Definition 1.16 A heisst äquivalent zu A (A A ) U, S regulär mit UAS = A. ist eine Äquivalenzrelation. dh. symmetrisch (A A A A), reflexiv (A A) und transitiv (A B, B C A C) A B Rg(A)=Rg(B) Definition 1.17 A, B Hom(V m, W n ) heissen äquivalent Isomorphismen C : V m V m und D : W n W n mit BC = DA. Seien: A, B : V m W n : A B für jede Basis von V m resp. W n sind die Matrizen die A, B beschreiben äquivalent. Ist A Hom(V ( m, W n ), ) Basen von V m und W n Er 0 so, dass A durch eine Matrix der Form dargestellt 0 0 werden, mit E r M r (K) gleich der Einheitsmatrix. Definition 1.18 A : V m W n ; Rg A = dim Bild A Rg A + dim Kern A = dim Bild A + dim Kern A = m. Rg A = Rg A. A B Rg A = Rg B. A( B Rg ) A = Rg B Jede Matrix A ist äquivalent Er 0 zu einer Matrix der Form mit r = Rg A 0 0 Definition 1.19 A, A M n (K) heissen ähnlich (A = A ) falls T M n (K) regulär mit A = T AT 1. = ist eine Äquivalenzrelation. Es gilt A = A A A ( Rg A = Rg A ). Beachte, die Umkehrung gilt nicht. Definition 1.20 A, B M n (K) heissen kongruent, falls S M n (K) regulär mit B = SAS T. Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation. Dualer Raum Definition 1.21 Der zu V duale Vektorraum V := Hom(V, K), ist der Vektorraum der linearen K-wertigen Funktionen auf V. Ist ( e 1,..., e n ) eine Basis von V, so ist (ε 1,..., ε n ), mit ε i V, die sogenannte duale Basis zu ( e 1,..., e n ) gegeben durch die Vorschrift: ε i ( e j ) := δ ij. 6

7 Definition 1.22 Sei A : V W eine lineare Abbildung. Dann ist die zu A transponierte Abbildung A T : W V definiert durch (A T (f))( v) = f(a v) f W, v V Wird A Hom(V m, W n ) bezüglich einer gewissen Basis durch A beschrieben, dann wird A T : (W n ) (V m ) bezüglich der dualen Basen beschrieben durch A T. Es gilt (BA) T = A T B T, (BA) T = A T B T, mit A regulär: (A T ) 1 = (A 1 ) T. Definition 1.23 Sei V ein VR, W V eine Teilmenge (nicht zwingend ein Unterraum). Dann heisst W A = {f V f( w) = 0 w W } Annihilator von W. W A V ist ein Unterraum. Ist dimv = n und W V dann gilt: dimw + dimw A = n. 2 Räume mit Skalarprodukt 2.1 Euklidische Räume Definition 2.1 Sei V ein R(C)-Vektorraum. Ein Skalarprodukt ( ) in V ist ein Funktion ( ) : V V R(C) mit: 1) ( v w) = ( w v) (R) (Symmetrie) ( v w) = ( w v) (C) 2) (α 1 v 1 + α 2 v 2 w) = α 1 ( v 1 w) + α 2 ( v 2 w) α 1, α 2 R(C), v 1, v 2, w V (Linearität) (( v λ w) = λ( v w) v, w V, λ C) 3) ( v v) > 0 falls v 0 (positiv definit) Ein R-Vektorraum V mit einem ausgezeichneten Skalarprodukt ( ) heisst Euklischer Raum (ER).Ein C-Vektorraum V mit einem ausgezeichneten Skalarprodukt ( ) heisst Unitärer Raum (UR). Definition 2.2 Sei V ein ER(UR). v, w V heissenorthogonal(unitär) falls ( v w) = 0. 0 ist orthogonal zu allen v V ; v orthogonal zu sich selbst v = 0 Definition 2.3 Sei B eine Basis ( e 1,..., e n ) vom ER V. B heisst orthogonal falls ( e i e j ) = 0 für i j, orthonormal wenn ( e i e j ) = δ ij Sind v 1,..., v n linear unabhängige Vektoren des ER V. Dann hat [ v 1,..., v n ] eine orthonormale Basis ( e 1,..., e n ) mit e i [ v 1,..., v n ]. Die Matrix A eines Skalarprodukts bez. einer Basis ( e 1,..., e n ) ist definiert mit: A = (a ij ), a ij = ( e i e j ). A ist regulär und symmetrisch mit a ii > 0, i in einem ER. Jede Matrix eines Skalarprodukts in einem endlich-dim. Vektorraumes ist kongruent zur Einheitsmatrix. 7

8 Definition 2.4 Die Norm (oder Länge) eines Vektors v eines ER V ist: v := ( v v). Es gilt: 1 λ v = λ v 2 v = 0 v = 0 3 v + w v + w 4 v + w v w 2.2 Gram-Schmidt sches Orthogonalisierungsverfahren Seien ( v 1,..., v n ) linear unabhängig. Wir wollen eine orthogonale Basis ( d 1,..., d n ) Wähle d 1 = v 1 und gehe dann Schrittweise vor mit der Formel: d j+1 = v j+1 ( v j+1 d i ) i j ( d i d i ) 2.3 Orthogonale (unitäre) Abbildungen Definition 2.5 Sei W V eine Unterraum. Dann ist W = { v V ( v w) = 0 w V }. d i Definition 2.6 L Hom(V, V ) heisst orthogonale Projektion auf W falls gilt: L( v) W, v V und v L( v) W, v V. Ist W V ein endlich-dim VR orthogonale Projektion auf W. Es gilt V = W ˆ W. Definition 2.7 A Hom(V, V ) heisst orthogonal falls A ein Isomorphismus ist und ( v w) = (A v A w) A M n (R) heisst orthogonal wenn: A T = A 1 A M n (C) heisst unitär wenn: A T = A 1 Orthogonale Abbildungen bilden orthonormale Basen auf orthonormale Basen ab. Wird eine Abbildung bez Basis B 1 durch A und bez Basis B 2 durch A beschrieben und sind B 1, B 2 orthonormal, dann sind A, A ähnlich und kongruent. 2.4 Adjungierte Abbildungen Definition 2.8 Sei V ER, A, B Hom(V, V ). A heisst adjungierte zu B falls: (A v w) = ( v B w), v, w V Sei V endlich-dim. A Hom(V, V ) : die Adjungierte A Hom(V, V ). Wird A bez. einer orthonormalen Basis durch A dargestellt, so wird A durch A T dargestellt. Definition 2.9 A Hom(V, V ) heisst selbstadjungiert, falls A = A Selbstadjungierte Abbildungen werden bez. orthonormalen Basen durch symmetrische(hermitesche) Matrizen beschrieben und umgekehrt. 8

9 2.5 QR-Zerlegung Sei A eine m n Matrix mit linear unabhängigen Spalten. Dann lässt sich A schreiben als A = Q R wobei Q eine m n Matrix deren Spalten eine orthonormale Basis des von den Spalten von A aufgespannten Vektorraum sind und R eine invertierbare n n obere Dreiecksmatrix ist. Ist A GL(n, R) dann ist Q eine orthogonale Matrix und R hat nur positive Einträge auf der Diagonalen. Um A zu zerlegen, wende das Gram-Schmidt sche Orthogonalisierungsverfahren auf die Spalten von A an und löse dann das Gleichungssystem A = QR auf nach den einzelnen Einträgen von R. r 11 = a11 q 11 usw. 3 Determinanten 3.1 Eigenschaften - A singulär det A=0 - det E = 1 - det[ a 1,..., a n ] = 0 falls i, j mit i j und a i = a j - det[ a 1,..., ( a i + k i α k a k ),..., a n ]=det[ a 1,..., a n ] oder: Die Determintante ist invariant unter Zeilen- und Spaltenoperationen. - det[ a 1,..., a i,..., a j,..., a n ]=-det[ a 1,..., a j,..., a i,..., a n ] falls i j - det(a)=det(a T ) - det(a) = n j=1 a ij( 1) i+j D ij (A) = n i=1 a ij( 1) i+j D ij (A) D ij : A ohne i-te Zeile, j-te Spalte. - det(ab) =deta detb, det(a 1 )=(deta) 1, A = B deta=detb - A orthogonal det A = ±1 - A unitär deta = 1 4 Eigenwerte und Eigenvektoren 4.1 Allgemein Definition 4.1 Sei V ein K-Vektorraum und A Hom(V, V ). Dann heisst x V Eigenvektor (EV) von A, falls: 1. x 0 2. λ K mit A x = λ x λ heisst Eigenwert von (EW) von A Definition 4.2 spec(a) := {λ K λ EW von A} heisst Spektrum von A. 9

10 Definition 4.3 Sei A Hom(V, V ) und µ K. Dann ist E µ (A) = E µ := { x V A x = µ x} E µ heisst der zu µ gehörige Eigenraum. E 0 = Ker A. Definition 4.4 Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist definiert als: gv (λ) :=dim E µ. Es sind äquivalent: 1. A ist diagonalisierbar 2. V n = λ speca E λ 3. V n besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von A. Ist A selbstadjungiert, dann ist A diagonalisierbar. Seien x 1,..., x n V die zu paarweise veschiedenen EW gehörigen EV. Dann sind x 1,..., x n linear unabhängig. Weiter Eigenschaften: spec(a) n spec(a) = n A ist diagonalisierbar. A 2 = A : idempotent spec(a) {0, 1} A nilpotent spec(a) {0} A orthogonal spec(a) { 1, +1} Aunitär spec(a) {e iϕ 0 ϕ < 2π} A Hom(C, C) selbstadjungiert spec(a) R Die Menge der Eigenwerte lässt sich aus schreiben als: spec(a) = {λ K det(a λe) = 0}. A = B. Dann ist spec(a)=spec(b). Definition 4.5 Sei A M n (K). Dann heisst χ A (x) := det(a xe) K[x]. Definition 4.6 Sei λ spec(a). Dann bezeichnet av(λ) die Vielfachheit der Nullstelle λ von χ A. av(λ) heisst algebraische Vielfachheit von λ. Es gilt immer χ A (0) = det (A). Das Spektrum ergibt sich aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Ist A = B χ A = χ B. Wenn A M n (K) dann gilt deg(χ A ) = n χ A (x) = ( 1) n x n + a n 1 x n 1 +,..., a 1 x + a 0 10

11 Fur die Koeffizienten von χ A (x) gilt: a 0 = det(a) ; a n 1 =( 1) n 1 Sp(A) gv(λ) av(λ) A symmetrisch χ A zerfällt in ein Produkt von linearen Polynomen. Eine Matrix A heisst unter(obere) Dreiecksmatrix falls a ij = 0 für j > i(j < i). Ist A eine Dreiecksmatrix so gilt: χ A (x) = n i=1 (a ii x) und spec(a)={a ii 1 i n}. Ist A M n (C) dann ist A ähnlich zu einer unteren Dreiecksmatrix. Satz von Cayley Sei A M n (C). Dann ist χ A (A) = 0 M n (C) 4.2 Diagonalisieren Allgemein Definition 4.7 Sei V ein ER. Dann schreibt man V = U W falls 1. V = U W 2. u u, w W u w Man sagt V ist die orthogonale direkte Summe aus U und W. Ist A : V V selbstadjungiert(a symmetrisch) dann ist A(A) diagonalisierbar, es existiert sogar eine orthogonale Basistransformation. Ähnliches gilt für A hermitesch (die Transformation ist dann unitär). Eine Funktion Φ heisst positiv definit, falls Ψ( x) > 0, x 0 alle EW positiv. Tricks Sei A M n (K). - A symmetrisch, n 1 - A nilpotent, idempotent, orthogonal (unitär) siehe Eigenschaften oben. - λ = Sp(A) = n λ spec (A) i=1 a ii - Rg(A) < n 0 spec(a) - max{f (x) x = 1} 4.3 Simultanes Diagonalisieren Seien A, B M n (K). Gesucht ist eine Basis in der beide Matrizen Diagonalform haben. Wähle eine Matrix aus und fasse diese als die Matrix eines Skalarprodukts auf (Achtung: Positiv Definit!). Bestimme eine orthonormale Basis bez. diesem Skalarprodukt (Gram/Schmidt mit neuem Skalarprodukt!). Führe eine Basistransformation in die Basis mit der zweiten Matrix durch. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren in der neuen Matrix und transformiere die Eigenvektoren zurück in die Standardbasis. Dies ist die gesuchte Basis. 11

12 5 Bilineare Räume 5.1 Allgemein Definition 5.1 Eine Funktion F : V V K heisst Bilinearform auf dem Vektorraum V, falls F (λ 1 v 1 +λ 2 v 2, w) = λ 1 F ( v 1, w)+λ 2 F ( v 2, w) und F ( w, λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 F ( w, v 1 ) + λ 2 F ( w, v 2 ) v 1, v 2, w V und λ 1, λ 2 K. Falls F ( v, w) = F ( w, v) heisst F symmetrisch, falls F ( v, w) = F ( w, v) alternierend (schief- oder antisymmetrisch). Unter der Matrix von F auf einem VR mit Basis ( e 1,..., e n ) verstehen wir die (n n)-matrix: (F ( e i, e j ) M)n(K) Sei V ein VR und B 1 : ( e 1,..., e n ), B 2 ( e 1,..., e n ) zwei Basen von V. Seien A 1, A 2 die Matrizen von F bez. B 1, B 2 und S die Matrix der Basistransformation B 1 B 2 A 1 = S T A 2 S. Bezüglich einer beliebigen Basis gilt: F symmetrisch A symmetrisch, F antisymmetrisch A antisymmetrisch. Der Rang von F ist Rg(A). 5.2 Quadratische Formen Definition 5.2 Sei V ein VR, F eine bilineare fkt. Dann heisst Q F K, x F ( x, x) die zu F gehörige quadratische Form. : V Q(λx) = λ 2 Q(x) x V λ K. Fur F gilt: F ( v, w) = 1 2 (Q F ( v + w) Q F ( v) Q F ( w)). Sind F, G symmetrisch dann gilt Q F = 0 F = 0 ; Q F = Q G F = G. Ist F antisymmetrisch Q F = 0 Für V endlich-dim VR und Q quadratische Form gibt es eine Basis von V in der Q durch eine diagonale Matrix dargestellt wird. 6 Jordan Normalform Sei T die Matrix so, dass T 1 AT = JNF(A), λ Spec(A). Für jedes λ wende folgende Schritte an: Sei C := A λe. Ker(C)=E 1 Ker(C 2 ) = E 2 = E 1 F 1 Ker(C 3 ) = E 3 = E 2 F 2 etc. bis F k = E k = Ek 1 Sei l i = dim F i. Dann ist F i = [v i1,..., v il1 ] wobei v i1,..., v il1 k-ten Schritt F k = so füllt man folgendes Schema aus. / E i. Ist beim (v k 1,1,..., v k 1,lk 1 ) (Cv k 1,1,..., Cv k 1,lk 1 ), (v k 2,1,..., v k 2,lk 2 ) (C 2 v k 1,1,..., C 2 v k 1,lk 1 ), (Cv k 2,1,..., Cv k 2,lk 2 ), (v k 3,1,..., v k 3,lk 3 ) etc. 12

13 Die Vektoren in jeder Zeile müssen ein linear unabhängiges System bilden. Tuhen sie dies nicht so streicht man die Linearkombinationen heraus. Man erhält eine Treppenform aus der nun Spaltenvektoren von T ausgelesen werden können, nach folgender Anleitung. Seien a, b, c, d, e, f, g, h, i Vektoren in oben genannten Schema mit F 4 =, F 3 = [a, b], Ca = c, Cb = d, F 2 = [e], C 2 a = f, C 2 b = g, Ce = h, F 1 = [i]: a b c d e f g h i Dann erhält man T in dem man von links unten angefangen immer eine Spalte von unten ausliest. Also ergibt sich: T = f c a g d b h e i, wobei a, b, c, d, e, f, g, h, i Spaltenvektoren von T sind. Dieser Vorgang wiederholt sich für jeden Eigenwert von T, wobei ein Eigenwert der algebraischen Vielfachheit k k Spaltenvektoren von T liefert. Interessiert man sich nur für die Gestalt der JNF und nicht für die Transformationsmatrix so erhält man die JNF folgendermassen. Die Eigenwerte werden ihrer algebraischen Vielfachheit entsprechend oft in die Diagonale geschrieben. Die Anzahl der Jordankästchen eines Eigenwertes λ ergibt sich als dim Ker(A λe). 7 Dualität und Tensorprodukte 7.1 Faktorräume Definition 7.1 v + U = { x V x v in U}: Nebenraum von U. Es gilt: v + U = w + U v w U Definition 7.2 V/U = { v + U v V }: Menge der Unterräume von U = Faktorraum von V nach U. V/U ist ein VR. Ist dimv < und U V ein Unterraum dann gilt: dimu + dimv/u = dimv 7.2 Tensorprodukt Sind (v i ) i I und (w j ) j J Basen von v, w ((v i, 0)) i I, ((0, W j )) j J eine durch I disjunkt vereinigt mit J indizierte Basis von V W Definition 7.3 Seien V, W VR über K. Das Tensorprodukt von V und W über K: V K W ist ein K-Vektorraum der zusammen mit der bilinearen Funktion η : V W V K W die universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem K-Vektorraum U mit bilinearer Funktion ξ : V W U gibt es genau eine lineare Funktion ξ : V K W U mit ξ = ξ η Als Diagramm: V W η ξ V K W ξ U 13

14 V K W kann auch als [(v i w j ) (i,j) I J ] geschrieben werden (v i w j ) (i,j) I J ist eine Basis von V K W. V K W = V (n, m) dimv K W = dimv dimw Rechenregeln: Ist η : V W V W und v w := η(v, w), so gilt für v, v V, w, w W und λ K: a) v w + v w = (v + v ) w, v w + v w = v (w + w ) b) (λv) w = v (λw) = λ(v w) Definition 7.4 S(V ) = [(v v v v) v,v V ] V V Definition 7.5 A(V ) = [(v v) v V ] V V 7.3 Wedgeprodukt Definition 7.6 Sei V ein K-VR, so gibt es ein K-VR V V mit einer antisymmetrischen Abbildung : V V V V mit der universellen Eigenschaft, dass es zu jedem K-VR W mit antisymmetrischer Abbildung ξ : V V W genau eine lineare Abbildung ξ : V V W gibt derart, dass das ξ = ξ. Als Diagramm: V V ξ V V ξ W Ist (v 1,..., v n ) eine Basis von V, so ist durch v i v j := (v i, v j ) mit 1 i < j n eine Basis von V V gegeben. dim (V V ) = ( ) n 2 = n(n 1) 2 Rechenregeln: Für v, v, w, w V, λ K gilt: (v + v ) w = v w + v w v (w + w ) = v w + v w (λv) w = v (λw) = λ(v w) v v = 0, v w = w v 7.4 Der multilineare Fall Die bekannten Definitionen vom Tensorprodukt und vom Wedgeprodukt werden ausgeweitet auf multilineare Funktionen. Tensorprodukt Seien V 1,..., V k, U K Vektorräume, ξ : V 1... V k U eine Multilineare Abbildung. Dann existiert genau eine lineare Funktion ξ : V 1... V k U mit ξ = ξ η. V 1... V k η ξ V 1... V k ξ U 14

15 Sei (v (j) 1,..., v(j) r j ) eine Basis von V (j). Dann ist v (1) i 1... v (k) i k : 1 i j r j eine Basis von V 1... V k. Es gilt dim(v 1... V k )=dim V 1... dimv k Ist T : V... V }{{ V... V. Dann nennt man die Elemente in T }}{{} p mal q mal p-fach kovariante, q-fach kontravariante Tensoren. Wedgeprodukt Seien V, U K Vektorräume, : V... V V... V eine antisymmetrische multilineare Abbildung, ξ : V... V U eine antisymmetrische multilineare Abbildung. Dann existiert genau eine lineare Funktion ξ : V... V U mit ξ = ξ η. V... V ξ V... V ξ U Sei (v 1,..., v n ) eine Basis von V. Dann ist v i1... v ik : 1 i 1 <... < i k n eine Basis von V... V = k V. Es gilt dim k V = ( n k) für 1 k n =dimv. Sind (v 1,..., v k ) linear abhängige Vektoren, dann ist v 1... v k = Tensoralgebra, Äussere Algebra Tensoralgebra Sei V ein K-Vektorraum. Dann heisst T V := k 0 V k die Tensoralgebra über V (V k ). TV ist ein K-Vektorraum mit der K-bilinearen Multiplikation: T V T V µ T V die auf erzeugende a 1... a k V k, b 1... b l V l definiert ist mittels: µ(a 1... a k, b 1... b l ) = a 1... a k b 1... b l V k+l. Einselement ist 1 K = V 0. Äussere(Grassmann) Algebra Analog definiert man die Äussere Algebra mittels: V = k V ( 0 := K) k 0 mit der K-bilinearen Multiplikation V V ν V die auf erzeugende a 1... a k k V, b 1... b l l V definiert ist mittels: ν(a 1... a k, b 1... b l ) = a 1... a k b 1... b l k+l V 15

16 8 Lie Algebren 8.1 Lie Algebren Die Exponentialabbildung Die Exponentialabbildung ist definiert als: exp(x) = inf n=0 1 n! Xn und hat folgende Eigenschaften: - exp(x)exp(y )=exp(x + Y ) falls [X, Y ] = 0 - exp(x) 1 =exp( X) - Aexp(X)A 1 =exp(axa 1 ) - det(exp(x))=exp(spur(x)) - exp(x )=(exp(x)), exp(x)=(exp(x)) T Ist X diagonalisierbar (X = A 1 DA) dann ist exp(x)=a 1 exp(d)a, wobei exp(d 11 ) 0 0 D = exp(d nn ) Lie Algebren Definition 8.1 Eine Lieklammer ist eine Abbildung [, ] : den Eigenschaften: V V V mit 1. [X, X] = 0 2. [X, Y ] = [Y, X] 3. [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 (Jacobi Identität) Definition 8.2 Ein Vektorraum L zusammen mit einer Lieklammer heisst Liealgebra. 9 Spezielle Gruppen GL(n, R) Die Gruppe der invertierbaren reelen n n Matrizen. GL(n, C) Die Gruppe der invertierbaren komplexen n n Matrizen. GL(V ) Die Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen V V. O(n) Die Gruppe der orthogonalen Matrizen = {A GL(n, R A T A = 1} U(n) Die Gruppe der unitären Matrizen = {A GL(n, C A T A = 1} 16

17 SG Sei G GL(n, (R oder C)). Dann ist SG = {A G det A = 1} SO(n) Die spezielle Gruppe der orthogonalen Matrizen = {A GL(n, R) A T A = 1, det A = 1} SU(n) Die speziell Gruppe der unitären Matrizen = {A GL(n, C) A T A = 1 det A = 1} o(n) Die Liealgebra der Gruppe O(n) = {X M n (R) X T = X} so(n) Die Liealgebra der Gruppe SO(n) = {X M n (R) X T = X} u(n) Die Liealgebra der Gruppe U(n) = {X M n (C) X T = X} su(n) Die Liealgebra der Gruppe SU(n) = {X M n (C X T = X, Sp(X) = 0} 17